Narration et mathématiques: l’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (Chapitre 3)

Chapitre 3: Les cycles et la planarité

Il n’est pas possible de reconstituer toutes les structures narratives à partir des histoires construites en arbres. Il est vrai qu’un bon nombre d’histoires possèdent des structures assez complexes qu’il est possible de construire sous forme de graphes en arbres orientés, mais ces arbres, par définition, excluent un ensemble de narrations : les histoires cycliques.

Traditionnellement, la cyclicité du temps est une composante fort commune aux sociétés archaïques qui ont la nécessité de se « régénérer périodiquement par l’annulation du temps » pour reprendre les mots de Mircea Eliade (1969, p. 104). Nous trouvons par exemple le Neneh des Égyptiens (Assman, p. 136-137) ou des emboîtements de cycles dans la conception du temps chez les Mayas ou dans l’hindouisme. En discutant des mythes lunaires présents dans un grand nombre de cultures, Eliade précise cette cyclicité du temps en ces mots : «Tout recommence à son début à chaque instant. Le passé n’est que la préfiguration du futur» (1969, p. 108). De ce fait, les mythes de la régénération cosmogonique ne sont pas représentables par des graphes en arbre puisqu’il devrait y avoir présence d’un cycle.

Les jouets optiques ont favorisé la production d’un bon nombre d’histoires cycliques. Le mécanisme de ces jouets optiques impose souvent cette contrainte. Comme le mentionnent Nicolas Dulac et André Gaudreault, le phénakisticope est, pas son dispositif même, condamné à présenter des images en boucles (Gaudreaul et Dulac, p. 32). Le zootrope et le kinétoscope présentent également des boucles sans fin. Il reste à savoir si ces petites boucles narratives sont réellement des histoires. Comme dans le cas de la définition de la bande dessinée, nous prenons une définition assez large qui nous permet d’inclure en premier lieu des histoires cycliques et en second lieu des histoires cycliques dont le cycle peut être aussi court que possible. Si le récit d’une histoire doit connaître un début et une fin comme il est communément admis ceux qui ont écrit sur le sujet (Gaudreault, p. 35-42), tel n’est pas le cas pour le temps de l’histoire diégétique. Comme nous le constaterons dans ce chapitre, l’absence de début et de fin n’empêche en rien d’avoir une histoire. Les mythologies cycliques constituent déjà un bel exemple de ce type de construction. Genette, d’ailleurs, ne semble pas proscrire la possibilité au temps de la diégèse d’être cyclique. C’est ce que Brian McHale décrit en discutant une sous-catégorie de narrations qu’il nomme self-erasing: « one can also “bend‘‘ a sequence to form a loop, in which one and the same event figures as both antecedent and sequel of some other event. » (1987, p. 108). McHale mentionne que la reconstruction de l’histoire devient difficile puisqu’il n’est plus possible de savoir quels évènements précèdent les autres. En fait, cette difficulté disparaît lorsque nous acceptons la présence de temps diégétiques circulaires.

Revenons sur la définition du cycle dans un graphe avant d’étudier les histoires cycliques. Un cycle est une suite de sommets et d’arêtes consécutifs qui se termine en son sommet initial (Bondy, p. 4). Nous disons qu’un graphe est cyclique s’il est possible d’y parcourir un cycle. Dans un arbre, l’ajout d’une arête sans l’ajout d’un sommet rend le graphe cyclique (Bollobàs, p. 9-10). Nous disons d’un cycle qu’il est hamiltonien s’il passe une seule fois par tous les points du graphe (Bondy, p. 47). Nous nommons un tour un chemin qui passe par toutes les arêtes et nous précisons qu’il est un tour d’Euler s’il ne passe par ces arêtes qu’une seule fois (Bondy, p. 86). Nous pouvons dès lors analyser les types d’histoires cycliques en considérant les arêtes d’un cycle comme étant des segments de courbes paramétrées.

Nous distinguons deux catégories d’histoires cycliques. La première catégorie apparaît lorsqu’un personnage se retrouve à la fois dans le futur et le passé d’un moment diégétique. Ce modèle représente la trame de fond de plusieurs histoires dans lesquelles un protagoniste effectue un voyage dans le passé (29). Les films de science-fiction incluent souvent le voyage temporel pour justifier la boucle temporelle. La suite des deux premiers Terminator (Cameron, 1984 et 1991) utilise une tournure de la sorte; le commandant John Connor vivant dans un futur apocalyptique envoie Kyle Reese, un militant de la résistance de son armée, en mission dans le passé afin de protéger sa mère Sarah Connor et ainsi permettre sa propre naissance. Or, Reese se retrouve en relation avec Sarah et devient le père même de John Connor. Une construction similaire se retrouve dans les films La Jetée (1962) de Chris Marker et 12 Monkeys (1995) de Terry Gilliam dans lesquels les protagonistes ont vu leur propre mort dans leur enfance. C’est-à-dire qu’ils ont voyagé dans le passé et sont morts devant leurs propres yeux d’enfants. Afin d’obtenir une histoire cyclique, nous devons nous assurer de respecter un principe connu en physique sous le nom de principe d’auto-consistance de Novikov et qui stipule que les courbes cycliques temporelles sont possibles si et seulement si les évènements produits dans la boucle s’impliquent les uns les autres : « they influence each other around the closed curve in a self-ajusted, cyclical, self-consitent way. » (Friedman et al., p. 1916).

D’autres films présentent des histoires simples sans tenter de justifier cette cyclicité temporelle, ils se limitent comme figure de style soulignant une cyclicité d’implications logiques, souvent un cercle vicieux. Le film mexicain Chin Chin el Teporocho (1976) de Gabriel Retes, basé sur un roman du même nom par Armando Ramirez (1972), traite des mésaventures d’un jeune adolescent dans le quartier de Tepito du District fédéral. Une chaîne d’évènements l’impliquant dans la délinquance le ramène finalement à la scène initiale, situation de laquelle il tentait de se sortir. La scène présentée au début et à la fin du film est exactement la même scène cinématographique, il y a cyclicité du temps et non pas une simple similarité d’états. Le film macédonien Before the Rain (1994) de Milcho Manchevsky boucle une histoire qui dévoile le cycle de la violence en Europe de l’Est. Encore une fois, les images présentées au début et à la fin du cycle sont exactement les mêmes. Dans ces deux cas, le voyage temporel n’est pas présent, il n’y a pas à proprement parler un voyage temporel, le temps y est simplement cyclique par définition comme il l’est dans les mythologies préalablement mentionnées. Ces histoires respectent le principe d’auto-consistance de Novikov.

Il est également possible d’obtenir une boucle sans toutefois avoir une histoire éternellement cyclique, et ce tout en respectant le principe de Novikov. Un cas possible qui respecte ce principe se produit lorsque le personnage retourne dans le passé et y séjourne sans jamais influencer le cours des évènements et qu’à son second passage au moment initial de son retour dans le passé il poursuit naturellement son séjour dans le futur. Nous pouvons représenter cette situation comme une boucle à partir de laquelle deux segments superposés se poursuivent vers le futur. Le premier représentant la temporalité de la diégèse précédant le voyage temporel alors que la seconde superposition représente le présent du voyageur.

Figure 1

Figure 1: Auteur Inconnu, Source Code, par Duncan Jones. Source : http://romain.vuillemot.net/2013/04/05/understanding-the-movie-source-code-with-two-images/

Figure 2

Figure 2: Auteur Inconnu, Source Code, pr Duncan Jones Source : http://romain.vuillemot.net/2013/04/05/understanding-the-movie-source-code-with-two-images/

 

Nous pouvons envisager dans la diégèse des histoires qui ne respectent pas le principe de Novikov. Ces histoires apparaissent lorsque le retour dans le passé s’effectue et que les évènements sont bouleversés de sorte que ces évènements ne mènent plus vers le futur préalable au voyage dans le passé. Les évènements ne s’impliquent plus les uns les autres. Nous pouvons modéliser le tout en utilisant plusieurs courbes parallèles qui suivent la même suite d’évènements dans le passé. Le voyage dans le passé ainsi que le changement du futur de ce passé revient à faire bifurquer une courbe paramétrée vers un point antécédent qui se situe sur une autre courbe. Le futur bouleversé n’est donc plus le même que celui de la courbe initiale et nous évitons ainsi les paradoxes. Nous pouvons de cette manière représenter les évènements du film Source Code (2011) de Duncan Jones. (Figure 1 et 2) De telles représentations se retrouvent sur le blogue de Romain Vuillemot (http://romain.vuillemot.net/2013/04/05/understanding-the-movie-source-code-with-two-images/). Dans le film, l’esprit du soldat Colter Stevens est transporté dans un temps parallèle à plusieurs reprises afin de prévenir une attaque terroriste. Les schémas, dont un initialement proposé sur le blogue Supermentera (http://supermentera.blogspot.ca/2011/04/source-code-as-i-see-it.html), présentent différentes courbes temporelles sur lesquelles se présentent des segments de la même histoire.

Figure 3

Figure 3: Jérôme Bosch , Les septs péchés capitaux ett les Quatres dernières Étapes humaines, vers 1500, Peinture, Huile sur Panneau, Museo del Prado, Madrid.

En bande dessinée, il existe plusieurs œuvres qui contiennent des boucles visuelles. Certaines de ces boucles sont réellement des histoires cycliques alors que d’autres, comme il en est le cas avec la peinture Les Septs Péchés capitaux et les Quatre Dernières Étapes humaine de Jérôme Bosch (Figure 3), ne servent qu’à obtenir une esthétique visuelle particulière. Une des dernières pages de Derniers rappels (2006) d’Alex Robinson et Near the Forest de François de Jonge paru dans Lapin Nu. 37 présentent de telles structures. (Figures 4 et 5)

Figure 4

Figure 4- Robinson, Alex. 2006. Derniers Rappels, Montreil : Éditions Rackham. © Alex Robinson

Figure 5

Figure 5: François de Jonge, Near the Forest ,Lapin n˚37, février 2009. © François de Jonge

L’ordre de lecture des cases de cette dernière s’avère plus complexe que la simple lecture de plusieurs cercles concentriques (Groupe Acme, p. 188). Par exemple, certaines cases doivent se lire le long du rayon du cercle. Les constructions circulaires de la page de How to be Cheap de Joe Matt parue dans Peepshow : the Cartoon Diary of Joe Matt (1999, p. 50) et la mandala de Kevin Huizenga qui apparaît dans Glenn in Bed du premier Ganges (2006, p. 26) ne sont pas porteurs d’histoires cycliques. (Figures 6 et 7)

Figure 6

Figure 6: Matt, Joe. 1999. Peepshow: the cartoon diary of Joe Matt .Montréal: Drawn and Quaterly. © Joe Matt

Figure 7

Figure 14: Huizenga, Kevin. 2006. Ganges.Vol 1. Seattle: Fantagraphics Press and Coconino Press. © Huizinga

La présence de cycles visuels sert principalement l’esthétique de ces bandes dessinées et ils se retrouvent, comme le souligne Isaac Cates à propos des cycles dans Huizenga, à la fois inclus et exclus de la diégèse (2010, p. 100). Plusieurs bédéistes ont également représenté des extraits d’histoires sous forme cyclique sans que ces boucles soient l’histoire principale. Scott McCloud présente un tel cycle en arrière-plan dans Understanding Comics (1993, p. 109). (Figure 8) Ce cycle n’est clairement pas l’histoire, il sert simplement d’exemple pour démontrer certaines possibilités de la bande dessinée, notamment la possibilité d’avoir une histoire sans début ni fin. Finalement, nous retrouvons certaines histoires qui fonctionnent en boucle, comme circularité de temps et d’évènements.

Figure 8

Figure 15: McCloud, Scott. 1993. Understanding Comics. New York : Harper Perrenial. © 1993 Scott McCloud

Huizinga en fait un tel usage inséré dans son histoire Glenn Ganges in “Time Traveling“, en fait le cycle est sous-diégétique puisqu’imaginé par le protagoniste. Huizinga présente ce cycle afin de clarifier les pensées de son personnage; celui-ci s’aperçoit que, théoriquement, si l’Univers est fini, les atomes passeront par toutes les configurations possibles de l’Univers et qu’elles reviendront inévitablement à la configuration du moment présent (Huizenga, p. 3). Un exemple autosuffisant de construction d’histoire cyclique vient de la mythologie bouddhiste, en particulier dans la représentation de la Bhavachakra, ou roue de la vie, dans les peintures tibétaines, les peintures thangka (Meulenbeld, p. 64). Les moines représentent sur le bord extérieur de la roue les douze nidanas qui forment de par leurs liens le cycle de la renaissance (Meulenbeld, p. 66) (Figures 9) Les scènes représentées ont un sens dont la suite forme le cycle.

Figure 9

Figure 9: Roue de la vie . Anonyme : probablement un moine du Tibet, du Népal ou du Ladakh

Figure 10

Figure 10: Gerner, Morlaque, OuBaPo. Oupus 3. Paris :  L’Association, 2000.©Gerner

Les auteurs de l’Oubapo ont proposé plusieurs histoires cycliques pour le troisième ouvroir dans lequel elles prennent le nom de «morlaque», terme proposé par Jean-Christophe Menu (2011, p. 109). Ayroles, Gerner et Lécroart présentent des histoires simples dans des boucles à la fois visuelles et temporelles (OuBaPa 2000, p. 18, 30 et 36) (Figure 10). Menu de son côté propose une histoire cyclique dont le temps est cyclique, mais dont la majorité des cases se lisent de manière conventionnelle jusqu’à la dernière ligne qui doit être lue de droite à gauche avant de suivre une colonne qui remonte la page jusqu’à la première case (OuBaPo 2000, p. 24). (Figure 11) L’auteur Fred à également construit un cycle dans L’Île des brigadiers. Pour souligner ce fait, Hector, le père de Philémon, se fâche à l’idée qu’il faut encore tout recommencer (Peeters 1998, p. 93). (Figure 12) L’auteur a aussi offert un fou-rire cyclique et infini pour la revue Hara-Kiri (Cavanna, p. 109).

Figure 11

Figure 11: Jean-Christophe Menu,Morlaque,  OuBaPo. Oupus 3. Paris :L’Association, 2000. ©Menu

Figure 12

Figure 12: Fred, Philémon: L’île des Brigadiers.© Ed. Dargaud

Le second type de cyclicité que nous distinguons est celui de la récursivité, la cyclicité des histoires autoréférentielles. Douglas Hofstandter définit les objets autoréférentiels comme étant ceux qui ont la capacité de «represent or to refer to themselves somehow, to designate themselves (or elements of themsleves) within the system of their own symbolism » (1985, p.7). Ce type d’histoires cycliques apparait lorsqu’une histoire se retrouve emboitée dans cette même histoire et que cette construction implique également une cyclicité temporelle. Brian McHale, discute des histoires qui s’emboîtent indéfiniment en réutilisant le vocabulaire de Genette. Il explique qu’il y a la diégèse au premier niveau ontologique, ensuite l’hypodiégèse, l’hypo-hypodiégèse et ainsi de suite (1987, p. 113). Or, le simple fait d’emboîter des histoires les unes dans les autres ne constitue pas une condition suffisante pour la cyclicité. Les films EXistenZ (1999) de David Cronenberg et Avalon (2001) de Mamoru Oshii ne sont pas cycliques. Dans les deux cas, les protagonistes se retrouvent dans un double emboîtement, celui du jeu vidéo dans la réalité et de la réalité dans le jeu vidéo. Nous pouvons tout de même comparer ces structures d’histoire avec celle que McHale définit pour expliquer le roman Projet pour une révolution à New York de Robbe-Grillet : «the distinction between diegesis and hypodiegesis can no longer be safely maintained. » (1987, p. 117). Si dans l’emboîtement il y a retour à un étage de la diégèse, il y a alors une métalepse, ou strange loop dans le vocabulaire de Douglas Hofstadter (McHale 1987, p. 119). Ces histoires ne sont pas cycliques, car même si la hiérarchie des inclusions les ramène dans un même monde ou dans un palier non identifiable de cette inclusion, le temps ne repasse pas par un moment déjà présenté dans l’histoire. La cyclicité de l’inclusion des diégèses n’implique pas la cyclicité du temps de la diégèse.

Figure 13

Figure 13: Lenstra, Printing Gallery , 2003. © Lenstra

Une histoire cyclique autoréférentielle peut être tissée extrêmement serrée et n’être constituée que d’une seule image. Ce principe fractal fonctionne parfaitement dans plusieurs œuvres de Escher, dont la construction la plus complète se déploie dans La galerie d’estampes (Locher, p. 216). La construction de cette œuvre était si complexe qu’Escher lui-même n’a pu réussir à la terminer et il a fallu attendre H. Lenstra et son équipe pour réussir à la compléter. Lenstra et son équipe ont découvert les équations qui régissent la transformation imaginée par Escher et ils ont pu compléter l’œuvre à l’aide de celles-ci (Smit et Lenstra, p. 446-451). (Figure 13) Cette transformation, connue désormais sous l’appellation de l’effet Droste, est souvent réutilisée en photographie afin de produire des images autoréférentielles. Seb Pzbr et Josh Sommers sont parmi les photographes qui rendent le mieux cet effet (30). Ce type d’image n’a pas d’indicateur temporel qui peut laisser sous-entendre qu’un certain laps de temps s’écoule tels des phylactères qui laissent sous-entendre le temps de la conversation; elles posent une ambigüité quant à leur cyclicité. Le temps ne revient pas à un moment initial, il est la superposition simultanée infinie de ce même moment. La page d’Al Williamson avec les deux extra-terrestres discutée au chapitre précédant clarifie déjà un peu plus ce statut de cyclicité. Les extra-terrestres lisent la dernière page de la bande dessinée sur laquelle n’est représentée qu’une seule scène. La présence d’un phylactère assure l’écoulement d’un certain temps à chacun des paliers de l’inclusion, laissant voir qu’il s’agit d’une histoire cyclique. En effet, malgré l’artifice visuel qui pourrait laisser entendre que tous les paliers récursifs sont synchronisés, cette coordination temporelle n’est pas obligatoire puisque le temps diégétique du premier palier s’écoule alors que les autres paliers sont des images fixes dans la diégèse avant que d’être porteuses d’un temps hypodiégétique. La page de Marc-Anthoine Mathieu, quant à elle, ne laisse aucun doute sur la cyclicité de ce segment d’histoire. La page lue par le protagoniste contient plusieurs cases, il y donc une succession de plusieurs moments distincts, les moments contenus dans chaque case, qui se retrouve ensuite itérée par l’inclusion infini. Toujours en bande dessinée et sous la plume du même auteur, le dernier tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves : Le Décalage brise de nouvelles barrières dans sa construction d’une histoire cyclique autoréférentielle. Dans ce cas, le dispositif même de la bande dessinée est mis en jeu. Le protagoniste traverse l’histoire pour revenir au moment initial de l’histoire et pour s’inclure dans celui-ci (Mathieu, 2013). Pour renforcer cet effet, l’auteur décale le temps de l’histoire et le temps du récit. L’auteur se débarrasse pratiquement de tout métadiscours dans son ouvrage et il n’y a plus à proprement parler de page-couverture. Il existe des pages qui miment les artefacts de la page-couverture et des pages contenant le méta-discours, même qu’elles contiennent réellement les informations du méta-discours, mais ces pages font en fait partie de l’histoire. La page couverture et l’endos de la bande dessinée sont des pages de l’histoire et la seule trace de méta discours se trouve dans la constitution cartonnée de ces deux pages. Les temps du récit et de l’histoire étant décalés, la page couverture présente une page quelconque à partir de laquelle on entre dans le cycle. Ce procédé laisse comprendre que l’on pourrait fort bien avoir tout simplement une construction en cylindre de cette bande dessinée, sans page de carton, une construction équivalente au mutoscope d’Herman Casler (Gaudreault et Dulac, p. 49 notes en bas de page). Dans le mutoscope de Casler, les images doivent défiler à une vitesse suffisamment élevée pour créer l’illusion de mouvement alors que dans le cas de Mathieu, le rythme lent de lecture de la bande dessinée est de mise. Puisque dans le cas de la bande dessinée Julius Corentin, le héros est éternellement réinséré dans la même histoire comme l’ouroboros se dévore lui-même, l’histoire est cyclique et autoréférentielle.

Les écrivains ont aussi fourni leur lot d’histoires autoréférentielles, mais bien peu sont réellement cycliques. En fait, il serait possible d’inclure la nouvelle Continuity of Parks de Julio Cortazar si nous acceptons le fait qu’au moment où l’assassin entre dans la pièce le lecteur est en train de lire le passage où l’assassin s’approche de sa demeure en passant par le parc (McHale 1987, p. 120).

Pour en revenir à notre modèle, commençons par mentionner les différentes distinctions à faire entre spatio-topie, courbe paramétrée et théorie des graphes. La structure d’une histoire cyclique n’implique que le fait suivant : la courbe paramétrée qui sert de cadre au temps de l’histoire revient, pour un certain temps t à un point du plan qu’elle a déjà traversé, cette courbe repasse par le parcours qu’elle a déjà tracé. Nous pouvons par exemple modéliser un modèle simple d’histoire cyclique à l’aide de la courbe (Cos(t),sin(t)). Cette courbe donne simplement un cercle centré à l’origine du plan cartésien. Conformément au vocabulaire de la théorie des graphes, nous disons alors qu’il y a une boucle s’il n’y a qu’un sommet et un cycle s’il y a plus d’un sommet (Bondy, p. 3). Or, il existe d’autres courbes dont la perspective macroscopique diffère du cercle, qui peuvent se modéliser à l’aide d’autres courbes paramétrées, mais demeure simplement une boucle ou un cycle du point de vue de la théorie des graphes puisque dans cette théorie la forme et la longueur des arêtes n’importent pas. L’ellipse par exemple, diffère du cercle géométriquement, mais demeure une courbe simple fermée. L’utilité de l’ellipse apparaît avec sa forme : par les sommets de ses deux axes nous pouvons mettre en relation deux paires de moments diégétiques.

Figure 14

Figure 14: Courbe paramétrée. Source : http://www.pacifict.com/Examples/Example4.html

Il existe une panoplie de courbes paramétrées qui possèdent la particularité de se croiser elles-mêmes en plusieurs points. Par conséquent, un cycle peut également se croiser lui-même dans le contexte d’une histoire. Prenons un cas simple, celui de la courbe (2Cos(2πt), Sin(4πt)) (31), qui forme ce qui est généralement utilisé comme symbole de l’infini, donc un huit couché. (Figure 14) Cette courbe, en plus de former un cycle, se recroise en son centre. À la différence de la double boucle que nous discuterons par la suite, le point d’intersection au centre ne constitue pas le point initial de l’histoire, l’histoire repasse par ce point sans toutefois recommencer symboliquement par ce point. Donnons un exemple simple d’une construction sur ce modèle. Un homme va à l’épicerie pour se procurer une bouteille de vin et accroche un homme en route. Sur le chemin du retour, il percute un homme et échappe sa bouteille de vin. Après avoir continué un peu son chemin, marabout, il décide de retourner à l’épicerie et sur le chemin du retour il se percute lui-même, la version de lui-même qui tient la bouteille de vin. Nous précisons que cette histoire n’est pas un récit-carte et donc une version non strictement linéaire graphiquement est acceptable.

Figure 15

Figure 15: Courbe Paramétrée

Le nombre de points d’intersection d’une simple histoire peut augmenter lorsque la courbe se complexifie. La courbe f(t)=(Sin(2t),Sin(3t)) est une boucle à sept points d’intersection. (Figure 15) L’avantage de construire des histoires sur de telles courbes est de pouvoir aller construire des histoires cycliques dans lesquelles les protagonistes repassent par des lieux et moments précis sans y avoir d’incidence ou de pouvoir construire des suites d’inférence dans un ordre non linéaire. Voici une histoire construite sur cette courbe. La structure des implications pourrait être plus complexe, mais nous gardons ce cas simple pour démontrer une caractéristique intéressante de ce graphe lorsque nous l’orientons. En colorant chaque arête noir ou blanche, il est possible de les colorer toutes en alternant les couleurs. Cela permet de construire une histoire sur une simple dualité d’état : riche et pauvre, heureux malheureux et ainsi de suite. Nous choisissons de construire la nôtre sur la dualité riche ou pauvre. Sur la figure 16, nous avons numéroté les évènements importants de l’histoire. Nous pouvons construire l’histoire ainsi :

Figure 16

  • Le personnage sort du casino avec de l’argent.
  • Il se fait tabasser et voler.
  • De mauvaise humeur, il appelle un revendeur de drogue et lui vole son argent.
  • Avec l’argent il va s’acheter de la cocaïne.
  • Il décide ensuite de cambrioler une banque.
  • Avec l’argent de la banque, il se paye une escorte (mâle).
  • Il va jouer à son tour son rôle de proxénète et ramasse l’argent de ses employés.
  • (1)Va déposer l’argent au casino qu’il possède, et le casino perd cet argent à un joueur chanceux.
  • (4)Il va alors vendre de la drogue pour renflouer les coffres.
  • (3) Il va voir un client et se fait voler.
  • (2)Il vole à son tour un étranger.
  • (7) Avec cet argent, il peut enfin payer son proxénète.
  • (6) Il se prostitue pour faire de l’argent.
  • (5)Il veut aller déposer son argent à la banque, mais se fait voler par le cambrioleur.
  • (1) Démoralisé, va jouer ses derniers dollars au casino et gagne.

Figure 17

Figure 17: Graphe équivalent à la courbe paramétrée de la figure 16

Dans notre histoire, les points 2-3, 6-7, 3-4, 6-5 sont associés pour construire l’histoire. En considérant cette courbe paramétrée avec ses points d’intersection, nous pouvons constater que nous travaillons en  fait sur un graphe équivalent à celui de la figure 17. Puisque chaque sommet a un nombre pair d’arêtes qui sont adjacents, le graphe contient des circuits eulériens. L’histoire construite ci-dessus n’est que l’un des circuits eulériens possibles sur ce graphe. Nous pouvons élargir la construction d’histoire sur les graphes en suivant une stratégie à celle du pairage des couleurs et des arêtes. Par exemple, autour d’un seul sommet, nous avons toujours quatre arêtes. Si nous voulons avoir quatre états différents autour de chaque point, nous devons utiliser au moins 4 couleurs. Si nous voulons que pour tous les sommets nous ayons que des arêtes de couleurs, ou états, différents, alors nous avons un problème de coloriage des arêtes à l’aide de n couleurs (Bondy, p. 451-452). Nous pouvons construire une histoire basée sur n états d’un personnage si nous savons qu’un graphe est n-coloriable sur ses arêtes. L’avantage de ne pas avoir des arêtes adjacentes permet de construire une histoire dont les incidences sont moins évidentes. Nous ajoutons qu’il a été plus facile de construire avec l’image de la courbe paramétrée plutôt que le graphe équivalent. Le choix de suivre la courbe à l’aide du paramètre t sur la figure initiale a aidé à prendre des décisions. La spatio-topie influence donc non seulement sur la lecture, mais également le processus de création. La courbe cyclique qui mènerait vers les plus grandes difficultés est probablement la courbe de Moore puisqu’en plus d’être cyclique elle est une courbe qui remplit le plan et qui par conséquent se croise elle-même une infinité de fois (Moore, p. 75).

Figure 18

Figure 18: Bouquet. Source : Wikipedia, article Rose (topology)

Le modèle le plus simple pour avoir un point d’intersection s’obtient en ajoutant une seconde boucle au point de départ de la première boucle tout en la disposant de sorte qu’elle ne soit concourante à la première en aucun autre point. Deux cercles tangents représentent bien un modèle de la sorte. Nous obtenons alors une histoire doublement cyclique avec deux cycles indépendants mise à part le point d’intersection. Nous pouvons utiliser ce modèle pour représenter des histoires de réincarnations. Un personnage naît, vit et meurt avant de se réincarner dans une seconde vie. Il répète ensuite le tout dans sa seconde vie avant de se réincarner au début de sa première vie. Nous pouvons ajouter un nombre arbitraire de boucles à ce point initial d’intersection en nous assurant de garder toutes les boucles disjointes. Nous obtenons en ce sens un wedge of circles (Munkres, p. 434), ou bouquet (Gross et Tucker, p. 15), tel que nommé en topologie. (Figure 18) Un point intéressant de la juxtaposition de boucles est que chaque boucle peut contenir sa propre temporalité. Nous pourrions avoir de la sorte une juxtaposition de cycles qui durent une journée, une vie, une multitude de vies et ainsi de suite. Nous pouvons exemplifier le tout par les différents cycles de temps de la mythologie védique. Mircea Eliade en donne une brève description issue de l’Atharva Veda. Le plus petit cycle est le yuga, quatre yugas forment un mahâyuga. Mille mahâyuga forment un cycle kalpa et finalement 14 kalpa forment un manvantâra (Eliade, p. 134-136). Nous pouvons donc représenter le présent, ou un présent diégétique, comme le point d’intersection de ces différents cercles. En restant un peu plus fidèle à l’axiome d’équivalence distance-temps de McCloud, nous pouvons obtenir une suite de cercles de plus en plus gros qui s’incluent les uns les autres à partir d’un point d’intersection initial à la manière donc fonctionnent certaines représentations du Tzolkin, le calendrier maya de 260 jours (Falcón, p. 22). (Figure 19)

Figure 20

Figure 26: Calendrier Tzolkin. Source : http://kalarhythms.org/mayan-calendar/52-year-calendar-round.htm

Dès que nous travaillons avec plus d’une boucle, nous devons envisager un nombre arbitraire d’intersections entre ces courbes. Les courbes ayant la possibilité de prendre toutes les formes possibles, il en résulte que le nombre d’intersections peut être aussi grand que voulu. Dans l’Oupus 3, Lewis Trondheim propose une histoire multicyclique à partir d’agencement de deux ou trois cases. Le lecteur peut construire à sa guise la lecture du ou des cycles (OuBaPo 2000, p. 12). À partir de chaque case, le lecteur peut choisir entre les cases limitrophes suivantes. (Figure 20) Pour dénombrer le nombre de cycles possibles, nous devons séparer les lectures possibles en fonction de ce nous appelons le nombre d’enroulements, c’est-à-dire le nombre de rotations complètes autour du centre (32) (Munkres, p. 398). Si nous acceptons un seul tour à partir d’une colonne de 2 cases, nous obtenons 730 cycles différents possibles. Si nous acceptons de faire un second tour en passant par la deuxième case de la colonne initiale et en autorisant de repasser par des cases préalablement utilisées avant de revenir à la case initiale nous obtenons 531 442 cycles possibles. Si nous n’acceptons jamais de repasser deux fois par la même case, le nombre d’enroulements est évidemment de 2. Avant de tomber dans des cas plus complexes, travaillons sur le cas particulier où les courbes sont des cercles.

Figure 21

Figure 20: Lewis Trondheim, Morlaque, OuBaPo. Oupus 3. Paris : L’Association, 2000.©Trondheim

Le nombre maximal d’intersections de deux cercles est de deux (33). Nous pouvons donc construire deux histoires en cercles qui possèdent deux points communs. Construisons un premier cycle avec l’histoire d’un homme qui, selon la publicité du Public Service Announcement figurant John Michael Higgins, fait de la poudre pour travailler plus, pour faire plus de poudre. Ajoutons que lorsqu’il travaille trop, il bat sa femme, mais qui, pour apaiser sa culpabilité, lui donne de l’argent. Construisons ensuite un cycle son épouse se fait battre, est consolé par l’argent de son mari, dépense cet argent et finalement se fait battre à nouveau. Nous obtenons alors une double histoire cyclique à deux points d’intersection.

Avec l’ajout d’un troisième cercle à la construction, le modèle de l’histoire devient déjà beaucoup plus complexe. Si aucune paire de cercles n’est tangente, nous obtenons trois paires d’intersections de points pour un total de six sommets qui font partie de deux histoires à la fois. Reprenons à partir de l’histoire décrite précédemment, mais en ajoutant un personnage : l’enfant du couple. Déjà la forme linéaire d’un simple texte ne suffit plus à bien présenter les différentes scènes et leurs successions. La figure 21 avec son annotation exprime par elle-même l’histoire. Nous avons à l’aide d’un modèle simple une histoire qui confirme l’affirmation de Chris Ware : «Drawing is a way of thinking» (Cité par Raeburn dans Ball et Kulhman, p. XIX) La complexité de ce type d’histoire justifie l’analyse des histoires cycliques principalement dans le domaine de la bande dessinée puisqu’elles sont beaucoup plus compréhensibles dans ce médium. Nous obtenons une histoire très compliquée du point de vue littéraire, mais qui se comprend très bien en tant que graphe schématisé sur le plan (34).

Figure 22

Figure 21: Schéma de l’histoire

Nous pouvons encore complexifier les contraintes avec lesquelles nous travaillons par les dallages du plan. Débutons par le dallage de la courbe paramétrée à l’aide des cases et passons ensuite au dallage du plan par les courbes. Un dallage, ou pavage, en bande est une organisation de figures géométriques sur une bande de sorte qu’aucun espace ne soit laissé vacant et en évitant toute superposition (35).(Stein et Szambó, p. 19). En collant des carrés l’un à la suite de l’autre nous arrivons à construire un tel pavage. Du point de vue strictement mathématique, nous pouvons ajouter la nuance de n’avoir aucune superposition de points pour construire des pavages parfaits (Delahaye novembre 2007, p. 154). Cette distinction empêche notamment de superposer les arêtes des carrés dans notre dallage. Dans notre modèle, l’ajout de cette contrainte est facultatif. Il peut être utile pour l’auteur d’avoir des arêtes disjointes ou des arêtes superposées. Nous verrons plus loin en quoi ces distinctions peuvent avoir des implications au niveau de la structure de l’histoire. Nous avons vu des exemples de pavages du plan à l’aide de spirale au dernier chapitre : la spirale infinie de la figure 41 (chapitre 2) pourrait finir par paver le plan au complet, de même pour le support du jeu Wallis’ New Game of Universal History and Chronology si la spirale suivait son cours vers l’infini.

Nous nommons périodiques ou monohédraux les dallages qui sont effectués à partir de figures semblables (Gao, shi et Yan, p. 124). Il existe en fait une panoplie de dallages non périodiques et d’approches afin de les identifier (36). Nous nous limitons aux pavages qu’il est possible de construire par symétries, car ils forment les cas les plus simples et les plus facilement adaptables à la narratologie. De point de vue des symétries possibles sur la bande, il existe sept manières différentes de couvrir la bande à l’aide de symétries (Conway et Huson, p. 255). Cette classification ne dénombre pas toutes les cases possibles pour effectuer les dallages, mais simplement les types de symétries applicables. La figure 22 démontre les sept types de symétries possibles.

Figure 23

Figure 22 Les septs pavages périodiques d’une bande par des figures congrues. Sur la page de Carlo H. Sequin. Source : http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/CS39/LECT_13/L2.html

Un principe similaire existe pour le dallage du plan. Polya et Haag ont dénombré les 17 pavages symétriques du plan dans une étude sur la cristallographie qui influença grandement Maurelus Escher qui avait quant à lui trouvé 16 de ces 17 pavages par lui-même avant de consulter l’article de Polya (Schattschneider 1992, p. 23-30). En se référant à la figure 23, nous identifions ces pavages par les noms inscrits sous leurs représentations. Les nombreuses notations qui existent pour classifier les dallages du plan sont fort utiles pour des généralisations qui pavent d’autres surfaces mathématiques que le plan, mais cette notation simple nous suffit (37).

Figure 24

Figure 23: Les dix-sept pavages périodiques du plan par des figures congrues. Tiré du livre de Schattschneider

Revenons sur un aspect important. Nous savons que le cadre de la case délimite l’espace intérieur et extérieur de la case. De manière similaire, en construisant une histoire cyclique simple, c’est-à-dire sans autre point d’intersection que son début et sa fin, nous délimitons un espace intérieur et extérieur à cette histoire cyclique. Nous déduisons deux conséquences directes de ce principe. Premièrement, il est possible d’utiliser ces deux espaces à des fins narratives. Dans le cas des récit-cartes, ces espaces peuvent facilement prendre un sens important. Par exemple, en prenant l’espace intérieur comme le paradis et l’espace extérieur comme l’enfer, nous pouvons construire l’histoire d’un personnage qui est pris dans ce cycle infini qui le fait balancer entre ces deux destinées. Ces espaces peuvent également servir à présenter d’autres cycles qui ne sont pas en intersection avec notre cycle initial.

Figure 25

Figure 24: Exemple de pavage à l’aide du morlaque de Gerner.

 

Nous déduisons également qu’il est possible d’effectuer des dallages du plan à l’aide de courbes paramétrées fermées et les espaces intérieurs à celles-ci. Dans ce cas, la superposition d’arêtes peut s’avérer un aspect important. Comparons deux exemples. En prenant une histoire cyclique simple proposée par Gerner dans l’Oupus 3 (OuBPo 2000, p. 30) (Figure 24) La forme parfaitement rectangulaire de la suite de cases permet d’en prendre des copies conformes et de les juxtaposer en ses quatre côtés. En répétant indéfiniment ce processus, nous obtenons un pavage du plan avec des translations horizontales et verticales de l’histoire originale (ce qui revient au pavage C1 de la figure 23). Or, l’extension de ce cycle à l’infinité du canevas est somme toute superflue puisqu’elle n’ajoute pas à la structure de l’histoire, elle ne devient qu’un outil esthétique. Cependant, si nous ajoutons les contraintes suivantes nous obtenons déjà une structure plus intéressante : les paires d’arêtes opposées doivent être exactement les mêmes et doivent être des palindromes. L’ajout de ces contraintes permet désormais de superposer les côtés des cycles que nous ajoutons pour paver le plan.

Nous avons analysé certaines propriétés des courbes en lien avec leur support, le plan. Nous avons vu par exemple qu’une courbe simple fermée sépare le plan en deux sections distinctes, l’intérieur et l’extérieur du plan. Nous avons également exploré les différentes méthodes pour recouvrir le plan, soit à l’aide des courbes de Peano, courbes pour lesquelles l’histoire doit être pensée comme la limite à l’infini d’une suite de courbes itératives, soit à l’aide de la disposition des cases comme dans le cas de la spirale de Joe Matt, soit par la disposition de cycles et de leurs espaces intérieurs comme dans l’exemple de notre pavage du plan à l’aide de concaténation de l’histoire cyclique de Gerner.

Nous étudions à présent une certaine relation qui existe entre les graphes et les surfaces sur lesquelles nous les représentons. Isaac Cates décrit la grammaire des comics et des diagrammes comme « their shared reliance on juxtapositions or continuities in two-dimentional space to indicate connections of meaning» (Cates, p. 95). C’est la limite de la relation à l’espace à deux dimensions que nous allons étudier. Nous précisons par le concept de planarité l’implication de cette présence sur une surface à deux dimensions lorsque les connexions sont celles d’une continuité temporelle. L’application au concept plus large de diagramme sera discutée par la suite en analysant des planches de Chris Ware.

Figure 26

Figure 25: Le graphe complet sur quatre sommets

Nous définissons l’homotopie de chemin comme la déformation continue d’une courbe paramétrée (Munkres, p. 323), et par conséquent de l’arête d’un graphe. Cette déformation continue implique qu’aucune coupure ou collage ne peut être fait à partir de la première courbe afin d’obtenir la deuxième. Un segment rectiligne est homotopique à un segment en zigzag qui débute et se termine aux mêmes points que le segment rectiligne. Une homotopie permet également de transformer un chemin en un seul point. Lorsque nous voulons souligner qu’une arête doit être conservée dans son intégrité, mais qu’elle peut tout de même être déformée de manière continue, nous utilisons le terme homéomorphique (Reinhardt et Soeder, p. 51). Nous disons d’un graphe qu’il est planaire s’il est possible de le présenter sur le plan de sorte que, visuellement, toutes les intersections d’arrêtes soient des sommets. Le graphe d’un carré et de ses deux diagonales, le graphe complet sur quatre sommets, est un graphe planaire puisque nous pouvons trouver une arête homéotopique (ou homéomorphe) à l’une des diagonales afin d’avoir une représentation qui exclue les croisements qui ne sont pas des sommets. (Figure 25) Un exemple de graphe non plantaire est le graphe complet sur cinq sommets, c’est-à-dire le graphe dont les cinq sommets sont connectés par une arête aux quatre autres. Autrement dit, la distance entre chaque point du graphe est de un. La caractéristique du graphe complet sur cinq points, K₅, d’être non planaire est indépendant de tout homéomorphisme : tout graphe dont la structure équivaut à celle de K₅ est non-planaire. Il n’existe donc aucune manière de dessiner ce graphe dans le plan sans avoir des intersections d’arêtes qui ne soient pas des sommets. Un graphe biparti est un graphe formé de deux groupes de points qui ne possèdent aucune arête entre eux. (Figure 26) Le graphe complet biparti sur deux groupes de trois sommets possède aussi la caractéristique d’être non-planaire. Nous verrons en quoi ce critère de planarité devient important lorsque nous construisons des histoires complexes. Étudions quelques propriétés de la planarité.

Figure 27

Figure 26:Graphe complet bibarti sur deux groupes de 3 points.

Tout d’abord, en omettant l’orientation possible des arêtes d’un graphe planaire, nous savons qu’un arbre est un graphe planaire. Si un arbre est planaire et orienté, il peut tout de même contenir des cycles lorsque nous oublions l’orientation. De plus, un graphe peut contenir des cycles qui eux, selon le théorème de Jordan, séparent le plan en régions. Or, le nombre de régions ne dépend pas de la représentation planaire choisie du graphe (Harris, Hirst et Mossinghoff, p. 76). Par exemple, le graphe complet sur quatre sommets possède toujours quatre régions peut-importe la représentation planaire que nous lui donnons. Un théorème d’Euler pour les graphes planaires assure cette constance (38). De plus, si un graphe est planaire, il contient un sommet dont le degré ne peut dépasser cinq (Harris, Hirst et Mossinghoff, p. 79). Une autre caractéristique est qu’un graphe est planaire si et seulement si tous ses sous-graphes sont planaires. La propriété d’être planaire dépend donc de sa structure, des différents liens qui existent entre ses sommets. Ces résultats sont alors consistants pour toutes les courbes homéotopiques ou homéomorphes formant ses arêtes. C’est-à-dire que nous pouvons transformer une représentation non-planaire d’un graphe en une représentation planaire si et seulement si ce graphe possède les propriétés structurelles d’un graphe planaire. En général, des spécifications géométriques sur les arêtes ne sont pas incluses. Elles peuvent toutefois servir à ajouter des éléments à la structure de l’histoire. Par exemple, on sait qu’un graphe est maximal si tous ses sommets sont de degré trois; le graphe est une triangulation (Ore, p. 6). Si le graphe contient un nombre infini de sommets et que l’on admet que les arêtes sont des segments de droites, alors nous obtenons un pavage du plan par des triangles quelconques. Si nous obligeons de plus ces segments à être tous de la même longueur, nous obtenons alors un pavage périodique du plan par des triangles équilatéraux.   L’ajout de critères géométriques tels que la rectitude des arêtes ou la distance euclidienne entre les sommets redéfinit les frontières qui séparent les graphes planaires et non-planaires. Notamment, l’emploi unique de segments rectilignes augmente le nombre de croisements qui ne sont pas des sommets (Bondy, p. 273). L’ajout de la contrainte d’avoir des arêtes isométriques est un exemple de contraintes géométriques qui sort le graphe complet sur quatre sommets de la catégorie des graphes planaires. Cependant, tout graphe planaire à une représentation rectiligne (39) (Bollobàs, p. 22).

L’étude des graphes planaires mena également au théorème des quatre couleurs, théorème qui peut s’avérer utile en narratologie. Ce théorème qui resta longtemps une conjecture stipule qu’il est possible de colorier l’intérieur des cycles de tout graphe planaire avec quatre couleurs de sorte que les couleurs de part et d’autre de chaque arête soient toujours différentes. Le problème est parfois nommé le problème de Guthrie, du nom d’un étudiant qui questionna Auguste de Morgan à ce sujet. De Morgan mentionna le problème à William Rowan Hamilton, mais le problème demeura inconsidéré. Il fallut attendre sa mention par Arthur Cayley en 1879 pour que les tentatives de résolution se multiplient (Ore, p. xi-xii). Finalement, après de nombreuses tentatives infructueuses, c’est Kenneth Appel et Wolfgang Haken qui prouvèrent la conjecture en 1976. Le théorème des quatre couleurs devient utile en narratologie lorsque nous associons les couleurs à des lieux ou à des états. Pour en revenir avec une représentation du paradis et de l’enfer autour d’un cycle, ce théorème implique que peu importe le graphe planaire sur lequel nous travaillons, si nous ajoutons deux espaces possibles entre les cycles, par exemple les limbes et le purgatoire, il nous sera possible d’avoir deux espaces différents de part et d’autre de chaque arête.

L’avantage d’analyser des histoires par leur planarité permet déjà une certaine classification. Par exemple, une fois que nous connaissons notre graphe planaire, nous pouvons définir le nombre maximal de cycles qui peuvent être construits dans ce graphe (Alfed et Thomasse, p. 255-263). Puisque dans le cadre de la bande dessinée, nous étudions des graphes dont les arêtes sont habituellement orientées, nous devons souligner que l’orientation des arêtes d’un graphe ne modifie en rien sa planarité.

Figure 28

Figure 27:Schéma de Queneau complété par Berge

Analysons un premier exemple qui sort de la plume de Raymond Queneau et dont Claude Berge souligna l’importance dans Raymond Queneau et la combinatoire, le numéro 89 de la bibliothèque oulipienne. Après avoir assisté à une conférence de Berge, Queneau décida de représenter la structure macroscopique de son Conte à votre façon. La fin de 19 des 21 paragraphes du texte contient des informations qui dirigent le lecteur vers un paragraphe de son choix. Queneau décida donc de «représenter par un graphe le déroulement des aventures de ces trois petits pois…» (Berge, p. 11). Queneau fit parvenir à Berge un graphe représentant la structure de l’histoire, mais omis d’étiqueter les sommets et d’orienté les arêtes conformément aux ordres de lectures possibles. Claude Berge termina cette besogne ce qui donna le graphe de la figure 27 (Berge, p. 26). Nous remarquons en premier lieu que le graphe est planaire puisqu’aucune des arêtes ne se croise sans former un sommet. Ce fait est pour le moins particulier pour une histoire aussi complexe puisque Queneau n’en a construit le graphe qu’a posteriori. Nous précisons également que ce graphe n’est pas un arbre orienté puisqu’il existe des boucles entre les paires de sommets 7-8 et 13-14. Malheureusement, malgré cette méthode simple et efficace, il ne semble pas que Queneau ait poursuivi cette approche par la suite. En s’adressant à Berge, il a cependant souligné l’importance de certaines caractéristiques des graphes qui pourraient servir à l’étude des histoires : «je serais curieux de connaître pour ce graphe les valeurs des coefficients ‘‘classiques‘‘ dont vous nous avez parlé, le nombre chromatique, le nombre de connexités, etc. » (Berge, p. 11). Le nombre chromatique représente le nombre minimal de couleurs pour colorer les sommets d’un graphe de sorte qu’aucun sommet adjacent ne possède la même couleur (Bondy, p. 357-358). Nous avons déjà vu dans ce chapitre comment le coloriage des arêtes peut s’avérer utile, ce qui semble confirmer l’intuition de Queneau sur le sujet ; nous pourrions construire une histoire en donnant une valeur sémantique à chaque couleur (par exemple rouge pour rencontre amoureuse) et l’utilisation du nombre chromatique pourrait alors servir à s’assurer qu’aucune rencontre de même type de se succèdent. Ajoutons qu’à partir du graphe offert par Queneau, nous pourrions facilement construire une version en bande dessinée de l’histoire de Queneau.

Nous avons déniché quelques exemples de bande dessinée, ou plutôt des planches de bande dessinée qui malgré leur grande complexité demeurent dans la catégorie des graphes planaires. Ces planches sortent d’un auteur dont Martha R. Kuhlman releva les liens avec des groupes comme l’Oulipo et l’Oubapo ainsi que la nature plus expérimentale de son approche : «Ware has been consistently interested in comics that violate the reader’s expectations…» (Kulhman, p. 83).

Figure 29

Figure 28:Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth New York: Pantheon Books. © Chris Ware

La figure 28 présente une page de la bande dessinée Jimmy Corrigan : The Smartest Kid on Earth de Chris Ware (2000, p. 359). Plusieurs des flèches de cette page en diagramme sont en fait des flèches d’inclusion, mais cela ne nous empêche pas de voir entre les différentes suites de cases des courbes paramétrées qui les sous-tendent. Certaines lignes sont disposées sur la page de sorte à croiser d’autres segments. Or, en déplaçant quelque peu les flèches, donc en représentant à leur place des courbes homotopiques, mais en gardant la structure même du récit, nous trouvons que le graphe qui se cache derrière l’histoire est un graphe planaire.

Figure 30

Figure 29:Ware, Chris. 2003. Quimby the Mouse. Seattle: Fantagraphics Books. © Chris Ware

Nous pouvons appliquer plusieurs autres opérations afin de simplifier la structure d’un graphe. Cela devient utile dans l’analyse de certaines structures. Premièrement, si un sommet est d’ordre deux, nous pouvons simplement l’omettre et tracer une arête directement entre ses sommets incidents, le résultat sera planaire puisque tous chemins sont homéomorphes entre eux (Gross et Tucker, p. 18). Dans le cas de l’analyse de planches comme celle de Ware, cela ne change en rien la structure du temps de l’histoire puisque l’opération revient à simplement inclure la case dans son segment de courbe paramétrée. Nous pouvons également supprimer les feuilles, les sommets incidents à une seule arête. Cela revient à dire que ces segments sont homotopiques à un point, celui du sommet précédant la branche de la feuille. Finalement, nous pouvons trouver des segments homéomorphes et les disposer autrement. L’application d’une série de ces opérations permet de classifier des histoires complexes de par leur planarité. Par exemple, nous pouvons modéliser la page 11 de Quimby The Mouse de Chris Ware (Figure 29) par le graphe de la figure 30. Une suite d’opérations permet ensuite de transformer ce graphe en celui de la figure 31.

Figure 30a

Figure 30: Schématisation de la figure 29

Figure 31

Figure 31: Graphe simplifié de la figure 30

 

Figure 32

Figure 32: Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth.New York: Pantheon Books. © Chris Ware

Par conséquent, la structure temporelle de cette page est planaire. La représentation graphique schématiser des plages de Ware n’est cependant pas toujours aussi simple. La structure de la planche de la figure 32 laisse une double interprétation en fonction de l’interprétation que nous donnons à la case centrale dans lequel Jimmy est détaché de la photo à la gauche de la case. Il est possible de décider de juxtaposer ces deux images en suivant l’indice visuel qui laisse comprendre qu’ils sont originalement dans une même case, ou nous pouvons choisir de nous en tenir qu’à la structure en diagramme proposée par les différentes flèches. Les planches les plus complexes de Quimby the Mouse comportent en général les mêmes relations problématiques. (Figure 33)

Figure 33

Figure 33: Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth.New York: Pantheon Books. © Chris Ware

Comme le démontre le dernier exemple, les planches sous forme de diagramme produites par Ware échappent à notre modèle. La raison principale est que les flèches de ses diagrammes suggèrent souvent des relations autres que celle de temporalité (Cates, p. 91). Aux relations associatives, analytiques et métonymiques mentionnées par Cates, nous ajoutons celle d’inclusions. Les schémas de Ware sont souvent superposés à des images de fond auxquelles les cases sont associées. Ces histoires sont alors des récits-cartes qui compliquent l’interprétation que nous pouvons faire de la structure de l’histoire. Par exemple, si nous travaillons sur le graphe complet sur quatre sommets, l’ajout de la carte comme support peut imposer une construction non planaire de l’histoire si les diagonales du carré doivent obligatoirement demeurer à l’intérieur du carré.

Un théorème important définit les critères absolus de planarité. Ce théorème découvert indépendamment par le polonais Kazimierz Kuratowski et par le russe Lev Pontryagin (Delahaye 2008, p. 92) stipule qu’un graphe est planaire si et seulement si il ne contient aucune copie homéomorphe du graphe complet sur cinq points, K₅, ou du graphe complet biparti sur deux ensembles de trois points K₃,₃, le graphe de Thomsen (Bollobàs, p. 23). Nous devons préciser ici ce que contenir veut dire. Nous disons qu’un graphe A’ est le sous-graphe d’un graphe A si nous pouvons l’obtenir à partir de A par le retrait de sommets et des arêtes incidentes à ces sommets et en appliquant les opérations préalablement mentionnées dans l’analyse de la page de Quimby the Mouse. Il existe un équivalent au théorème de Kuratowski qui démontre cette caractérisation de la planarité par les graphes mineurs (40) (Bondy, p. 268). Ce théorème est dû à Klaus Wagner. Nous devons préciser que la présence des graphes K₃,₃ ou K₅ n’implique pas obligatoirement la présence d’un cycle puisque l’orientation des arêtes peut proscrire les cycles. Une fois qu’un graphe est défini comme non-planaire, il est possible de définir le nombre minimal de croisements lorsque nous présentons ce graphe dans le plan (Bondy, p. 248).

Figure 34

Figure 34 Friedrich Strass: Storm der Zuiten (Stream of Time). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Chris Ware n’a pas inventé la représentation du temps sur des graphes non planaires. La complexité de la représentation de l’histoire à l’aide de chartes par les historiens mena à de telles difficultés. La publication de la charte Storm der Zuiten (Stream of Time) par Firedrich Strass en 1804 (Figure 34) influença toute une vague de chartes dans laquelle le temps s’écoule le long de cours d’eau, d’arbres ou d’éclairs comme dans le cas de la charte de Strass (Rosenberg et Grafton, p. 143-147). La complexité de l’histoire implique que ces flux se croisent à maintes reprises. Dans la majorité des cas, les intersections de flux sont des éléments qui représentent des moments de l’Histoire. Malgré tout, quelques sections de ces chartes représentent des passages de flux sur et sous un autre flux, ou en langage de la théorie des graphes, des arêtes se croisent, mais cette intersection ne forme pas un sommet. Nous trouvons de tels exemples dans les chartes Strom des Zuiten de Strass, A Chronological, Historical and Biographical Chart (1807) par Stepehn et Daniel Dod (Figure 35), Chronology Delianated to Ilustrate the History of Monarchial Revolutions (1812) par Isaac Eddy (Figure 36), dans Epitome of Ecclesiastical History (1806) par David Rowland et dans le travail de James Goerge Roche Forlong sur le développement des religions (Rosenberg et Grafton, p. 143-149).

Figure 35

Figure 35: Stepehn et Daniel Dod ,A Chronological, Historical and Biographical Chart (1807). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 36

Figure 36: Isaac Eddy, Chronology Delianated to Ilustrate the History of Monarchial Revolutions (1812). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Le livre de Rosenberg et Grafton offre une liste de schémas temporels dont plusieurs sont non-planaire, notamment Fluxus (Its Historical Development and Relationship to Avant Garde Movements) (1966) de George Macianus qui approchait la création de chartes en tant qu’art et permet l’extension et l’appréciation des principes de Priestley (Rosenberg et Grafton, p. 232-233).(Figure 37) Les mêmes remarques peuvent être appliquées aux chartes Cubism and Abstract Art d’Alfred H. Barr (Figure 38) et celle sur l’histoire de l’art d’Eric Newton (Rosenberg et Grafton, p. 222 et 225). (Figure 39)

Figure 37

Figure 37 : George Macianus, Fluxus (Its Historical Development and Relationship to Avant Garde Movements) (1966). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 38

Figure 38: d’Alfred H. Barr, Cubism and Abstract Art. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 39

Figure 39: Schématisation de l’histoire de l’art par Eric Newton. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

À ce jour, ce qui constitue peut-être la construction la plus élaborée d’une structure d’histoire non planaire est probablement Meanwhile (2010) de Jason Shiga. La structure de Shiga admet 3 856 histoires différentes qui s’étale dans un réseau complexe qui fait de nombreux va-et-vient entres les pages de la bande dessinée. L’ouvrage de Paul Gravett procure une charte globale de l’histoire de Shiga qui permet d’apprécier les nombreuses ramifications de l’histoire. (Figure 40)

Figure 40

Figure 40: Jason Shiga, Meanwhile. Tiré de l’ouvrge de Gravett © 2010 Jason Shiga

Nous analysons dans cette fin de chapitre les structures globales des histoires des films Primer (2004) de Shane Carruth, Triangle (2009) de Christopher Smith et de Looper (2012) de Rian Johnson. Nous nous intéressons à ces films pour plusieurs raisons. Ces trois films contiennent des histoires très complexes. Nous savons que ces histoires contiennent des boucles temporelles, ou des cycles dans notre modèle, mais le nombre exact de ces cycles demeure obscur. De plus, nous ne savons pas s’il est possible de représenter les trames temporelles à l’aide de graphes planaires. Nous allons voir comment la structure globale de ces histoires est pratiquement impossible à deviner de sorte que, malgré la grande qualité de ces films, le spectateur ne peut pas deviner ces structures.

Le film Primer relate l’histoire de deux amis ingénieurs, Aaron et Abe respectivement interprété par Shane Carruth et David Sullivan, qui mènent des expériences afin de breveter des inventions qui pourraient trouver application sur le marché. L’une de ces expériences proposées par Aaron permet la modification du continuum temporel et le voyage dans le passé. Le retour en arrière leur permet de modifier le cours des choses, mais le futur de ces évènements n’est pas spécifié. Les protagonistes réalisent que la connaissance des évènements à venir leur permet de faire beaucoup d’argent à la bourse. Plus le film avance, et plus les personnages font divers voyages qui rendent l’histoire extrêmement complexe. Pour ajouter à cette difficulté, les personnages s’aperçoivent qu’il est possible de mettre une boîte dans une autre boîte pour amplifier le voyage temporel et retourner encore plus en amont dans le temps. Depuis sa sortie en 2004, le film a fait couler beaucoup d’encre. Plusieurs internautes ont tenté de représenter la structure globale de cette histoire par des diagrammes. (Figures 41- 46)

Figure 41

Figure 41: Tom-B. Schéma du voyage temporel dans Primer. Source : Wikipedia, article sur Primer.

Figure 42

Figure 42: Schéma du voyage temporel dans Primer. Source : http://www.terminally-incoherent.com/blog/2008/08/22/primer-the-movie/

Figure 43

Figure 43: Schéma de l’histoire de Primer. Source: http://www.kevinmuldoon.com/primer-film/

Figure 44

Figure 44: Schéma de l’histoire de Primer. Source: http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?f=7&t=47683&start=160

Figure 45Figure 45: Schéa de l’histoire de Primer. Source : http://www.cclapcenter.com/2007/08/movies_for_grownups_primer.html

Figure 46

Figure 46: Schéma de l’histoire de Primer. Sources : http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html et http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html

Les premiers diagrammes intéressants présentent le fonctionnement de la création d’une boucle temporelle (41). Comme dans le cas de Source Code, il y a création d’une nouvelle lignée temporelle, ou de manière équivalente la courbe temporelle embarque sur une ligne de temps différente parallèle à la première. Encore une fois, dans cette construction il y a présupposition que la ligne temporelle créée est équivalente à l’état des choses avant le voyage dans le temps. Notons également qu’à chaque boucle du film, l’auteur respecte le principe de Novikov. Même si diverses versions des personnages coexistent dans une diégèse pour un certain temps, ces personnages s’arrangent en général pour s’éviter. Les complications débutent lorsque nous représentons la structure globale de l’histoire. Les figures 43-46 montrent des tentatives de représenter l’histoire dans son ensemble. L’une des grandes difficultés est qu’il ne nous est pas possible de savoir exactement combien de voyages sont faits par chaque personnage. Même dans la charte la plus complète (Figure 46), cette difficulté est soulignée (http://unrealitymag.com/index.php/2011/09/30/at-last-a-definitive-timeline-for-primer/). Cela nous empêche entre autres d’affirmer qu’il existe réellement neuf trames temporelles. Neuf semblent suffirent pour expliquer l’ensemble de l’œuvre, mais rien ne confirme l’exactitude de ce nombre. Le film Primer démontre bien la problématique du choix du médium dans la présentation d’une histoire. Le format du film permet de maintenir le suspense en construisant morceau par morceau la structure complexe de l’histoire alors que le choix d’une présentation sous forme similaire à la bande dessinée à l’aide de courbes paramétrées permet sa compréhension en profondeur.

La plupart des témoignages sur le film indiquent que malgré un visionnement assidu et une consultation des différentes constructions schématisées de l’histoire, la compréhension du film demeure incomplète. Le choix du recours à une cartographie de l’histoire semble la solution commune afin de pallier ce manque de clarté de l’histoire. Malgré quelques détails qui demeurent impossibles à confirmer, l’ensemble de l’histoire prend une plus grande valeur, lorsque transposée en bande dessinée.

Le film Triangle relate l’histoire de Jess et un groupe d’amis qui partent en voilier sur l’océan. Après une terrible tempête, ils sont rescapés par un navire étrange. Un meurtrier est présent sur ce navire et Jess doit réussir à survivre. Or, plus tard dans le film on voit que le même groupe d’individus, des doubles d’eux-mêmes, a subit le même sort et sera récupéré par le même navire. Après de nombreuses complications, Jess tombe à l’eau et se réveille sur une plage. Elle retourne alors à son domicile ou elle rencontre une autre version d’elle-même qu’elle assassine. Elle prend ensuite la voiture pour aller jeter le cadavre à la mer, mais a un accident sur le chemin. Désorientée, elle marche jusqu’au voilier où l’attendent ses amis et repart au large comme au début du film. Dans ce cas, il y a une boucle principale de l’histoire qui est celle de la version de Jess que l’on suit tout au long du film. Il existe également deux autres versions de Jess importante : celle du domicile qui meurt à chaque cycle, ainsi que celle que l’on voit venir au bateau durant le film. Le réalisateur laisse la trace que cette version de Jess est vouée à une destinée différente, celle de mourir sur le navire, en montrant le groupe d’individus arriver à la droite du navire plutôt qu’à la gauche comme initialement. De plus, il est à souligner que différents moments de la boucle principale se superposent sur le navire, c’est-à-dire que deux versions de Jess de la boucle principale sont présentes sur le navire pour un certain temps. Le film ne semble pas avoir suscité le même intérêt que Primer, mais sa complexité en boucle justifie une présentation de l’histoire en courbes paramétrées. Nous offrons des interprétations simplifiées en la figure 47.

Figure 47

Figure 47: Quelques représentations possibles de la courbe temporelle du personnage principal du film Triangle.

Finalement, le film Looper (2012) de Ryan Johnson utilise également de nombreuses boucles temporelles ainsi que plusieurs lignes que temps. Le diagramme de Rick Slusher (Figure 48) utilisée pour décrire la structure de l’histoire du film représente cette fois la notion de sculpture narrative. En effet pour minimaliser le nombre de croisements inutiles entre les courbes paramétrées, Slusher utilise une représentation tridimensionnelle des différentes courbes présentes dans l’histoire (42). Cette construction devient littéralement une sculpture narrative ; narration dont le choix de la surface de présentation devient important à sa compréhension.

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Figure 48: Schéma de l’histoire de Looper par Rick Slusher. Source: http://lestoilesheroiques.fr/2012/10/looper-fin-explication-histoire-looper-analyse-comprendre.htm

Nous avons exploré dans ce chapitre deux conséquences de la complexification de la structure du graphe sur lequel nous pouvons construire ou concevoir une histoire. Une première conséquence est l’apparition de cycles sur le graphe non orienté, ce qui n’implique pas obligatoirement que l’histoire, elle, contiendra un cycle. Par concaténation de segments rectilignes, nous avons vu que la création de cycles n’oblige pas l’utilisation d’un temps angulaire tel que présenté au premier chapitre. Une seconde conséquence est l’éventuelle déplanarisation de la structure de l’histoire. Cette double complexification de la structure macroscopique de l’histoire nous oblige dès lors à reconsidérer le concept de canevas infini : dans le cadre où nous voulons construire sur un tel échafaudage, le choix de considérer le canevas infini au delà d’une vision planaire. Nous avons vu aussi que, avec une complexification de l’histoire, le choix du médium devient crucial pour favoriser sa compréhension telle qu’il en a été avec les chartes du temps de l’histoire pour les films Primer, Source Code et Looper. L’analyse des structures planaires permet de piger dans un bagage de théorèmes qui peuvent enrichir l’arthrologie des cases. Nous avons brièvement vu comment les notions de coloriage des sommets et des arêtes peuvent servir cette idée. Notons qu’une panoplie d’autres notions pourraient agrémenter la recherche dans cette direction : dualité, double recouvrement par cycle, spanning tree et bien d’autres. À l’inverse, le choix de travailler sur un graphe non planaire mène également à de nouvelles possibilités, nous analysons ce cas dans le prochain chapitre.

Notes:

29- Des listes d’œuvres littéraires et filmiques qui font usage du voyage temporel peuvent être consultées aux pages suivantes : http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_time_travel_science_fiction#Time_travel_in_novels_and_short_stories et http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Time_travel_films

30- Des images peuvent être observées sur leurs sites respectifs: http://joshsommers.smugmug.com/ et http://www.flickr.com/photos/sbprzd/sets/72157594172266668/detail/

31-http://www.pacifict.com/Examples/Example4.html

32-Traduction libre de l’auteur de winding number.

33-Ce résultat découle des deux racines possibles de la formule quadratique.

34-Nous pourrions considérer ce graphe schématisé comme un cas planaire de sculpture narrative.

35-Traduction libre de l’auteur.

36-Voir par exemple l’article suivant : Delahaye, Jean-Paul. 2013. « La quête du pavé apériodique unique». Pour la Science, n˚433 (Novembre), p. 124-129.

37-Les notations de Conway, de Coxeter et de Schonflies sont les principales notations alternatives.

38-La notion de région est ici quelque peu élargie. Une région est simplement l’espace défini par un cycle.

39-Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Fary.

40-Un graphe mineur est obtenu à partir d’un graphe par suppression de sommets, d’arêtes et par contraction d’arêtes. Un sous-graphe ne permet pas l’utilisation de contraction d’arêtes.

41-http://en.wikipedia.org/wiki/File:Time_Travel_Method-2.svg et http://www.terminally-incoherent.com/blog/2008/08/22/primer-the-movie/

42- http://www.film.com/movies/looper-infographic

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