Les fondements de l’écriture procédurale : images, espaces et algorithmie musicale de l’algèbre aux fractals. (Chapitre 2.1-2.2)

Images, espaces et algorithmie musicale :

2.1 Les écritures musicales

Maintenant que nous avons défini la notion d’écriture procédurale, nous voulons en démontrer toute la puissance à l’aide d’une zone de convergence particulièrement fertile ; celle où se rencontrent les arts visuels, la musique et les mathématiques. Précisions que nous limitons plus précisément l’apport musical à celui du rythme. Cet apport demeure indissociable de celui des études harmoniques, mais l’étude approfondie de l’apport harmonique s’éloignerait de la visée de ce texte. Seules les mentions particulièrement utiles viendront s’ajouter afin de laisser voir l’influence qu’a pu avoir cette étude connexe.

Nous voulons avant tout retracer brièvement l’écriture assistée par ordinateur et l’écriture algorithmique. L’une et l’autre peuvent servir la cause de l’écriture procédurale et peuvent trouver des applications qui se portent aisément vers les espaces et les sons. Quoique très proches, ces deux écritures demeurent distinctes. La seconde se réfère principalement à un processus presqu’automatisé alors que la première fait usage d’un outil pour lequel l’algorithme s’applique aisément, l’ordinateur.

Les premiers compositeurs à s’être intéressés à l’écriture musicale à l’aide de l’ordinateur sont Max Matthews et John Pierce aux laboratoires Bell. Le premier programme d’écriture musicale par ordinateur est développé par Matthews en 1957. Music I ne permet l’écriture que d’une ligne mélodie, mais les versions ultérieures permettent l’agencement de plusieurs voix (Palacio-Quintin, p. 18-19). L’écriture dans les programmes de Matthews se sert de graphes en guise de partitions ce qui le rapproche des différentes notations développées à la même époque par des compositeurs comme Cage, Feldman et plusieurs autres. La particularité du travail de Matthews est qu’il y a synthèse de sons, contrairement par exemple à la composition Iliac Suite de Lejaren Hiller travaillant à l’époque avec L.M. Isaacson à l’université d’Illinois et qui ne se sert de l’ordinateur que pour composer la partition qui à son tour sera interprétée par un quatuor à cordes[1]. L’écriture de Matthews se  définit comme procédurale en partie car elle se base sur une notation musicale qu’il définit afin de permettre un usage particulier de l’ordinateur. Celle-ci s’articule au niveau même de l’écriture du programme puisque la création d’une forme de partition différente permet d’ouvrir sur de nouvelles possibilités. De son côté, le travail de Hiller et Isaacson n’est pas procédural par la forme de la partition, mais par l’implémentation de processus stochastiques dans le processus d’écriture[2]. Se faisant, Hiller et Isaacson ont introduit une notion supplémentaire dans le processus d’écriture procédurale; l’algorithme implémenté dans l’ordinateur.

L’écriture musicale algorithmique trouve ses sources dans une procédure automatisée. Les componiums du 19ème siècle sont déjà de premiers exemples de machines à composer[3]. Dans cette lignée se trouvent également les pianos à cylindres. À la base ces cylindres contenaient des versions automatisées de pièces déjà existantes, ce qui n’en fait qu’une simple transposition. À l’inverse, une écriture plus minutieuse apparaît lorsque l’objectif est de reproduire le doigté même du pianiste, c’est-à-dire que l’écriture sur le support tente d’ajouter des nuances qui ne sont peut-être pas écrites sur la partition. Déjà présente dans la pensée du Père Marie Dominique Joseph Engramelle lors de sa transcription d’une interprétation de Claude Balbastre pour le traité de 1778 sur les orgues écrit par Dom François Bèdos (Feaster, p. 7-12), cette tendance a s’est poursuivie avec la transcription plus mécanique d’un grand nombre de pianistes de l’époque, comme Gershwin, Rachmaninoff, Joplin et d’autres[4]. Notons que la richesse des nuances d’une interprétation réelle mena également Evgeny Cholpo à inventer des instruments qui permettent d’enregistrer les variations de tempo, tel le Mélographe et l’Autopianographe[5] (Smirnov).

Or, il y a automatisation d’une composition, mais l’appartenance de ces cylindres à l’écriture procédurale reste malgré tout difficile à définir. Contrairement à la pratique de reproduire les nuances de l’interprète, la composition à même les rouleaux pour piano mécanique permettent l’écriture et l’interprétation automatisée de pièces qu’un pianiste ne pourrait pas jouer. C’est ce qui a motivé les études pour piano de Colon Nancarrow[6] qui voulait outrepasser la contrainte performative de l’interprète. (Slonimsky, p  190-191) Il en est de même avec les études pour piano mécanique de Tom Johnson[7]. Ces partitions se basent principalement sur des motifs géométriques qui sont interprétés comme tels par le piano mécanique, motifs possiblement inspirés en partie des études pour piano de Ligeti pour lesquels les motifs géométriques sont très apparents[8]. Dans ce cas, l’écriture musicale est subordonnée à différents motifs géométriques plutôt qu’à la dextérité de l’interprète. Cela marque une participation double à l’écriture procédurale, l’une par sa partition à mi-chemin entre le visuel et le musical et l’autre de par son interprétation automatisée, celle d’un automate qui possède la capacité de transformer cette structure visuelle en structure mélodique et rythmique. Pour comprendre ce fait, je peux tenter d’interpréter les structures géométriques présentent dans un extrait d’une partition de Nancarrow, dans notre cas un extrait de l’étude 49c (Figure 5). La section gauche de l’image donne l’effet de trois structures miroirs vaguement décalé sur l’axe du temps (de gauche à droite) et sur l’axe harmonique (de haut en bas). Cette interprétation géométrique peut-être justifiable en soi, mais il est important de comprendre da variété des apports de son interprétation mécanisée. Par exemple, l’axe harmonique pourrait aller de haut en bas. Également, une fois son interprétation mécanique peut mener vers des effets sonores différents. La lecture visuelle ne me permet pas de différencier l’effet produit par la suite de note précise. Peut-être que le premier triplet descendait de la structure en miroir de du haut entre plus aisément en résonance avec la structure ascendante de la seconde structure en miroir en vertu d’une tonalité similaire, ou simplement avec celle de la troisième structure en miroir. Tous ces effets dépendent de la lecture automatisée précise de la partition.

Nancarrow Rolle 49c Mitte 1

Figure 5: Colon Nancarrow, Piano Study No. 49c (Extrait) Source : http://www.nancarrow.de/arbeitsweise.htm

Notons que plusieurs autres compositeurs, tels James Tenney[9], ont également travaillé ce type d’écriture.

L’acte d’écriture peut également s’inspirer fortement des mathématiques, ou même d’une géométrie propre à celles-ci. Tom Johnson s’est inspiré directement des fonctions sinusoïdales pour la composition Cosinus pour piano (Figure 6). (Delahaye 2004, p. 90) Le transfert de structure est double, il y a  d’abord le transfert de la forme visuelle du graphique de sin(x) vers la forme de vague dans l’espace de la partition et ensuite celui de la forme de vague visuelle vers l’effet de vague sur les fréquences. Par conséquent, un oscilloscope pourrait directement nous redonner la partition de Johnson. Cet exemple démontre comment une structure, si elle est bien établie, se transfert d’un médium à un autre et que la relation inverse devrait également tenir.

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Figure 6: Cosinus pour piano de Tom Johnson. Source: Pour la Science nu. 325

Si la forme de la partition permet de mettre en lien des structures tonales et des structures visuelles elle permet aussi de modifier la manière de percevoir théoriquement la musique. Elle ajoute non seulement une dimension visuelle à la musique, dimension qui est le réel prolongement d’un même objet abstrait, mais elle justifie également l’étude théorique de la musique basée sur la potentialité de son support écrit. En effet, la partition, ou forme simplifiée de la partition, peut servir comme objet ou modèle d’étude. Tel est le cas avec la représentation de rythmes comme des mots binaires ou comme structures cycliques. Avant que de se plonger plus en profondeur dans l’étude de la forme de la partition, voyons un premier cas de partition musicale simplifié qui permet une étude musicale particulière et qui a mené vers une forme d’écriture algorithmique fort intéressante.

2.2 L’algorithme euclidien

 Demain et ses associés ont démontré une relation puissante qui peut être tissée entre la construction de rythme et un vieil algorithme; l’algorithme de division d’Euclide. Cet algorithme permet de trouver le plus grand commun diviseur entre deux nombres (Grimaldi, 232-233). Pour obtenir ce nombre, on applique la procédure suivante : à partir de deux nombres a < b nous regardons combien de fois ce nombre a entre dans b. Nous prenons le reste de cette division r1 et nous regardons combien de fois il entre dans a. Nous regardons ensuite combien de fois reste de cette division r2 entre dans le reste r1 et obtenons un nouveau reste r3 et ainsi de suite. Lorsqu’un reste divise parfaitement le reste précédent du processus, ce reste est le plus grand diviseur commun. (Grimaldi, p. 232) Voici un exemple de cette procédure à partir de 242 et 39:

242 = 6×39 + 8

39 = 4×8 + 7

8 = 1×7 + 1

7 = 7×1

Le plus grand commun diviseur de 242 et 39 est 1, ils sont donc relativement premiers par définition.

euclidean-algorithm-geometry

Figure 7: Interprétation géométrique de l’algorithme d’Euclide pour 40 et 15.

Encore une fois les auteurs travaillent à la fois sur l’axe du rythme que sur l’axe tonal, nous allons toutefois nous restreindre à l’aspect rythmique de leurs résultats. La première étape est de modifier la partition musicale sur laquelle nous travaillons. Puisque nous n’observons que le rythme et que nous voulons ce rythme soit cyclique, nous allons simplement travailler sur un graphe cyclique à n points, pour n le nombre de temps du rythme étudié. (Figure 14) Chaque point peut être colorié en noir ou en blanc afin de lui donner une valeur de temps marqué ou non. Une seconde notation utile est la notation en boîte équivalente à celle utilisée en Corée. Par exemple, le rythme du Son s’exprime comme [1001001000101000][10] avec les 1 représentant les temps marqués et les 0 les silences[11].

Plusieurs rythmes simples sont souvent bien espacés ou uniformes[12], par exemple le rythme [10101010] possède des intervalles réguliers de 2. Cette régularité est possible car le temps des intervalles divise sans reste le nombre de temps du rythme. Les rythmes deviennent plus intéressants lorsque ces deux valeurs sont des nombres premiers relatifs, c’est-à-dire que leur seul diviseur commun est 1. Il est possible de définir plusieurs mesures afin de classifier ces rythmes.

Parmi les mesures rythmiques existantes, Demain et ses associés étudient les rythmes à partir de la notion de la somme des paires des distances euclidiennes sur le cercle, telle que définie par Block et Douthett (Demain et al., p. 5) Dans ce système, si sur le cercle les temps marqués sont consécutifs ils possèdent une distance de 1, s’ils sont séparés par un silence ils ont une distance de deux et ainsi de suite. Les rythmes qui maximisent l’uniformité sont les rythmes dont la somme des distances entre toutes les paires de temps marqués est maximale.

Un rythme est dit Winograd profond si dans un rythme cyclique à n temps, chaque distance entre les temps possède un nombre d’occurrences uniques dans ce cycle, cette occurrence doit aussi être plus grande ou égale à 1. Par exemple, dans le rythme [111010] à six temps, la distance 1 apparaît 2 fois (entre le temps 1 et 2, et entre le temps 2 et 3), la distance deux apparaît trois fois (entre le temps 1 et 3, entre 3 et 5, et entre 5 et 1) et finalement la distance 3 apparaît une seule fois (entre 2 et 5)[13].

La notion de Winograd profond reste restrictive, puisqu’en imposant l’apparition de chaque distance possible au moins une fois, cela requiert que la moitié des temps soient marqués. Il est alors possible de définir les rythmes Erdös profond de manière plus générale en n’imposant pas la restriction que chaque distance doit apparaître au moins une fois. Par conséquent les rythmes Winograd profond ne forment qu’un sous-ensemble des rythmes Erdös profonds. Cette extension permet désormais d’inclure des rythmes comme celui de la bossa nova [1001001000100100]. Dans ce rythme, les distances 1 et 2, 5 et 8 n’ont aucune occurrence, mais la distance 3 a 4 occurrences, la distance 4 a une occurrence, la distance 6 a 3 occurrences, la distance 7 a 2 occurrences. Nous revenons alors à l’algorithme euclidien.

En travaillant sur le voltage dans un accélérateur à neutrons, Bjorklund rencontra également le problème de l’uniformité maximale pour k signaux dans n intervalles. Pour obtenir cette maximalité, il utilisa la procédure équivalente à l’algorithme d’Euclide. Supposons de manière équivalente au modèle rythmique que les signaux sont des sons marqués parmi une séquence de n temps. Pour 5 temps marqués parmi 12 temps, l’algorithme de Bjorklund débute ainsi :

                                                                          111110000000

Nous associons à chaque 1 un des zéros et nous laissons le reste en suffixe :

                                                                          101010101000

Nous procédons de même avec les deux zéros restants :

                                                                          100100101010

Ensuite, nous appliquons la même opération sur les deux des trois paires de 10 restants puisque nous pouvons les associer aux deux triplets de 100 en début de ligne. Lorsqu’il ne reste qu’un groupe à la fin, nous avons terminé la procédure.

                                                                          100101001010

La structure de l’algorithme de Bjorklund est la même que celle de l’algorithme d’Euclide[14]. Nous regroupes des éléments et réutilisons les restes de manière itérative. Les rythmes euclidiens sont les rythmes obtenus par cet algorithme à partir de nombres relativement premiers de 1 et de 0. Ces rythmes sont également les rythmes d’uniformité maximale.

Le principal résultat de Demain et ses associés est de démontrer qu’essentiellement tous les rythmes euclidiens sont Erdös profond[15]. En plus d’être un résultat théorique fort intéressant, il s’adonne que ce principe semble posséder une application naturelle dans divers rythmes complexes que l’on retrouve à travers le monde. En effet, en appliquant l’algorithme d’Euclide sur plus paires de nombres relativement premiers, Domaine et ses associées ont retrouvé plusieurs rythmes présents dans des musiques traditionnelles de Macédoine, Bulgarie, Turquie, Brésil, Cuba, Roumanie, Inde ainsi que des rythmes présents chez les Pygmées. Comme ils le mentionnent, la complexité liée à l’asymétrie de ces rythmes que l’on retrouve à travers le monde, peut expliquer leur popularité[16]. (Demain et al., p. 5)

Il s’ensuit que ce travail est un exemple parfait d’écriture procédurale autour de la notion de rythme. En définissant une procédure, cette de l’algorithme d’Euclide, il est possible de générer des solutions mathématiques, mais aussi musicales et visuelles par la forme de la partition rythmique[17]. La force de cette procédure traverse plusieurs domaines et cultures .Nous verrons plus loin l’exemple des canons de Vuza qui poussent encore les limites de cette interdépendance.

[1] Notons que c’est la première instance d’utilisation de processus aléatoire de composition par l’ordinateur. Avant cela on peut remonter à la composition Musikaliche Wurfelspiel de Mozart qui permet via une charte et deux dés de composer une valse aléatoire. En 1955, D.A. Caplin en fit la transcription algorithmique pour ordinateur. (Busser et Souder, p. 67) Il y a dans ce cas transcription sur l’ordinateur, mais pas une composition stochastique sur l’ordinateur.

[2] Principe également utilisé par Iannis Xenakis dans plusieurs compositions. (Verdier, p. 76-81)

[3] Ces machines semblent avoir grandement inspiré Raymond Roussel qui en représentait plusieurs dans ses livres (Bussier et Souder, p. 68)

[4] http://www.pianola.com/mrolla.htm

[5] http://asmir.info/graphical_sound.htm

[6] https://www.youtube.com/watch?v=1mKfQYzfduY

[7] https://www.youtube.com/watch?v=8s9LPsCpf_U, Ce jeu sur l’incapacité d’appliquer une procédure est un thème qui revient dans une autre œuvre importante de Johnson que nous discuterons en fin de texte.

[8] Une version de Vertige pour piano mécanique a été interprétée à Cologne en 1990, donc avant la composition de Johnson. https://www.youtube.com/watch?v=skVaqb5xXHE

[9] https://www.youtube.com/watch?v=49mu_d7J4L8

[10] Dans l’article original, les auteurs utilisent des croix et des points, mais puisque nous voulons présenter l’algorithme de Bjorklund qui lui utilise cette notation, nous utilisons directement la notation des nombres binaires.

[11] Cette notation peut être reprise par la notation numérique {0,3,6,10,12}₁₆ pour exprimer que les temps forts sont situés aux temps 0,3,6,10 et 12 sur un ensemble de 16 temps ou par (3,3,4,2,4) pour exprimer les intervalles de temps présents dans la séquence.

[12] Traduction libre de l’auteur de even.

[13] Évidemment, si le rythme n’est pas vide la distance maximale entre deux temps marqués vaut la partie entière de la moitié du nombre de temps présent dans le rythme.

[14] Pour rendre ce fait plus évident, en collant les 0 au-dessous des 1 au lieu d’à côté, on voir clairement apparaître la structure de la figure 7.

[15] Un second résultat important est qu’il est toujours possible de retirer des temps marqués d’un rythme Erdös profond de sorte que ce rythme conserve la propriété d’être Erdös profond.

[16] Tout comme si l’on prend le rythme profond 101011010101 et on le transforme en une succession de tons et demi-tons, nous obtenons la gamme majeur dont la popularité lui-vient peut-être de cette profondeur (Demain et al., p. 7)

[17] Puisque nous étudions les liens entre l’auditif et le visuel, il est intéressant d’ajouter que les résultats obtenus sont également les solutions au problème de trouver les pixels qui contiennent une droite du plan cartésien. Le problème est plus largement étudié dans le même article.

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