L’image retrouvée : de l’anamorphose à la transformation conforme (Partie 2)

LES PROJECTIONS STÉRÉOGRAPHIQUES ET AUTRES VARIATIONS

Les adeptes de projections, artistes ou scientifiques, ont développé au fil des siècles une multitude de techniques différentes pour faire passer les images d’un type de surface à une autre. Évidemment, une des questions découlant de la prise de conscience de la sphéricité de la Terre était celle de la projection d’une sphère vers le plan (et vice versa) afin de permettre des cartes précises. La recherche d’une projection adéquate fit apparaître des techniques, comme celle de Mercator, avec leurs avantages et désavantages. Les types de projection sont nombreux et contiennent tous certaines nuances qu’il faut bien savoir déceler.

Une des projections les plus importantes, étudiée depuis l’antiquité (Snyder 154), est connue sous le nom de projection stéréographique. Dans cette projection, on place la sphère sur un plan en la faisant reposer sur son pôle sud et du pôle nord on trace une ligne droite qui traverse la sphère en un point et finalement rencontre le plan. Le point sur le plan est le point de projection de celui de la sphère, c’est l’endroit où ce point se retrouve après la projection (Figure 11). Si l’on fait la transformation inverse, chaque point revient à son point initial sur la sphère. Plus on s’éloigne vers l’infini dans n’importe quelle direction du plan, plus on se rapproche du pôle nord après la transformation inverse qui ramène les points sur la sphère (Gamelin 11-13); (Pressley 109-111). La bordure infinie du plan dans toute les directions, l’horocycle, est un point à l’infini lorsque considérée dans cette projection.

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Figures 10: Anges et démons de Esher

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Figure 11: Projections stéréographiques

En cherchant des images de projections stéréographiques, on tombe rapidement sur le travail d’Alexandre Duret-Lutz, photographe et informaticien français. (Figures 12 et 13) Ces images à la fois belles et vaguement humoristiques laissent difficilement entrevoir l’application de la projection stéréographique. Heureusement, Duret-Lutz explique très clairement la démarche qu’il a suivi afin d’obtenir son résultat. . Il débute en prenant des photographies d’un lieu à 360° horizontalement et à 180° verticalement. Ces photos, raboutées toutes ensembles peuvent former une sphère dans laquelle se trouvait la caméra au moment de la prise des clichés avec le zénith comme pôle nord et le nadir comme pôle sud. Cette sphère est l’équivalent photographique d’une Termesphere, mais virtuelle et perçue de l’intérieur. Une fois cette sphère virtuellement construite par ordinateur, Duret-Lutz applique la projection stéréographique. . C’est la raison pour laquelle dans les Wee Planets comme elles sont souvent nommées sur internet, les objets qui s’élèvent vers le ciel le font en direction de la bordure de l’image puisque cette bordure, en toute direction, représente le point à l’infini et donc le zénith. La liste des photographies faisant usage de cette projection est longue et donne lieu à une panoplie d’effets forts intéressants.

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Figure 12 : Wee Planet par Alexandre Duret-Lutz

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Figure 13: Wee planet par Alexandre Duret-Lutz

Si le principe s’applique à la photographie, il est normal qu’en remplaçant les caméras photographiques par des caméras vidéo on puisse obtenir des vidéos similaires et il semble que l’une de ces premières expériences ait été faite en 2008 par Nate Bolt. Depuis, d’autres passionnés de projection ont suivi la tendance. On peut souligner en particulier le très beau travail de Mark Macaro.. On trouve même désormais des travelings de caméras qui s’effectuent sur des Wee Planets, ce qui revient à dire que le pôle nord de la projection bouge en permanence comme dans Zach Walks Around dans lequel Zack Palmer utilise une sphericam. D’autres vidéos poussant encore plus l’expérimentation ont vu le jour et nous y reviendrons plus loin dans ce texte.

CARACTÉRISTIQUES DES PROJECTIONS ET COMPRÉHENSION DU TRAVAIL DE DURET-LUTZ

Premièrement, il faut préciser qu’il existe différentes manières de projeter une sphère sur un plan. Les projections utilisées par Mercator, Miller ou Cassini par exemple projettent la sphère à partir de son centre sur un cylindre qui l’entoure (Synder 37-38). D’autres projettent la sphère sur un cône que l’on déplie par la suite pour obtenir une carte, c’est le cas des projections de Albers ou de Lambert. Malgré de nombreuses caractéristiques intéressantes, ces projections ne semblent pas être utilisées dans la production de photographies artistiques pour l’instant et pour cette raison nous limitons notre intérêt à la projection stéréographique.

Les projections entre deux surfaces ont tendance à modifier certaines propriétés géométriques telle que la longueur ou l’aire. On sait désormais qu’une conséquence directe d’un théorème due à Gauss, le Théorème Egregium (remarquable), est qu’il n’existe aucune projection isométrique entre la sphère et le plan (Pressley 229 et 238). C’est-à-dire qu’il n’existera jamais une carte sur laquelle les longueurs sont proportionnelles à celles sur le globe. Ces longueurs se retrouvent obligatoirement rallongées ou rétrécies. Il y a principalement trois caractéristiques que l’on regarde lors d’une projection. Cette analyse en revient à une précision des interrogations d’Alberti, à savoir quelles sont les caractéristiques géométriques conservées entre deux perspectives (Dahan-Dalmedico, Pfeiffer128), ou dans notre cas entre deux images sur deux surfaces différentes après une projection. Si les longueurs sont conservées, on dit qu’il y a isométrie. Si les aires des sections sur la première surface sont conservées sur la seconde surface on dit qu’il y a équivalence. Finalement, ce qui nous intéresse ici, si les angles entre deux courbes qui se croisent sont conservés, on dit que la transformation est conforme. Conséquemment, on peut étudier la projection de certaines figures géométriques. Par exemple, on sait que pour la projection stéréographique, les cercles qui ne passent pas par le pôle nord sont envoyés vers des cercles sur le plan. Les cercles passant par le pôle nord correspondent à des lignes droites infinies dans le plan puisqu’elles vont d’un infinie à un autre, i.e., du pôle nord au pôle nord après la projection inverse (Gamelin 12-13).

L’effet d’envoyer les cercles vers les cercles est clairement visible dans le travail d’Alexandre Duret-Lutz. En prenant des photos en panoramiques circulaires sur la ligne d’horizon, autrement dit en 360° horizontalement, il crée un cercle avec l’horizon qui, dans la construction de la sphère virtuelle, se retrouve à être le cercle de l’équateur. Une fois la projection stéréographique appliquée, ce cercle équatorial est le cercle qui délimite la circonférence de cette petite planète que l’on voit. Ce cercle d’horizon devient alors cette fameuse ligne à l’infini qui permet une présentation particulière de l’espace.

Élaborons un peu sur les transformations conformes. Ce principe veut que si nous avons deux courbes qui se coupent perpendiculairement sur la sphère elles se couperont également perpendiculairement sur le plan. Évidemment, on doit avoir une définition d’angle qui convienne autant pour des courbes sur une surface sphérique que sur le plan. C’est pourquoi on utilise l’angle entre les droites tangentes aux deux courbes en leur point d’intersection (Gamelin 36-43). Il suffira de comprendre en fait que l’on sait calculer l’angle entre deux courbes sur une sphère ou un plan. Le point qui nous intéresse est le même qu’Alexandre Duret-Lutz tient à préciser dans son texte explicatif sur internet , c’est le fait que la projection stéréographique est une transformation conforme (Pressley 108-111; Snyder  154). Il précise très clairement que son travail n’est pas effectué à partir de la projection polaire (un autre type de projection) qui elle n’est pas une transformation conforme . Cette qualité d’être conforme a une grande incidence sur le résultat et parfois sur l’appréciation du résultat final. La qualité d’être conforme permet de conserver la forme générale (dans un sens large) des constituants de l’image et permet de reconnaître la scène. Ces détails seront approfondis dans la section sur la théorie de la perception. Nous avons pour l’instant deux constatations importantes : les Wee Planets sont construites à partir de la projection stéréographique et celle-ci est une transformation conforme.

Il semble qu’un certain bagage mathématique nous ait donné l’opportunité de comprendre un peu plus les Wee Planets d’Alexandre Duret-Lutz. On comprend qu’il y a conservation des cercles, conservation des angles et dilatation ou rétraction des longueurs. Or, il reste encore dans son portfolio quelques photographies qui portent à confusion. C’est le cas de la figure 14. Dans cette photographie, le sol semble former un immense cylindre au bout duquel le ciel siège. La distorsion des formes semble vaguement similaire aux autres photographies de Duret-Lutz mais le résultat global se distingue énormément de celui de la projection stéréographique. Toutes les projections que nous avons vues ou nommées jusqu’à présent avaient pour but de cartographier la terre, ou le ciel , mais aucune d’elles ne semble pouvoir donner le résultat que l’on observe. Pour comprendre l’effet obtenu sur cette photographie, il y a deux chemins possibles. L’un passe par la projection stéréographique et l’autre par les transformations de Möbius.

TRANSFORMATIONS DE MÖBIUS ET PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE

Dans le processus de création de ses images, Duret-Lutz fait la projection d’une sphère virtuelle qu’il a construite à l’aide de ses photographies à 360°x180°. Dans les projections stéréographiques qu’il fait pour ses images de planètes, il place le zénith comme pôle nord, point à partir duquel on tire les rayons qui définissent la correspondance entre les points de la sphère et ceux du plan. Or, rien ne l’empêche d’appliquer des modifications sur cette sphère avant de faire sa projection. En observant la figure 14, on voit que cette fois-ci le zénith se retrouve au centre au lieu d’en bordure de l’image et que la bordure de l’image est en fait le nadir de la caméra. Il y a donc inversion du pôle nord et du pôle sud, c’est-à-dire que le photographe a appliqué à sa sphère de projection une rotation de 180° verticalement avant de faire la projection. Logiquement, la rotation de la sphère ne modifie pas les angles entre les lignes sur la sphère et comme vu auparavant, la projection stéréographique conserve également les angles. Conséquemment, les objets dans la figure 14 conservent leurs formes générales et restent reconnaissables.

Ici, la question de la projection se complexifie largement et il nous faudra creuser plus profondément encore dans l’univers de la projection et des transformations de l’image. On aura besoin d’un nouvel outil : les transformations de Möbius.

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Figure 14: Photographie d’Alexandre Duret-Lutz

Avant tout, il nous faut connaître le plan complexe. Le plan complexe est comme le plan cartésien, la seule nuance est que les valeurs de l’axe des ordonnées sont des valeurs qui multiplient le nombre i =√-1. Par conséquent, si j’écris le couplet (2,3), cela revient à dire que j’ai deux en valeur réelle et 3i. Le nombre complexe résultant est z =2+3i. Tout point du plan est donc associé à un nombre complexe. Comme pour les nombres réels, on peut additionner, multiplier ou diviser un nombre complexe par un autre. La transformation t = a+z, où a est un nombre complexe fixe et z un nombre complexe quelconque.  Autrement dit, on ajoute à tous les points du plan la valeur complexe a. Il en résulte une translation du plan. De manière équivalente, on trouve que l’on peut aisément construire des dilatations, rétractions et rotations du plan complet. . Les transformations de Möbius sont les transformations de la forme (az+b)÷(cz +d), où a,b,c,d sont des nombres complexes fixes. Toute transformation de Möbius peut être construite à l’aide d’un nombre fini de dilatations, translations, rotations et inversions (Gamelin 65).

La dernière transformation mentionnée, l’inversion t =1÷z, est celle qui diffère quelque peu des transformations triviales. Elle prend le point à l’infini et le positionne au centre du plan, et inversement met le centre du plan au point à l’infini dans toutes les directions, ce qui est exactement l’effet observé sur la photographie de Duret-Lutz.

Pour bien comprendre les effets de cette inversion, le lecteur est invité à visionner la vidéo s’intitulant Möbius Transform Revealed par Douglas Arnold et Johnathan Rogness. Le film présente le lien qui existe entre la projection stéréographique et les transformations de Möbius. Cette connexion entre les deux types de transformation est fondamentale pour la compréhension des photographies de Duret-Lutz et une autre œuvre qui sera présentée dans le texte, une vidéo de Tokuzawa. Afin d’éclaircir ce lien revenons sur un point de vue plus théorique. En utilisant l’idée de Desargues d’ajouter un point à l’infini dans toutes les directions, on referme  le plan et on obtient le Extended complex plane, c’est-à-dire le plan complexe plus un point à l’infini, ce qui revient en fait à la sphère de Riemann, sphère qui représente le plan complexe avec son pôle nord comme point à l’infini. Cette sphère est équivalente à celle de la projection stéréographique. Il n’est donc pas surprenant qu’il existe un lien entre les modifications de la sphère et les transformations de Möbius.

Il y a plusieurs caractéristiques des transformations de Möbius qui nous intéressent. Premièrement, ce sont des transformations conformes (Saff, Snider 389). Ceci est déjà une première caractéristique semblable à la projection stéréographique. De plus, comme il est laissé entendre dans la vidéo d’Arnold et Rogness, transformations de Möbius de base sont toutes équivalentes à un mouvement particulier de la sphère avant d’appliquer la projection stéréographique. Les translations du plan sont les translations de la sphère avant la projection. Les dilations et rétrécissement du plan reviennent à changer la grandeur ou la hauteur de la sphère. Les rotations autour de l’axe perpendiculaire au plan sont les rotations du plan et les rotations verticales mènent vers les inversions du plan. La photographie problématique de Duret-Lutz peut donc simplement être considérée comme une inversion de Möbius sur une image planaire d’une Wee Planet  comme celle de la figure 12. De plus, puisque les transformations de Möbius peuvent toutes être construites à partir des transformations de base que constituent la rotation, dilatation, la translation et l’inversion, toute transformation de Möbius peut être construite à partir de la projection stéréographique et des modifications associées sur la sphère. Il en découle que toute caractéristique propre aux transformations de Möbius peut également être obtenue à partir de la méthode de projection. En particulier, c’est vrai pour la caractéristique suivante : à l’aide des transformations de Möbius, on peut prendre n’importe quel triplet de points et le transposer vers n’importe quel autre triplet de points (Gamelin 63). Cette caractéristique est d’autant plus surprenante qu’il est possible de le faire tout en conservant les angles entre les courbes puisque cette transformation sera aussi obligatoirement conforme. Ce constat en main, il est désormais possible d’étudier la vidéo Stereographic Projection – Sample 02 (motion picture) de Ryubin Tokuzawa.

Cette vidéo est en premier lieu notable par la présence de deux énormes ronds noirs envers lesquels semblent converger un grand nombre de lignes. Plus étonnant encore est que ces grands points noirs semblent pouvoir se promener vers le haut et se muter en l’ensemble de la bordure noire de l’image qui semble elle aussi pouvoir former un point mouvant vers lequel les lignes convergent. Ces modifications continues de l’image ne semblent cependant pas modifier notre compréhension de l’image, la caméra se situe sur le toit d’une automobile qui circule sur une route. Comment chaque photographie et finalement la vidéo a-t-elle été construite? Revenons à notre duo projection stéréographique et transformations de Möbius.

Ces transformations étant équivalentes à des mouvements de la sphère combinés avec la projection stéréographique, il en résulte que l’on peut porter n’importe quel triplet de points de la sphère vers n’importe quel triplet de points sur le plan. ces transformations sont également équivalentes à des mouvements de la sphère combinés avec la projection stéréographique. Il en résulte que l’on peut porter n’importe quel triplet de points de la sphère vers n’importe quel triplet de points sur le plan. En observant la vidéo de Tokuzawa plus attentivement, on s’aperçoit que le point noir que l’on voit on début en haut de l’image est le point de zénith de la caméra placé sur le véhicule. Le point du bas de l’image est en fait le nadir de la caméra. Ce qui a été fait après le tournage est simplement de déplacer deux points des pôles pour les installer près du centre de l’image. Ensuite, modifier leurs positions respectives revient à modifier les effets visuels. En projetant le zénith vers le point à l’infini, on associe la bordure de l’image avec le point de fuite et on obtient une Wee Planet, ce qui se retrace visuellement par le point noir qui se dirige tranquillement vers le haut pour se fondre dans la bordure et laisser apparaître la Wee Planet en question avec le nadir au centre. Le résultat peut avoir été obtenu de deux manières différentes. Soit en créant une sphère abstraite à l’aide des photographies panoramiques pour ensuite modifier cette sphère par des dilatations et rotations avant d’appliquer la projection stéréographique, soit la sphère virtuelle a été projeté directement pour créer une image sur laquelle on a appliqué les transformations planaires, les transformations de Möbius.

Nous avons désormais compris l’ensemble des technicités qui se dissimulent derrière les œuvres comprenant des anamorphoses, des projections stéréographique et des transformations de Möbius. Nous sommes prêts à entreprendre une discussion sur les différentes implications, conséquences et interprétations de ces travaux dans le domaine des arts visuels et du cinéma en particulier.

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