Automated Process as art: Authorship from Mathematics to Visual Arts (Part 2)

In between these poles of mathematic as subject, as structure and as narrative construction stands the automated processes. In the last 60 years or so, computers have galvanised and specialised the precision of the relations between the abstract mathematical procedures and visual content. Indeed, it has been possible by means of automated processes, especially in the construction of geometrical operations. The rest of the article focus on structures defined on abstract art instead of figurative or narratives as in the case of Last year in Marienbad. As a result, we are interested in authorship in arts and sciences from a double perspective: as creator of an aesthetic geometrical result and as inventor of an abstract structure. A clear and simple example of such a problematic objects can be found in the Ulam spiral. Bored during a meeting Stanislaw Ulam started to organise numbers in a spiral and in this structures some patterns seem to appear for prime numbers. This simple object of number disposition leads to beautiful imagery when focusing on the prime numbers disposition and to some new mathematical results about these prime numbers.

The signature over the aesthetic constituents being often available, we need to address the question to find the source of the structure and its authorship.

In order to comprehend this relation tied between a creator and an automated process, we need to distinguish between the different tributary relations linking an artistic visual object and an abstract automated process. It is important to underline the implied relation might appears in both directions; an artistic object can be obtain by applying an automated process, and oppositely, an automated process can be discovered by trying to solve an artistic problem. Both sides of this equation share the common ground of creation and the results, no matter what is the original paradigm, lay on shared space of double probability: the result stands in the midway between pure technicality and art. The next step of application of the automated process is fundamentally unpredictable. For this reason, the automated process is in equal rights as much an invention as an artistic creation. Of course, once a seed bloomed, layers and layers of artistic objects, related automated process, solutions to various problems and, finally, new problems might add to the complexity of the object. We study some examples in the following paragraphs.

                A practice of tiling the planarity of a wall or a floor is maybe as old as architecture itself. There exist infinitely many ways to tile the plane, but these can be grouped in finite sets when restrictions are added or when classifications are needed. If we restrict the tiling to congruent tiles, then a classification is made possible by considering reflections, rotations, translations and glide reflections of the original tile. The artist Maurelius C. Escher studied these different patterns of tiling and tried to find all possible patterns. Escher found an article by Polya and Haag on crystallography giving the complete classifications of such tilings and Escher based his next experimentations on these observations. Even if Escher have found by himself almost all the patterns, it still give a good example of an abstract mathematical problem including automatic process related to an art object. In this case, the automated process constitutes of applying infinitely many translations, rotations, reflexions or glide-reflexions, to cover a space harmonically.(Figure 4) (Schattschneider, p.23-30)

Wallpaper group

Figure 4: Polya’s representation of the wallpaper groups. Source: Visions of Symmetry, p. 23

The story does not end here. Of course, different types of tessellations not involving congruent tiles have been explored as a legacy to Escher’s work and covering problem, like the Penrose aperiodic tiling and fractal tilings. The problem even evolved to include other surfaces; mathematicians and artists have explored the tiling of the sphere and this led even to tessellations on other surfaces as the hyperbolic plane or the projective plane[1]. (Figure 5) Therefore, the creation of the tiling problem is double, it includes the eventual creation of a mathematical knowledge as much as of series of artistic creations. Moreover, it creates the space of discussion in which both disciplines challenge each other.

Jos Leys

Figure 5: Jos Leys Hyperbolic 1

A similar story is hidden behind conformal mappings. Conformal mappings are functions that project images between surfaces, possibly from itself to itself, by preserving angles of intersection between lines. Conformal mappings arises as a main interest in the study of projections and the complex plane where they naturally arise as differentiable functions. A commonly used conformal mapping from the sphere to the plane is called the stereographic projection. To obtain this projection, we can imagine we set a sphere on a plane, and from the North Pole, i.e. the more distant point from the sphere, we traces rays crossing the sphere at a point and reaching the plane at second point. The stereographic projection is obtained when mapping the whole sphere to the plane in that respect.

In the last decades, photographers like Alexandre Duret-Lutz have used projection in order obtain pleasant photographs offering different spatial perspectives. The application of the stereographic projection lead to very peculiar pictures dubbed wee planets. In these photographs, objects are grotesquely deformed while keeping an overall readability due to the conformity of the projection. Ususally, the horizon surrounding the camera morphs into the circumference a small planet on the picture, resulting in pleasant cartoonesques scenes.  (Figure 6) Modern photography contains more peculiar pictures calling for stronger mathematical notions. (Lambert, 2012)

Alexandre Duret-Lutz

Figure 6: wee planet Alexandre Duret-Lutz

The study of functions in the complex plane led August Ferninand Möbius to the definition of Möbius transforms, a group of conformal mappings constructed from translations, rotations, dilations and inversions (which inverts the inside and outside of a circle before rotating it). These functions are conformal and they can all be link to the stereographic projection through some motions of the sphere. (Arnold and Rogness) For instance, to obtain the inversion, it is equivalent to rotate the sphere upside down before applying the stereographic projection. The use of Möbius transformations is also recognisable in the photographs of Duret-Lutz, especially when the sky stands as a disk in the middle of the picture as a result of the inversion. Interestingly, artists are now applying similar techniques to video, Ryubin Tokuzawa[1]. (http://www.ryubin.com/panolab/panoflash/#)

               Other conformal mappings have been explores by photographs like Seb Pzbr or Josh Sommers. The utilisation by Sommers and Pzbr of a special composition of conformal mappings comes, though, from outside the mathematical discipline. In 1956, Escher worked on the highly complex Printing Gallery. The conformal mapping he tried to develop was so elaborate he could never finish his work, leaving a blank space in the middle. Half a century later, Lenstra and his team finally modeled the transformation Escher had in mind and, with the help of computers, they filled the blank spot. (Smit and Lenstra) The transformation, usually named the Droste effect -after on old advertisement using a self-referential figure- is now used by photographers to propose a wide range of new imageries, from self-portrait to the representation of abstract architecture. (Figure7)[1]

Droste Effect

Figure 7 : Droste effect on architectural desing

The story of such photographs lies on multiple layers on each of which part of the authorship is diluted. It comes from a rich balance of complex numbers, functions, projections, Escher’s vision and programmers that integrated this process in code to obtain the results on photographs. This automated process and results from a 300 years old long dialogue where the authorship was constructed.

It is of prime importance to underline the presence in these pieces of art of the automated process: without the programs applying the conformal deformations, some photographs and videos, could never have existed. The creations, unreachable solely by humans, exist at the very limit of the creator’s capacity. It is the result of a tremendous collaboration where the sum worth more than the parts.

 

 

[1] For a clear introduction to the topic the reader is invited to consult John Stillwell’s work: Geometry of Surfaces, Springer, 1992.

[1] http://www.ryubin.com/panolab/panoflash/#)

[1] Source : http://flickrhivemind.net/blackmagic.cgi?id=3614016516&url=http%3A%2F%2Fflickrhivemind.net%2FTags%2Fescher%252Cimpossible%2FInteresting%3Fsearch_type%3DTags%3Btextinput%3Descher%252Cimpossible%3Bphoto_type%3D250%3Bmethod%3DGET%3Bnoform%3Dt%3Bsort%3DInterestingness%23pic3614016516&user=&flickrurl=http://www.flickr.com/photos/16772070@N00/3614016516

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Automated Process as art: Authorship from Mathematics to Visual Arts (Part 1)

There is a process involved behind every artistic and scientific productions. These processes can evolve, change directions and motivations, but at some point when the exact procedure is defined, automated processes can be constructed. The automated procedure is then available for others to be experimented and modified in order to find new applications and results. As this extra step is taken, an extended distance appears between the original creator of the process and the final result. Although, as pointed out by Einstein, when great specialisation is involved, the scientific and the artist merge into one identity (Calaprice 245) We show in this article that this double position between art and science is particularly present when creating automated processes. When creating abstract trends of patterns and procedures, the full extent of its applications rarely stands at reachable glance. On the other hand, the creation of subdivisions as copyright and patents leads the path for creators to think about the exact applications for their creations prior to their concretisation. This paper will explore the problematic involved in such a subdivision, especially in the paradigm of modern automated technologies. Various examples involving conceptual mathematic models, automated processes and visual art will be discussed in order to clarify the problematic.

                As a first step, we compare different movies implying some mathematical concepts: Zorns Lemma (1970) by Hollis Frampton, Last Year in Marienbad (1961) by Alain Resnais and Pi (1998) by Darren Aronofski. These movies use different strategies to include mathematical concepts. The movie Pi is emblematic of the use of mathematics as a topic within its diegetic world. In this case, some concepts can be explained to the audience; the mathematical concepts are use in quotations since they don’t interfere with the structure of the movie itself. To a certain extent, these concepts could be changed for others and the structure would remain intact. As an example, the relation between the stock market and the value π could be exchange for the golden ratio to obtain a similar movie. It would remain an excellent movie with outstanding visuals aesthetic, only part of the semantic would be altered since the myth around pi differs largely from the myth around the golden ratio. These perceivable modifications would be linked to these specific numbers’ reputation outside the movie. For instance, the golden ration often being related to beauty, its use would charge scenes with a different emotional impact than the profoundly anxious and neurotic feeling that underline the whole movie. The value π does not work as a framing structure, it adds a mythological symbolism to its content and mark the film with a peculiar color coherent with the movie’s topic.

The film Zorns Lemma proposes a different appropriation of mathematical concept as a main constituent of art’s paradigm. The Zorn lemma is an important result in the foundations of modern logic and axiomatic set theory. It states that for a strictly partially ordered set, if every ordered subset has an upper bound in the original set, then the latest has a maximal element. The lemma has been proved independently by Kuratowski and by Bochner in 1922, but its popular appellation sticks to Zorn who proved it in 1935. (Munkres, p. 70)

Zorn's Kemma 1

Figure 1: Images from Zorns Lemma. Source: http://www.cia.edu/cinematheque/film-schedule/2013/02/zorns-lemma

The movie does not make apparent use of the lemma itself, although Frampton explicitly works its visual content from a set theoretical approach: groups of letters are combined as different sets to form words. As an example, in the second section groups of words appear ‘’organized alphabetically into sets of twenty-four and conforming to the Roman alphabet by combining i and j with u and v.’’ (Jenkins, p. 21) In this case, the abstract frame is calked from of a given field; set theory. Secondly, the object has a similar background question; how to organise elements of a set? In this case, the question is organise letters from the alphabet. The Zorn lemma appears as more than a mere abstract reference and its substitution for another theorem would note guarantee its correspondence with the movie structure. A title linked to the Pythagoras theorem, Fermat’s theorem or Gödel’s theorem would not be suitable references for Frampton’s work since we could not see a correspondence between the movie’s structure and the results of these theorems.

Jeu de Marienbad

Figure 2: Last Year In Marienbad (Alain Resnais, 1961)

A slightly different approach is explored in Alain Resnais’s Last Year in Marienbad. In this film, the main character, interpreted by Giorgio Albertazzi, often plays the game of Nim -sometimes called the game of Marienbad after the movie[1]– and asserts that by starting first this would ensure him victory. On the mathematical side, the game was proved to be solvable, meaning that there is an algorithm leading inevitably to victory. (Bouton, 1902) The victorious pattern is presented multiple times during the movie and its logic is scaled to the overall frame of interplay with memory between to two main characters. The solvability of the game is implied in the movie as the dry output of destiny: the inevitable reconstitution of the forbidden, and maybe false, memory. The hunt for this blurred memory is ended before it started as the game of Nim is won before every game. As a result, the equivalence relation between the mathematics of the game and the movie’s structure is constructed by narrative means.

L'Année dernière à Marienbad

Figure 3: Time Structure of Last Year in Marienbad by Resnais

[1] It was also called Fan-Tan at the beginning of the 20th century (Bouton, 1902)

Narrative sculptures: graph theory, topology and new perspectives in narratology

“If there is one thing in mathematics that fascinates me more than anything else (and doubtless always has), it is neither “number” nor “size”, but always form. And among the thousand-and-one faces whereby form chooses to reveal itself to us, the one that fascinates me more than any other and continues to fascinate me, is the structure hidden in mathematical things.”

A. Grothendieck. Récoltes et Semailles

There have been many attempts to model narratives from a structural point of view. From these numerous models we want to preserve a macroscopic vision that allows a quick and simultaneous understanding of various important elements of the story, which we call, following Labov’s and Wilensky’s definitions, narrative points (1). Models mapping the general structure of the story can be found, for instance, in the work of Marie Laure Ryan where both diegetic and possible events are represented and where narrative points are related by vectors. In order to preserve this telescopic view and superpose its logic with McCloud’s notion of infinite canvas (2), which will be defined in the body of this text, an option is to start with the notion of a parametric curve. Before doing so, an overview of the pragmatic motivation that led to this research is needed.

The motivation behind this exploration is taken from an interest in mathematics and an increasing amount of narratives using complex time structures and story representations. Movies like Primer (2005) by Shane Carruth lead to the construction of various charts in attempts to understand the hidden time structure (3). Source Code (Jones, 2011) and Looper (Johnson, 2012) are other examples that created the need for such macroscopic representation and many other films, like Cronocrimenes, Triangle (Smith, 2009) and the Terminator suite are cases that could have led to similar practices. In the case of the movie Looper, a three dimensional version of the chart has been produced, bringing to light wider possibilities (Figure 1).

NS Figure 1

Figure 1: Movie chart for the movie Looper by Rich Slusher.

Comic artists have explored this path in some isolated cases, either in the use of bigger expositional space (4), or as the juxtaposition of various three dimensional objects, like the booklets in Chris Ware’s Building Stories (2012). This work constitutes a box containing many booklets that can be read in different order. This creates multiple combinations for the reader exploring the diegetic world. Another interesting example, comparable to a mutoscope or other early cinematic devices, is the three dimensional cyclical structure of Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le décalage by Marc-Antoine Mathieu. In this case, when leaving the story at the end of the comic, they actually enter the story again to loop the cycle.

The model presented in this paper is a first exploration in the variety of different surfaces that might be used in further narrative experimentations as well an attempt to establish the basis of a formal narrative tool for academics and artists. Therefore, the author wishes to open discussions in defining narratives and hopes to inspire artists in exploring the challenges offer by this model.

One of the key elements of our model is the use of curves with the continuous stretch of time maintained across them. Even if it seems natural nowadays to represent time with a line, its extensive use in various models results from many different traditions. In our model, these influences are mainly the following: history charts, the construction of the real number line based on Dedekind and Cantor’s work, and the use of parametric curves with time as the general parameter. We will discuss these three influences briefly.

For most of the Middle Ages, time was mainly represented on timetables. Around the beginning of the 19th century, time flux started to be embedded within natural metaphors like lightning and rivers (5). These two examples are important since they allow the time frame to branch out simultaneously. Various time lines could be traced out of single elements. In mathematical terms, these structures are equivalent to oriented graphs, and more precisely to oriented trees, since cycles do not exist in these structures.

For its part, the concept of continuity led to multiple complications and was not well defined until the topology of the real line was properly described. We owe much to the work of Weirstrass, Dedekind and Cantor for this definition and understanding. This dense continuous line of values serves as well in defining parametric curves, curves based on a continuous parameter, usually the time. These curves can be used to represent various types of motion, for instance, the movement of particles in space.

The first trick to make use of mathematical models to represent time frames is to base diegetic time on parametric curves. As a building strategy, this enables various constructions of diegetic time structures. First of all, it allows the concatenation of many line segments as it happens in the time charts discussed above, therefore constructing structures like tree graphs. A simple example of a narrative based on that idea is Griffith’s movie Intolerance, in which different independent stories flow separately (6). Examples can also be found in the work of artists like Chris Ware or Jason Shiga, or in the hypercomics based on McCloud’s infinite canvas such as Daniel Merlin Goodrey’s work (7).

The concatenation of various time segments allows the construction of multi-cyclic time structures as well. This kind of structure is not in itself a novelty; in some mythologies, cyclic time is accepted as the general topology of time frames, and some even make use of many intricate cyclic times as in the Tzolkin and Vedic time constructions. In extending parametric curves into graph theoretical frameworks, we can obtain infinity of cyclic graphs where cycles may be intersecting or independent. This application naturally allows a wide variety of already proven theorems to apply to narratology. For instance, observing the underlying structure of a graph might allow us to determine the number of possible cycles, each of them being a possible reading path.

Because cycles are naturally embedded on a flat surface, some considerations about the implied spaces become important. The Jordan curve theorem states that any simple closed curve separates space in exactly two sections, the interior and exterior of the closed curve, or equivalently, of a cycle. As a result, constructing a cyclical story leads to the creation of these inside and outside spaces that might be used later for a semantic purpose.

In Reinventing Comics, Scott McCloud coined the term infinite canvas to represent the possibility of extending comics infinitely in all directions of a plane. His website specifies that it provides the perfect conditions for a type of comic he names hypercomics. Looking back at mathematical definitions of planes and surfaces, it seems clear that various types of infinities are involved in the notion of an extended version of the infinite canvas.

First, in terms of the continuum defined by Cantor, a plane is dense since it follows from the product of two continuous axes. This implies that infinite zooms are possible at any point on a plane, and as such, on any compact surface (8). To understand this implication, we have to look at a category of curves called space-filling curves, or Peano curves after Giuseppe Peano who first proposed such an example. Space-filling curves are iterated curves that, at their limits, fill a whole part of the plane. (Figure 2) Indeed, many other examples have been provided by other mathematicians in order to provide extra characteristics, as for instance Moore’s curve that is a closed space-filling curve. The density of the plane implies that the breakdown of iterated narrative into infinitely smaller scales is possible. This density leads to possible infinite zoom, fractal-like, construction as found in Marc-Antoine Mathieu’s first and third tomes of his Julius Corentin Acquefaques serie.

Figure 2: A Space-filling curve

The second way in which the canvas is infinite arises first when we allow the plane to be infinite in all directions. In mathematical term, it means the surface is not compact because it would be impossible to cover a plane with a finite amount of bounded sets. From a representative point of view it means it could never be entirely seen, in particular, not in a finite amount of images. In this case, this is why McCloud claims that the infinite canvas naturally supports digital comics. Although true, we suggest the infinite canvas presents even more value with the infinite amount of shapes we can allow the canvas to have.

Also, the canvas does not have to be contained simply in the plane. For instance, as suggested visually in McCloud (9) and in the diegetic world of French author Marc-Antoine Mathieu (10), comics could be presented on spheres (11). The use of different properties of the sphere can lead to a variety of narratological compositions in link with the intrinsic properties of the sphere: the presence of loxodromes, the covering groups different from the wallpaper groups and so on.

In addition, as proposed by many artists, from Alan Moore in Promethea to Jim Woodring in a side project (12), passing by members of the OuBaPo collective, the use of a Möbius strip as the canvas leads to interesting constructions. These can be used as objects existing within the diegetic world as in Moore, or directly as a support inducing a specific topology within the diegesis as in Woodring’s case.

Indeed, any sculptural surface may offer interesting options for narrations and a complete survey of such an approach should be done. In our case, we would like to focus on surfaces that have been studied from a mathematical point of view. The reason is that many theorems shed light on hidden properties that enable us to imagine interesting narratives and limiting ourselves to a sculptural point of view would have prevent us from finding and using these properties. The variety of surfaces is infinite and a list of inspiring surfaces can be found in the fields of differential geometry, differential topology, and knot theory. For instance, as a result of their definition, minimal surfaces seem pleasing to embed stories. It involves the possibility of working on some surfaces of infinite area spreading in different axes, as with Sherk’s surface and Costa’s surface (Figure 3), or even with self-intersecting sections, as in the case of Henneberg’s surface.

NS Figure 3

Figure 3: Costa’s surface. Source: Mathworld.com

Compact surfaces also lead to interesting possibilities. In topology, the study of surfaces is bound to the analysis of characteristics which are preserved when surfaces are torn and stretched. Such invariants are coined topological invariants. An example is the number of holes present in the surface. For instance, the sphere contains no holes, but the torus has one; therefore the two surfaces are fundamentally different. On the other hand, the sphere and the cube are classified as the same surface since they both have no holes. This argument leads to a classification for compact surfaces depending on the number of holes involved. As it turns out, all compact orientable surfaces are torus of genus n, meaning a torus with n holes, for n a positive integer These will become useful in the next section.

Orientability is another characteristic that helps refining surface classification. Orientable roughly means they possess an inside and an outside and it is impossible to move smoothly from the inside to the outside. For instance, it is impossible to move on the sphere and end up being inside the sphere without piercing a hole. The Möbius trip is a simple example of non-orientable surface since by smoothly moving along the surface it is possible to end up on the other side of the departure point. In constructing sculptures, non-orientable surfaces lead to some difficulties. For instance, the Klein bottle invented by German mathematician Felix Klein in 1882 cannot be embedded in our three-dimensional world without self-intersecting (Video); it is only possible in four or more dimensions. This makes the visualisation of these surfaces more difficult, but a general classification is still possible.

The class of infinite compact non-orientable surfaces are all equivalent to spheres with a certain number of Möbius strips glued to holes in them (the edge of the Möbius strip is equivalent to a circle, therefore when cutting a circular hole on the sphere it becomes possible to glue the strip’s edge along the edge of the hole). The more complex the non-orientable surface, the more dimensions one needs to avoid self-intersections. Even if it seems very hard to work on these surfaces as a possible infinite canvas, shortcuts exist. There is a way to represent any compact surface, orientable or not, with their fundamental polygons which can easily be represented on the plane. These polygons are simplified maps for these surfaces; to obtain a surface, it suffices to fold its edges by respecting so pair connections or edge directions. Indeed, the writing on non-orientable compact surfaces that aren’t embeddable in three dimensions might be done in a virtual environment, or directly on the equivalent fundamental polygon. The figure below shows the construction of the Klein bottle from its fundamental polygon. (Figure 5)

NS Figure 5

Figure 5: Klein botte’sfundamental polygon.

As a result, the infinite canvas is infinite as well in the number of dimensions a non-orientable surface holding a story could ‘’naturally’’ exist without self-intersecting. Indeed, the use of computers can be a handy tool in constructing such narratives.

The next question we need to address is the following: why would we want to work with parametric curves on this collection of surfaces? The answer comes from the field of topological graph theory. The Polish mathematician Kasimierz Kuratowski and the Russian mathematician Lev Pontryagin proved independently the necessary and sufficient conditions to be able to embed a graph on the plane without crossing edges. It states a graph is planar if and only if it does not contain the subgraphs K₃,₃ or K₅. (Figure 6)

NS Figure 6

Figure 6: The obstruction set for the plane

In constructing comics on parametric curves based on graphs containing one of these would inevitably leads to edges crossovers. Indeed, such overlapping can always be dealt with, as in the case of Chris Ware diagram comics, but the point here is to explore the possibilities provided by restricting ourselves to planar embeddings. To give a pragmatic application, we know the two aforementioned graphs can be drawn on the torus or the Möbius strip without having edge overlapping, it means they have planar embedding for the torus. It follows that it is possible to draw planar stories on such graphs if we use the torus as the canvas. (Figure 7)

NS Figure 7

Figure 7:Toroidal embedding of K₅

The study of topological graph theory led to the discovery that different surfaces don’t share the same obstruction groups, i.e. the set of graph making the planar embedding impossible, such as K₃,₃, and the K₅, in the case of the plane. We know for instance that the Möbius plane has 35 such graphs (Archdeacon, 1980), and the Torus has more than 16 000! On the other hand every finite graph can find a planar embedding in some compact orientable surfaces with at least n holes for a certain n values, and same holds for non-orientable surfaces and a certain number of Möbius strip glued to the sphere.

Another result is that the presence of cycles leads to different amount of bounded spaces. In other words, if the Jordan curve theorem holds for the sphere, it is not true in general. Already in the case of the torus, construction of longitudinal and transversal cycles leads to a single bounded space; it does not hold for torus with n holes neither.

The construction of narrative on these extended infinite canvases, such as non-orientable surfaces, minimal surfaces and so on, is what we call narrative sculptures because their structures are deeply linked to the surfaceskno hosting them. The main goal in constructing narrative sculptures is the research for new narratological challenges. An optimised use of this involves considerations of the following distinctive properties of narrative sculptures: the possible use of complex multi-cyclic time curve constructions, the use of different spaces the cycles are bounding and the possible semantical implications in our world, or in a digital equivalent to it.

We present two examples, expressing challenges brought by simple constructions. The K₅ graph has a planar embedding on the torus. . It can as well be constructed by the union of two cycles by taking a cycle being the outside pentagon and the second one being the star shape in the middle. We could construct a highly ‘’twisted’’ story as following. Through the double cycles, we could describe the interactions of two individuals at desynchronised moments of their life cycles. The complications and self-containing elements of the story could then be reinforced by presenting it on a trefoil knot, which is simply a torus but embedded differently in three dimensions. (Figure 8) Of course, many other options since the torus can find multiple embedding in four dimensions that could lead to interesting narrative sculptures (13).

NS Figure 8

Figure 8: Trefoil knot by Jos Leys. Source: josleys.com

The graph K₅ also possesses a planar embedding on the Klein bottle. It would then possible to construct a complex science-fiction comic. First the multiple desynchronised elements present on the two cycles would bring an intricate time structure. Then, different bounded area could hold their proper images and symbolism related to the story. Finally, the Klein bottle canvas leads to a hyper-fictional statement since the canvas itself could not be properly constructed in our world. The same holds for the infinite collection of surfaces that aren’t embeddable in three dimensions without self-intersecting. (14)

In conclusion, we have seen that by merging various paradigms and concepts from narrative theory, the infinite canvas and mathematical knowledge about surfaces and graphs, we can define highly complex narrative structures that we coined narrative sculptures. Such constructions not only leads to new narratological and artistic challenges, but it can bring new questioning about the way we first, understand stories, and secondly how we teach narratology. In the first case, experiments in cognition could help understanding the effect of dealing with highly complex but still visually clear narratives in our learning process. In the latter case, it evokes the possibility of including some mathematical notions in teaching narratology or even information design.

Félix Lambert

Notes

1- Ryan, p. 150-151

2- McCloud, 2000.

3-An example can be found at http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html

4-Gravett, p. 136-137

5-Rosenberg and Grafton, p.143-149.

6-Eisenstein, p. 397

7- http://e-merl.com/

8-It should simply be understood in this case of surfaces of finite area.

9-McCloud, 1993

10-Mathieu, 2004

11-McCloud also suggest writing on the cube in Reinventing Comics.

12-https://www.fantagraphics.com/rarities-and-miscellany-by-various-artists/moebius-strip-comic-by-jim-woodring-video-photo-animation.html

13-Séquin, 2012

Mediagraphy

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Fractal zooms and infinite spaces: the Unbearable Quest for the Sublime

Even if fractals are omnipresent in nature, we have had to wait until the last century to call attention to their existence in the mathematical literature and acknowledge their importance. Fractals have received international attention and have motivated myriad in-depth studies. They have reached wide recognition in popular culture and are now considered some of the most beautiful mathematical, and in a larger sense, visual wonders. In recent decades, a multitude of videos have appeared on the internet, categorized as Fractal Zooms. In this article, we are interested in understanding what relates these videos to the Sublime. An historical review of the subject provides the basics for comprehending their definitions and characteristics. Some very important basic fractals are presented first, such as the Von Koch curve, and their definitions allow us to apprehend a better view on more modern and complex curiosities such as the Julia sets and the Mandelbrot set. We then turn our attention towards Kandinsky’s theory of art and finally to neuropsychology in order to reach a better understanding of the multiple processes involved in looking at fractal zooms, and therefore, better capturing the cathartic experience of fractal zooms.

Historic; from a blurred definition to tangible examples

An absolute and precise definition of fractals has still yet to be found. The term “fractal” was first adopted by the French mathematician Benoît Mandelbrot in his book Les Objets Fractals: Formes, Hasard et Dimensions first published in 1975. Mandelbrot argued for the necessity of keeping the word partly undefined since any precise definition would inevitably exclude the several examples and the counter-examples that would fall outside of such a narrow definition; the definition would have to be constantly reviewed (159-160). Nevertheless, many characteristics seem to have found consensus as being part of what would be a potential definition. Self-similarity, invariance of scale and fractional dimension are such properties which definitions will be elaborated on in the body of this work. Examples will speak for themselves.

                The first fractal to be conscientiously defined was the Apollonius gasket around 200 BC. Apollonius of Perga, well known for his work on conics, in his study of tangent circles proposed a system of infinitely decreasing tangent circles (tangencies). The infinite number of circles of decreasing sizes permits this geometrical construction to be considered as a fractal. It was not until 1525 that Albrecht Dürer developed a similar construction in his Four Books on Measurement. His idea was to fill a pentagon with other smaller pentagons and so on infinitely many times. These examples laid in obscurity for a while and only in the 19th century, fractals started flourishing in the mathematical field, doomed to simply exist as counter examples for major theorems and conjectures. That will be the case for the functions constructed by Bernhard Riemann in 1961 and Karl Wierstrass in 1872 (Lemoir-Gordon, 14).

Derivabilityis defined as the existence of a tangent line at a point, characteristic believed to be implied by the continuity of a function. The Riemann and Weirstrass functions have been of great importance in showing that continuity does not imply derivability even if the converse holds. A function carrying this property would have to abruptly change direction at every point. To define his function, Riemann used an infinite sum of sinusoidal functions, but due to the high complexity of the constructed function, the first proof of absence of derivative was only given in 1916 by G.H. Hardy (Weirstrass, 3-9). For his part, Weirstrass built his infinitely broken function over an infinite sum of cosine functions and showed it was nowhere derivable (Weirstrass, 5-7). As a matter of fact, a similar function seems to have existed already in 1831, offered by Bolzano. The authors Matin Jašek (1922), Voytěch Jarník (1922) and Karel Rychlík refer to it in their articles. Unfortunately, this function fell into oblivion and only Weirstrass’ function made history.

Figure 1: Weirstrass function

Figure 1: Weirstrass function. Source: Wikipedia

Weirstrass argument for his function was mainly analytical, and unsatisfied by this non intuitive method, Helge von Koch took the challenge of constructing a continuous non derivable function geometrically. As seen previously, this statement is equivalent to finding a curve that allows no tangent; that is only made of peaks. In his 1904 and 1906 articles, the von Koch curve is explicitly defined as an iteration of triangle inclusion over a line segment. Recently, a beautiful proof of the absence of derivative has been given by Šime Ungar using convergence of suites (2007, 61-66). This fractal is now a well-known object and many experiments have been proposed to give similar curves: gluing von Koch curves together we can construct the von Koch snowflakes, and changing the triangle iteration for some other regular polygon iteration leads to some complications like self-intersection (Keleti and Paquette, 2010).

These broken curves forced the mathematicians to redefine the concept of continuity and infinity. Both curves, the Weirstrass function and the von Koch curve, have an infinite length for every segment. This polemic fact and few other counter intuitive ones were shocking the mathematical community at the time of their discovery, and some mathematicians simply refused to work on these curves. The famous French mathematician Henri Poincare went as far as referring to them as the Galerie des monstres. The concept of infinitely broken was still evolving and ready to bring new challenges.

Another fractal that made history is the Cantor set. This set had been defined as early as 1875 by Henry Smith from Oxford University, by Paul du Bois Reymond in 1880 and Vito Voltera in 1881. Georg Cantor defined the Cantor set as part of his great work on different types on infinities. He used it to reach a better understanding of continuity and density. The set is constructed as the recursive deletion of the middle third of a segment. The cantor dust, as named by Mandelbrot, is the limit of that set when iteration is repeated at infinity. This set has a topological dimension higher than 0 but less than 1 and possesses no length (Edgard, 2). As for the von Koch curve, is it easy to give an explicit formula for the iterative function defining it. Some generalisations of the set have been proposed as well by removing other fractions than the ones in the third or the middle segment. These experiments even led Roger Kraft to develop a measure to be able to compare different Cantor sets in size (Kraft, 1994).

Figure 2: Asymetric Cantor set

Figure 2: asymetric cantor set by Tsang. Source: Wikipedia

A fundamental characteristic of certain fractals is to possess a fractional dimension oppositely to the dot, the line and the plane that each possesses respectively 0, 1 and 2 dimensions. Starting from Caratheodory’s work, Felix Hausdorff elaborated a definition apt to describe the size of these figures freshly arrived at the mathematical pantheon. Though this notion is slightly too complex to dwell on in the context of this article, it suffices to understand that non integers are allowed as a dimension of geometrical objects. So a fractal can have a dimension of 0,6309 as the symmetric Cantor Set, or 1,2619 as the Koch Curve.

The examples we’ve seen so far represent this principle well. Starting with a line of dimension 1 for the Koch curve, we add an infinite amount of segments. The result is a geometrical object with a dimension between 1 and 2. Starting from the same line, we withdraw an infinite amount of segments and get the Cantor set of a dimension less than 1. We could do the same for a square and withdraw some smaller squares or from a cube and withdraw smaller cubes to get, respectively, the Sierpiński carpet (1915) and the Menger sponge. Although most fractals have non integer dimension, some have the strange property of ending up exactly at 1 or 2. For instance, starting with a line, we can break the line and intricate it in such a way that it fills, completely, a part of the plane. The first ones to offer such a curve were Giuseppe Peano (1890) and David Hilbert. Each of them wanting to bring little variations Moore (1900), Lebesgue and Osgood (1903) did the same. (Delahaye, 2004, p.90-95)

Figure 3: Peano Curve

Figure 3: Peano curve by Antonio Miguel de Campos. Source: Wikipedia

It is worth mentioning the existence of three dimensional fractals. In general, they share similar properties with some lower dimensional fractals. The Menger sponge, based on the Sierpiński carpet provides a good example. Again, fractals can have fractional dimension or fulfill an entire volume. Yet again, in the tradition of challenging conventions some have been found as counter-examples and followed by some new discoveries such as the Alexander horned sphere. Mathematicians’ passion in abstraction brings objects and theorems to n dimensional fractals, for n any real integer.

Figure 4: Sierpinsky gasket and Menger sponge

Figure 4: Sierpinski gasket by Paul Bourke Source: http://paulbourke.net/fractals/carpet/ and Menger sponge by Niabot Source: wikipedia

Fractal and the hauling semantic

We are now interested in the perceptive experiences related to fractals. The first one is indeed the understanding of its infinitely broken nature. This is in general a result of the iterated process hidden behind these objects. We saw the Koch curve was constructed as an addition on smaller and smaller triangles to obtain a completely broken line, but only within a certain range. The Von Koch curve possesses an infinite length but still lies inside a bounded area due to the process involved in its construction. Some other fractals can be obtained as an infinite Brownian broken trajectory, which is a randomly infinitely broken line. The old conception of line, or curve as previously conceived and understood since antiquity is therefore to be revised. Not only is a line not necessarily what it was intuitively before, but even, as we’ve seen, the complex and so well thought conception of continuity as patiently built by mathematicians over many centuries was to be shaken, even if, luckily enough, not to be redefined.

Indeed, fractals enable non mathematician as well to face peculiar experiences. As mentioned by Manlio Brusatin , the sublime is a broken and zigzagging line, a trouble of sensitive soul (Brusatin, 132) which evokes the first semantic impact of fractals. Fractals as lines are terribly broken geometric objects, therefore amplifying Brusatin’s conception to greater extends. This characteristic challenges Brusatin’s notion of sublime not merely as a result of an infinite higher complexity, but as well as its possible extension to an infinite number of dimensions. Nevertheless, the case in three dimensions is of note. From these fractal objects, there can still rise an overall simple structure, and bringing them into three dimensions, we realise our world might not be as simple as we commonly perceive it. This is where fractals find another root in their mysterious behaviour: namely, their relation with the real world.

In an article written by Richardson (Mandelbrot, 1995), we find the spark of such a discovery. In his article, the author intends to approximate the real, exact and absolutely precise length of Britain’s coast. Surprisingly enough, the answer given was simple. It is infinite, and so is any coast or coastal segment in the world. The logic is based on scaling, just as for the Koch curve. Let’s say we approximate the coast by a regular polygon of side n, we get a value L. Changing each segment for two smaller ones of length m < n, the segments mould themselves more accurately on the coast. In consideration of triangle inequality, we see that by additionally adding each new segment, we obtain the total length approximation for the new polygon, which is bigger than L, the first approximation. Iterating the process we get an infinite coast, a line of infinite length just as the Weirstrass function or the Koch curve.

Figure 5

Figure 5: Polygonal approximation by Alexander Polesnikov Source: http://cs.joensuu.fi/~koles/approximation/Ch3_1.html

In his 1975 book, the French mathematician Benoît Mandelbrot explains that this argument can be applied to any object in nature. The world is then everywhere infinitely broken. Constructing fractals is thus reconstructing nature, and so is their deconstruction. From this point of view, the Earth is in fact of infinite area, and fractals can therefore be used to model the land.

The work of Voss has been discussed in the same book by Mandelbrot. Voss generated pictures of artificial pieces of land from fractal based algorithms. The results were stunning. Resemblance with maps was not as shocking as the fact that any zoom on a coastal area would bring infinitely as remarkably convincing landscapes. The similarity between fractal produced images and some parts of our world as we see it are amazing, and a great deal still waits to be discovered.

Figure 6: Voss infinite map

Figure 6: Voss infinite landscape Source: Mandelbrot 1975

Fractals may find attributes and exemplifications in nature, but some even deeper connexions can be retraced. Just as π seems to have found its way in all parts of science and arts, fractals blooms naturally from different human made constructions.

In southern India, the Tamil people keep geometrical drawings made from rice powder. These drawings, or kolams, are bound to spiritual beliefs. Kolams vary in shape, size and pattenrs. One kolam brought forth a peculiar interest for Gabrielle Allouche, Jean-Paul Allouche and Jeffrey Shallit in 2006 (2115-2130). Studying the Kolam of figure 7, by a assignment of values 0 and 1 to the direction taken by the curve when one follows the curve, the researchers found a very well-known suit known under the name of Thue-Morse suit. The kolam can be constructed by taking the Thue-Morse digits as instructions. Strange fact, considering the suite was first invented for a completely unrelated purpose.

The Thue-Morse suit is remarkable for avoiding any repetition of any triplets using only the alphabet 0,1. The construction goes as follow: from any previous `word` (string of digits), we start by taking the whole word, and then concatenating its opposite on the next iteration. For example, starting with the word 0 the Thue-Morse suit gives the following construction: 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110, 01101001100101101001011001101001 etc. Having no repetition means that taking any section of any size in this infinite word, the following part of same size will differ by at least one digit (Delahaye, 90-95). The fact that such a suit appears in a kolam is surprising, but even more surprising is the fact, discovered by Jun Ma and Judy Holdenerin 2005 that the same suits can be used to construct the Koch curve. Starting with a line segment and putting the next one in an angle determined by the digit 0 or 1 of the Thue-Morse suit, they obtained the very same curve as Helge von Koch exactly a century before (Jun and Holdener, 191-206). The Thue-Morse suit is then a genetic code for both a kolam and the Koch curve: only the interpretation differs.

Indeed, this example is not the sole appearance of fractals in other geometric form: for instance the Sierpiński triangle has been found in the Pascal triangle (Fuchs and Tabachnikov) as well as a sea shell. For its part, the Cantor set has been found in Julia sets (Audin), which we are to study next.

Figure 7: Kolam, Koch curve and the Thue-Morse Sequence

Figure 7: Tamil Kolam from Allouche’s pape and Koch curve from Jun and Holdenberg’s paper and the Thue-Morse sequence

Towards the sublime

We have now understood, partially, the complex uprising of fractals in the mathematical literature. Our goal now shifts to understanding another object that exists as part of more popular culture; fractal zooms. These videos are available online and can be enjoyed by many. To understand the great complexity behind these videos we have to go back again, far in the past.

Complex numbers stood aside from mathematical studies for a long time. For instance, these numbers appear if we try to find the solution for the equation x²+1 = 0, this leads us to obtain √(-1). For a long time, this seemed impossible for most mathematicians. The number √(-1) has been called i for imaginary. Imaginary numbers are built with two components. The real component, being a real number, and the imaginary part which is a multiple of i. Complex numbers can therefore be written as a + bi where a and b are real numbers and i = √(-1).

In 1797, the idea of representing these numbers in a plane came to Norwegian cartographer Casper Wessel. The x axis and y axis would respectively be the real and imaginary components of the complex number (Lemoir-Gordon). This enable us to represent the complex numbers as couplets (a,b). This plane, the complex plane, was hiding many surprises.

At the end of the 19th century, several studies bloomed concerning the transformations of the complex plane. To understand these, let us see few basic examples. To add 1 to every number of the complex plane is the same as translating the whole plane one unit to the right because the x axis is the real value component of complex numbers. Adding i everywhere would be translating the plane one unit up.

Several other transformations can be constructed with multiplication. Multiplying complex numbers, as it have been defined by mathematicians, amount to the same as considering only the length and angle of a vector. Complex numbers being coordinates (a,b), we can picture them as vectors from the origin to the point (a,b) of the complex plane. This line, called a vector, possesses a length and an angle with respect to the x axis. Multiplying two complex numbers proved to be the same as multiplying their lengths and adding their angles in order to get the resulting complex number.

Figure 8: complex number multiplication

Figure 8: Complex numbers multiplication

We are now able to understand the following function: f(z)= z². With z as a complex number, we are simply taking every complex number of the plane, and multiplying it by itself. From the previous definition of multiplication, every number is mapped to a number that possesses the square of its length and the double of its original angle. We can now iterate the function. This means we take the whole new plane obtained and put the values again in our function, therefore taking every new complex number and multiplying it by itself. With enough time and motivation we can iterate that function infinitely many times.

At the beginning of the 20th century, some mathematicians such as Henri Poincarré started to analyze the behavior of iterated fractional functions, of which f(z)= z² represents a basic example, on a certain area of the plane (Audin, 2011). In 1915, during the Great War, the French Academy of Science launched a contest which offered a 3,000-franc award to the best paper on the behavior of iteration of rational functions over the whole complex plane in an attempt to follow Poincaré’s work. In 1918, a disfigured soldier named Gaston Julia won the concourse with a paper he partially wrote in his hospital bed in Paris (Audin, 2011).

The main protagonists for the competition were Gaston Julia and Pierre Fatou, names that are now honored for the sets they worked on, the Julia sets and the Fatou sets. We’ll focus on the Julia sets since Fatou sets have a similar complementary definition. To understand them, let’s use our example f(z)= z². If we take a dot inside the unit disc in the complex plane, that is, the disc of radius 1 centered at the origin, by iterating the multiplication of its length, the value becomes closer and closer to 0, spiraling around it since the original length was smaller than 1. We say that its length converges to 0. If we take a value on the boundary, the length always keeps the value 1 and the dot spins around the unit circle. If we take a dot outside the unit disc, its length grow bigger and bigger to move towards infinity as we keep on iterating. This point is said to diverge. Given a rational complex function, the Julia set is the set of points not diverging after iterating infinitely many times. For our example, the Julia set is simply the unit disc.

This very simple case is the iteration of the function f(z) = z²+c where c = 0. More difficult situations arise when the c value is taken to be other complex values. Works published by Fatou and Julia concerned general facts about the sets and boundary of points diverging after the iterations. The shapes of these sets varied greatly depending on the c values. Some sets seemed connected, some other ones constituted of many islands, and yet other ones seemed to be a fine powder on the plane. It was difficult to analyze their overall behavior, but some classifications, such as the one made at the time by Salvatore Pincherle, could still be made around the idea of connectivity: if the set would be formed of only one piece, it would be connected, otherwise it would be disconnected. The most disconnected ones, made as a fine powder, were revealed to be topologically equivalent to the Cantor set. The other sets were extremely difficult to display and publications of the time included almost no pictures (Audin, 2011). Pen and paper were not sufficient to represent the deepness and rich complexity of the Julia and Fatou sets.

Figure 9: Julia Set by Gaston Julia

Figure 9: Julia set by Julia Source: Audin (2011) ©Archives de l’Academie des sciences

In the 1970s, the arrival of computers would drastically change the way mathematics would be seen and applied. The pre computer era would define mathematics as a science of absolute precision but suddenly this new tool and the astronomical calculations it enabled would make this science take an experimental path as well. Teaching in Paris at the time, John Hubbard and Adrien Douady undertook, in concert with Sullivan from the Institu des Hautes Études Scientifiques to produce pictures of non-diverging sets of points for iterated functions of degree 2. These were Julia sets for functions such as f(z) = z²+c . (Lei)These experiments in turn led to images they could barely have foreseen, images of which only a minuscule glance could have been reached by Julia and Fatou. Another mathematician, Benoît Mandelbrot, would take over this work and popularise what has been defined by Arthur C. Clark as the most complex shape ever created by men (Stewart and Clarke, 2004).

Figure 10: Mandelbrot Set

Figure 10: Mandelbrot set as a map Source: Audin (2011)

During his visit to France, Hubbard and Sullivan showed Mandelbrot the images obtained from their computer. At the time, Mandelbrot had already studied the sets: his grandfather had incited him to seek them out in Fatou’s and Julia”s papers years ago when Mandelbrot was searching for a Ph.D. topic. Previously, however, he had never tried to picture these sets. The next year, his entrance to the IBM laboratory allowed him access to powerful computers from which he extracted, for the first time, a wide range of printed Julia sets. Trying to organize these, he created a set constructed around similar characteristics as Pincherle concerning the connectivity of the Julia sets. Even if the Mendelbrot set found its first historical appearance in paper related to special projective linear groups signed by Robert Brooks and J. Peter Matelski in 1980, the merit of an independent discovery, and subsequent wide popularisation of it, belongs to Mandelbrot.

The Mendelbrot set is defined as the set of values for which the associated Julia set is connected. That is, if we fix a complex value c, and the related iteration of f(z) = z²+c gives a set of non-diverging points that happens to be connected, then the point c of the complex plane belongs to the Mandelbrot set. The Mandelbrot set is then a map of the connected Julia sets. An important theorem states that only the behavior of the origin, the point (0,0), is important to know if the Julia set is connected. The Julia set is disconnected if and only if the origin diverges in the iteration process. This result would faster the production of pictures of the Mandelbrot set. The colors found on the pictures of the Mandelbrot Set one would find on the internet indicates the speed at which the origin diverges, where each of the black dots stands for the connected Julia sets.

Figure 11: Mandelbrot set by Matelsky and Brook

Figure 11: Mandelbrot set by Matelski and Brook (1980)

Since its discovery, many studies have helped to understand the Mandelbrot set, and many important facts were revealed. We now know it is connected and quasi similar, which means it contains almost identical but increasingly smaller copies of it spread densely on its boundary. Furthermore, Shishikura demonstrated that the boundary is so twirled in on itself that it is of Hausdorff dimension 2, just like the Peano curve. That explains why we can zoom everlastingly on its boundary and still get beautiful complex shapes. These zooms that we can now easily find on the internet are what interest us as we try to understand why these are so shocking, almost cathartic. As already underlined by Rothstein, the Sublime can already be found in Cantor’s definition of various size of infinity (Rothstein, p.188), the Mandelbrot set and the collection of all fractals provide a visual equivalent to this.

The incommensurable 

Figure 12: Mandelbrot set (details)

Figure 12: The LotusFort of Seahorses by Ingvar Kullberg   © Ingvar Kulberg. Source: http://klippan.seths.se/ik/frholmes/english.html

The concept of infinity is difficult to handle and it indubitably leads to controversy. Therefore, even if fractal zooms are in theory infinite, we’ll focus for this section on the finite aspect of them. It is also practical since only finite zooms can be found on the internet. Part of the traumatic experience of a fractal zoom comes from its unbearable sense of immensity. The real size of the represented picture even after a finite time zoom is simply incomprehensible to us. To help us we will turn to National Aeronautics and Space Administration. To compare, the farthest object in the universe perceived by man is seated at 13,2 billion light years ,that is 1,2488256 x 10²⁴ meters from the earth. Starting from a 10 centimeters long Mandelbrot set image on a computer screen, the size of the final set at the end of the greatest zoom we could find on Youtube, which is of 2 exponent 3039 times its size, surpasses by far the distance mentioned above (calculated by NASA in 2010). To give an approximate impression, let’s remember the impact of squaring a number. Squaring 10 gives 100, squaring 100 gives 10 000, and squaring the last one gives 100 billion. Thus, the greater the number is, the more important is the impact of squaring the number. The movie Powers of Ten (1977) helps visualizing these numbers.

To get the size of the line crossing the final Mandelbrot set for side to side we started with at 10 centimeters, we have to get the value obtained by NASA in 2010 and square it between 4 and 5 times. The size of the final object is simply unbearable and this is why the zoom provides such an intense vertigo in which we are totally lost. And yet the size is only one aspect of the traumatic experience: the shapes of it, its colors, are what complete the intolerability of this entrancing experience.

Kandinsky and the hypercoloumns

In 1926, Wassily Kandinsky published of treaty on lines and dots in the plane. He offered certain definitions and classifications of these objects as well as the emotional impact of the different types, sizes, and dispositions of lines and dots mixed with colors. Describing this work, Brusatin said it is though using the rhythm of expressive geometry that these objects provoke perceived sonorities and synesthesia (156). For instance, Kandinsy explains that red is associated to diagonal lines and yellow is for free straight lines (1970, 77). These observations are clearly made from a synesthetic viewer.

Many have suggested that synesthesia is at least partly influenced by social schemes. That is, the connections made by the brain’s synapses are either reinforced or curbed by interactions with other individuals. As a result, most people lose these synesthetic synaptic connections, but vestiges can still be found in most people’s perception of the world. As an easy and evocative example let’s take the two pictures here.

Figure 13

Figure 13: Tic-tac and Bubbla Source: Wikipedia, synesthesia article

One of these figures is called Bubbla and the other one Tic-Tac. Our propensity to relate acute angles with sounds like t or hard c influence us to name the one on the left Tic-Tac, while the round shaped one seems more eligible for Bubbla. The connection between a visual object and sounds is not a logical or natural one but a social construction. The same applies to colors with the appellation of warm and cold. A single picture, or painting as those by Kandinsky, can therefore evoke a wide variety of emotions since they are constructed with many colors and lines. Being abstract art, and thus non-figurative, it avoids a clear semantic result. To understand the impact of a fractal zoom we now need to look closely at the visual system.

In 1982, after many experiments on the cells of the visual cortex, Hubel and Wiesel proposed a model for the primary visual cortex constitution. In their model, big structures called hyper-columns are associated as the receptacle for all the incoming information of a very precise visual field’s area. Inside these columns, the cells are tuned for color and orientation, meaning they’ll only react to specific colors and line orientation within a small angle range. A simple picture on the retina will only stimulate certain cells in these hyper-columns and the information will be gathered in the higher visual cortex until the semantic process of the information, or the result, is object recognition and its corresponding and at times subtle emotion, such as in the case of a Kandinsky painting.

Figure 14

Figure 14: Hypercolumns Source: Wolfe, 2009.

In the case of zooms made on the boundary of the Mandelbrot set, the zoom being applied quickly in almost all cases, the amount of different images presented to the retina is highly rich in mutating shapes and colors. Therefore, every section of the retina is constantly being bombarded with new shapes and colors; it continuously stimulates many different neurons in the hyper columns. The visual cortex thus fires very much information towards the semantic processors of the brain, such as the fusiform cortex, that is then challenged, in vain, with making sense of this saturated information. The information also goes to the limbic system though the ventral stream, which is involved in the treatment of emotion. Considering synesthesia, all lines and colors tend to create their own specific emotions. The gathering of all such, at times contradictory information is probably the reason why focusing at a fractal zoom is a charged experience.

Semantic and knowledge

The lack of an easy emotional reading for the fractal zoom could incline one to search for a deep semantic sense of the picture or the object. As pointed out by Mandelbrot, it seems delicate just enough that the fractals can be interpreted as a pattern for shapes in nature. Such a point of view easily evokes spiritual motivations. How can nature be self-constructed so well? Otherwise, who created such intriguing geometrical objects? This almost theological and cathartic perspective quickly hit a wall where the meaning, and even more, the understanding of such objects as fractals is relinquished to a higher spiritual world and the viewer stays in the state of the sublime, overwhelmed logically and emotionally. The other venue left, then, is to try to understand the mathematical construction that led to this set and, moreover, the different theorems surrounding the beast.

This is where new problems arise. In the understanding of the definition of sets as Julia sets, Fatou sets and Mandelbrot set happen to be fairly accessible even without a mathematical background. Nevertheless, even really specialize knowledge of complex numbers’ arithmetic, great mathematical abilities and hard work doesn’t provide sufficient tools for one to construct these sets and display them. As we have seen, almost no pictures were found in the papers by Fatou and Julia. The few drawing provided failed to be accurate and detailed and, decades later, computers had to be used for this tedious task. That is only to obtain a picture, understanding the theorems about the Julia sets, the Fatou sets and, indeed, the Mandelbrot set, is quite another challenge.

To go through a whole proof about as simple facts as the connectivity of the Mandelbrot set, the reader has to master complex numbers analysis for the use of derivative and integrals over complex valued functions and a great deal of results in the aforementioned field, such as Schwarz’s lemma, Poisson’s Integral formula and results on harmonic functions. The use of meromorphic functions may involve familiarity with non-Euclidian geometry and different metrics, like the chordal distance, to reach theorems by Marty and Picard. To understand the arguments demonstrating the thickness of Mandelbrot set’s boundary, one has to accustomed himself with non-integer dimensions and a great deal of topological results. A quick review of a book like The Mandelbrot Set: Theme and Variations reveals that the same goes for most results in the field. This immense and tedious mathematical background certainly creates a strong deterrent to most people to deeply understand facts that permit the fractal zoom to exist, even though these zooms are easily accessible via internet. Yet, this gigantic gap between the viewer and the understanding of the Mandelbrot set enshroud the set with a mystical aura leading the spectator to a cathartic sensation. This forced distance to the object tops the mixed feelings and vertigo already underlined, leaving them with a blurred idea about the greatness of the object presented but surely with overwhelming emotions.

In this case of extreme complexity, there is no surprise in finding fractals related to some deities. Such is the case for the Buddhabrot and the Brahmabrot. These fractals result from various ways to represent the Mandelbrot set in the complex plane. They appear as a type of new gods in a pantheon of a science driven era. It was already the case with the Mandelbrot set which was compared to the fingerprint of god (Stewart and Clarke, 2004), but names of these new fractals underline more clearly the link they share with our conception of God and the space embedding it (1).

Figure 15: Buddhabrot

Figure 15: Buddhabrot. Source: Wikipedia

Extension in 3D

Naturally, mathematicians wanted to expend the fractals to the third dimension. As previously seen, some simple fractals like the Cantor dust or the Sierpinski carpet found logical three dimensional equivalent. It is indeed the fact as well with the the idea of mapping landscapes. Many such constructions provided realistic landscapes as early as 1974 by Handelman (Mandelbrot 1993, 13). Creating realistic landscape representing the great power of nature and its complexity is already a first step in trying to grasp the Sublime with the third dimension. Yet again, it seems that objects that are closer to be discovered, such as the Mandelbrot set, than to be used to copy naturalistic landscapes lead to more sophisticated surprises.

The possibilities offered by more and more powerful computers has reached a point where they enable, as with the two-dimensional equivalent, to present and materialise the sublime by using the same concepts and possibilities and in the previous examples analysed. We now present two such cases where such tendencies collides.

Figure 16: Fabergé fractal by Tom Beddard

Figure 16: Tom Beddard’s Fabergé fractals. Source: http://thecreatorsproject.vice.com/blog/faberg-fractals-are-intangible-geometric-wonders

The first example comes from Scotland based artist Tom Beddard. Beddard, already familiar with fractal generating programs and three dimensional modelisation from his background in physic from university of St-Andrews, created the Fabergé fractals, in tribute to the famous Russian jeweler. If these fractals are not expending in space, they still offer a peculiar notion of infinitely detailed shapes. Some beautiful videos exposes such shapes in constant transformation.

The second case includes a series of different examples and comes from a generalisation of algebra for complex numbers. Because we use two dimension to represent a complex numbers, the representation of n-dimensional complex numbers would imply 2n dimensions. To represent the equivalent of the Cartesian product of two complex numbers we would then need 4 dimensions. Mathematicians have tried to solve this by developing different definition for the product of complex numbers and represent higher dimension fractals arising from complex numbers. Such examples includes Rochon’s Tetrabrot , Tom Lowe’s Mandelbox and Paul Nylander’s Mandelbulb.

Although it is possible to imagine objects similar to the Mandelbrot set in three dimension, there is a problem with their formal construction. The algebra of complex numbers is well defined in 2 dimensions, but it turn out that an equivalent cannot exist in three dimensions. In order for an element to have an inverse element with respect to the operation of division, the space would need to have a dimension that is a power of 2 (2). It is the case for instance for the quaternions developed by Hamilton in order to find complex and for the octonions that hide some symmetries for 4 dimensional objects. The three dimensional attempts to recreate the Mandelbrot might not lead to any proper construction, nevertheless they still provide an extension of the sublime invoked in the two dimensional version. The various zooms offered by digital arstists such as Krzysztof Marczak, Arthur Stammet and many others proved to include all the elements of the planar fractals that leads to overwhelming feeling provoked by these objects. The specificity of this feeling involved has even been use for narrative purpose by Daniel White, the mathematician that constructed the equations behind the Mandelbulb and used in higher polynomial degree by Nylander. On his deviant art page, we can find a small story using the Mandelbulb as a frightening asteroid where a lost souls is landed (3).

Figure 17: Madelbulb (details)

Figure 17: Mandelbulb detail by Krzysztof Marczak. ©2010-2014 Krzysztof Marczak

Source: http://krzysztofmarczak.deviantart.com/art/Mandelbulb-power-4-163319841

Indeed, these are only the fractals we are able to represent. The journey into the quest of sublime goes further with the exploration of fractals in n-dimensional spaces. Such exploration can be made with books like Kenneth Falconer’s Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.

The quest for the Sublime, which started in our case with the simple exploration of simple two dimensional geometric object, leads to an unbounded perception of space, both as infinitely small and broken and as incommensurable and embeddable in any number of dimensions. As well precised by Rothstein again, «it makes the imagination seem inadequate while giving our understanding an almost ecstatic sense of having apprehended what should be beyond its containing powers» (Rothstein, p. 187).

Conclusion

The understanding of the experience related to fractal zoom as we now can easily find on internet, needs to be seen as the result of a long path from which much information and various points of view are gathered. First, through multiple examples such as the Koch curve or the Peano curve, we have seen that the emergence of the concept of fractal in the mathematical literature was by itself shocking for the community. Many concepts like continuity, dimensionality and infinity needed to be revisited, and new definitions had to be proposed. We also have underlined that some fractal images were far too complex to be pictured by humans without computer assistance; which had been indispensable to produce accurate images of the Julia, Fatou and Mandelbrot sets. Aware of the difficult trajectories to reach fractal images, and therefore fractal zooms, we were then ready to focus on the different aspects that make the screening of such zooms a traumatic experience.

We first underlined the mystical aspects of fractals by looking at some very surprising properties that places these fractals between one another and some other human created geometric constructions. We then looked at fractals as preponderantly curious shapes, and more so, as being the canvas for shapes which occur in nature, revealing more of their mystical aspects. The overwhelming size of shapes created by fractal zooms was then used to show why these zooms can be hard to handle since it forces the viewer to situate himself in a space impossible to imagine or seize. After explaining the construction of the Mandelbrot set, we were ready to show via synesthetic and neuropsychological arguments why the reception of the images contained in the fractal zooms are related to the Sublime, creating series of chaotic emotions. Finally, referring back to the mathematical background on which these fractals, especially the Julia sets and the Mandelbrot set, are constructed, we could see how semantics, or a more decent comprehension of fractals and fractal zooms is unreachable for the common spectator, deepening the gigantic gap between the spectator and the geometrical objects.

All of these aspects redefine the fractal zooms as objects of the Sublime: the screening is emotionally twofold, the spatial construction of the object is incomprehensible and the logical aspects are very difficult to reach. Our incomprehension is difficult to handle since it seems to have some implications in the creation of nature itself, and that very incomprehension found certain mind-blowing applications like fractal image compression. Some more developments bloomed in the last few years concerning the construction of three dimensional Mandelbrot set using a new way to compute complex numbers in four dimensions. This shape, the Mandelbulb, is a new creature as fascinating as its two dimensional acolyte and already, 3D fractal zooms on the web are available. These zooms still seem incomplete since the infinitely broken aspect doesn’t appear everywhere, but yet some fantastic images and zooms are to be found on the web.

1- Lori Gardi, who coined the term Buddhabrot, was actually looking for a proof of God in the Mandelbrot set (http://www.butterflyeffect.ca/Close/Pages/Buddhabrot.html)

2-For a more complete description the reader can explore the following site http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/06/distance-estimated-3d-fractals-part-i/

3-http://dspwhite.deviantart.com/art/The-Eternal-Dream-149572608

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Narration et mathématiques: l’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (Chapitre 3)

Chapitre 3: Les cycles et la planarité

Il n’est pas possible de reconstituer toutes les structures narratives à partir des histoires construites en arbres. Il est vrai qu’un bon nombre d’histoires possèdent des structures assez complexes qu’il est possible de construire sous forme de graphes en arbres orientés, mais ces arbres, par définition, excluent un ensemble de narrations : les histoires cycliques.

Traditionnellement, la cyclicité du temps est une composante fort commune aux sociétés archaïques qui ont la nécessité de se « régénérer périodiquement par l’annulation du temps » pour reprendre les mots de Mircea Eliade (1969, p. 104). Nous trouvons par exemple le Neneh des Égyptiens (Assman, p. 136-137) ou des emboîtements de cycles dans la conception du temps chez les Mayas ou dans l’hindouisme. En discutant des mythes lunaires présents dans un grand nombre de cultures, Eliade précise cette cyclicité du temps en ces mots : «Tout recommence à son début à chaque instant. Le passé n’est que la préfiguration du futur» (1969, p. 108). De ce fait, les mythes de la régénération cosmogonique ne sont pas représentables par des graphes en arbre puisqu’il devrait y avoir présence d’un cycle.

Les jouets optiques ont favorisé la production d’un bon nombre d’histoires cycliques. Le mécanisme de ces jouets optiques impose souvent cette contrainte. Comme le mentionnent Nicolas Dulac et André Gaudreault, le phénakisticope est, pas son dispositif même, condamné à présenter des images en boucles (Gaudreaul et Dulac, p. 32). Le zootrope et le kinétoscope présentent également des boucles sans fin. Il reste à savoir si ces petites boucles narratives sont réellement des histoires. Comme dans le cas de la définition de la bande dessinée, nous prenons une définition assez large qui nous permet d’inclure en premier lieu des histoires cycliques et en second lieu des histoires cycliques dont le cycle peut être aussi court que possible. Si le récit d’une histoire doit connaître un début et une fin comme il est communément admis ceux qui ont écrit sur le sujet (Gaudreault, p. 35-42), tel n’est pas le cas pour le temps de l’histoire diégétique. Comme nous le constaterons dans ce chapitre, l’absence de début et de fin n’empêche en rien d’avoir une histoire. Les mythologies cycliques constituent déjà un bel exemple de ce type de construction. Genette, d’ailleurs, ne semble pas proscrire la possibilité au temps de la diégèse d’être cyclique. C’est ce que Brian McHale décrit en discutant une sous-catégorie de narrations qu’il nomme self-erasing: « one can also “bend‘‘ a sequence to form a loop, in which one and the same event figures as both antecedent and sequel of some other event. » (1987, p. 108). McHale mentionne que la reconstruction de l’histoire devient difficile puisqu’il n’est plus possible de savoir quels évènements précèdent les autres. En fait, cette difficulté disparaît lorsque nous acceptons la présence de temps diégétiques circulaires.

Revenons sur la définition du cycle dans un graphe avant d’étudier les histoires cycliques. Un cycle est une suite de sommets et d’arêtes consécutifs qui se termine en son sommet initial (Bondy, p. 4). Nous disons qu’un graphe est cyclique s’il est possible d’y parcourir un cycle. Dans un arbre, l’ajout d’une arête sans l’ajout d’un sommet rend le graphe cyclique (Bollobàs, p. 9-10). Nous disons d’un cycle qu’il est hamiltonien s’il passe une seule fois par tous les points du graphe (Bondy, p. 47). Nous nommons un tour un chemin qui passe par toutes les arêtes et nous précisons qu’il est un tour d’Euler s’il ne passe par ces arêtes qu’une seule fois (Bondy, p. 86). Nous pouvons dès lors analyser les types d’histoires cycliques en considérant les arêtes d’un cycle comme étant des segments de courbes paramétrées.

Nous distinguons deux catégories d’histoires cycliques. La première catégorie apparaît lorsqu’un personnage se retrouve à la fois dans le futur et le passé d’un moment diégétique. Ce modèle représente la trame de fond de plusieurs histoires dans lesquelles un protagoniste effectue un voyage dans le passé (29). Les films de science-fiction incluent souvent le voyage temporel pour justifier la boucle temporelle. La suite des deux premiers Terminator (Cameron, 1984 et 1991) utilise une tournure de la sorte; le commandant John Connor vivant dans un futur apocalyptique envoie Kyle Reese, un militant de la résistance de son armée, en mission dans le passé afin de protéger sa mère Sarah Connor et ainsi permettre sa propre naissance. Or, Reese se retrouve en relation avec Sarah et devient le père même de John Connor. Une construction similaire se retrouve dans les films La Jetée (1962) de Chris Marker et 12 Monkeys (1995) de Terry Gilliam dans lesquels les protagonistes ont vu leur propre mort dans leur enfance. C’est-à-dire qu’ils ont voyagé dans le passé et sont morts devant leurs propres yeux d’enfants. Afin d’obtenir une histoire cyclique, nous devons nous assurer de respecter un principe connu en physique sous le nom de principe d’auto-consistance de Novikov et qui stipule que les courbes cycliques temporelles sont possibles si et seulement si les évènements produits dans la boucle s’impliquent les uns les autres : « they influence each other around the closed curve in a self-ajusted, cyclical, self-consitent way. » (Friedman et al., p. 1916).

D’autres films présentent des histoires simples sans tenter de justifier cette cyclicité temporelle, ils se limitent comme figure de style soulignant une cyclicité d’implications logiques, souvent un cercle vicieux. Le film mexicain Chin Chin el Teporocho (1976) de Gabriel Retes, basé sur un roman du même nom par Armando Ramirez (1972), traite des mésaventures d’un jeune adolescent dans le quartier de Tepito du District fédéral. Une chaîne d’évènements l’impliquant dans la délinquance le ramène finalement à la scène initiale, situation de laquelle il tentait de se sortir. La scène présentée au début et à la fin du film est exactement la même scène cinématographique, il y a cyclicité du temps et non pas une simple similarité d’états. Le film macédonien Before the Rain (1994) de Milcho Manchevsky boucle une histoire qui dévoile le cycle de la violence en Europe de l’Est. Encore une fois, les images présentées au début et à la fin du cycle sont exactement les mêmes. Dans ces deux cas, le voyage temporel n’est pas présent, il n’y a pas à proprement parler un voyage temporel, le temps y est simplement cyclique par définition comme il l’est dans les mythologies préalablement mentionnées. Ces histoires respectent le principe d’auto-consistance de Novikov.

Il est également possible d’obtenir une boucle sans toutefois avoir une histoire éternellement cyclique, et ce tout en respectant le principe de Novikov. Un cas possible qui respecte ce principe se produit lorsque le personnage retourne dans le passé et y séjourne sans jamais influencer le cours des évènements et qu’à son second passage au moment initial de son retour dans le passé il poursuit naturellement son séjour dans le futur. Nous pouvons représenter cette situation comme une boucle à partir de laquelle deux segments superposés se poursuivent vers le futur. Le premier représentant la temporalité de la diégèse précédant le voyage temporel alors que la seconde superposition représente le présent du voyageur.

Figure 1

Figure 1: Auteur Inconnu, Source Code, par Duncan Jones. Source : http://romain.vuillemot.net/2013/04/05/understanding-the-movie-source-code-with-two-images/

Figure 2

Figure 2: Auteur Inconnu, Source Code, pr Duncan Jones Source : http://romain.vuillemot.net/2013/04/05/understanding-the-movie-source-code-with-two-images/

 

Nous pouvons envisager dans la diégèse des histoires qui ne respectent pas le principe de Novikov. Ces histoires apparaissent lorsque le retour dans le passé s’effectue et que les évènements sont bouleversés de sorte que ces évènements ne mènent plus vers le futur préalable au voyage dans le passé. Les évènements ne s’impliquent plus les uns les autres. Nous pouvons modéliser le tout en utilisant plusieurs courbes parallèles qui suivent la même suite d’évènements dans le passé. Le voyage dans le passé ainsi que le changement du futur de ce passé revient à faire bifurquer une courbe paramétrée vers un point antécédent qui se situe sur une autre courbe. Le futur bouleversé n’est donc plus le même que celui de la courbe initiale et nous évitons ainsi les paradoxes. Nous pouvons de cette manière représenter les évènements du film Source Code (2011) de Duncan Jones. (Figure 1 et 2) De telles représentations se retrouvent sur le blogue de Romain Vuillemot (http://romain.vuillemot.net/2013/04/05/understanding-the-movie-source-code-with-two-images/). Dans le film, l’esprit du soldat Colter Stevens est transporté dans un temps parallèle à plusieurs reprises afin de prévenir une attaque terroriste. Les schémas, dont un initialement proposé sur le blogue Supermentera (http://supermentera.blogspot.ca/2011/04/source-code-as-i-see-it.html), présentent différentes courbes temporelles sur lesquelles se présentent des segments de la même histoire.

Figure 3

Figure 3: Jérôme Bosch , Les septs péchés capitaux ett les Quatres dernières Étapes humaines, vers 1500, Peinture, Huile sur Panneau, Museo del Prado, Madrid.

En bande dessinée, il existe plusieurs œuvres qui contiennent des boucles visuelles. Certaines de ces boucles sont réellement des histoires cycliques alors que d’autres, comme il en est le cas avec la peinture Les Septs Péchés capitaux et les Quatre Dernières Étapes humaine de Jérôme Bosch (Figure 3), ne servent qu’à obtenir une esthétique visuelle particulière. Une des dernières pages de Derniers rappels (2006) d’Alex Robinson et Near the Forest de François de Jonge paru dans Lapin Nu. 37 présentent de telles structures. (Figures 4 et 5)

Figure 4

Figure 4- Robinson, Alex. 2006. Derniers Rappels, Montreil : Éditions Rackham. © Alex Robinson

Figure 5

Figure 5: François de Jonge, Near the Forest ,Lapin n˚37, février 2009. © François de Jonge

L’ordre de lecture des cases de cette dernière s’avère plus complexe que la simple lecture de plusieurs cercles concentriques (Groupe Acme, p. 188). Par exemple, certaines cases doivent se lire le long du rayon du cercle. Les constructions circulaires de la page de How to be Cheap de Joe Matt parue dans Peepshow : the Cartoon Diary of Joe Matt (1999, p. 50) et la mandala de Kevin Huizenga qui apparaît dans Glenn in Bed du premier Ganges (2006, p. 26) ne sont pas porteurs d’histoires cycliques. (Figures 6 et 7)

Figure 6

Figure 6: Matt, Joe. 1999. Peepshow: the cartoon diary of Joe Matt .Montréal: Drawn and Quaterly. © Joe Matt

Figure 7

Figure 14: Huizenga, Kevin. 2006. Ganges.Vol 1. Seattle: Fantagraphics Press and Coconino Press. © Huizinga

La présence de cycles visuels sert principalement l’esthétique de ces bandes dessinées et ils se retrouvent, comme le souligne Isaac Cates à propos des cycles dans Huizenga, à la fois inclus et exclus de la diégèse (2010, p. 100). Plusieurs bédéistes ont également représenté des extraits d’histoires sous forme cyclique sans que ces boucles soient l’histoire principale. Scott McCloud présente un tel cycle en arrière-plan dans Understanding Comics (1993, p. 109). (Figure 8) Ce cycle n’est clairement pas l’histoire, il sert simplement d’exemple pour démontrer certaines possibilités de la bande dessinée, notamment la possibilité d’avoir une histoire sans début ni fin. Finalement, nous retrouvons certaines histoires qui fonctionnent en boucle, comme circularité de temps et d’évènements.

Figure 8

Figure 15: McCloud, Scott. 1993. Understanding Comics. New York : Harper Perrenial. © 1993 Scott McCloud

Huizinga en fait un tel usage inséré dans son histoire Glenn Ganges in “Time Traveling“, en fait le cycle est sous-diégétique puisqu’imaginé par le protagoniste. Huizinga présente ce cycle afin de clarifier les pensées de son personnage; celui-ci s’aperçoit que, théoriquement, si l’Univers est fini, les atomes passeront par toutes les configurations possibles de l’Univers et qu’elles reviendront inévitablement à la configuration du moment présent (Huizenga, p. 3). Un exemple autosuffisant de construction d’histoire cyclique vient de la mythologie bouddhiste, en particulier dans la représentation de la Bhavachakra, ou roue de la vie, dans les peintures tibétaines, les peintures thangka (Meulenbeld, p. 64). Les moines représentent sur le bord extérieur de la roue les douze nidanas qui forment de par leurs liens le cycle de la renaissance (Meulenbeld, p. 66) (Figures 9) Les scènes représentées ont un sens dont la suite forme le cycle.

Figure 9

Figure 9: Roue de la vie . Anonyme : probablement un moine du Tibet, du Népal ou du Ladakh

Figure 10

Figure 10: Gerner, Morlaque, OuBaPo. Oupus 3. Paris :  L’Association, 2000.©Gerner

Les auteurs de l’Oubapo ont proposé plusieurs histoires cycliques pour le troisième ouvroir dans lequel elles prennent le nom de «morlaque», terme proposé par Jean-Christophe Menu (2011, p. 109). Ayroles, Gerner et Lécroart présentent des histoires simples dans des boucles à la fois visuelles et temporelles (OuBaPa 2000, p. 18, 30 et 36) (Figure 10). Menu de son côté propose une histoire cyclique dont le temps est cyclique, mais dont la majorité des cases se lisent de manière conventionnelle jusqu’à la dernière ligne qui doit être lue de droite à gauche avant de suivre une colonne qui remonte la page jusqu’à la première case (OuBaPo 2000, p. 24). (Figure 11) L’auteur Fred à également construit un cycle dans L’Île des brigadiers. Pour souligner ce fait, Hector, le père de Philémon, se fâche à l’idée qu’il faut encore tout recommencer (Peeters 1998, p. 93). (Figure 12) L’auteur a aussi offert un fou-rire cyclique et infini pour la revue Hara-Kiri (Cavanna, p. 109).

Figure 11

Figure 11: Jean-Christophe Menu,Morlaque,  OuBaPo. Oupus 3. Paris :L’Association, 2000. ©Menu

Figure 12

Figure 12: Fred, Philémon: L’île des Brigadiers.© Ed. Dargaud

Le second type de cyclicité que nous distinguons est celui de la récursivité, la cyclicité des histoires autoréférentielles. Douglas Hofstandter définit les objets autoréférentiels comme étant ceux qui ont la capacité de «represent or to refer to themselves somehow, to designate themselves (or elements of themsleves) within the system of their own symbolism » (1985, p.7). Ce type d’histoires cycliques apparait lorsqu’une histoire se retrouve emboitée dans cette même histoire et que cette construction implique également une cyclicité temporelle. Brian McHale, discute des histoires qui s’emboîtent indéfiniment en réutilisant le vocabulaire de Genette. Il explique qu’il y a la diégèse au premier niveau ontologique, ensuite l’hypodiégèse, l’hypo-hypodiégèse et ainsi de suite (1987, p. 113). Or, le simple fait d’emboîter des histoires les unes dans les autres ne constitue pas une condition suffisante pour la cyclicité. Les films EXistenZ (1999) de David Cronenberg et Avalon (2001) de Mamoru Oshii ne sont pas cycliques. Dans les deux cas, les protagonistes se retrouvent dans un double emboîtement, celui du jeu vidéo dans la réalité et de la réalité dans le jeu vidéo. Nous pouvons tout de même comparer ces structures d’histoire avec celle que McHale définit pour expliquer le roman Projet pour une révolution à New York de Robbe-Grillet : «the distinction between diegesis and hypodiegesis can no longer be safely maintained. » (1987, p. 117). Si dans l’emboîtement il y a retour à un étage de la diégèse, il y a alors une métalepse, ou strange loop dans le vocabulaire de Douglas Hofstadter (McHale 1987, p. 119). Ces histoires ne sont pas cycliques, car même si la hiérarchie des inclusions les ramène dans un même monde ou dans un palier non identifiable de cette inclusion, le temps ne repasse pas par un moment déjà présenté dans l’histoire. La cyclicité de l’inclusion des diégèses n’implique pas la cyclicité du temps de la diégèse.

Figure 13

Figure 13: Lenstra, Printing Gallery , 2003. © Lenstra

Une histoire cyclique autoréférentielle peut être tissée extrêmement serrée et n’être constituée que d’une seule image. Ce principe fractal fonctionne parfaitement dans plusieurs œuvres de Escher, dont la construction la plus complète se déploie dans La galerie d’estampes (Locher, p. 216). La construction de cette œuvre était si complexe qu’Escher lui-même n’a pu réussir à la terminer et il a fallu attendre H. Lenstra et son équipe pour réussir à la compléter. Lenstra et son équipe ont découvert les équations qui régissent la transformation imaginée par Escher et ils ont pu compléter l’œuvre à l’aide de celles-ci (Smit et Lenstra, p. 446-451). (Figure 13) Cette transformation, connue désormais sous l’appellation de l’effet Droste, est souvent réutilisée en photographie afin de produire des images autoréférentielles. Seb Pzbr et Josh Sommers sont parmi les photographes qui rendent le mieux cet effet (30). Ce type d’image n’a pas d’indicateur temporel qui peut laisser sous-entendre qu’un certain laps de temps s’écoule tels des phylactères qui laissent sous-entendre le temps de la conversation; elles posent une ambigüité quant à leur cyclicité. Le temps ne revient pas à un moment initial, il est la superposition simultanée infinie de ce même moment. La page d’Al Williamson avec les deux extra-terrestres discutée au chapitre précédant clarifie déjà un peu plus ce statut de cyclicité. Les extra-terrestres lisent la dernière page de la bande dessinée sur laquelle n’est représentée qu’une seule scène. La présence d’un phylactère assure l’écoulement d’un certain temps à chacun des paliers de l’inclusion, laissant voir qu’il s’agit d’une histoire cyclique. En effet, malgré l’artifice visuel qui pourrait laisser entendre que tous les paliers récursifs sont synchronisés, cette coordination temporelle n’est pas obligatoire puisque le temps diégétique du premier palier s’écoule alors que les autres paliers sont des images fixes dans la diégèse avant que d’être porteuses d’un temps hypodiégétique. La page de Marc-Anthoine Mathieu, quant à elle, ne laisse aucun doute sur la cyclicité de ce segment d’histoire. La page lue par le protagoniste contient plusieurs cases, il y donc une succession de plusieurs moments distincts, les moments contenus dans chaque case, qui se retrouve ensuite itérée par l’inclusion infini. Toujours en bande dessinée et sous la plume du même auteur, le dernier tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves : Le Décalage brise de nouvelles barrières dans sa construction d’une histoire cyclique autoréférentielle. Dans ce cas, le dispositif même de la bande dessinée est mis en jeu. Le protagoniste traverse l’histoire pour revenir au moment initial de l’histoire et pour s’inclure dans celui-ci (Mathieu, 2013). Pour renforcer cet effet, l’auteur décale le temps de l’histoire et le temps du récit. L’auteur se débarrasse pratiquement de tout métadiscours dans son ouvrage et il n’y a plus à proprement parler de page-couverture. Il existe des pages qui miment les artefacts de la page-couverture et des pages contenant le méta-discours, même qu’elles contiennent réellement les informations du méta-discours, mais ces pages font en fait partie de l’histoire. La page couverture et l’endos de la bande dessinée sont des pages de l’histoire et la seule trace de méta discours se trouve dans la constitution cartonnée de ces deux pages. Les temps du récit et de l’histoire étant décalés, la page couverture présente une page quelconque à partir de laquelle on entre dans le cycle. Ce procédé laisse comprendre que l’on pourrait fort bien avoir tout simplement une construction en cylindre de cette bande dessinée, sans page de carton, une construction équivalente au mutoscope d’Herman Casler (Gaudreault et Dulac, p. 49 notes en bas de page). Dans le mutoscope de Casler, les images doivent défiler à une vitesse suffisamment élevée pour créer l’illusion de mouvement alors que dans le cas de Mathieu, le rythme lent de lecture de la bande dessinée est de mise. Puisque dans le cas de la bande dessinée Julius Corentin, le héros est éternellement réinséré dans la même histoire comme l’ouroboros se dévore lui-même, l’histoire est cyclique et autoréférentielle.

Les écrivains ont aussi fourni leur lot d’histoires autoréférentielles, mais bien peu sont réellement cycliques. En fait, il serait possible d’inclure la nouvelle Continuity of Parks de Julio Cortazar si nous acceptons le fait qu’au moment où l’assassin entre dans la pièce le lecteur est en train de lire le passage où l’assassin s’approche de sa demeure en passant par le parc (McHale 1987, p. 120).

Pour en revenir à notre modèle, commençons par mentionner les différentes distinctions à faire entre spatio-topie, courbe paramétrée et théorie des graphes. La structure d’une histoire cyclique n’implique que le fait suivant : la courbe paramétrée qui sert de cadre au temps de l’histoire revient, pour un certain temps t à un point du plan qu’elle a déjà traversé, cette courbe repasse par le parcours qu’elle a déjà tracé. Nous pouvons par exemple modéliser un modèle simple d’histoire cyclique à l’aide de la courbe (Cos(t),sin(t)). Cette courbe donne simplement un cercle centré à l’origine du plan cartésien. Conformément au vocabulaire de la théorie des graphes, nous disons alors qu’il y a une boucle s’il n’y a qu’un sommet et un cycle s’il y a plus d’un sommet (Bondy, p. 3). Or, il existe d’autres courbes dont la perspective macroscopique diffère du cercle, qui peuvent se modéliser à l’aide d’autres courbes paramétrées, mais demeure simplement une boucle ou un cycle du point de vue de la théorie des graphes puisque dans cette théorie la forme et la longueur des arêtes n’importent pas. L’ellipse par exemple, diffère du cercle géométriquement, mais demeure une courbe simple fermée. L’utilité de l’ellipse apparaît avec sa forme : par les sommets de ses deux axes nous pouvons mettre en relation deux paires de moments diégétiques.

Figure 14

Figure 14: Courbe paramétrée. Source : http://www.pacifict.com/Examples/Example4.html

Il existe une panoplie de courbes paramétrées qui possèdent la particularité de se croiser elles-mêmes en plusieurs points. Par conséquent, un cycle peut également se croiser lui-même dans le contexte d’une histoire. Prenons un cas simple, celui de la courbe (2Cos(2πt), Sin(4πt)) (31), qui forme ce qui est généralement utilisé comme symbole de l’infini, donc un huit couché. (Figure 14) Cette courbe, en plus de former un cycle, se recroise en son centre. À la différence de la double boucle que nous discuterons par la suite, le point d’intersection au centre ne constitue pas le point initial de l’histoire, l’histoire repasse par ce point sans toutefois recommencer symboliquement par ce point. Donnons un exemple simple d’une construction sur ce modèle. Un homme va à l’épicerie pour se procurer une bouteille de vin et accroche un homme en route. Sur le chemin du retour, il percute un homme et échappe sa bouteille de vin. Après avoir continué un peu son chemin, marabout, il décide de retourner à l’épicerie et sur le chemin du retour il se percute lui-même, la version de lui-même qui tient la bouteille de vin. Nous précisons que cette histoire n’est pas un récit-carte et donc une version non strictement linéaire graphiquement est acceptable.

Figure 15

Figure 15: Courbe Paramétrée

Le nombre de points d’intersection d’une simple histoire peut augmenter lorsque la courbe se complexifie. La courbe f(t)=(Sin(2t),Sin(3t)) est une boucle à sept points d’intersection. (Figure 15) L’avantage de construire des histoires sur de telles courbes est de pouvoir aller construire des histoires cycliques dans lesquelles les protagonistes repassent par des lieux et moments précis sans y avoir d’incidence ou de pouvoir construire des suites d’inférence dans un ordre non linéaire. Voici une histoire construite sur cette courbe. La structure des implications pourrait être plus complexe, mais nous gardons ce cas simple pour démontrer une caractéristique intéressante de ce graphe lorsque nous l’orientons. En colorant chaque arête noir ou blanche, il est possible de les colorer toutes en alternant les couleurs. Cela permet de construire une histoire sur une simple dualité d’état : riche et pauvre, heureux malheureux et ainsi de suite. Nous choisissons de construire la nôtre sur la dualité riche ou pauvre. Sur la figure 16, nous avons numéroté les évènements importants de l’histoire. Nous pouvons construire l’histoire ainsi :

Figure 16

  • Le personnage sort du casino avec de l’argent.
  • Il se fait tabasser et voler.
  • De mauvaise humeur, il appelle un revendeur de drogue et lui vole son argent.
  • Avec l’argent il va s’acheter de la cocaïne.
  • Il décide ensuite de cambrioler une banque.
  • Avec l’argent de la banque, il se paye une escorte (mâle).
  • Il va jouer à son tour son rôle de proxénète et ramasse l’argent de ses employés.
  • (1)Va déposer l’argent au casino qu’il possède, et le casino perd cet argent à un joueur chanceux.
  • (4)Il va alors vendre de la drogue pour renflouer les coffres.
  • (3) Il va voir un client et se fait voler.
  • (2)Il vole à son tour un étranger.
  • (7) Avec cet argent, il peut enfin payer son proxénète.
  • (6) Il se prostitue pour faire de l’argent.
  • (5)Il veut aller déposer son argent à la banque, mais se fait voler par le cambrioleur.
  • (1) Démoralisé, va jouer ses derniers dollars au casino et gagne.

Figure 17

Figure 17: Graphe équivalent à la courbe paramétrée de la figure 16

Dans notre histoire, les points 2-3, 6-7, 3-4, 6-5 sont associés pour construire l’histoire. En considérant cette courbe paramétrée avec ses points d’intersection, nous pouvons constater que nous travaillons en  fait sur un graphe équivalent à celui de la figure 17. Puisque chaque sommet a un nombre pair d’arêtes qui sont adjacents, le graphe contient des circuits eulériens. L’histoire construite ci-dessus n’est que l’un des circuits eulériens possibles sur ce graphe. Nous pouvons élargir la construction d’histoire sur les graphes en suivant une stratégie à celle du pairage des couleurs et des arêtes. Par exemple, autour d’un seul sommet, nous avons toujours quatre arêtes. Si nous voulons avoir quatre états différents autour de chaque point, nous devons utiliser au moins 4 couleurs. Si nous voulons que pour tous les sommets nous ayons que des arêtes de couleurs, ou états, différents, alors nous avons un problème de coloriage des arêtes à l’aide de n couleurs (Bondy, p. 451-452). Nous pouvons construire une histoire basée sur n états d’un personnage si nous savons qu’un graphe est n-coloriable sur ses arêtes. L’avantage de ne pas avoir des arêtes adjacentes permet de construire une histoire dont les incidences sont moins évidentes. Nous ajoutons qu’il a été plus facile de construire avec l’image de la courbe paramétrée plutôt que le graphe équivalent. Le choix de suivre la courbe à l’aide du paramètre t sur la figure initiale a aidé à prendre des décisions. La spatio-topie influence donc non seulement sur la lecture, mais également le processus de création. La courbe cyclique qui mènerait vers les plus grandes difficultés est probablement la courbe de Moore puisqu’en plus d’être cyclique elle est une courbe qui remplit le plan et qui par conséquent se croise elle-même une infinité de fois (Moore, p. 75).

Figure 18

Figure 18: Bouquet. Source : Wikipedia, article Rose (topology)

Le modèle le plus simple pour avoir un point d’intersection s’obtient en ajoutant une seconde boucle au point de départ de la première boucle tout en la disposant de sorte qu’elle ne soit concourante à la première en aucun autre point. Deux cercles tangents représentent bien un modèle de la sorte. Nous obtenons alors une histoire doublement cyclique avec deux cycles indépendants mise à part le point d’intersection. Nous pouvons utiliser ce modèle pour représenter des histoires de réincarnations. Un personnage naît, vit et meurt avant de se réincarner dans une seconde vie. Il répète ensuite le tout dans sa seconde vie avant de se réincarner au début de sa première vie. Nous pouvons ajouter un nombre arbitraire de boucles à ce point initial d’intersection en nous assurant de garder toutes les boucles disjointes. Nous obtenons en ce sens un wedge of circles (Munkres, p. 434), ou bouquet (Gross et Tucker, p. 15), tel que nommé en topologie. (Figure 18) Un point intéressant de la juxtaposition de boucles est que chaque boucle peut contenir sa propre temporalité. Nous pourrions avoir de la sorte une juxtaposition de cycles qui durent une journée, une vie, une multitude de vies et ainsi de suite. Nous pouvons exemplifier le tout par les différents cycles de temps de la mythologie védique. Mircea Eliade en donne une brève description issue de l’Atharva Veda. Le plus petit cycle est le yuga, quatre yugas forment un mahâyuga. Mille mahâyuga forment un cycle kalpa et finalement 14 kalpa forment un manvantâra (Eliade, p. 134-136). Nous pouvons donc représenter le présent, ou un présent diégétique, comme le point d’intersection de ces différents cercles. En restant un peu plus fidèle à l’axiome d’équivalence distance-temps de McCloud, nous pouvons obtenir une suite de cercles de plus en plus gros qui s’incluent les uns les autres à partir d’un point d’intersection initial à la manière donc fonctionnent certaines représentations du Tzolkin, le calendrier maya de 260 jours (Falcón, p. 22). (Figure 19)

Figure 20

Figure 26: Calendrier Tzolkin. Source : http://kalarhythms.org/mayan-calendar/52-year-calendar-round.htm

Dès que nous travaillons avec plus d’une boucle, nous devons envisager un nombre arbitraire d’intersections entre ces courbes. Les courbes ayant la possibilité de prendre toutes les formes possibles, il en résulte que le nombre d’intersections peut être aussi grand que voulu. Dans l’Oupus 3, Lewis Trondheim propose une histoire multicyclique à partir d’agencement de deux ou trois cases. Le lecteur peut construire à sa guise la lecture du ou des cycles (OuBaPo 2000, p. 12). À partir de chaque case, le lecteur peut choisir entre les cases limitrophes suivantes. (Figure 20) Pour dénombrer le nombre de cycles possibles, nous devons séparer les lectures possibles en fonction de ce nous appelons le nombre d’enroulements, c’est-à-dire le nombre de rotations complètes autour du centre (32) (Munkres, p. 398). Si nous acceptons un seul tour à partir d’une colonne de 2 cases, nous obtenons 730 cycles différents possibles. Si nous acceptons de faire un second tour en passant par la deuxième case de la colonne initiale et en autorisant de repasser par des cases préalablement utilisées avant de revenir à la case initiale nous obtenons 531 442 cycles possibles. Si nous n’acceptons jamais de repasser deux fois par la même case, le nombre d’enroulements est évidemment de 2. Avant de tomber dans des cas plus complexes, travaillons sur le cas particulier où les courbes sont des cercles.

Figure 21

Figure 20: Lewis Trondheim, Morlaque, OuBaPo. Oupus 3. Paris : L’Association, 2000.©Trondheim

Le nombre maximal d’intersections de deux cercles est de deux (33). Nous pouvons donc construire deux histoires en cercles qui possèdent deux points communs. Construisons un premier cycle avec l’histoire d’un homme qui, selon la publicité du Public Service Announcement figurant John Michael Higgins, fait de la poudre pour travailler plus, pour faire plus de poudre. Ajoutons que lorsqu’il travaille trop, il bat sa femme, mais qui, pour apaiser sa culpabilité, lui donne de l’argent. Construisons ensuite un cycle son épouse se fait battre, est consolé par l’argent de son mari, dépense cet argent et finalement se fait battre à nouveau. Nous obtenons alors une double histoire cyclique à deux points d’intersection.

Avec l’ajout d’un troisième cercle à la construction, le modèle de l’histoire devient déjà beaucoup plus complexe. Si aucune paire de cercles n’est tangente, nous obtenons trois paires d’intersections de points pour un total de six sommets qui font partie de deux histoires à la fois. Reprenons à partir de l’histoire décrite précédemment, mais en ajoutant un personnage : l’enfant du couple. Déjà la forme linéaire d’un simple texte ne suffit plus à bien présenter les différentes scènes et leurs successions. La figure 21 avec son annotation exprime par elle-même l’histoire. Nous avons à l’aide d’un modèle simple une histoire qui confirme l’affirmation de Chris Ware : «Drawing is a way of thinking» (Cité par Raeburn dans Ball et Kulhman, p. XIX) La complexité de ce type d’histoire justifie l’analyse des histoires cycliques principalement dans le domaine de la bande dessinée puisqu’elles sont beaucoup plus compréhensibles dans ce médium. Nous obtenons une histoire très compliquée du point de vue littéraire, mais qui se comprend très bien en tant que graphe schématisé sur le plan (34).

Figure 22

Figure 21: Schéma de l’histoire

Nous pouvons encore complexifier les contraintes avec lesquelles nous travaillons par les dallages du plan. Débutons par le dallage de la courbe paramétrée à l’aide des cases et passons ensuite au dallage du plan par les courbes. Un dallage, ou pavage, en bande est une organisation de figures géométriques sur une bande de sorte qu’aucun espace ne soit laissé vacant et en évitant toute superposition (35).(Stein et Szambó, p. 19). En collant des carrés l’un à la suite de l’autre nous arrivons à construire un tel pavage. Du point de vue strictement mathématique, nous pouvons ajouter la nuance de n’avoir aucune superposition de points pour construire des pavages parfaits (Delahaye novembre 2007, p. 154). Cette distinction empêche notamment de superposer les arêtes des carrés dans notre dallage. Dans notre modèle, l’ajout de cette contrainte est facultatif. Il peut être utile pour l’auteur d’avoir des arêtes disjointes ou des arêtes superposées. Nous verrons plus loin en quoi ces distinctions peuvent avoir des implications au niveau de la structure de l’histoire. Nous avons vu des exemples de pavages du plan à l’aide de spirale au dernier chapitre : la spirale infinie de la figure 41 (chapitre 2) pourrait finir par paver le plan au complet, de même pour le support du jeu Wallis’ New Game of Universal History and Chronology si la spirale suivait son cours vers l’infini.

Nous nommons périodiques ou monohédraux les dallages qui sont effectués à partir de figures semblables (Gao, shi et Yan, p. 124). Il existe en fait une panoplie de dallages non périodiques et d’approches afin de les identifier (36). Nous nous limitons aux pavages qu’il est possible de construire par symétries, car ils forment les cas les plus simples et les plus facilement adaptables à la narratologie. De point de vue des symétries possibles sur la bande, il existe sept manières différentes de couvrir la bande à l’aide de symétries (Conway et Huson, p. 255). Cette classification ne dénombre pas toutes les cases possibles pour effectuer les dallages, mais simplement les types de symétries applicables. La figure 22 démontre les sept types de symétries possibles.

Figure 23

Figure 22 Les septs pavages périodiques d’une bande par des figures congrues. Sur la page de Carlo H. Sequin. Source : http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/CS39/LECT_13/L2.html

Un principe similaire existe pour le dallage du plan. Polya et Haag ont dénombré les 17 pavages symétriques du plan dans une étude sur la cristallographie qui influença grandement Maurelus Escher qui avait quant à lui trouvé 16 de ces 17 pavages par lui-même avant de consulter l’article de Polya (Schattschneider 1992, p. 23-30). En se référant à la figure 23, nous identifions ces pavages par les noms inscrits sous leurs représentations. Les nombreuses notations qui existent pour classifier les dallages du plan sont fort utiles pour des généralisations qui pavent d’autres surfaces mathématiques que le plan, mais cette notation simple nous suffit (37).

Figure 24

Figure 23: Les dix-sept pavages périodiques du plan par des figures congrues. Tiré du livre de Schattschneider

Revenons sur un aspect important. Nous savons que le cadre de la case délimite l’espace intérieur et extérieur de la case. De manière similaire, en construisant une histoire cyclique simple, c’est-à-dire sans autre point d’intersection que son début et sa fin, nous délimitons un espace intérieur et extérieur à cette histoire cyclique. Nous déduisons deux conséquences directes de ce principe. Premièrement, il est possible d’utiliser ces deux espaces à des fins narratives. Dans le cas des récit-cartes, ces espaces peuvent facilement prendre un sens important. Par exemple, en prenant l’espace intérieur comme le paradis et l’espace extérieur comme l’enfer, nous pouvons construire l’histoire d’un personnage qui est pris dans ce cycle infini qui le fait balancer entre ces deux destinées. Ces espaces peuvent également servir à présenter d’autres cycles qui ne sont pas en intersection avec notre cycle initial.

Figure 25

Figure 24: Exemple de pavage à l’aide du morlaque de Gerner.

 

Nous déduisons également qu’il est possible d’effectuer des dallages du plan à l’aide de courbes paramétrées fermées et les espaces intérieurs à celles-ci. Dans ce cas, la superposition d’arêtes peut s’avérer un aspect important. Comparons deux exemples. En prenant une histoire cyclique simple proposée par Gerner dans l’Oupus 3 (OuBPo 2000, p. 30) (Figure 24) La forme parfaitement rectangulaire de la suite de cases permet d’en prendre des copies conformes et de les juxtaposer en ses quatre côtés. En répétant indéfiniment ce processus, nous obtenons un pavage du plan avec des translations horizontales et verticales de l’histoire originale (ce qui revient au pavage C1 de la figure 23). Or, l’extension de ce cycle à l’infinité du canevas est somme toute superflue puisqu’elle n’ajoute pas à la structure de l’histoire, elle ne devient qu’un outil esthétique. Cependant, si nous ajoutons les contraintes suivantes nous obtenons déjà une structure plus intéressante : les paires d’arêtes opposées doivent être exactement les mêmes et doivent être des palindromes. L’ajout de ces contraintes permet désormais de superposer les côtés des cycles que nous ajoutons pour paver le plan.

Nous avons analysé certaines propriétés des courbes en lien avec leur support, le plan. Nous avons vu par exemple qu’une courbe simple fermée sépare le plan en deux sections distinctes, l’intérieur et l’extérieur du plan. Nous avons également exploré les différentes méthodes pour recouvrir le plan, soit à l’aide des courbes de Peano, courbes pour lesquelles l’histoire doit être pensée comme la limite à l’infini d’une suite de courbes itératives, soit à l’aide de la disposition des cases comme dans le cas de la spirale de Joe Matt, soit par la disposition de cycles et de leurs espaces intérieurs comme dans l’exemple de notre pavage du plan à l’aide de concaténation de l’histoire cyclique de Gerner.

Nous étudions à présent une certaine relation qui existe entre les graphes et les surfaces sur lesquelles nous les représentons. Isaac Cates décrit la grammaire des comics et des diagrammes comme « their shared reliance on juxtapositions or continuities in two-dimentional space to indicate connections of meaning» (Cates, p. 95). C’est la limite de la relation à l’espace à deux dimensions que nous allons étudier. Nous précisons par le concept de planarité l’implication de cette présence sur une surface à deux dimensions lorsque les connexions sont celles d’une continuité temporelle. L’application au concept plus large de diagramme sera discutée par la suite en analysant des planches de Chris Ware.

Figure 26

Figure 25: Le graphe complet sur quatre sommets

Nous définissons l’homotopie de chemin comme la déformation continue d’une courbe paramétrée (Munkres, p. 323), et par conséquent de l’arête d’un graphe. Cette déformation continue implique qu’aucune coupure ou collage ne peut être fait à partir de la première courbe afin d’obtenir la deuxième. Un segment rectiligne est homotopique à un segment en zigzag qui débute et se termine aux mêmes points que le segment rectiligne. Une homotopie permet également de transformer un chemin en un seul point. Lorsque nous voulons souligner qu’une arête doit être conservée dans son intégrité, mais qu’elle peut tout de même être déformée de manière continue, nous utilisons le terme homéomorphique (Reinhardt et Soeder, p. 51). Nous disons d’un graphe qu’il est planaire s’il est possible de le présenter sur le plan de sorte que, visuellement, toutes les intersections d’arrêtes soient des sommets. Le graphe d’un carré et de ses deux diagonales, le graphe complet sur quatre sommets, est un graphe planaire puisque nous pouvons trouver une arête homéotopique (ou homéomorphe) à l’une des diagonales afin d’avoir une représentation qui exclue les croisements qui ne sont pas des sommets. (Figure 25) Un exemple de graphe non plantaire est le graphe complet sur cinq sommets, c’est-à-dire le graphe dont les cinq sommets sont connectés par une arête aux quatre autres. Autrement dit, la distance entre chaque point du graphe est de un. La caractéristique du graphe complet sur cinq points, K₅, d’être non planaire est indépendant de tout homéomorphisme : tout graphe dont la structure équivaut à celle de K₅ est non-planaire. Il n’existe donc aucune manière de dessiner ce graphe dans le plan sans avoir des intersections d’arêtes qui ne soient pas des sommets. Un graphe biparti est un graphe formé de deux groupes de points qui ne possèdent aucune arête entre eux. (Figure 26) Le graphe complet biparti sur deux groupes de trois sommets possède aussi la caractéristique d’être non-planaire. Nous verrons en quoi ce critère de planarité devient important lorsque nous construisons des histoires complexes. Étudions quelques propriétés de la planarité.

Figure 27

Figure 26:Graphe complet bibarti sur deux groupes de 3 points.

Tout d’abord, en omettant l’orientation possible des arêtes d’un graphe planaire, nous savons qu’un arbre est un graphe planaire. Si un arbre est planaire et orienté, il peut tout de même contenir des cycles lorsque nous oublions l’orientation. De plus, un graphe peut contenir des cycles qui eux, selon le théorème de Jordan, séparent le plan en régions. Or, le nombre de régions ne dépend pas de la représentation planaire choisie du graphe (Harris, Hirst et Mossinghoff, p. 76). Par exemple, le graphe complet sur quatre sommets possède toujours quatre régions peut-importe la représentation planaire que nous lui donnons. Un théorème d’Euler pour les graphes planaires assure cette constance (38). De plus, si un graphe est planaire, il contient un sommet dont le degré ne peut dépasser cinq (Harris, Hirst et Mossinghoff, p. 79). Une autre caractéristique est qu’un graphe est planaire si et seulement si tous ses sous-graphes sont planaires. La propriété d’être planaire dépend donc de sa structure, des différents liens qui existent entre ses sommets. Ces résultats sont alors consistants pour toutes les courbes homéotopiques ou homéomorphes formant ses arêtes. C’est-à-dire que nous pouvons transformer une représentation non-planaire d’un graphe en une représentation planaire si et seulement si ce graphe possède les propriétés structurelles d’un graphe planaire. En général, des spécifications géométriques sur les arêtes ne sont pas incluses. Elles peuvent toutefois servir à ajouter des éléments à la structure de l’histoire. Par exemple, on sait qu’un graphe est maximal si tous ses sommets sont de degré trois; le graphe est une triangulation (Ore, p. 6). Si le graphe contient un nombre infini de sommets et que l’on admet que les arêtes sont des segments de droites, alors nous obtenons un pavage du plan par des triangles quelconques. Si nous obligeons de plus ces segments à être tous de la même longueur, nous obtenons alors un pavage périodique du plan par des triangles équilatéraux.   L’ajout de critères géométriques tels que la rectitude des arêtes ou la distance euclidienne entre les sommets redéfinit les frontières qui séparent les graphes planaires et non-planaires. Notamment, l’emploi unique de segments rectilignes augmente le nombre de croisements qui ne sont pas des sommets (Bondy, p. 273). L’ajout de la contrainte d’avoir des arêtes isométriques est un exemple de contraintes géométriques qui sort le graphe complet sur quatre sommets de la catégorie des graphes planaires. Cependant, tout graphe planaire à une représentation rectiligne (39) (Bollobàs, p. 22).

L’étude des graphes planaires mena également au théorème des quatre couleurs, théorème qui peut s’avérer utile en narratologie. Ce théorème qui resta longtemps une conjecture stipule qu’il est possible de colorier l’intérieur des cycles de tout graphe planaire avec quatre couleurs de sorte que les couleurs de part et d’autre de chaque arête soient toujours différentes. Le problème est parfois nommé le problème de Guthrie, du nom d’un étudiant qui questionna Auguste de Morgan à ce sujet. De Morgan mentionna le problème à William Rowan Hamilton, mais le problème demeura inconsidéré. Il fallut attendre sa mention par Arthur Cayley en 1879 pour que les tentatives de résolution se multiplient (Ore, p. xi-xii). Finalement, après de nombreuses tentatives infructueuses, c’est Kenneth Appel et Wolfgang Haken qui prouvèrent la conjecture en 1976. Le théorème des quatre couleurs devient utile en narratologie lorsque nous associons les couleurs à des lieux ou à des états. Pour en revenir avec une représentation du paradis et de l’enfer autour d’un cycle, ce théorème implique que peu importe le graphe planaire sur lequel nous travaillons, si nous ajoutons deux espaces possibles entre les cycles, par exemple les limbes et le purgatoire, il nous sera possible d’avoir deux espaces différents de part et d’autre de chaque arête.

L’avantage d’analyser des histoires par leur planarité permet déjà une certaine classification. Par exemple, une fois que nous connaissons notre graphe planaire, nous pouvons définir le nombre maximal de cycles qui peuvent être construits dans ce graphe (Alfed et Thomasse, p. 255-263). Puisque dans le cadre de la bande dessinée, nous étudions des graphes dont les arêtes sont habituellement orientées, nous devons souligner que l’orientation des arêtes d’un graphe ne modifie en rien sa planarité.

Figure 28

Figure 27:Schéma de Queneau complété par Berge

Analysons un premier exemple qui sort de la plume de Raymond Queneau et dont Claude Berge souligna l’importance dans Raymond Queneau et la combinatoire, le numéro 89 de la bibliothèque oulipienne. Après avoir assisté à une conférence de Berge, Queneau décida de représenter la structure macroscopique de son Conte à votre façon. La fin de 19 des 21 paragraphes du texte contient des informations qui dirigent le lecteur vers un paragraphe de son choix. Queneau décida donc de «représenter par un graphe le déroulement des aventures de ces trois petits pois…» (Berge, p. 11). Queneau fit parvenir à Berge un graphe représentant la structure de l’histoire, mais omis d’étiqueter les sommets et d’orienté les arêtes conformément aux ordres de lectures possibles. Claude Berge termina cette besogne ce qui donna le graphe de la figure 27 (Berge, p. 26). Nous remarquons en premier lieu que le graphe est planaire puisqu’aucune des arêtes ne se croise sans former un sommet. Ce fait est pour le moins particulier pour une histoire aussi complexe puisque Queneau n’en a construit le graphe qu’a posteriori. Nous précisons également que ce graphe n’est pas un arbre orienté puisqu’il existe des boucles entre les paires de sommets 7-8 et 13-14. Malheureusement, malgré cette méthode simple et efficace, il ne semble pas que Queneau ait poursuivi cette approche par la suite. En s’adressant à Berge, il a cependant souligné l’importance de certaines caractéristiques des graphes qui pourraient servir à l’étude des histoires : «je serais curieux de connaître pour ce graphe les valeurs des coefficients ‘‘classiques‘‘ dont vous nous avez parlé, le nombre chromatique, le nombre de connexités, etc. » (Berge, p. 11). Le nombre chromatique représente le nombre minimal de couleurs pour colorer les sommets d’un graphe de sorte qu’aucun sommet adjacent ne possède la même couleur (Bondy, p. 357-358). Nous avons déjà vu dans ce chapitre comment le coloriage des arêtes peut s’avérer utile, ce qui semble confirmer l’intuition de Queneau sur le sujet ; nous pourrions construire une histoire en donnant une valeur sémantique à chaque couleur (par exemple rouge pour rencontre amoureuse) et l’utilisation du nombre chromatique pourrait alors servir à s’assurer qu’aucune rencontre de même type de se succèdent. Ajoutons qu’à partir du graphe offert par Queneau, nous pourrions facilement construire une version en bande dessinée de l’histoire de Queneau.

Nous avons déniché quelques exemples de bande dessinée, ou plutôt des planches de bande dessinée qui malgré leur grande complexité demeurent dans la catégorie des graphes planaires. Ces planches sortent d’un auteur dont Martha R. Kuhlman releva les liens avec des groupes comme l’Oulipo et l’Oubapo ainsi que la nature plus expérimentale de son approche : «Ware has been consistently interested in comics that violate the reader’s expectations…» (Kulhman, p. 83).

Figure 29

Figure 28:Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth New York: Pantheon Books. © Chris Ware

La figure 28 présente une page de la bande dessinée Jimmy Corrigan : The Smartest Kid on Earth de Chris Ware (2000, p. 359). Plusieurs des flèches de cette page en diagramme sont en fait des flèches d’inclusion, mais cela ne nous empêche pas de voir entre les différentes suites de cases des courbes paramétrées qui les sous-tendent. Certaines lignes sont disposées sur la page de sorte à croiser d’autres segments. Or, en déplaçant quelque peu les flèches, donc en représentant à leur place des courbes homotopiques, mais en gardant la structure même du récit, nous trouvons que le graphe qui se cache derrière l’histoire est un graphe planaire.

Figure 30

Figure 29:Ware, Chris. 2003. Quimby the Mouse. Seattle: Fantagraphics Books. © Chris Ware

Nous pouvons appliquer plusieurs autres opérations afin de simplifier la structure d’un graphe. Cela devient utile dans l’analyse de certaines structures. Premièrement, si un sommet est d’ordre deux, nous pouvons simplement l’omettre et tracer une arête directement entre ses sommets incidents, le résultat sera planaire puisque tous chemins sont homéomorphes entre eux (Gross et Tucker, p. 18). Dans le cas de l’analyse de planches comme celle de Ware, cela ne change en rien la structure du temps de l’histoire puisque l’opération revient à simplement inclure la case dans son segment de courbe paramétrée. Nous pouvons également supprimer les feuilles, les sommets incidents à une seule arête. Cela revient à dire que ces segments sont homotopiques à un point, celui du sommet précédant la branche de la feuille. Finalement, nous pouvons trouver des segments homéomorphes et les disposer autrement. L’application d’une série de ces opérations permet de classifier des histoires complexes de par leur planarité. Par exemple, nous pouvons modéliser la page 11 de Quimby The Mouse de Chris Ware (Figure 29) par le graphe de la figure 30. Une suite d’opérations permet ensuite de transformer ce graphe en celui de la figure 31.

Figure 30a

Figure 30: Schématisation de la figure 29

Figure 31

Figure 31: Graphe simplifié de la figure 30

 

Figure 32

Figure 32: Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth.New York: Pantheon Books. © Chris Ware

Par conséquent, la structure temporelle de cette page est planaire. La représentation graphique schématiser des plages de Ware n’est cependant pas toujours aussi simple. La structure de la planche de la figure 32 laisse une double interprétation en fonction de l’interprétation que nous donnons à la case centrale dans lequel Jimmy est détaché de la photo à la gauche de la case. Il est possible de décider de juxtaposer ces deux images en suivant l’indice visuel qui laisse comprendre qu’ils sont originalement dans une même case, ou nous pouvons choisir de nous en tenir qu’à la structure en diagramme proposée par les différentes flèches. Les planches les plus complexes de Quimby the Mouse comportent en général les mêmes relations problématiques. (Figure 33)

Figure 33

Figure 33: Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth.New York: Pantheon Books. © Chris Ware

Comme le démontre le dernier exemple, les planches sous forme de diagramme produites par Ware échappent à notre modèle. La raison principale est que les flèches de ses diagrammes suggèrent souvent des relations autres que celle de temporalité (Cates, p. 91). Aux relations associatives, analytiques et métonymiques mentionnées par Cates, nous ajoutons celle d’inclusions. Les schémas de Ware sont souvent superposés à des images de fond auxquelles les cases sont associées. Ces histoires sont alors des récits-cartes qui compliquent l’interprétation que nous pouvons faire de la structure de l’histoire. Par exemple, si nous travaillons sur le graphe complet sur quatre sommets, l’ajout de la carte comme support peut imposer une construction non planaire de l’histoire si les diagonales du carré doivent obligatoirement demeurer à l’intérieur du carré.

Un théorème important définit les critères absolus de planarité. Ce théorème découvert indépendamment par le polonais Kazimierz Kuratowski et par le russe Lev Pontryagin (Delahaye 2008, p. 92) stipule qu’un graphe est planaire si et seulement si il ne contient aucune copie homéomorphe du graphe complet sur cinq points, K₅, ou du graphe complet biparti sur deux ensembles de trois points K₃,₃, le graphe de Thomsen (Bollobàs, p. 23). Nous devons préciser ici ce que contenir veut dire. Nous disons qu’un graphe A’ est le sous-graphe d’un graphe A si nous pouvons l’obtenir à partir de A par le retrait de sommets et des arêtes incidentes à ces sommets et en appliquant les opérations préalablement mentionnées dans l’analyse de la page de Quimby the Mouse. Il existe un équivalent au théorème de Kuratowski qui démontre cette caractérisation de la planarité par les graphes mineurs (40) (Bondy, p. 268). Ce théorème est dû à Klaus Wagner. Nous devons préciser que la présence des graphes K₃,₃ ou K₅ n’implique pas obligatoirement la présence d’un cycle puisque l’orientation des arêtes peut proscrire les cycles. Une fois qu’un graphe est défini comme non-planaire, il est possible de définir le nombre minimal de croisements lorsque nous présentons ce graphe dans le plan (Bondy, p. 248).

Figure 34

Figure 34 Friedrich Strass: Storm der Zuiten (Stream of Time). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Chris Ware n’a pas inventé la représentation du temps sur des graphes non planaires. La complexité de la représentation de l’histoire à l’aide de chartes par les historiens mena à de telles difficultés. La publication de la charte Storm der Zuiten (Stream of Time) par Firedrich Strass en 1804 (Figure 34) influença toute une vague de chartes dans laquelle le temps s’écoule le long de cours d’eau, d’arbres ou d’éclairs comme dans le cas de la charte de Strass (Rosenberg et Grafton, p. 143-147). La complexité de l’histoire implique que ces flux se croisent à maintes reprises. Dans la majorité des cas, les intersections de flux sont des éléments qui représentent des moments de l’Histoire. Malgré tout, quelques sections de ces chartes représentent des passages de flux sur et sous un autre flux, ou en langage de la théorie des graphes, des arêtes se croisent, mais cette intersection ne forme pas un sommet. Nous trouvons de tels exemples dans les chartes Strom des Zuiten de Strass, A Chronological, Historical and Biographical Chart (1807) par Stepehn et Daniel Dod (Figure 35), Chronology Delianated to Ilustrate the History of Monarchial Revolutions (1812) par Isaac Eddy (Figure 36), dans Epitome of Ecclesiastical History (1806) par David Rowland et dans le travail de James Goerge Roche Forlong sur le développement des religions (Rosenberg et Grafton, p. 143-149).

Figure 35

Figure 35: Stepehn et Daniel Dod ,A Chronological, Historical and Biographical Chart (1807). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 36

Figure 36: Isaac Eddy, Chronology Delianated to Ilustrate the History of Monarchial Revolutions (1812). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Le livre de Rosenberg et Grafton offre une liste de schémas temporels dont plusieurs sont non-planaire, notamment Fluxus (Its Historical Development and Relationship to Avant Garde Movements) (1966) de George Macianus qui approchait la création de chartes en tant qu’art et permet l’extension et l’appréciation des principes de Priestley (Rosenberg et Grafton, p. 232-233).(Figure 37) Les mêmes remarques peuvent être appliquées aux chartes Cubism and Abstract Art d’Alfred H. Barr (Figure 38) et celle sur l’histoire de l’art d’Eric Newton (Rosenberg et Grafton, p. 222 et 225). (Figure 39)

Figure 37

Figure 37 : George Macianus, Fluxus (Its Historical Development and Relationship to Avant Garde Movements) (1966). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 38

Figure 38: d’Alfred H. Barr, Cubism and Abstract Art. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 39

Figure 39: Schématisation de l’histoire de l’art par Eric Newton. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

À ce jour, ce qui constitue peut-être la construction la plus élaborée d’une structure d’histoire non planaire est probablement Meanwhile (2010) de Jason Shiga. La structure de Shiga admet 3 856 histoires différentes qui s’étale dans un réseau complexe qui fait de nombreux va-et-vient entres les pages de la bande dessinée. L’ouvrage de Paul Gravett procure une charte globale de l’histoire de Shiga qui permet d’apprécier les nombreuses ramifications de l’histoire. (Figure 40)

Figure 40

Figure 40: Jason Shiga, Meanwhile. Tiré de l’ouvrge de Gravett © 2010 Jason Shiga

Nous analysons dans cette fin de chapitre les structures globales des histoires des films Primer (2004) de Shane Carruth, Triangle (2009) de Christopher Smith et de Looper (2012) de Rian Johnson. Nous nous intéressons à ces films pour plusieurs raisons. Ces trois films contiennent des histoires très complexes. Nous savons que ces histoires contiennent des boucles temporelles, ou des cycles dans notre modèle, mais le nombre exact de ces cycles demeure obscur. De plus, nous ne savons pas s’il est possible de représenter les trames temporelles à l’aide de graphes planaires. Nous allons voir comment la structure globale de ces histoires est pratiquement impossible à deviner de sorte que, malgré la grande qualité de ces films, le spectateur ne peut pas deviner ces structures.

Le film Primer relate l’histoire de deux amis ingénieurs, Aaron et Abe respectivement interprété par Shane Carruth et David Sullivan, qui mènent des expériences afin de breveter des inventions qui pourraient trouver application sur le marché. L’une de ces expériences proposées par Aaron permet la modification du continuum temporel et le voyage dans le passé. Le retour en arrière leur permet de modifier le cours des choses, mais le futur de ces évènements n’est pas spécifié. Les protagonistes réalisent que la connaissance des évènements à venir leur permet de faire beaucoup d’argent à la bourse. Plus le film avance, et plus les personnages font divers voyages qui rendent l’histoire extrêmement complexe. Pour ajouter à cette difficulté, les personnages s’aperçoivent qu’il est possible de mettre une boîte dans une autre boîte pour amplifier le voyage temporel et retourner encore plus en amont dans le temps. Depuis sa sortie en 2004, le film a fait couler beaucoup d’encre. Plusieurs internautes ont tenté de représenter la structure globale de cette histoire par des diagrammes. (Figures 41- 46)

Figure 41

Figure 41: Tom-B. Schéma du voyage temporel dans Primer. Source : Wikipedia, article sur Primer.

Figure 42

Figure 42: Schéma du voyage temporel dans Primer. Source : http://www.terminally-incoherent.com/blog/2008/08/22/primer-the-movie/

Figure 43

Figure 43: Schéma de l’histoire de Primer. Source: http://www.kevinmuldoon.com/primer-film/

Figure 44

Figure 44: Schéma de l’histoire de Primer. Source: http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?f=7&t=47683&start=160

Figure 45Figure 45: Schéa de l’histoire de Primer. Source : http://www.cclapcenter.com/2007/08/movies_for_grownups_primer.html

Figure 46

Figure 46: Schéma de l’histoire de Primer. Sources : http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html et http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html

Les premiers diagrammes intéressants présentent le fonctionnement de la création d’une boucle temporelle (41). Comme dans le cas de Source Code, il y a création d’une nouvelle lignée temporelle, ou de manière équivalente la courbe temporelle embarque sur une ligne de temps différente parallèle à la première. Encore une fois, dans cette construction il y a présupposition que la ligne temporelle créée est équivalente à l’état des choses avant le voyage dans le temps. Notons également qu’à chaque boucle du film, l’auteur respecte le principe de Novikov. Même si diverses versions des personnages coexistent dans une diégèse pour un certain temps, ces personnages s’arrangent en général pour s’éviter. Les complications débutent lorsque nous représentons la structure globale de l’histoire. Les figures 43-46 montrent des tentatives de représenter l’histoire dans son ensemble. L’une des grandes difficultés est qu’il ne nous est pas possible de savoir exactement combien de voyages sont faits par chaque personnage. Même dans la charte la plus complète (Figure 46), cette difficulté est soulignée (http://unrealitymag.com/index.php/2011/09/30/at-last-a-definitive-timeline-for-primer/). Cela nous empêche entre autres d’affirmer qu’il existe réellement neuf trames temporelles. Neuf semblent suffirent pour expliquer l’ensemble de l’œuvre, mais rien ne confirme l’exactitude de ce nombre. Le film Primer démontre bien la problématique du choix du médium dans la présentation d’une histoire. Le format du film permet de maintenir le suspense en construisant morceau par morceau la structure complexe de l’histoire alors que le choix d’une présentation sous forme similaire à la bande dessinée à l’aide de courbes paramétrées permet sa compréhension en profondeur.

La plupart des témoignages sur le film indiquent que malgré un visionnement assidu et une consultation des différentes constructions schématisées de l’histoire, la compréhension du film demeure incomplète. Le choix du recours à une cartographie de l’histoire semble la solution commune afin de pallier ce manque de clarté de l’histoire. Malgré quelques détails qui demeurent impossibles à confirmer, l’ensemble de l’histoire prend une plus grande valeur, lorsque transposée en bande dessinée.

Le film Triangle relate l’histoire de Jess et un groupe d’amis qui partent en voilier sur l’océan. Après une terrible tempête, ils sont rescapés par un navire étrange. Un meurtrier est présent sur ce navire et Jess doit réussir à survivre. Or, plus tard dans le film on voit que le même groupe d’individus, des doubles d’eux-mêmes, a subit le même sort et sera récupéré par le même navire. Après de nombreuses complications, Jess tombe à l’eau et se réveille sur une plage. Elle retourne alors à son domicile ou elle rencontre une autre version d’elle-même qu’elle assassine. Elle prend ensuite la voiture pour aller jeter le cadavre à la mer, mais a un accident sur le chemin. Désorientée, elle marche jusqu’au voilier où l’attendent ses amis et repart au large comme au début du film. Dans ce cas, il y a une boucle principale de l’histoire qui est celle de la version de Jess que l’on suit tout au long du film. Il existe également deux autres versions de Jess importante : celle du domicile qui meurt à chaque cycle, ainsi que celle que l’on voit venir au bateau durant le film. Le réalisateur laisse la trace que cette version de Jess est vouée à une destinée différente, celle de mourir sur le navire, en montrant le groupe d’individus arriver à la droite du navire plutôt qu’à la gauche comme initialement. De plus, il est à souligner que différents moments de la boucle principale se superposent sur le navire, c’est-à-dire que deux versions de Jess de la boucle principale sont présentes sur le navire pour un certain temps. Le film ne semble pas avoir suscité le même intérêt que Primer, mais sa complexité en boucle justifie une présentation de l’histoire en courbes paramétrées. Nous offrons des interprétations simplifiées en la figure 47.

Figure 47

Figure 47: Quelques représentations possibles de la courbe temporelle du personnage principal du film Triangle.

Finalement, le film Looper (2012) de Ryan Johnson utilise également de nombreuses boucles temporelles ainsi que plusieurs lignes que temps. Le diagramme de Rick Slusher (Figure 48) utilisée pour décrire la structure de l’histoire du film représente cette fois la notion de sculpture narrative. En effet pour minimaliser le nombre de croisements inutiles entre les courbes paramétrées, Slusher utilise une représentation tridimensionnelle des différentes courbes présentes dans l’histoire (42). Cette construction devient littéralement une sculpture narrative ; narration dont le choix de la surface de présentation devient important à sa compréhension.

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Figure 48: Schéma de l’histoire de Looper par Rick Slusher. Source: http://lestoilesheroiques.fr/2012/10/looper-fin-explication-histoire-looper-analyse-comprendre.htm

Nous avons exploré dans ce chapitre deux conséquences de la complexification de la structure du graphe sur lequel nous pouvons construire ou concevoir une histoire. Une première conséquence est l’apparition de cycles sur le graphe non orienté, ce qui n’implique pas obligatoirement que l’histoire, elle, contiendra un cycle. Par concaténation de segments rectilignes, nous avons vu que la création de cycles n’oblige pas l’utilisation d’un temps angulaire tel que présenté au premier chapitre. Une seconde conséquence est l’éventuelle déplanarisation de la structure de l’histoire. Cette double complexification de la structure macroscopique de l’histoire nous oblige dès lors à reconsidérer le concept de canevas infini : dans le cadre où nous voulons construire sur un tel échafaudage, le choix de considérer le canevas infini au delà d’une vision planaire. Nous avons vu aussi que, avec une complexification de l’histoire, le choix du médium devient crucial pour favoriser sa compréhension telle qu’il en a été avec les chartes du temps de l’histoire pour les films Primer, Source Code et Looper. L’analyse des structures planaires permet de piger dans un bagage de théorèmes qui peuvent enrichir l’arthrologie des cases. Nous avons brièvement vu comment les notions de coloriage des sommets et des arêtes peuvent servir cette idée. Notons qu’une panoplie d’autres notions pourraient agrémenter la recherche dans cette direction : dualité, double recouvrement par cycle, spanning tree et bien d’autres. À l’inverse, le choix de travailler sur un graphe non planaire mène également à de nouvelles possibilités, nous analysons ce cas dans le prochain chapitre.

Notes:

29- Des listes d’œuvres littéraires et filmiques qui font usage du voyage temporel peuvent être consultées aux pages suivantes : http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_time_travel_science_fiction#Time_travel_in_novels_and_short_stories et http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Time_travel_films

30- Des images peuvent être observées sur leurs sites respectifs: http://joshsommers.smugmug.com/ et http://www.flickr.com/photos/sbprzd/sets/72157594172266668/detail/

31-http://www.pacifict.com/Examples/Example4.html

32-Traduction libre de l’auteur de winding number.

33-Ce résultat découle des deux racines possibles de la formule quadratique.

34-Nous pourrions considérer ce graphe schématisé comme un cas planaire de sculpture narrative.

35-Traduction libre de l’auteur.

36-Voir par exemple l’article suivant : Delahaye, Jean-Paul. 2013. « La quête du pavé apériodique unique». Pour la Science, n˚433 (Novembre), p. 124-129.

37-Les notations de Conway, de Coxeter et de Schonflies sont les principales notations alternatives.

38-La notion de région est ici quelque peu élargie. Une région est simplement l’espace défini par un cycle.

39-Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Fary.

40-Un graphe mineur est obtenu à partir d’un graphe par suppression de sommets, d’arêtes et par contraction d’arêtes. Un sous-graphe ne permet pas l’utilisation de contraction d’arêtes.

41-http://en.wikipedia.org/wiki/File:Time_Travel_Method-2.svg et http://www.terminally-incoherent.com/blog/2008/08/22/primer-the-movie/

42- http://www.film.com/movies/looper-infographic

L’image retrouvée : de l’anamorphose à la transformation conforme (Partie 3)

DISCUSSION

Il existe une grande variété de distorsions que l’on peut appliquer à l’image. Elles sont toutes aussi surprenantes les unes que les autres et c’est ce qui en fait l’attrait pour plusieurs artistes. Certains types de distorsions, même simples, garantissent l’impossibilité de retrouver l’image initiale comme il en est le cas de la méthode de cryptographie visuelle de Moni Naor et Adi Shamir. . Or, quels sont les points communs et divergents qui nous permettent dans le cas des anamorphoses et des transformations de Möbius de remonter vers l’image? Quelques observations sont de mise. Premièrement, on doit constater qu’il est possible de remonter vers une image sans posséder un point de vue particulier dans l’espace. Le cas de la cryptographie est un exemple évident et il en est de même pour les transformations de Möbius. En effet, toute transformation de Möbius, aussi déformante soit-elle, possède une transformation de Möbius inverse qui permet de ramener l’image à son image originale (Gamelin 63-64). De sorte que d’une image déformée du vidéo de Tokuzawa, il est possible de ramener l’image avec le nadir au centre et le zénith comme bordure de l’image, c’est-à-dire à l’image équivalente à une Wee Planets de Duret-Lutz prise sans distorsions immédiatement après la projection stéréographique. Il est de manière équivalente possible de retrouver la position initiale de la sphère de projection avant les transformations sur celle-ci. Il existe donc des remontées vers l’image qui soit strictement techniques et non imputables à un point de vue particulier. Cette caractéristique semble être partagée par certaines anamorphoses. Par exemple, le retour à l’image dans le cas des anamorphoses cylindriques, comme celle d’Orosz, est impossible sans l’outil nécessaire.

En comparant l’anamorphose d’Orosz et les anamorphoses cylindriques des Pays-Bas du 18e siècle que l’on retrouve dans la collection de H. Tannenbaum un point particulier nous frappe, point qui s’applique tout aussi pertinemment au travail de Duret-Lutz : la peinture d’Orosz est cohérente et agréable à regarder même si on ne fait pas le retour à l’image originale (dissimulée dans ce cas) contrairement à celles de la collection de Tannenbaum qui semblent chaotiques sans le miroir cylindrique. Ce principe va encore plus loin dans le cas de Duret-Lutz où le retour à l’image n’a pas lieu de se faire. L’œuvre est l’image déformée et la petite planète constitue en soit un monde à part entière sur laquelle on s’attend à voir ressurgir le petit prince. Les images sont vendues telles quelles par l’artiste, sans aucune piste pour la reconstruction. Il y a donc possibilité de comprendre une image sans avoir à remonter vers l’image originale.

Il devient alors intéressant de chercher à comprendre ce qui permet à une image de conserver une cohérence. Cette possibilité est-elle engendrée les mêmes principes des anamorphoses qui permettent la transition d’image chaotique à l’image compréhensible en se positionnant au point de vue approprié?

La piste qu’il semble naturelle de prendre vient de la définition même de transformation conforme. Comme mentionné auparavant, ces transformations conservent les angles d’incidence aux croisements de lignes. En regardant une gravure de Schön ou les graffitis du TSF Crew, l’image comme telle ne semble aucunement préservée Cependant, si le spectateur arrive à reconnaître l’image du point de vue adéquat, c’est bien que l’image retrouve les bons angles d’intersections en arrivant sur la rétine. On a donc une transformation conforme, en plusieurs étapes, entre l’image originelle avant sa construction déformée et l’image finale rétinienne.

L’image anamorphique rétinienne possède une autre caractéristique : c’est une homothétie. C’est-à-dire qui même si l’image rétinienne est beaucoup plus petite que l’originale, les longueurs sont toutes proportionnellement plus petites par un certain rapport d’homothétie k, et les aires le sont par le carré de ce rapport. Un argument simple pour le démontrer serait de faire une triangulation de l’image, c’est-à-dire de la découper en une somme finie de petits triangles. Pour que deux triangles soient homologues, il suffit que deux de leurs angles soient égaux, ce qui découle directement de la discussion du paragraphe précédent. Trivialement, les images de la projection stéréographiques et des transformations de Möbius ne conservent pas les aires. Par exemple, pour la projection stéréographique, un cercle minuscule autour du pôle sud se retrouvera projeté vers un immense cercle avec son contour très loin de l’origine. Par les cas de l’inversion, on peut voir que les aires ne sont pas proportionnelles.

Il semble pour l’instant que les ressemblances s’arrêtent ici. La conformité est partagée dans tous les cas, mais pas l’équivalence des aires. Tournons-nous maintenant vers la psychologie de la perception afin de voir comment celle-ci peut souligner l’importance de ces caractéristiques dans la reconnaissance d’image

LA THÉORIE DE LA RÉCEPTION DE L’IMAGE

Au cours du dernier siècle, de grandes avancées ont permis une meilleure compréhension de notre système visuel. Ces découvertes ont permis entre autres d’expliquer un grand nombre d’illusions d’optique et de mieux comprendre le fonctionnement de la réception des objets visuels. Dans un article important, Irving Biederman a mis sur pied sa théorie des géons, ou constituants visuels des objets. Il présente entre autres l’effet de l’ablation de certains éléments d’objets visuels. L’un des résultats importants concerne les lignes et leurs intersections. Dans une expérience, il effaça 50% des lignes de deux manières différentes. Une fois en ne touchant qu’aux segments milieux des lignes et l’autre en touchant aux intersections. Il observa que les sujets avaient beaucoup plus de difficulté à reconnaître les objets lorsque des intersections de lignes avaient été enlevées. Il en va de même aux constituants. Par exemple, un avion auquel on a enlevé une aile est plus difficile à reconnaître que si l’on enlève une bonne part des intersections des lignes qui le représentent. La conclusion est que les intersections de lignes sont des constituants extrêmement importants pour la reconnaissance d’image (135-140). Pour se convaincre de l’importance de l’angle entre les lignes, on peut regarder dans une chambre d’Ames et voir les gens y changer de grandeur. Comme l’explique Ramanchandram, les présuppositions concernant les angles entre les lignes d’une pièce sont si fortes qu’elles outrepassent le fait absurde que les gens y changent de forme.

Cette expérience semble expliquer pourquoi le spectateur malgré la difformité de l’image anamorphique plus traditionnelle, est apte à reconstituer et reconnaître cette image. Ce n’est cependant pas une grande surprise puisque l’image rétinienne est une homothétie de l’image originale. L’expérience devient fort intéressante lorsqu’on l’applique aux images obtenues par transformations conformes.

Il est certain que la conservation des angles doit être jumelée à d’autres principes de base de la reconnaissance d’objet, notamment ceux de la gestalt. Ces principes sont simples mais évocateurs : un objet qui est entouré doit être la figure, la planète de la figure 12 est entouré de bleue; la partie la plus petite doit être la figure; ce qui est symétrique à plus de chance d’être une figure; les lignes parallèles déterminent une même figure; ce qui est de la même couleur doit appartenir à la même figure (Wolfe 87-89). Observons par exemple la figure 15 avec ces considérations en concert avec la conservation des angles. Il y a ici une difficulté à comprendre que le sol est un objet car il entoure plutôt que d’être entouré comme dans le cas des Wee Planets. Il reste tout de même certains éléments aisément identifiables. Par exemple, du sol partent des lignes perpendiculaires à celui-ci mais parallèles l’ l’une à l’autre. Ensuite, ces lignes parallèles sont proches et contiennent toutes la même couleur brune donc devraient être unies en une figure. Finalement, de ces parallèles se ramifies des perpendiculaires contenant également du brun. On reconnaît donc des arbres.

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Figure 15: A Hole in the Ground de Seb Pzbr

Les mêmes principes s’appliquent pour la troublante vidéo de Tokuzawa. Le regroupement des objets et les angles d’incidences restant intacte de sorte que l’on arrive à déchiffrer les éléments de la scène. Il reste que, en congruence avec notre système visuel, l’image nous semble plus naturelle lorsque les points à l’infini sont plus éloignés les uns des autres, lorsque l’image est une Wee Planet avec un point de fuite en bordure de l’image. Lorsque les deux points noirs sont trop rapprochés, un autre phénomène se produit. Retournons à la théorie de la perception pour le comprendre.

Dans son même article sur la théorie du système visuel, Biederman discute de l’effet de certaines illusions d’optique dont le fameux triangle de Penrose  (Figure 5). En revenant sur l’importance des intersections, il discute du fait que chacune des intersections de lignes aux coins du triangle nous impute une vision tridimensionnelle de l’objet, même si son sens global est contradictoire. Les objets peuvent donc être localement cohérents mais tout en restant difficiles à interpréter dans leur ensemble (Biederman 135-140). C’est un effet que l’on retrouve couramment chez les artistes adeptes d’illusion comme Escher ou Orosz. Il semble que le même effet se produise avec la vidéo de Tokuzawa, principalement lorsque les deux points de fuite se rapprochent. N’ayant pas l’habitude de percevoir le monde ainsi, nous n’arrivons pas à en faire un sens : même si techniquement la scène est stéréoscopique, nous la percevons comme se déroulant seulement en avant, ou derrière l’écran. Les transformations conformes sont donc des outils importants qui permettent de représenter différemment les espaces en trois dimensions. Le cas de la projection stéréographique et les images de Duret-Lutz nous montrent comment il est possible ainsi de faire un espace tridimensionnel abstrait mais qui reste parfaitement intelligible alors que le travail de Tokuzawa démontre que l’on peut représenter un monde localement intelligible mais difficile à interpréter dans son ensemble.

Comme nous l’avons vu, le terme anamorphose est assez générique et ne permet pas à lui seul de bien rendre compte des nuances qui forment l’ensemble des œuvres que l’on peut trouver dans cette catégorie. Résumons un peu les différentes observations obtenues.

L’étymologie du mot anamorphose fait référence à la possibilité de retourner vers une image à partir d’une image modifiée. L’acceptation conventionnelle du mot permet l’usage d’un outil pour retrouver cette image originale. La définition de Baltrusaitis du mot implique le positionnement du spectateur à un point de vue particulier. Des images comme les photographies de Duret-Lutz permettent le retour vers une image, mais cela ne constitue pas le but de l’œuvre. Un point de vue particulier du spectateur n’étant pas requis, cela empêche ces œuvres d’être considérées comme anamorphoses au sens de Baltrusaitis même si un processus permet de retrouver l’image originale. Ces différences n’empêchent pas les anamorphoses et les images obtenues avec la projection stéréographique et les transformations de Möbius de partager certaines caractéristiques importantes à leur réception, celle de la conservation des angles d’intersection des courbes. Ce point commun permet une exploration de notre perception de l’espace tridimensionnel.

Cette caractéristique de conserver les angles est une caractéristique des transformations conformes dont les transformations de Möbius et la projection stéréographique ne constituent qu’un échantillon.  La compréhension du lien entre conformité et réception de l’image peut mener vers deux considérations importantes. Premièrement, lorsqu’une image est identifiable même après modifications, il semble légitime d’aller vérifier si la transformation est conforme. Prenons un exemple précis. En 2003, le mathématicien H. Lenstra et son équipe ont réussi à comprendre la transformation qu’Escher avait tenté d’effectuer dans sa lithographie Prententoonstelling , (L’exposition d’estampes, 1956). La transformation était d’une telle complexité qu’Escher n’arriva pas à terminer son œuvre et il fallut attendre près de 50 ans pour voir Lenstra et son équipe y parvenir (Lenstra 104-105). Depuis, plusieurs photographes ont entreprit de reconstruire des images similaires en utilisant les même transformations. Les résultats sont très complexes mais restent presque parfaitement intelligibles. Lenstra confirme notre intuition en définissant la relation mathématique utilisée pour modéliser et compléter le travail d’Escher. Cette transformation à base de fonctions exponentielles et logarithmes est une transformation conforme (Gamelin 449). est étonnant de voir que les principes de projections peuvent également servir à définir cette relation. En effet, la transformation décrite par Lenstra peut être décrite en passant par la déformation d’une image projetée sur un cylindre (Carphin, Rousseau 21-24).

Inversement, il pourrait être intéressant d’expérimenter avec une série de transformations conformes et observer à quel point les images restent intelligibles. Ces expériences pourraient sûrement donner lieu à plusieurs œuvres intéressantes qui reviendraient confronter notre perception de l’espace. Pour le moment, l’utilisation cinématographique des projections reste une pratique limitée à quelques artistes spécialisés mais il est évident que ces techniques pourraient mener à des séquences intéressantes notamment dans le domaine de l’humour et du vidéo-clip. La transformation d’Escher-Lenstra donne lieu à quelques vidéos de zooms sur une image fixe infinie, mais il est à croire que cette technique serait intéressante dans un cadre narratif. On voit en autre que, puisque par une image du type de Tokuzawa on arrive à représenter une sphère tridimensionnelle, en juxtaposant plusieurs de ces images on arriverait à représenter un espace avec un grand nombre de dimensions. La production de dédales avec un grand nombre serait également possible en juxtaposant sphériquement plusieurs images de ce type.

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Figure 16:Obligatory Droste Self Portrait par Josh Sommers

CONCLUSION

Nous avons tenté de comprendre et de classifier quelques œuvres en les considérant dans la perspective de l’anamorphose. À l’aide d’un retour sur l’histoire des théories de la perspective nous avons pu entreprendre une analyse qui contient l’idée des points à l’infini. Utilisant la projection stéréographique et finalement les transformations conformes, nous avons réussi à comprendre davantage les photographies d’Alexandre Duret-Lutz et certaines vidéos que l’on retrouve sur internet. Une fois cette compréhension acquise, la comparaison avec la définition d’anamorphose et des différents types d’anamorphoses nous ont à la fois permis d’exclure les photographie de Duret-Lutz des anamorphoses et de trouver un point commun avec celles-ci : la conformité. La théorie de la perception a permis de consolider notre analyse de la conformité ainsi que de confirmer son importance comme élément d’analyse dans notre entendement de la perception de l’espace réel ou virtuel. Finalement, nous avons ouvert des pistes d’analyse et d’explorations artistiques se basant sur le concept des transformations conformes. Les isométries étant déjà bien présentes dans les arts visuels, il serait fort intéressant de piger dans le grand catalogue des projections et transformations du plan pour tenter d’élaborer des œuvres et hypothèses sur les transformations qui conservent les aires afin de mieux saisir leur importance.

L’image retrouvée : de l’anamorphose à la transformation conforme (Partie 2)

LES PROJECTIONS STÉRÉOGRAPHIQUES ET AUTRES VARIATIONS

Les adeptes de projections, artistes ou scientifiques, ont développé au fil des siècles une multitude de techniques différentes pour faire passer les images d’un type de surface à une autre. Évidemment, une des questions découlant de la prise de conscience de la sphéricité de la Terre était celle de la projection d’une sphère vers le plan (et vice versa) afin de permettre des cartes précises. La recherche d’une projection adéquate fit apparaître des techniques, comme celle de Mercator, avec leurs avantages et désavantages. Les types de projection sont nombreux et contiennent tous certaines nuances qu’il faut bien savoir déceler.

Une des projections les plus importantes, étudiée depuis l’antiquité (Snyder 154), est connue sous le nom de projection stéréographique. Dans cette projection, on place la sphère sur un plan en la faisant reposer sur son pôle sud et du pôle nord on trace une ligne droite qui traverse la sphère en un point et finalement rencontre le plan. Le point sur le plan est le point de projection de celui de la sphère, c’est l’endroit où ce point se retrouve après la projection (Figure 11). Si l’on fait la transformation inverse, chaque point revient à son point initial sur la sphère. Plus on s’éloigne vers l’infini dans n’importe quelle direction du plan, plus on se rapproche du pôle nord après la transformation inverse qui ramène les points sur la sphère (Gamelin 11-13); (Pressley 109-111). La bordure infinie du plan dans toute les directions, l’horocycle, est un point à l’infini lorsque considérée dans cette projection.

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Figures 10: Anges et démons de Esher

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Figure 11: Projections stéréographiques

En cherchant des images de projections stéréographiques, on tombe rapidement sur le travail d’Alexandre Duret-Lutz, photographe et informaticien français. (Figures 12 et 13) Ces images à la fois belles et vaguement humoristiques laissent difficilement entrevoir l’application de la projection stéréographique. Heureusement, Duret-Lutz explique très clairement la démarche qu’il a suivi afin d’obtenir son résultat. . Il débute en prenant des photographies d’un lieu à 360° horizontalement et à 180° verticalement. Ces photos, raboutées toutes ensembles peuvent former une sphère dans laquelle se trouvait la caméra au moment de la prise des clichés avec le zénith comme pôle nord et le nadir comme pôle sud. Cette sphère est l’équivalent photographique d’une Termesphere, mais virtuelle et perçue de l’intérieur. Une fois cette sphère virtuellement construite par ordinateur, Duret-Lutz applique la projection stéréographique. . C’est la raison pour laquelle dans les Wee Planets comme elles sont souvent nommées sur internet, les objets qui s’élèvent vers le ciel le font en direction de la bordure de l’image puisque cette bordure, en toute direction, représente le point à l’infini et donc le zénith. La liste des photographies faisant usage de cette projection est longue et donne lieu à une panoplie d’effets forts intéressants.

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Figure 12 : Wee Planet par Alexandre Duret-Lutz

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Figure 13: Wee planet par Alexandre Duret-Lutz

Si le principe s’applique à la photographie, il est normal qu’en remplaçant les caméras photographiques par des caméras vidéo on puisse obtenir des vidéos similaires et il semble que l’une de ces premières expériences ait été faite en 2008 par Nate Bolt. Depuis, d’autres passionnés de projection ont suivi la tendance. On peut souligner en particulier le très beau travail de Mark Macaro.. On trouve même désormais des travelings de caméras qui s’effectuent sur des Wee Planets, ce qui revient à dire que le pôle nord de la projection bouge en permanence comme dans Zach Walks Around dans lequel Zack Palmer utilise une sphericam. D’autres vidéos poussant encore plus l’expérimentation ont vu le jour et nous y reviendrons plus loin dans ce texte.

CARACTÉRISTIQUES DES PROJECTIONS ET COMPRÉHENSION DU TRAVAIL DE DURET-LUTZ

Premièrement, il faut préciser qu’il existe différentes manières de projeter une sphère sur un plan. Les projections utilisées par Mercator, Miller ou Cassini par exemple projettent la sphère à partir de son centre sur un cylindre qui l’entoure (Synder 37-38). D’autres projettent la sphère sur un cône que l’on déplie par la suite pour obtenir une carte, c’est le cas des projections de Albers ou de Lambert. Malgré de nombreuses caractéristiques intéressantes, ces projections ne semblent pas être utilisées dans la production de photographies artistiques pour l’instant et pour cette raison nous limitons notre intérêt à la projection stéréographique.

Les projections entre deux surfaces ont tendance à modifier certaines propriétés géométriques telle que la longueur ou l’aire. On sait désormais qu’une conséquence directe d’un théorème due à Gauss, le Théorème Egregium (remarquable), est qu’il n’existe aucune projection isométrique entre la sphère et le plan (Pressley 229 et 238). C’est-à-dire qu’il n’existera jamais une carte sur laquelle les longueurs sont proportionnelles à celles sur le globe. Ces longueurs se retrouvent obligatoirement rallongées ou rétrécies. Il y a principalement trois caractéristiques que l’on regarde lors d’une projection. Cette analyse en revient à une précision des interrogations d’Alberti, à savoir quelles sont les caractéristiques géométriques conservées entre deux perspectives (Dahan-Dalmedico, Pfeiffer128), ou dans notre cas entre deux images sur deux surfaces différentes après une projection. Si les longueurs sont conservées, on dit qu’il y a isométrie. Si les aires des sections sur la première surface sont conservées sur la seconde surface on dit qu’il y a équivalence. Finalement, ce qui nous intéresse ici, si les angles entre deux courbes qui se croisent sont conservés, on dit que la transformation est conforme. Conséquemment, on peut étudier la projection de certaines figures géométriques. Par exemple, on sait que pour la projection stéréographique, les cercles qui ne passent pas par le pôle nord sont envoyés vers des cercles sur le plan. Les cercles passant par le pôle nord correspondent à des lignes droites infinies dans le plan puisqu’elles vont d’un infinie à un autre, i.e., du pôle nord au pôle nord après la projection inverse (Gamelin 12-13).

L’effet d’envoyer les cercles vers les cercles est clairement visible dans le travail d’Alexandre Duret-Lutz. En prenant des photos en panoramiques circulaires sur la ligne d’horizon, autrement dit en 360° horizontalement, il crée un cercle avec l’horizon qui, dans la construction de la sphère virtuelle, se retrouve à être le cercle de l’équateur. Une fois la projection stéréographique appliquée, ce cercle équatorial est le cercle qui délimite la circonférence de cette petite planète que l’on voit. Ce cercle d’horizon devient alors cette fameuse ligne à l’infini qui permet une présentation particulière de l’espace.

Élaborons un peu sur les transformations conformes. Ce principe veut que si nous avons deux courbes qui se coupent perpendiculairement sur la sphère elles se couperont également perpendiculairement sur le plan. Évidemment, on doit avoir une définition d’angle qui convienne autant pour des courbes sur une surface sphérique que sur le plan. C’est pourquoi on utilise l’angle entre les droites tangentes aux deux courbes en leur point d’intersection (Gamelin 36-43). Il suffira de comprendre en fait que l’on sait calculer l’angle entre deux courbes sur une sphère ou un plan. Le point qui nous intéresse est le même qu’Alexandre Duret-Lutz tient à préciser dans son texte explicatif sur internet , c’est le fait que la projection stéréographique est une transformation conforme (Pressley 108-111; Snyder  154). Il précise très clairement que son travail n’est pas effectué à partir de la projection polaire (un autre type de projection) qui elle n’est pas une transformation conforme . Cette qualité d’être conforme a une grande incidence sur le résultat et parfois sur l’appréciation du résultat final. La qualité d’être conforme permet de conserver la forme générale (dans un sens large) des constituants de l’image et permet de reconnaître la scène. Ces détails seront approfondis dans la section sur la théorie de la perception. Nous avons pour l’instant deux constatations importantes : les Wee Planets sont construites à partir de la projection stéréographique et celle-ci est une transformation conforme.

Il semble qu’un certain bagage mathématique nous ait donné l’opportunité de comprendre un peu plus les Wee Planets d’Alexandre Duret-Lutz. On comprend qu’il y a conservation des cercles, conservation des angles et dilatation ou rétraction des longueurs. Or, il reste encore dans son portfolio quelques photographies qui portent à confusion. C’est le cas de la figure 14. Dans cette photographie, le sol semble former un immense cylindre au bout duquel le ciel siège. La distorsion des formes semble vaguement similaire aux autres photographies de Duret-Lutz mais le résultat global se distingue énormément de celui de la projection stéréographique. Toutes les projections que nous avons vues ou nommées jusqu’à présent avaient pour but de cartographier la terre, ou le ciel , mais aucune d’elles ne semble pouvoir donner le résultat que l’on observe. Pour comprendre l’effet obtenu sur cette photographie, il y a deux chemins possibles. L’un passe par la projection stéréographique et l’autre par les transformations de Möbius.

TRANSFORMATIONS DE MÖBIUS ET PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE

Dans le processus de création de ses images, Duret-Lutz fait la projection d’une sphère virtuelle qu’il a construite à l’aide de ses photographies à 360°x180°. Dans les projections stéréographiques qu’il fait pour ses images de planètes, il place le zénith comme pôle nord, point à partir duquel on tire les rayons qui définissent la correspondance entre les points de la sphère et ceux du plan. Or, rien ne l’empêche d’appliquer des modifications sur cette sphère avant de faire sa projection. En observant la figure 14, on voit que cette fois-ci le zénith se retrouve au centre au lieu d’en bordure de l’image et que la bordure de l’image est en fait le nadir de la caméra. Il y a donc inversion du pôle nord et du pôle sud, c’est-à-dire que le photographe a appliqué à sa sphère de projection une rotation de 180° verticalement avant de faire la projection. Logiquement, la rotation de la sphère ne modifie pas les angles entre les lignes sur la sphère et comme vu auparavant, la projection stéréographique conserve également les angles. Conséquemment, les objets dans la figure 14 conservent leurs formes générales et restent reconnaissables.

Ici, la question de la projection se complexifie largement et il nous faudra creuser plus profondément encore dans l’univers de la projection et des transformations de l’image. On aura besoin d’un nouvel outil : les transformations de Möbius.

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Figure 14: Photographie d’Alexandre Duret-Lutz

Avant tout, il nous faut connaître le plan complexe. Le plan complexe est comme le plan cartésien, la seule nuance est que les valeurs de l’axe des ordonnées sont des valeurs qui multiplient le nombre i =√-1. Par conséquent, si j’écris le couplet (2,3), cela revient à dire que j’ai deux en valeur réelle et 3i. Le nombre complexe résultant est z =2+3i. Tout point du plan est donc associé à un nombre complexe. Comme pour les nombres réels, on peut additionner, multiplier ou diviser un nombre complexe par un autre. La transformation t = a+z, où a est un nombre complexe fixe et z un nombre complexe quelconque.  Autrement dit, on ajoute à tous les points du plan la valeur complexe a. Il en résulte une translation du plan. De manière équivalente, on trouve que l’on peut aisément construire des dilatations, rétractions et rotations du plan complet. . Les transformations de Möbius sont les transformations de la forme (az+b)÷(cz +d), où a,b,c,d sont des nombres complexes fixes. Toute transformation de Möbius peut être construite à l’aide d’un nombre fini de dilatations, translations, rotations et inversions (Gamelin 65).

La dernière transformation mentionnée, l’inversion t =1÷z, est celle qui diffère quelque peu des transformations triviales. Elle prend le point à l’infini et le positionne au centre du plan, et inversement met le centre du plan au point à l’infini dans toutes les directions, ce qui est exactement l’effet observé sur la photographie de Duret-Lutz.

Pour bien comprendre les effets de cette inversion, le lecteur est invité à visionner la vidéo s’intitulant Möbius Transform Revealed par Douglas Arnold et Johnathan Rogness. Le film présente le lien qui existe entre la projection stéréographique et les transformations de Möbius. Cette connexion entre les deux types de transformation est fondamentale pour la compréhension des photographies de Duret-Lutz et une autre œuvre qui sera présentée dans le texte, une vidéo de Tokuzawa. Afin d’éclaircir ce lien revenons sur un point de vue plus théorique. En utilisant l’idée de Desargues d’ajouter un point à l’infini dans toutes les directions, on referme  le plan et on obtient le Extended complex plane, c’est-à-dire le plan complexe plus un point à l’infini, ce qui revient en fait à la sphère de Riemann, sphère qui représente le plan complexe avec son pôle nord comme point à l’infini. Cette sphère est équivalente à celle de la projection stéréographique. Il n’est donc pas surprenant qu’il existe un lien entre les modifications de la sphère et les transformations de Möbius.

Il y a plusieurs caractéristiques des transformations de Möbius qui nous intéressent. Premièrement, ce sont des transformations conformes (Saff, Snider 389). Ceci est déjà une première caractéristique semblable à la projection stéréographique. De plus, comme il est laissé entendre dans la vidéo d’Arnold et Rogness, transformations de Möbius de base sont toutes équivalentes à un mouvement particulier de la sphère avant d’appliquer la projection stéréographique. Les translations du plan sont les translations de la sphère avant la projection. Les dilations et rétrécissement du plan reviennent à changer la grandeur ou la hauteur de la sphère. Les rotations autour de l’axe perpendiculaire au plan sont les rotations du plan et les rotations verticales mènent vers les inversions du plan. La photographie problématique de Duret-Lutz peut donc simplement être considérée comme une inversion de Möbius sur une image planaire d’une Wee Planet  comme celle de la figure 12. De plus, puisque les transformations de Möbius peuvent toutes être construites à partir des transformations de base que constituent la rotation, dilatation, la translation et l’inversion, toute transformation de Möbius peut être construite à partir de la projection stéréographique et des modifications associées sur la sphère. Il en découle que toute caractéristique propre aux transformations de Möbius peut également être obtenue à partir de la méthode de projection. En particulier, c’est vrai pour la caractéristique suivante : à l’aide des transformations de Möbius, on peut prendre n’importe quel triplet de points et le transposer vers n’importe quel autre triplet de points (Gamelin 63). Cette caractéristique est d’autant plus surprenante qu’il est possible de le faire tout en conservant les angles entre les courbes puisque cette transformation sera aussi obligatoirement conforme. Ce constat en main, il est désormais possible d’étudier la vidéo Stereographic Projection – Sample 02 (motion picture) de Ryubin Tokuzawa.

Cette vidéo est en premier lieu notable par la présence de deux énormes ronds noirs envers lesquels semblent converger un grand nombre de lignes. Plus étonnant encore est que ces grands points noirs semblent pouvoir se promener vers le haut et se muter en l’ensemble de la bordure noire de l’image qui semble elle aussi pouvoir former un point mouvant vers lequel les lignes convergent. Ces modifications continues de l’image ne semblent cependant pas modifier notre compréhension de l’image, la caméra se situe sur le toit d’une automobile qui circule sur une route. Comment chaque photographie et finalement la vidéo a-t-elle été construite? Revenons à notre duo projection stéréographique et transformations de Möbius.

Ces transformations étant équivalentes à des mouvements de la sphère combinés avec la projection stéréographique, il en résulte que l’on peut porter n’importe quel triplet de points de la sphère vers n’importe quel triplet de points sur le plan. ces transformations sont également équivalentes à des mouvements de la sphère combinés avec la projection stéréographique. Il en résulte que l’on peut porter n’importe quel triplet de points de la sphère vers n’importe quel triplet de points sur le plan. En observant la vidéo de Tokuzawa plus attentivement, on s’aperçoit que le point noir que l’on voit on début en haut de l’image est le point de zénith de la caméra placé sur le véhicule. Le point du bas de l’image est en fait le nadir de la caméra. Ce qui a été fait après le tournage est simplement de déplacer deux points des pôles pour les installer près du centre de l’image. Ensuite, modifier leurs positions respectives revient à modifier les effets visuels. En projetant le zénith vers le point à l’infini, on associe la bordure de l’image avec le point de fuite et on obtient une Wee Planet, ce qui se retrace visuellement par le point noir qui se dirige tranquillement vers le haut pour se fondre dans la bordure et laisser apparaître la Wee Planet en question avec le nadir au centre. Le résultat peut avoir été obtenu de deux manières différentes. Soit en créant une sphère abstraite à l’aide des photographies panoramiques pour ensuite modifier cette sphère par des dilatations et rotations avant d’appliquer la projection stéréographique, soit la sphère virtuelle a été projeté directement pour créer une image sur laquelle on a appliqué les transformations planaires, les transformations de Möbius.

Nous avons désormais compris l’ensemble des technicités qui se dissimulent derrière les œuvres comprenant des anamorphoses, des projections stéréographique et des transformations de Möbius. Nous sommes prêts à entreprendre une discussion sur les différentes implications, conséquences et interprétations de ces travaux dans le domaine des arts visuels et du cinéma en particulier.