Différentes avenues
3.1 Défis et applications possibles de l’écriture procédurale
Nous allons nous tourner à présent vers la pratique d’écriture et de certains défis à venir. Le but est en fait de voir quels sont quelques chantiers en productions, de voir d’où découlent certaines problématiques, de trouver quelques projets excitants qui n’ont peut-être pas encore trouvé d’applications concrètes. De sorte, nous proposons autant qu’analysons des œuvres et groupes d’œuvres.
Nous traitons principalement de deux problématiques, toujours en écartant autant que possible l’aspect de l’harmonisation et de la fréquence des notes[1]. La première est la conception de l’écriture procédurale autour d’un objet relativement contemporain qu’est le fractal. En effet, si l’interprétation visuelle des structures fractales s’est avérée une source inépuisable de recherches et créations, sa transposition en musique attend encore une œuvre phare qui permettrait de valoriser davantage cette pratique. En second lieu, nous abordons la performativité d’une œuvre structurale. Nous présenterons brièvement quelques pièces qui travaillent sur cette limite encore nébuleuse de l’ensemble des possibles de l’écriture procédurale.
3.2 Petit survol de différentes compositions fractales
En ce qui concerne la première problématique, c’est à la fois dans la forme absolue de la nature structurale des fractals, ou voir même des natures structurales, et dans la procédure de sa mise en forme musicale qui pose problème. Afin de comprendre l’écriture de fractals comme une écriture procédurale, nous devons retourner à la source de la notion de fractale et une première difficulté qui s’impose d’elle-même est l’absence d’une définition complète des fractals.
Dans son premier ouvrage sur le sujet, le mathématicien français refusait même de donner une définition exacte en sachant que celle-ci ne ferait qu’exclure inutilement un certain nombre d’exemples. Son travail s’inscrit malgré tout dans une ligné de publication sur le sujet qui remonte principalement à la géométrie et à l’analyse. Pour donner un exemple concret, il faut comprendre un vieux débat qu’est celui de la notion de continuité et de dérivabilité. En termes simples, la continuité d’une fonction est sa qualité d’être traçable à la main sans lever le crayon[2]. La notion de dérivé est celle du taux de variation d’une droite tangente en un point d’une courbe. Pendant longtemps, on a cru que la continuité impliquait la dérivabilité et cela changea lorsque quelques contre-exemples ont commencé à voir le jour. Par exemple, Bolzano et Weirstrass ont défini des fonctions qui sont par leur nature très complexes, continues mais nul part dérivables. Cette prouesse s’obtient en fait avec la somme infinie de fonctions sinusoïdales. Un autre exemple de courbe possédant cette même structure est la courbe de Von Koch. Celle s’obtient aisément à partir d’itérations géométriques. À partir d’un segment de droite, on remplace le tiers milieu par les deux côtés d’un triangle équilatéral de côté égal à la longueur de ce segment. Pour tous les segments restants, on réitère le processus ainsi à l’infini. Le tout devient abstrait lorsque l’on définit la courbe de von Koch comme le résultat de ce processus, lorsqu’appliqué une infinité de fois. Donc, autant l’objet est clairement défini qu’il n’est en aucun cas entièrement réalisable puisque cela prendrait un temps infini. Évidemment, à partir d’un certain nombre d’itérations, la nuance de se voit plus à l’œil, nous laissant avec une forme infiniment brisée comme l’est la fonction de Weirstrass. (Figure 16)
| Figure 16: La function de Weirstrass. Source: Wikipedia |
Cet exemple fort simple de la structure de la courbe de Von Koch mène vers deux pierres d’achoppement auxquelles le compositeur se bute dans le transfert d’une structure de la sorte en musique. La première est évidemment ce point de jonction entre processus infini et structure, la seconde ici ne s’obtient, théoriquement, qu’après un temps infini. Donc, tout comme les représentations de la courbe de Von Koch ne peuvent être qu’approximatives, il en va de même pour son transfert en musique. Ce transfert, aussi élaboré qu’il puisse être, demeurera toujours incomplet par nature. Le seul point de conciliation est que son transfert en musique possède son seuil perceptible, que ce soit pour un transfert rythmique ou fréquentiel.
Par la suite, un choix doit être fait concernant cette structure à savoir quelle propriété doit être transférée. Il y a d’une part l’aspect géométrique, et d’autre part son aspect infiniment brisé. Pour le premier aspect, un travail similaire à celui de Tom Johnson pourrait être effectué en assignant à chaque hauteur de la courbe une hauteur de note. Il est évident que dans ce choix, un nombre limité d’itérations est possible avant d’atteindre le seuil de différentiation. Pour le second aspect, il faut discuter de l’invariance d’échelle. Afin de représenter ce principe, nous pouvons nous observer un exemple dans la composition La Vie est si courte de Johnson. Dans ce cas, la mélodie de la portée du bas est la même que celle du haut à une différence d’échelle près. La mélodie du haut est en fait trois fois plus rapide que celle du bas.
Figure 17: La vie est si courte de Tom Johnson. Source: Pour la Science
Les fractales possèdent justement une telle invariance d’échelle, ce qui implique qu’elles sont soit en chaque partie identique à leur tout -à la limite, chaque segment de la courbe de Von Koch est en fait identique à son ensemble- soit structurellement identique en possédant, par exemple, le même degré de brisure. Cette idée implique donc également une brisure infinie de la mesure rythmique.
Idéalement, cette invariance existe autant vers l’infiniment petit que vers l’infiniment grand. Il y a la possibilité de représenter instinctivement l’infiniment petit, par exemple comme le fait Julio Estrada dans sa composition ishini’ioni (Sauer, p. 69) (Figure 18) ou par un modèle structural basée sur la décomposition infinie de l’ensemble de Cantor comme proposé dans l’ouvrage de Pareyon. (Figure 17) (Pareyon, p. 73)
Figure 18: Itérations vers l’infiniment petit basée sur l’ensemble de Cantor. Source: Pareyon
Le choix de l’infiniment grand est plus accessible que son inverse puisque son seuil de différentiation est plus souple. Nous pourrions imaginer une structure rythmique incommensurable basée sur le l’ensemble de Cantor. En partant d’une mesure qui vaut la longueur du segment initial, nous pourrions ‘’déplier’’ l’ensemble de Cantor et mimer sa structure vers l’infiniment grand plutôt que dans sa version de poudre infinie. De la sorte, la seconde itération serait constituée de trois mesures du segment initial, avec la mesure du milieu silencieuse, la prochaine itération contiendrait neuf mesures et ainsi de suite. Afin de mettre l’emphase sur une œuvre conceptuelle de la sorte, il serait possible de faire un programme qui permet de générer automatiquement une infinité d’itérations musicales.
Figure 19: Extrait de ishini’ioni par Julio Estrada (1959)
Parfois, il peut être utile de transformer une structure dans une forme secondaire avant que d’en chercher un transfert adéquat qui peut même laisser entrevoir certaines qualités inhérentes. Pour en revenir à la courbe de Von Koch par exemple, nous pouvons nous tourner vers une version plus abstraite de sa structure. Jun Ma et Judy Holdener ont démontré que cette courbe était reliée à la suite de Thue-Morse. Cette suite se construit comme tel : nous débutons avec 01 et nous recopions, par une suite d’itérations, l’inverse de la suite de nombres en inversant les zéros et les uns. Les 4 premières itérations sont : 01, 0110, 01101001, 0110100110010110. Cette suite a été construire originalement pour n’avoir aucune répétition plus longue que deux valeurs[3]. Cette impossibilité découle directement de la nature même de son processus itératif. Or, ce que Jun Ma et Judy Holdener ont démontré est qu’en assignant des valeurs directionnelles aux valeurs de 0 et 1, il est possible d’obtenir une courbe qui elle aussi tend précisément vers la courbe de Von Koch. Donc, en utilisant la suite de Thue-Morse comme partition, il y a l’utilisation sous-jacente de différentes propriétés structures. Il y a le transfert de sa propriété fractale, et transfert de son absence de répétition triadique. Cela peut mener à différentes expérimentations[4].
Dans l’un des rares textes à discuter de la musique fractale[5], le compositeur Robert Sherlaw Johnson mentionne qu’il est resté fort peu satisfait des compositions fractales qu’il lui a été donné d’entendre (p. 163). La difficulté à rendre efficace le transfert du visuel vers l’auditif vient peut-être d’une différence fondamentale dans la lecture de telles œuvres. En discutant de la forme visuelle d’un fractal, il spécifie que «The longer the generation takes place, the more interesting and complex the pattern becomes. Music is not perceived in this way. ..()…in the case of music the whole is not perceived simultaneously and only localized patterns make sense» (Sherlaw Johnson, p. 166). C’est d’ailleurs le même principe qui limite l’effectivité de l’autoréférentialité en musique et qui pose la question de la valeur de la perception du rythme dans les canons de Vuza.
Le compositeur Gustavo Días Perez offre une belle interprétation des ensembles de Julia et de Mandelbrot comme partition musicale. Par un choix judicieux de sons de synthèse, le compositeur arrive à recréer le halo mystérieux qui règne autour de ces objets étranges. Malgré cet accomplissement esthétique, les structures ne sont pas directement sensibles dans ses compositions. Les liens entre la spacialisation d’objets fractals complexes, tels les ensembles de Julia et de Mandelbrot[6], et une musique qui contiendrait une structure équivalente restent encore difficile à définir. Ce fait peut venir de la différence entre ces ensembles qui ont été davantage découverts sur le plan complexe contrairement aux structures fractales construites comme dans le cas de la courbe de von Koch ou la suite de Thue-Morse.
Figure 20: Lecture de l’ensemble de Mandelbrot par Gustavo Días Perez . Source: youtube
Cette distinction mène au problème de la compréhension du chaos. Par définition, le chaos tente d’exclure toute règle structurale et échapper à toute forme de formalisation. La géométrie fractale sert souvent de modèle pour comprendre la nature extrêmement complexe de la géométrie de la nature. Le cas des ensembles de Julia et de Mandelbrot sont plus proche de cette nature chaotique des fractales puisque qu’ils semblent hors contrôle, leur complexité va au-delà de ce que nous aurions pu simplement imaginer et, de ce fait, construire. La retranscription musicale d’une telle complexité est par ce fait même difficile et le mieux que nous pourrons peut-être espérer serait de définir une sorte de partition musicale qui contiendrait naturellement des objets d’une complexité inimaginable, tout comme il en a été le cas avec le plan des nombres complexes. Évidemment, la généralisation des ensembles de Julia et de Mandelbrot à un nombre supérieur de dimensions laissent entrevoir la possibilité de chercher pour de plus grands défis d’écritures procédurales
3.3 La structure de la performabilité
La performabilité peut également avoir une forme, souligné dans la procédure des actes nécessaires à la présentation de l’œuvre.
Un exemple d’écriture procédurale liée à la performabilité se retrouve en la pièce Failing de Tom Johnson[7]. Des défis reliés à la structure de cette pièce, et par conséquent à la migration de celle-ci vers d’autres œuvres, tient en la forme tripartite de sa définition. Dans cette pièce une contrebassiste doit lire un texte (et en improviser des bouts) et jouer des extraits de mélodies, soit par intermittences, soit simultanément. Évidemment, cette pièce, comme le mentionne le même texte, est difficile à interpréter. Le texte souligne encore que la lecture du texte ne doit pas interférer dans la prestation strictement musicale de la contrebasse. Le texte mentionne que cette tâche est somme toute impossible, de là le titre de la pièce. Or, comme le mentionne encore une fois le texte, de ne pas réussir la pièce est également est aussi la réussir, ce qui en fait une structure paradoxale dont la valeur de la prestation soit se trouve simultanément dans une double position binaire était réussite et non-réussite à la fois, elle glisse constamment entre les deux. Nous précisions ces deux cas puisque cela dépend de la position du spectateur, soit celui-ci tend à attribuer une valeur binaire quant à la réussite de cette prestation, soit il admet que la réussite d’une pièce admet des zones grises. Dans ce cas, cela revient à décider si la lecture du texte mine ou non la prestation musicale de la contrebasse.
L’écriture de cette pièce est triple. En effet, pour atteindre cette tierce valeur paradoxale, les deux statuts de réussite et de non-réussite de l’interprétation se doivent d’être préalablement confirmés afin de positionner le tout comme œuvre paradoxale. Donc, cette triple valeur doit se transpose-t-elle aisément. Il va de soi qu’un changement d’instrument (autre qu’un instrument à vent qui nécessite l’usage de la bouche) ne modifie pas réellement cette structure.
Notons que la portion autoréférentielle de l’œuvre, qui apparaît dans son titre et dans son texte, n’est pas en soi une modalité difficile à transposer vers une autre œuvre. Il suffit d’ajouter du texte une part de méta discours dans l’œuvre. Le défi devient intéressant lorsque nous voulons transférer cet acte d’écriture, et sa forme procédurale particulière, vers une œuvre audiovisuelle. La pièce de Johnson se base en fait sur une limitation kinesthésique qui positionne le musicien dans une position précaire, entre réussite et échec. La difficulté vient particulièrement de l’aspect rythmé et temporalisé de la parole et de la musique qui, de part et d’autre, entrent en conflit. Un premier transfert serait de conserver cette limitation kinesthésique. Une forme transposée qui pourrait induire le même type de difficulté serait la lecture d’une partition graphique filmique. Par filmique nous entendons que son ensemble n’est pas visuellement accessible d’emblée, et que celle-ci défile devant le musicien. Cette partition, avec sa liste d’instruction, pourrait être accessible instantanément au public, faisant ainsi de l’œuvre un travail audiovisuel pour le spectateur. Une forme participative, invitant à réciter un texte par cœur tout en interprétant la partition musicale filmique en ferait une œuvre vidéo ludique.
Un point important de l’interprétabilité de Failing réside en la mise en abîme du processus de création, technique présente également dans sa composition Narayana’s Cow (1989). Ces compositions débutent par l’explication autoréférentielle de l’œuvre afin d’en préciser les rouages[8]. Cette méthode permet à la fois d’inclure la présentation du processus de création dans l’œuvre même et d’avoir une transition graduelle du positionnement spectatoriel entre analyse et appréciation. Ce double positionnement peut être conservé pour l’entièreté de la durée de la pièce, comme dans Failing ou une autre œuvre de Johnson, Music and Questions (1988).
Ces compositions démontre qu’il est possible de jouer énormément sur deux axes binaires[9], celui du vrai et du faux, et celui de l’intérieur et l’extérieure de l’œuvre, équivalent à l’intra et l’extra diégétique dans le cas d’une narration. Ces structures peuvent évidemment se complexifier lorsque plusieurs paliers ontologiques apparaissent. Si de telles structures sont sujettes à diverses explorations en théâtre en cinéma et dans les arts visuels en général -comme le témoigne le mockumentaire ou des films comme Exit through the Gift Shop (Banksy, 2010)- leur présence reste encore timide dans le domaine de la musique.
Conclusion
Nous avons défini l’écriture procédurale afin de pouvoir extraire une partie du pouvoir d’abstraction du processus d’écriture. Cette écriture pose des règles et des structures qui s’appliquent naturellement dans une variété de contextes scientifiques et artistiques. Un lieu de rencontre particulièrement fertile apparaît lorsque les arts visuels, la musique et la théorie des groupes s’unissent. Nous avons étudié trois exemples importants. Le premier met en lien le pavage régulier de surfaces comme la bande, le plan et le ruban de Möbius, l’avènement géométrique de la théorie des groupes et la géométrie de la partition musicale. Le second part de l’algèbre et les canons rythmiques et reprend la notion de pavage appliquée à l’espace à n dimensions. Dans cet espace abstrait se cache la solution à un autre problème de canons rythmiques, celui des canons de Vuza. Finalement, nous avons vu que la notion de fractal et des espaces qu’ils engendrent mènent vers de nombreux défis compositionnels dont plusieurs restent encore à résoudre. Il semble que la notion d’espace sert à la fois comme point unificateur de ces perspectives distinctes que comme fil conducteur de l’évolution d’une même problématique, celle de l’unification des sens. Comme mentionné en début de texte, le travail effectué directement dans l’abstrait permet d’inversé le processus d’unifications de pratiques distinctes en une création simultanée d’un corpus multidisciplinaire.
Afin de comprendre l’étendue réelle de l’écriture procédurale, il faudrait déjà couvrir plusieurs sujets connexes. En premier lieu il faudrait inclure l’ensemble des savoirs propres à l’analyse harmonique qui viennent compléter nombres de résultats et recherches présentés dans ce texte. Ensuite, il faudrait inclure une analyse détaillée des systèmes stochastiques qui servent de matière de composition pour plusieurs compositeurs et artistes visuels. L’étude des systèmes formels comme les systèmes Lindenmayer ainsi qu’une compréhension plus large de l’algèbre et la théorie des groupes permettraient d’inclure les théorèmes et preuves qui servent l’écriture procédurale. Finalement, contrairement à ce texte, il faudrait également inclure l’étude un large éventail d’écritures plus souples qui permettent des transpositions axés davantage sur l’affect que sur la structure inhérente.
Évidemment, comme le démontre la prestation de Failing de Tom Johnson, nous ne pouvons pas exclure totalement le rapport de cette écriture abstraite avec le réel et ce, que ce soit par l’analyse de la performabilité d’une œuvre, où même de sa prestance possible dans le monde, ou par sa réception par le ‘’lecteur’’. Une entreprise intéressante mais lourde de complications tenterait de prévoir la portée ‘’synesthésique’’ d’une écriture procédurale. Cette tâche ardue devrait alors inclure deux paliers importants : celui de prévoir dans quels médius ou combinaisons de médiums une œuvre procédurale pourra prendre une forme intéressante et celui de comprendre les différents schèmes cognitifs qui seront impliqué dans sa réception afin de favorisé la sensation immédiate des réseaux de concepts que ces œuvres impliquent.
[1] Pour un exemple d’exploration dans cette direction, nous référons le lecteur à l’article fort intéressant de Carlton Gamer et Robin Wilson sur les gammes et la structures de plans projectifs référé dans la bibliographie.
[2] En termes plus mathématiques, cela revient au respect de trois conditions qu’en chaque point la fonction existe, que sa limite existe, et que la valeur de la fonction est celle de la limite.
[3] Il serait d’ailleurs intéressant de vérifier si la suite de Thue-Morse contient toute les instances possibles de rythmes aksak.
[4] Par exemple, pour une composition de Steve Gilliland basée sur la suite de Thue-Morse : https://www.youtube.com/watch?v=6VZq7EurckI
[5] Pour un ouvrage qui contient plusieurs exemples fractals en vertu de leur auto-similarité, voir le livre de Gabriel Pareyon.
[6] Ainsi que leurs formalisations dans un plus grand nombre de dimensions.
[7] https://www.youtube.com/watch?v=9P8C6-XqaNs
[8] Rouges qu’il est possible de trouver dans un article de J.-P. Allouche et Tom Johnson, «Nayrana’s Cows and Delayed Morphisms» paru dans les Cahiers du GREYC des Troisièmes Journées d’Informatique Musicale.
[9] Ce qui donne une structure similaire au groupe de Klein, tout comme le carré de Greimas.
Mediagraphie:
Allouche, Gabrielle, Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit. 2006. « Kolam indiens, dessins sur le sable aux îles Vanatu, courbe de Sierpinski et morphismes de monoïde ». En Ligne : Annales de L’Institut Fourier, Tome 56, n°7, p. 2115-2130. Consulté le 07/02/12. http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2006_56_7_2115_0
Amiot, Emmanuel. 2004. « Why rhythmic canons are interesting? ». Perspectives in Mathematical Music Theory, (G. Mazzola, E. Puebla, and T. Noll eds), EpOs, University of Osnabrück, p. 1-19.
Amiot, Emmanuel. 2005. «À propos des canons rythmiques». Gazette des mathématiciens, 106, p. 42-67.
Amiot, Emmanuel. 2011. «Structures, Algorithms and Algebraic Tools for Rhythmic Canons».Dans Perspectives of New Music, Vol. 49, n˚2, p. 93-143.
Andreatta, Moreno et Dan T. Vuza. 2001. « On Some Properties of Periodic Sequences in Anatol Vieru’s Modal Theory ». Tatra Montains Mathematical Publications, 23, p. 1-15.
Andreatta, Moreno and Carlos Agon. 2009. « Special Issue: Tiling Problems in Music. Guest Editors’ Foreword». Journal of Mathematics and Music: Mathematical and Computtional Approaches to Music Theory, Analysis, Composition and Performance, Vol.2, n˚2, p. 63-70.
Andreatta, Moreno. 2011. « Constructing and Formalizing Tiling Rhythmic Canons: A Historical Survey of a ‘’Mathemusical’’ Problem ». Dans Perspectives of New Music, Vol. 49, n˚2, p. 33-65.
Andreatta, Moreno. 2014. «Une introduction musicologique à la recherche «mathémusicale»: aspects théoriques et enjeux épistémologiques». Dans Circuit : La recherche musicale : Aux croisements de l’art et de la science. Vol. 24, n˚2. Montréal : Les Presses de l’Université de Montréal, p. 51-66.
Armstrong, M.A., 1988. Groups and Symmetry. New York : Springer-Verlag.
Audin, Michèle. 2011. Fatou, Julia, Montel : The Great Prize of Mathematical Sciences of 1918, and Beyond. New York: Springer, Lecture Notes in Mathematics 2014, History of Mathematics Subseries.
Babbitt, Milton. 1962. «Twelve-Tone Rhythmic Structure and the Electric Medium». Perspective of New Music 1, nu. 1, (Fall-Winter), p. 49-79.
Bardis, Panos. «The Moebius Band : History, Synopsis, and Algebraic Generalizations». Portugaliae Mathematica, Vol.33, No.2, 1974, p.117-132.
Bernhard, Thomas. 1993 (1986). Le naufragé. Paris : Gallimard.
Boll, Marcel. Histoire des mathématiques. Paris: Presse Universitaire de France, 1968.
Borges, Jorge Luis. (1956) 1983. Fictions. Traduit de l’espagnol par P. Verdevoye, Ibarra Caillois et Roger Caillois. Paris : Gallimard.
Busser, Élizabeth. 2010 (2005). «Symétrie et composition». Dans Tangente Hors-Série n˚11, Maths et Musique : Des destinées parallèles. Paris : Éditions Poles, p. 60-65.
Busser, É. et D. Souder. 2010 (2005). «Composition automatique et ordinateur». Dans Tangente Hors-Série n˚11, Maths et Musique : Des destinées parallèles. Paris : Éditions Poles, p. 66-69.
Carphin, Philippe et Christianne Rousseau. « Finir une gravure d’Escher». Acromath, vol.4, été-automne 2009, p.20-25.
Conway, John, Daniel H. Huson. «The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups». Structural Chemistry, Vol, 13, nu. 3, 2002, p. 247-257.
Coxeter, H.S.M. 1968. «Music and Mathematics». Dans The Mathematics Teacher, Vol. 61, n° 3, p. 312-320.
Cucker, Felipe. 2013. Manifold Mirrors: The Crossing of the Arts and Mathematics. New York: Cambridge University Press.
Curtis, David. 1971. Experimental Cinema. New York : Delta Book.
Cytowic, Richard E. 1989. Synesthesia: A Union of the Senses. New York: Springer.
Dahan-Dalmedico, A. et J. Pfeiffer. Une Histoire des Mathématiques : routes et dédales. Paris : Éditions du Seuil, 1984.
Delahaye, Jean-Paul. 2014. ‘’Équations résolubles ou non?’’. Pour La Science, n˚ 440, p.74-79.
Delahaye, Jean-Paul. 2012. «La suite de Stern-Bricot, sœur de Fibonacci». Pour la Science, n˚420 (octobre), p.86-91.
Delahaye, Jean-Paul. 2006. « Des mots magiques infinis ». Pour la Science, n˚347 (Septembre), p.90-95.
Delahaye, Jean-Paul. 2004. « La musique mathématique de Tom Johnson». Pour la Science, n˚325 (Novembre), p. 88-93.
DeLio, Thomas. 2002. «A Question of Order; Cage, Wolpe, and Pluralism». Dans The New York Schools of Music and Visual Arts, édité par Steven Johnson, New York : Routledge, p. 135-158.
Diaz-Jerez, Gustavo. 2009. «La música fractal». En ligne: http://www.fractalmusicpress.net/publications.html. Musikene, juin, nu. 4.
Dolven, Jeff. 2009. « Roll Playing». En ligne dans Cabinet, Issue 34 Testing Summer. https://www.youtube.com/watch?v=DOACcFkmwt8
Doxiadis, Apostolos. 2005. « Euclid’s Poetics : An Examination of the similarity between narrative and proof ». Dans Mathematics and Culture II, édité par Michele Emmer, Cambridge : MIT Press, p. 175-182.
Dummit, David S. et Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd Ed. New Jersey: Prentice Hall, 1991.
Feaster, Patrick. 2012. Pictures of Sound: One Thousand Year of Educed Audio: 980- 1980. Atlanta: Dust-to-Digital.
Emmer, Michele. 2005. « Mathematics and Raymond Quenaud ». Dans Mathematics and Culture II, édité par Michele Emmer, Cambridge : MIT Press, p. 195.200.
Escher, M. C. « L’approche de l’infini ». Dans Le Monde de M.C. Escher : L’œuvre de M.C.Escher, commenté par J.L. Locher, H.A. Broos, M.C.Escher, G.W. Locher et H.S.M.Coxeter. Édité par J.L. Locher.Paris : Éditions du Chêne, 1972.
Field, J.V. 2003. «Musical cosmology: Kepler and his readers». Dans Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. London: Oxford University Press, p. 29-44.
Francis, George K. and Jeffrey R. Weeks. «Conway’s ZIP Proof». American Mathematical Society, 106 (1999), 393-399.
Gamelin, Theodore W.. Complex Analysis. New York: Springer-Verlag New York, 2001.
Gamer, Carlton et Robin Wilson. 2003. «Microtones and projective planes». Dans Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. London: Oxford University Press, p. 149-161,
Grimaldi, Ralph P.. Discrete and combinatorial mathematics; an applied introduction, 5th Ed. Boston: Pearson Addison Wesley, 2004.
Guillen, Michael. Invitation aux Mathématiques : Des Ponts Vers l’Infini. Traduit de l’anglais par Gilles Minot.Paris : Éditions Albin Michel, 1995.
Hart, Vi. 2012. « Mathematics and Music Boxes». Dans Mathematics and Modern Arts édité par Claude Bruter. Berlin : Springer-Verlag, p. 79-84.
Hodges, W. 2003. « The Geometry of Music ». Dans Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. London: Oxford University Press, p. 91-111.
Hofstadter, Douglas. 1985. Gödel Escher Bach: Les Brins d’une Guirlande Éternelle. Paris: Interéditions.
Hofstadter, Douglas. 1981. «On Self-Referential Sentences». Dans Metamagical Themas: Questing fort the Essence of Mind and Pattern. New York: Basic Books, 1985, p. 5-24.
Hofstadter, Douglas.1981. «Self-Referential Sentences; A Follow-Up». Dans Metamagical Themas: Questing fort the Essence of Mind and Pattern. New York: Basic Books, 1985, p. 25-48.
Holzaepfel, John. 2002. «Painting by Numbers; The Intersections of Morton Feldman and David Tudor». Dans The New York Schools of Music and Visual Arts, édité par Steven Johnson, New York : Routledge, p. 159-172.
Johnson, Robert Sherlaw. 2003. «Composing with Fractals». Dans Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals. Édité par John Fauvel, Raymond Flood et Robin Wilson. Oxford: Oxford University Press, p. 163-172.
Johnson, Steven, ed. 2002. The New York Schools of Music and Visual Arts. New York: Routledge.
Johnson, Steven. 2002. «Jasper Johns and Morton Feldman: What Ptterns?». Dans The New York Schools of Music and Visual Arts, édité par Steven Johnson, New York : Routledge, p. 217-248.
Johnson, Tom. 2011. « Tiling in my music». Dans Perspectives of New Music, Vol. 49, n˚2, p. 9-22.
Johnson, Tom. 2003. « Some Observations on Tiling Problems ». Lecture MaMuX Meeting, IRCAM, January 25, 2003. (trouver liens)
Johnson, Tom. 2006. «Self-Similar Structures in my Music: an Inventory ». Lecture at MaMux seminar IRCAM, Paris, Oct. 14, 2006. En ligne: http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/saisons/saison06-2006-2007/johnson-2006-10-14.pdf
Kandinsky, Wassily. Point-Ligne-Plan: contribution à l’analyse des éléments picturaux. Paris : Denoël/Gonthier,1970.
Klee, Paul. Théorie de l’Art Moderne. Édition et traduction par Pierre-Henri Gonthier. Genève : Éditions Gonthier, 1985.
Koch, Helge von. 1906. « Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certaines questions de la théorie des courbes planes ». En Ligne : Acta Mathematica. Vol. 30, No. 1, p. 145-175. Consulté via Metapress Springer le 24/01/12. DOI 10.1007/BF02418570
Lang, Serge. Undergraduate algebra. 3th Ed.New York: Springer, 2005.
Lauwerier, Hans. 1991. Fractals: Endlessy Repeated Geometrical Figures. Princeton: Princeton University Press.
Lemoir-Gordon, Nigel, Will Rood and Ralph Edney. Introducing Fractal Geometry. Edited by Richard Appignanesi. Cambridge: Icon Books Ltd., 2000.
Levin, Thomas Y. 2004. «Des sons venus de nulle part : Rudolph Pfenninger et l’archéologie du son synthétique». Dans Sons et Lumières. Catalogue d’exposition du Centre Pompidou dirigé par Sophie Duplaix et Marcella Lista. Paris : Éditions du Centre Pompidou, p. 51-60.
Lévy, Fabien. 2011. « Three Uses of Vuza Canons». Dans Perspectives of New Music, Vol. 49, n˚2, p. 23-32.
Lista, Marcella. 2004. «Empreintes sonores et métaphores tactiles : Optophonétique, film et vidéo». Dans Sons et Lumières. Catalogue d’exposition du Centre Pompidou dirigé par Sophie Duplaix et Marcella Lista. Paris : Éditions du Centre Pompidou, p. 63-76.
Locher, J.L. Éditeur.1972 (1971). Le Monde de M.C. Escher: L’Oeuvre de M.C. Escher Commenté par J.L. Locher, C.H.A. Broos, M.C. Escher. G.W. Locher, H.S.M. Coxeter. Traduit de l’hollandais par Jeanne A. Renault. Paris: Éditions du Chêne.
Loi, Maurice éditeur. Mathématiques et Art. Paris : Éditions Hermann, 1995.
Ma, Jun and Judy Holdener. 2005. « When Thue-Morse Meets Koch ». Fractals: Complex Geometry, Patterns, and Scaling in Nature and Society, vol. 13. n°3, p. 191-206.
Malderieux, Stéphane. 2007. «Préface». Dans Le pragmatisme : un nouveau nom pour n’anciennes manières de penser de William James. Paris : Éditions Flammarion, p. 7-69.
Mandelbrot, Benoît. Les Objets Fractals : Formes Hasard et Dimension, 4th Ed. Paris : Flammarion, 1995.
Mathews, Max. 1963. The Digital Computer as a Musical Instrument. Science, New Series, Vol. 142, No. 3592 (Novembre), p. 553-557.
Mathieu, Marc-Antoine. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : L’origine. Paris : Éditions Delcourt, 1991.
Mathieu, Marc-Antoine. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : La qu…. Paris : Éditions Delcourt, 1991..
Mathieu, Marc-Antoine. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus. Paris : Éditions Delcourt, 1993.
Mathieu, Marc-Antoine. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le début de la fin. Paris : Éditions Delcourt, 1995.
Mathieu, Marc-Antoine. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : La 2,333e dimension. Paris : Éditions Delcourt, 2004.
Mathieu, Marc-Antoine. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le décalage Paris : Éditions Delcourt, 2013.
Mattis, Olivia. 2002. «The Physical and the Abstract; Varèse and the New York School». Dans The New York Schools of Music and Visual Arts, édité par Steven Johnson, New York : Routledge, p. 57-74.
McClain, Ernest G.. 1976. The Myth of Invariance : The Origin of the Gods, Mathematics and Music From the Ṛg Veda to Plato.York Beach: Nicolas-Hays, Inc.
McHale, Brian. Postmodernist Fiction. New York: Methuen,1987.
Mendelson, Elliott. 1997. Introduction to Mathematical Logic. 4th ed. Chapman & Hall.
Nagel, Ernest, James R. Newman, Kurt Gödel, Jean-Yves Girard. Le théorème de Gödel. Traduis de l’anglais et de l’allemand par Jean-Baptiste Scherrer. Paris: Éditions du Seuil, 1989.
Nicholls, David. 2002. «Getting Rid of the Glue; The Music of the New York School». Dans The New York Schools of Music and Visual Arts, édité par Steven Johnson, New York : Routledge, p. 17-56.
Ouellet, Gilles. 2002. Algèbre linéaire : Vecteurs et géométrie. Québec : La Griffe d’aigle.
Palacio-Quintin, Cléo. 2014. « Ces lieux où ingénieurs et musiciens convergent». Dans Circuit : La recherche musicale : Aux croisements de l’art et de la science. Vol. 24, n˚2. Montréal : Les Presses de l’Université de Montréal, p. 9-29.
Pareyon, Gabriel. 2011. On Musical Self-Similarity: Intersemiosis as Synechdoche and Analogy. Imatra: The International Semiotics Institute.
Peck, Robert. 2010. « Imaginary Transformations ». Journal of Mathematics and Music: Mathematical and Computational Approaches to Music Theory, Analysis, Composition and Performance, Vol. 4, No. 3, p.157-171.
Pickover, Clifford. The Möbius Strip : Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Litterature, Art, Technology, and Cosmology. New York: Thunder’s Mouth, 2006.
Queneau, Anne-Isabelle. 2002. Album Raymond Queneaud, Coll. Bibliothèque de la Pleiade, Paris : Editions Gallimard.
Quenau, Raymond. 1965. Bâtons, chiffres et lettres. Paris: Gallimard.
Rothstein, Edward. 1995. Emblems of Mind: The Inner Life of Music and Mathematics. Chicago: University Press of Chicago.
Rousseau, Pascal. 2004. «Concordances : Synesthésie et conscience cosmique dans la Color Music ». Dans Sons et Lumières. Catalogue d’exposition du Centre Pompidou dirigé par Sophie Duplaix et Marcella Lista. Paris : Éditions du Centre Pompidou, p. 29-38.
Sagiv, Noam. 2005. «Synesthesia in Perspective». Dans Synesthesia : Perspectives from Cognitive Neuroscience, édité par Lynn C. Robertson et Noam Sagiv. Oxford : Oxford University Press.
Sauer, Theresa, Ed. 2009. Notations 21. New York: Mark Batty Publichers.
Schattschneider, Doris. 1992 ( 1990). Visions de la Symétrie: Les Cahiers, les Dessins Périodiques et les Oeuvres Corrélatives de M.C. Escher. Traduit de l’américain par Marie Bouazzi. Paris : Éditions du Seuil.
Schoenberg, Arnold. 1984 (1975). Style and Idea. Berkeley: University of California Press.
Shallit, Jeffrey. 2005. «The Mathematics of Per Nørgård’s Rhythmic Infinity System». Fibonnaci Quaterly, Vol. 43, p.262-268.
Slonimsky, Nicolas. 1971. «Moebius Strip Tease». Dans Source, Vol. 5, nu. 1, p. 64-66.
Slonimsky, Nicolas. 2005 (1983). «Géométrie Sonore: Edgar Varèse». Dans Nicolas Slonimsky : Writings on Music : Volume Three Music of the Modern Era, Electra Slonimsky Yourke Ed., New York: Routledge, p. 204-216.
Slonimsky, Nicolas. 2005 (1962). «Colon Nancarrow: Complicated Problem –Drastic Solution». ». Dans Nicolas Slonimsky : Writings on Music : Volume Three Music of the Modern Era, Electra Slonimsky Yourke Ed., New York: Routledge, p. 204-216.
Smit, B. de and H.W. Lenstra Jr. 2003. « Artful Mathematics: The Heritage of M.C. Escher». Notices of the American Mathematical Society, Volume 50, nu 4, p. 446-451.
Souriau, Étienne. 1969. La correspondence des arts. Paris: Flammarion.
Stein, Sherman K., Sándor Szambó. Algebra and Tiling: Homeomorphisms in the Service of Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1994.
Stewart, Ian and Arthur C. Clarke Éditeurs. The Colours of Infinity: The Beauty and Power of Fractals. Angleterre: Clear Books, 2004.
Stillwell, John. Geometry of Surfaces. New York: Springer-Verlag, 1992.
Stillwell, John. Four Pillars of Geometry. New York: Springer-Verlag, 2010.
Stillwell, John. Mathematics and its History. New York: Springer, 2010.
Tremblay, R. 2003. «Sankyo 20-Note Moebius Strip Plays Inverse Music». En ligne: Mechanical Music Digest, http://www.mmdigest.com/Archives/KWIC/S/sankyo.html
Verdier, Norbert. 2010 (2005). «Pierre Boulez : celui qui a institutionnalisé la musique». Dans Tangente Hors-Série n˚11, Maths et Musique : Des destinées parallèles. Paris : Éditions Poles, p. 70-73.
Verdier, Norbert. 2010 (2005). «Des matrices pour influencer le hasard». Dans Tangente Hors-Série n˚11, Maths et Musique : Des destinées parallèles. Paris : Éditions Poles, p. 74-75.
Verdier, Norbert. 2010 (2005). «Iannis Xenakis». Dans Tangente Hors-Série n˚11, Maths et Musique : Des destinées parallèles. Paris : Éditions Poles, p. 74-81.
Vidal-Rosset, Joseph. Qu’est-ce qu’un paradoxe?. Paris: Librairie Philosophique J.Vrin, 2004.
Von Maur, Karin. 2004. «Bach et l’art de la fugue: modèle structurel musical pour la creation d’un language pictural abstrait». Dans Sons et Lumières. Catalogue d’exposition du Centre Pompidou dirigé par Sophie Duplaix et Marcella Lista. Paris : Éditions du Centre Pompidou, p. 17-27.
Vriezen, Samuel. 2010. « Cows, Chords & Combinations ». Livret pour le disque Tom Johnson: Cows, Chords & Combinations par l’Ensemble Klang. Paris : Édtions 75.
Vuza, Dan Tudor. 1991. « Supplemtary Sets and Regular Complementary Unending Canons (Part One) ». Perspectives of New Music, Vol. 29, No. 2, p. 22-49.
Vuza, Dan Tudor. 1992. « Supplemtary Sets and Regular Complementary Unending Canons (Part Two) ». Perspectives of New Music, Vol. 30, No. 1, p. 184-207
Vuza, Dan Tudor. 1992. « Supplemtary Sets and Regular Complementary Unending Canons (Part Three) ». Perspectives of New Music, Vol. 30, No. 2, p. 102-124.
Vuza, Dan Tudor. 1993. « Supplemtary Sets and Regular Complementary Unending Canons (Part One) ». Perspectives of New Music, Vol. 31, No. 1, p. 270-305.
Vuza, Dan Tudor. 2012. «Vuza Canons At Their 20th Birday –A not Happy Anniversary». ?
Wallace, David Foster. Everything and More: A Compact History of Infinity. New York: Atlas Books, 2010.
Site internet:
narrativesculptures 