Narrative sculptures: graph theory, topology and new perspectives in narratology

“If there is one thing in mathematics that fascinates me more than anything else (and doubtless always has), it is neither “number” nor “size”, but always form. And among the thousand-and-one faces whereby form chooses to reveal itself to us, the one that fascinates me more than any other and continues to fascinate me, is the structure hidden in mathematical things.”

A. Grothendieck. Récoltes et Semailles

There have been many attempts to model narratives from a structural point of view. From these numerous models we want to preserve a macroscopic vision that allows a quick and simultaneous understanding of various important elements of the story, which we call, following Labov’s and Wilensky’s definitions, narrative points (1). Models mapping the general structure of the story can be found, for instance, in the work of Marie Laure Ryan where both diegetic and possible events are represented and where narrative points are related by vectors. In order to preserve this telescopic view and superpose its logic with McCloud’s notion of infinite canvas (2), which will be defined in the body of this text, an option is to start with the notion of a parametric curve. Before doing so, an overview of the pragmatic motivation that led to this research is needed.

The motivation behind this exploration is taken from an interest in mathematics and an increasing amount of narratives using complex time structures and story representations. Movies like Primer (2005) by Shane Carruth lead to the construction of various charts in attempts to understand the hidden time structure (3). Source Code (Jones, 2011) and Looper (Johnson, 2012) are other examples that created the need for such macroscopic representation and many other films, like Cronocrimenes, Triangle (Smith, 2009) and the Terminator suite are cases that could have led to similar practices. In the case of the movie Looper, a three dimensional version of the chart has been produced, bringing to light wider possibilities (Figure 1).

NS Figure 1

Figure 1: Movie chart for the movie Looper by Rich Slusher.

Comic artists have explored this path in some isolated cases, either in the use of bigger expositional space (4), or as the juxtaposition of various three dimensional objects, like the booklets in Chris Ware’s Building Stories (2012). This work constitutes a box containing many booklets that can be read in different order. This creates multiple combinations for the reader exploring the diegetic world. Another interesting example, comparable to a mutoscope or other early cinematic devices, is the three dimensional cyclical structure of Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le décalage by Marc-Antoine Mathieu. In this case, when leaving the story at the end of the comic, they actually enter the story again to loop the cycle.

The model presented in this paper is a first exploration in the variety of different surfaces that might be used in further narrative experimentations as well an attempt to establish the basis of a formal narrative tool for academics and artists. Therefore, the author wishes to open discussions in defining narratives and hopes to inspire artists in exploring the challenges offer by this model.

One of the key elements of our model is the use of curves with the continuous stretch of time maintained across them. Even if it seems natural nowadays to represent time with a line, its extensive use in various models results from many different traditions. In our model, these influences are mainly the following: history charts, the construction of the real number line based on Dedekind and Cantor’s work, and the use of parametric curves with time as the general parameter. We will discuss these three influences briefly.

For most of the Middle Ages, time was mainly represented on timetables. Around the beginning of the 19th century, time flux started to be embedded within natural metaphors like lightning and rivers (5). These two examples are important since they allow the time frame to branch out simultaneously. Various time lines could be traced out of single elements. In mathematical terms, these structures are equivalent to oriented graphs, and more precisely to oriented trees, since cycles do not exist in these structures.

For its part, the concept of continuity led to multiple complications and was not well defined until the topology of the real line was properly described. We owe much to the work of Weirstrass, Dedekind and Cantor for this definition and understanding. This dense continuous line of values serves as well in defining parametric curves, curves based on a continuous parameter, usually the time. These curves can be used to represent various types of motion, for instance, the movement of particles in space.

The first trick to make use of mathematical models to represent time frames is to base diegetic time on parametric curves. As a building strategy, this enables various constructions of diegetic time structures. First of all, it allows the concatenation of many line segments as it happens in the time charts discussed above, therefore constructing structures like tree graphs. A simple example of a narrative based on that idea is Griffith’s movie Intolerance, in which different independent stories flow separately (6). Examples can also be found in the work of artists like Chris Ware or Jason Shiga, or in the hypercomics based on McCloud’s infinite canvas such as Daniel Merlin Goodrey’s work (7).

The concatenation of various time segments allows the construction of multi-cyclic time structures as well. This kind of structure is not in itself a novelty; in some mythologies, cyclic time is accepted as the general topology of time frames, and some even make use of many intricate cyclic times as in the Tzolkin and Vedic time constructions. In extending parametric curves into graph theoretical frameworks, we can obtain infinity of cyclic graphs where cycles may be intersecting or independent. This application naturally allows a wide variety of already proven theorems to apply to narratology. For instance, observing the underlying structure of a graph might allow us to determine the number of possible cycles, each of them being a possible reading path.

Because cycles are naturally embedded on a flat surface, some considerations about the implied spaces become important. The Jordan curve theorem states that any simple closed curve separates space in exactly two sections, the interior and exterior of the closed curve, or equivalently, of a cycle. As a result, constructing a cyclical story leads to the creation of these inside and outside spaces that might be used later for a semantic purpose.

In Reinventing Comics, Scott McCloud coined the term infinite canvas to represent the possibility of extending comics infinitely in all directions of a plane. His website specifies that it provides the perfect conditions for a type of comic he names hypercomics. Looking back at mathematical definitions of planes and surfaces, it seems clear that various types of infinities are involved in the notion of an extended version of the infinite canvas.

First, in terms of the continuum defined by Cantor, a plane is dense since it follows from the product of two continuous axes. This implies that infinite zooms are possible at any point on a plane, and as such, on any compact surface (8). To understand this implication, we have to look at a category of curves called space-filling curves, or Peano curves after Giuseppe Peano who first proposed such an example. Space-filling curves are iterated curves that, at their limits, fill a whole part of the plane. (Figure 2) Indeed, many other examples have been provided by other mathematicians in order to provide extra characteristics, as for instance Moore’s curve that is a closed space-filling curve. The density of the plane implies that the breakdown of iterated narrative into infinitely smaller scales is possible. This density leads to possible infinite zoom, fractal-like, construction as found in Marc-Antoine Mathieu’s first and third tomes of his Julius Corentin Acquefaques serie.

Figure 2: A Space-filling curve

The second way in which the canvas is infinite arises first when we allow the plane to be infinite in all directions. In mathematical term, it means the surface is not compact because it would be impossible to cover a plane with a finite amount of bounded sets. From a representative point of view it means it could never be entirely seen, in particular, not in a finite amount of images. In this case, this is why McCloud claims that the infinite canvas naturally supports digital comics. Although true, we suggest the infinite canvas presents even more value with the infinite amount of shapes we can allow the canvas to have.

Also, the canvas does not have to be contained simply in the plane. For instance, as suggested visually in McCloud (9) and in the diegetic world of French author Marc-Antoine Mathieu (10), comics could be presented on spheres (11). The use of different properties of the sphere can lead to a variety of narratological compositions in link with the intrinsic properties of the sphere: the presence of loxodromes, the covering groups different from the wallpaper groups and so on.

In addition, as proposed by many artists, from Alan Moore in Promethea to Jim Woodring in a side project (12), passing by members of the OuBaPo collective, the use of a Möbius strip as the canvas leads to interesting constructions. These can be used as objects existing within the diegetic world as in Moore, or directly as a support inducing a specific topology within the diegesis as in Woodring’s case.

Indeed, any sculptural surface may offer interesting options for narrations and a complete survey of such an approach should be done. In our case, we would like to focus on surfaces that have been studied from a mathematical point of view. The reason is that many theorems shed light on hidden properties that enable us to imagine interesting narratives and limiting ourselves to a sculptural point of view would have prevent us from finding and using these properties. The variety of surfaces is infinite and a list of inspiring surfaces can be found in the fields of differential geometry, differential topology, and knot theory. For instance, as a result of their definition, minimal surfaces seem pleasing to embed stories. It involves the possibility of working on some surfaces of infinite area spreading in different axes, as with Sherk’s surface and Costa’s surface (Figure 3), or even with self-intersecting sections, as in the case of Henneberg’s surface.

NS Figure 3

Figure 3: Costa’s surface. Source: Mathworld.com

Compact surfaces also lead to interesting possibilities. In topology, the study of surfaces is bound to the analysis of characteristics which are preserved when surfaces are torn and stretched. Such invariants are coined topological invariants. An example is the number of holes present in the surface. For instance, the sphere contains no holes, but the torus has one; therefore the two surfaces are fundamentally different. On the other hand, the sphere and the cube are classified as the same surface since they both have no holes. This argument leads to a classification for compact surfaces depending on the number of holes involved. As it turns out, all compact orientable surfaces are torus of genus n, meaning a torus with n holes, for n a positive integer These will become useful in the next section.

Orientability is another characteristic that helps refining surface classification. Orientable roughly means they possess an inside and an outside and it is impossible to move smoothly from the inside to the outside. For instance, it is impossible to move on the sphere and end up being inside the sphere without piercing a hole. The Möbius trip is a simple example of non-orientable surface since by smoothly moving along the surface it is possible to end up on the other side of the departure point. In constructing sculptures, non-orientable surfaces lead to some difficulties. For instance, the Klein bottle invented by German mathematician Felix Klein in 1882 cannot be embedded in our three-dimensional world without self-intersecting (Video); it is only possible in four or more dimensions. This makes the visualisation of these surfaces more difficult, but a general classification is still possible.

The class of infinite compact non-orientable surfaces are all equivalent to spheres with a certain number of Möbius strips glued to holes in them (the edge of the Möbius strip is equivalent to a circle, therefore when cutting a circular hole on the sphere it becomes possible to glue the strip’s edge along the edge of the hole). The more complex the non-orientable surface, the more dimensions one needs to avoid self-intersections. Even if it seems very hard to work on these surfaces as a possible infinite canvas, shortcuts exist. There is a way to represent any compact surface, orientable or not, with their fundamental polygons which can easily be represented on the plane. These polygons are simplified maps for these surfaces; to obtain a surface, it suffices to fold its edges by respecting so pair connections or edge directions. Indeed, the writing on non-orientable compact surfaces that aren’t embeddable in three dimensions might be done in a virtual environment, or directly on the equivalent fundamental polygon. The figure below shows the construction of the Klein bottle from its fundamental polygon. (Figure 5)

NS Figure 5

Figure 5: Klein botte’sfundamental polygon.

As a result, the infinite canvas is infinite as well in the number of dimensions a non-orientable surface holding a story could ‘’naturally’’ exist without self-intersecting. Indeed, the use of computers can be a handy tool in constructing such narratives.

The next question we need to address is the following: why would we want to work with parametric curves on this collection of surfaces? The answer comes from the field of topological graph theory. The Polish mathematician Kasimierz Kuratowski and the Russian mathematician Lev Pontryagin proved independently the necessary and sufficient conditions to be able to embed a graph on the plane without crossing edges. It states a graph is planar if and only if it does not contain the subgraphs K₃,₃ or K₅. (Figure 6)

NS Figure 6

Figure 6: The obstruction set for the plane

In constructing comics on parametric curves based on graphs containing one of these would inevitably leads to edges crossovers. Indeed, such overlapping can always be dealt with, as in the case of Chris Ware diagram comics, but the point here is to explore the possibilities provided by restricting ourselves to planar embeddings. To give a pragmatic application, we know the two aforementioned graphs can be drawn on the torus or the Möbius strip without having edge overlapping, it means they have planar embedding for the torus. It follows that it is possible to draw planar stories on such graphs if we use the torus as the canvas. (Figure 7)

NS Figure 7

Figure 7:Toroidal embedding of K₅

The study of topological graph theory led to the discovery that different surfaces don’t share the same obstruction groups, i.e. the set of graph making the planar embedding impossible, such as K₃,₃, and the K₅, in the case of the plane. We know for instance that the Möbius plane has 35 such graphs (Archdeacon, 1980), and the Torus has more than 16 000! On the other hand every finite graph can find a planar embedding in some compact orientable surfaces with at least n holes for a certain n values, and same holds for non-orientable surfaces and a certain number of Möbius strip glued to the sphere.

Another result is that the presence of cycles leads to different amount of bounded spaces. In other words, if the Jordan curve theorem holds for the sphere, it is not true in general. Already in the case of the torus, construction of longitudinal and transversal cycles leads to a single bounded space; it does not hold for torus with n holes neither.

The construction of narrative on these extended infinite canvases, such as non-orientable surfaces, minimal surfaces and so on, is what we call narrative sculptures because their structures are deeply linked to the surfaceskno hosting them. The main goal in constructing narrative sculptures is the research for new narratological challenges. An optimised use of this involves considerations of the following distinctive properties of narrative sculptures: the possible use of complex multi-cyclic time curve constructions, the use of different spaces the cycles are bounding and the possible semantical implications in our world, or in a digital equivalent to it.

We present two examples, expressing challenges brought by simple constructions. The K₅ graph has a planar embedding on the torus. . It can as well be constructed by the union of two cycles by taking a cycle being the outside pentagon and the second one being the star shape in the middle. We could construct a highly ‘’twisted’’ story as following. Through the double cycles, we could describe the interactions of two individuals at desynchronised moments of their life cycles. The complications and self-containing elements of the story could then be reinforced by presenting it on a trefoil knot, which is simply a torus but embedded differently in three dimensions. (Figure 8) Of course, many other options since the torus can find multiple embedding in four dimensions that could lead to interesting narrative sculptures (13).

NS Figure 8

Figure 8: Trefoil knot by Jos Leys. Source: josleys.com

The graph K₅ also possesses a planar embedding on the Klein bottle. It would then possible to construct a complex science-fiction comic. First the multiple desynchronised elements present on the two cycles would bring an intricate time structure. Then, different bounded area could hold their proper images and symbolism related to the story. Finally, the Klein bottle canvas leads to a hyper-fictional statement since the canvas itself could not be properly constructed in our world. The same holds for the infinite collection of surfaces that aren’t embeddable in three dimensions without self-intersecting. (14)

In conclusion, we have seen that by merging various paradigms and concepts from narrative theory, the infinite canvas and mathematical knowledge about surfaces and graphs, we can define highly complex narrative structures that we coined narrative sculptures. Such constructions not only leads to new narratological and artistic challenges, but it can bring new questioning about the way we first, understand stories, and secondly how we teach narratology. In the first case, experiments in cognition could help understanding the effect of dealing with highly complex but still visually clear narratives in our learning process. In the latter case, it evokes the possibility of including some mathematical notions in teaching narratology or even information design.

Félix Lambert

Notes

1- Ryan, p. 150-151

2- McCloud, 2000.

3-An example can be found at http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html

4-Gravett, p. 136-137

5-Rosenberg and Grafton, p.143-149.

6-Eisenstein, p. 397

7- http://e-merl.com/

8-It should simply be understood in this case of surfaces of finite area.

9-McCloud, 1993

10-Mathieu, 2004

11-McCloud also suggest writing on the cube in Reinventing Comics.

12-https://www.fantagraphics.com/rarities-and-miscellany-by-various-artists/moebius-strip-comic-by-jim-woodring-video-photo-animation.html

13-Séquin, 2012

Mediagraphy

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Filmography:

Carruth, Shane (réal.). Primer. 2005. États-Unis: ERBP. DVD. 77 min.

Johnson, Ryan (réal.). Looper. 2012. États-Unis et Chine: Endgame Entertainment. DVD. 119 min.

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Narration et mathématiques: l’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (Chapitre 4)

Chapitre 4 : Écrire sur différentes surfaces.

Dans ce chapitre, notre modèle sert principalement à l’exploration de nouvelles potentialités du médium de la bande dessinée ou des histoires en images lorsque nous les superposons sur différentes surfaces. La grande rareté des artistes travaillant sur les surfaces que nous étudions explique cette tendance. Nous avons jusqu’ici présenté nos histoires sur une seule et même surface ; le plan. Nous explorons à présent différentes surfaces sur lesquelles nous pouvons inscrire des graphes et par conséquent sur lesquelles nous pouvons écrire des histoires. Nous utiliserons une définition de surface équivalente à celle acceptée en topologie (43). (Munkres, p.225), c’est-à-dire que la surface ressemble localement au plan. Dans notre cas, cela permet simplement d’admettre que nous pouvons partout y dessiner comme nous pouvons dessiner sur un plan dans le but d’y présenter des histoires à l’aide d’images. En topologie, le terme 2-manifold est généralement utilise (44). Une surface peut-être bornée ou non, par exemple la sphère est bornée, mais le plan cartésien ne l’est pas puisqu’il existe au moins une direction vers laquelle elle se prolonge indéfiniment. Notre définition de surface permet entre autres d’avoir des surfaces qui ne peuvent pas s’insérer dans un monde tridimensionnel sans se croiser elle-même. La fameuse bouteille de Klein, proposée par le mathématicien allemand Félix Klein, est construite de la sorte (Barr, p.38). Heureusement, nous pouvons représenter ces surfaces en deux dimensions à l’aide des polygones fondamentaux de ces surfaces (45). Nous construisons ces polygones de sorte qu’en donnant à chaque arête une orientation et en joignant deux à deux ces arêtes nous pouvons théoriquement construire ces surfaces indépendamment du nombre de dimensions requises pour éviter sa propre intersection. Nous reviendrons sur ces détails.

Figure 1

La première extension en trois dimensions apparaît naturellement avec la juxtaposition de plans dans l’espace. En 2013, l’artiste Daniel Merlin Goodbrey exposa son histoire Black Hats in Hell sur plusieurs murs (Gravett, p.136-137) (Figure 1), œuvre qui s’apparente en ce sens au projet de la plus grande bande dessinée au monde créée en 2012 par 11 écrivains et 111 dessinateurs de l’école de dessin Émile Cohl à Lyon (46). Dans ces deux œuvres, le canevas reste localement planaire, mais l’ensemble du canevas est une composition de différents plans, en l’occurrence de murs ou de surfaces de lieux publics telles les clôtures. Il existe une panoplie d’autres surfaces tridimensionnelles qui peuvent servir de canevas autre que la juxtaposition de plan.

Figure 2

Figure 2: Termsphere par Dick Termes. Source: site personnel de Termes

Nous débutons avec la sphère puisqu’elle se visualise aisément. L’idée de présenter ces scènes sur une sphère a déjà été utilisée par l’artiste Dick Termes. L’artiste peint des scènes qui seraient perçues de l’intérieur d’une sphère imaginaire entourant un observateur dans un monde diégétique. L’illusion de regard est recréée par les points de fuites qu’il dispose sur cette sphère en imaginant les directions vers lesquelles porte le regard de l’observateur dans la diégèse. Ces scènes imaginées sont ensuite peintes sur l’extérieur d’une sphère. Le résultat, nommé termesphere par l’artiste, est donc une représentation inside-out de cette scène imaginée (Termes, p.243-244). En acceptant la possibilité d’avoir des bandes dessinées en une seule case, nous pouvons considérer les termespheres comme des bandes dessinées  sans cadre, ou dont le cadre est délimité directement par l’espace de la sphère. (Figure 2) Cela est une conséquence de l’aspect borné de la sphère. Nous pouvons imaginer une série de bandes dessinées à même une sphère. Scott McCloud a déjà entrevu cette idée, mais sans toutefois en offrir des exemples complets. Dans Understanding Comics, il présente des sphères sur lesquelles des cases de bande dessinée se trouvent; soit des portraits de personnages importants de l’histoire du médium y figurent, soit il y résume les concepts importants de son ouvrage (McCloud 1993, p. 4 et 214). (Figure 3)

Figure 3

Figure 3: McCloud, Scott. 1993. Understanding Comics. New York : Harper Perrenial. © 1993 Scott McCloud

McCloud se sert de cette image pour représenter le monde de la bande dessinée, nous constatons tout de même que l’idée d’y dessiner des histoires et réalisable. Marc-Anthoine Mathieu pousse un peu plus loin cette hypothèse en laissant comprendre qu’en fait, la bande dessinée qui se lit dans La 2,333e dimension de la série des Julius Corentin Acquefaques existe en fait sur une sphère et qu’il en est de même pour les autres ouvrages de bande dessinée comme celui de La Mouche de Lewis Trondheim (Mathieu 2004, p.33-35). Ceci consiste en une première exploration d’une histoire en plusieurs cases utilisant la sphère comme support. Mathieu n’insiste pas sur la justification de l’usage de ce support pas plus qu’il fait un usage propre de la géométrie et de la topologie de la sphère, ce à quoi nous remédions dans les prochains paragraphes. (Figure 4)

Figure 4

Figure 4: Marc-Antoine Mathieu, Julius Corentin Acquefaques, prisonnier des rèves : La 2,333e dimension. ©2004 Guy Delcourt productions

Nous pouvons représenter une sphère centrée à l’origine de l’espace euclidien à trois dimensions par l’équation à trois variables x²+y²+z²=r² pour r un rayon donné (Pressley, p.61). L’expression de la sphère en une équation a permis nombre d’explorations. Notamment, les mathématiciens et cartographes ont travaillé sur plusieurs relations bijectives entre le plan et la sphère, c’est-à-dire sur ces méthodes de projection de la sphère vers le plan et vice versa. La projection entre les deux surfaces peut conserver ou modifier certaines caractéristiques. Si deux projections sont équivalentes, c’est que les aires sont conservées alors qu’elle est dite isométrique si les distances sont conservées (Pressley, p.106-121). Euler a démontré qu’il n’existe pas de projection isométrique entre la sphère et le plan (Pressley, p.234). Finalement, si les angles d’intersection des courbes sont conservés, nous disons que la projection est conforme. Une projection très utilisée et probablement connue depuis l’antiquité se nomme la projection stéréographique (Snyder, p.154). La bijection s’obtient en situant le Pôle Sud d’une sphère sur un plan et en traçant des rayons à partir du Pôle Nord qui se dirigent vers le plan. Chaque rayon croise la sphère en un point et poursuit vers le la plan jusqu’au point où il est projeté (Gamelin, p.11-13). (Figure 5)

Figure 5

Figure 5: La Projection Stéréographique Source : http://www.dimensions-math.org/Dim_CH1_E.htm

La projection stéréographique est une transformation conforme, c’est-à-dire qu’elle conserve l’angle d’intersection entre deux courbes d’une surface à l’autre. Cette propriété est d’ailleurs celle qui a permis à divers photographes d’obtenir des images représentant l’espace tridimensionnel de manières novatrices et cohérentes (Lambert, p.44).

Dans notre cas, étudions comment la projection d’une surface vers une autre permet de jouer avec la structure de l’histoire. Dans la projection stéréographique, le point à l’infini dans toutes les directions est projeté sur le Pôle Nord de la sphère. Nous pouvons à l’aide de cette propriété donner un deuxième sens à un graphe en étoile. Reprenons l’exemple de l’histoire en étoile dans laquelle les personnages s’éloignent d’un évènement dramatique. En projetant ce graphe vers la sphère, les branches vont à la fois s’éloigner de l’incident, au Pôle Sud, mais les arêtes vont également toutes se diriger vers le Pôle Nord. Alors que la version de cette histoire sur le plan indique que les personnages se quittent à tout jamais, la version sur la sphère laisse sous-entendre qu’ils vont se recroiser malgré tout. Cet exemple démontre l’importance du choix de la surface sur laquelle une histoire en images est présentée.

Figure 6

Figure 6:Spirales sphériques (1958) par Escher, xylogravure, diamètre 32 cm.

La particularité d’être conforme permet également de travailler avec les spirales telles que vues précédemment. Pour ce faire, nous devons définir un type de courbes sphériques nommées loxodromies. Celles-ci croisent les méridiens avec un angle constant (Pressley, p.83). Si cet angle diffère de 90 degrés, nous obtenons une double spirale sur la sphère. En effet, la courbe s’enroule indéfiniment autour de chaque Pôle sans jamais les atteindre. Maurelius Escher avait remarqué la beauté de ces courbes et les œuvres Surface sphérique avec poissons et Spirales sphériques toutes deux datant de 1958 en font l’usage (Locher, p.231-232). (Figure 6) Pour un usage en bande dessinée, plusieurs options s’offrent à nous. Soulignons premièrement que ces courbes deviennent également des spirales, lorsque projetées sur le plan. Si nous prenons une loxodromie partant du Pôle Sud au Pôle Nord, sa projection sur le plan résulte en une spirale qui s’enroule autour de l’origine et qui diverge vers l’infini. (Figure 7)

Figure 7

Figure 7: spirales et loxodromies. Source : http://hop41.deviantart.com/art/Riemann-Loxodrome-110253875

En appliquant une rotation à cette sphère avant d’appliquer la projection stéréographique nous pouvons construire des spirales à deux points de convergences sur le plan tel qu’étudié au deuxième chapitre. En tournant légèrement la sphère, nous déplaçons le Pôle Nord; or, la projection stéréographique s’effectue malgré tout à partir du point le plus élevé de la sphère. Il en résulte que le Pôle Nord autour duquel s’enroule la loxodromie n’est plus projeté vers le point à l’infini. Par conséquent, cette section de la spirale devient également visible sur le plan (Mumford, Series et Wright, p.62-67) comme nous pouvons l’observer dans la photographie de Paul Nylander. (Figure 8).

Figure 8

Figure 8: Double spiral by Paul Nylander. © Paul Nylander bugman123.com

L’artiste Huang Yong Ping, présenta une structure de la sorte pour son œuvre Carte du Monde. L’artiste utilise un dallage de la sphère par une loxodromie qu’il déroule ensuite pour en offrir une version strictement planaire. Sur cette loxodromie déroulée, il situe une panoplie de désastres futurs aux endroits où ils auront théoriquement lieu sur le globe (Rosenberg et Grafton, p.216). Par la relation des désastres avec leurs lieux d’occurrences, cette œuvre s’articule comme récit-carte sur une loxodromie lui-même dallage de la carte. (Figure 9)

Figure 10

Figure 9: Carte du Monde par Huang Yong Ping. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Nous constatons que plusieurs théorèmes valables pour le plan restent également valables pour la sphère. Le théorème de Jordan et le théorème de Kuratowski restent vrais lorsque leur énoncé concerne la sphère plutôt que le plan (Bondy, p.247). Dans le cas du théorème de Jordan, son application sur la sphère amène tout de même un élément nouveau. Sur le plan, une courbe simple fermée sépare le plan entre l’intérieur et l’extérieur de la sphère. L’extérieur de la courbe est alors un espace infini, non borné. À l’opposé, le principe d’intérieur et d’extérieur peut perdre son sens sur la sphère. Tout d’abord, les deux espaces disjoints obtenus en traçant une courbe fermée sur la sphère sont tous les deux bornés. De plus, les grands cercles de la sphère séparent la sphère en deux espaces équivalents, c’est-à-dire les cercles de grandeur maximale de la sphère, dont l’équateur est un bon exemple, séparent la sphère en deux espaces d’aires égales. D’un point de vue topologique, nous pouvons considérer que la projection stéréographique avec l’ajout du point à l’infini qu’est le Pôle Nord est un exemple de compactification d’une surface (Munkres, p.185). La compactification permet de passer à une surface d’aire infinie à celle d’une aire finie.

Ces courbes simples fermées peuvent alors servir à présenter des histoires au sens vaguement différent. Par exemple, prenons le cas d’une histoire cyclique sur le plan où un personnage est pris sur un cercle à l’intérieur du cercle se trouve le paradis et à l’extérieur duquel se trouve l’enfer. L’effet d’avoir un espace infini relié à l’enfer contrairement à un petit espace restreint pour le paradis dirige la lecture du lecteur. Il est difficile et contraignant de se garder une place au paradis alors que tout écart de conduite mène vers les flammes de l’enfer qui emprisonnent la vie du personnage. En représentant cette même histoire sur un grand cercle de la sphère, il est possible de balancer cette lecture puisque les deux aires associées au paradis et à l’enfer seront équivalents.

La construction d’histoires sur la sphère génère des structures difficilement représentables sur le plan. Par exemple, prenons un cube, doublons chacune de ses arêtes et déformons le tout pour obtenir une sphère. (Figure 10) Nous obtenons sur la sphère un graphe équivalent à six cercles opposés en paires comme le sont les faces du cube. Cette construction permet d’opposer les cycles antipodaux d’une manière qui serait impossible sur le plan. La construction d’histoire sur les sculptures narratives s’avère donc un outil qui peut apporter des informations supplémentaires à la narration.

Figure 11

Figure 10: La sphère et le cube sont topologiquement équivalents. Source : http://wiki.blender.org/index.php/File:Dev-cube_sphere.png

Tout comme dans le cas du plan, nous pouvons envisager le recouvrement de la sphère par des cases, tout comme dans la présentation de McCloud, ou par des histoires cycliques. L’analyse des recouvrements de la sphère devient rapidement plus complexe que celle de l’analyse du plan, mais puisque ces recouvrements doivent se faire à l’aide d’un nombre fini de figures isométriques, cela en facilite l’étude (Gao, Shi et Yan, p.2). Sans résumer l’ensemble des résultats et des différentes classifications existantes, nous soulignons quelques particularités. En premier lieu, la géométrie sur la sphère est un exemple de géométrie non euclidienne. Cela implique que la somme des angles d’un triangle n’est pas obligatoirement de 180 degrés, en fait cette somme est supérieure à 180 degrés (Bonola, p.136). Cette caractéristique nous permet de construire des dallages réguliers de la sphère qui seraient impossibles sur le plan, soit parce que les figures ne peuvent pas y exister, soit par ce que ces figures ne permettent pas un dallage du plan. Imaginons un dallage de la sphère à l’aide de triangles isocèles possédant deux angles droits. Évidemment, de tels triangles s’avèrent impossibles sur le plan. Sur la sphère il est possible de retrouver ces triangles si nous prenons un sommet comme étant le Pôle Nord et les deux autres points sur l’équateur, cela résulte de la compactification du plan à l’aide du point à l’infini. Si nous appliquons le même principe à partir du Pôle sud, nous trouvons que le résultat sur le plan après la projection stéréographique est un triangle du point de vue topologique, mais pas du point de vue géométrique puisque l’un de ses côtés est un arc de cercle. Dans les deux cas, le triangle sur la sphère est isocèle puisque la distance sur la sphère de l’équateur aux Pôles est constante et il est rectangle puisque le croisement des méridiens et de l’équateur est perpendiculaire. Nous construisons le dallage en deux temps. Premièrement par juxtaposition de ce triangle dans un hémisphère jusqu’à ce que celui-ci soit couvert et ensuite nous procédons de même pour le second hemisphere (47). (Figure 11)

Figure 12

Figure 11 : Pavage de la sphère. Source : http://math.youngzones.org/Non-Egeometry/spherical2.html

La géométrie non euclidienne de la sphère permet donc des pavages réguliers impossibles sur le plan. Des pentagones réguliers peuvent daller la sphère, il suffit de regarder de dodécaèdre pour s’en convaincre. (Figure 12) La construction d’un tel dallage sur le plan demeure infaisable. Nous avons vu également qu’il est possible de recouvrir le plan à partir d’histoires en spirales. Si une seule spirale suffit pour le plan, il en est de même pour la sphère. À la différence du plan, nous pouvons recouvrir la sphère à l’aide d’un nombre arbitraire de spirales disjointes : nous pouvons tracer un nombre quelconque de loxodromies parallèles qui s’enroulent aux deux pôles sans jamais se croiser.

Figure 13

Figure 12: Pavage d ela sphère par des pentagones. Source : http://plus.maths.org/content/trouble-fiv

Le théorème de Kuratowski tient aussi pour la sphère, c’est-à-dire qu’un graphe sera planaire sur la sphère si et seulement s’il ne contient pas les graphes complets bipartis sur trois sommets ou le graphe complet sur cinq sommets, K₃,₃ et K₅. Tout graphe planaire sur le plan l’est aussi sur la sphère et vice versa (Bondy, p.247). L’avantage de l’utilisation de la sphère peut encore être celui de l’utilisation de l’espace tridimensionnel.

Considérons la sphère dans une perspective topologique. Du point de vue de cette théorie, la forme exacte des objets n’importe pas et si une forme peut être obtenue à partir d’une autre par le biais d’étirements, écrasements et torsions, nous disons que ces figures sont homéomorphes. Les opérations proscrites sur ces objets sont les coupures, collages et perçages. Par conséquent, une sphère est homéomorphe à une infinité de figures tels le cube, l’ellipsoïde et même comme souligné à la blague par certains, à un lapin (48). En fait, toute surface bornée sans trou sera homéomorphe à la sphère. La topologie traite des invariants topologiques, c’est-à-dire des caractéristiques partagées par tous les objets homéomorphes entre eux (Barr, p.5). La caractéristique d’Euler est l’un de ces invariants topologiques qui relie entre eux le nombre de faces, de sommets et d’arêtes et d’un graphe planaire sur une surface. Initialement, cette relation entre les faces, les arêtes et les sommets d’un graphe fut décrite seulement pour décrire les polyèdres (Barr, p.10), mais il se trouve que cette formule s’applique à tout graphe planaire connecté (Bondy, p.259). Antoine-Jean Lhuilier en généralisa la forme pour en donner une version qui s’applique à toute surface bornée (Pickover, p.67). L’utilité d’une telle relation est de permettre de vérifier si un graphe est planaire puisqu’un graphe qui ne respecte pas cette caractéristique ne peut être planaire. Nous pouvons de cette manière démontrer que le graphe biparti complet sur deux ensembles de trois sommets ne peut être planaire (Bondy, p.260). Trivialement, nous constatons que tout graphe planaire sur la sphère l’est également sur toute surface homéomorphe à celle-ci.

Figure 14

Figure 13: Page couverture de The Portable Frank par Jim Woodring. © 2008 Jim Woodring

Les exemples de bande dessinée produite sur des surfaces homéomorphes à la sphère semblent pratiquement inexistants. Le seul exemple qui s’en rapproche apparaît, quelque peu comme la sphère de McCloud, en pavage d’un dragon par des cases de bandes dessinées par Jim Woodring sur la couverture de son ouvrage The Portable Frank (2008). (Figure 13) La créature en question n’apparaît pas dans l’ouvrage en soi. Elle n’est pas sans remémorer la gravure The Remonstrant Snake présentée par Kunzle qui présente sur un grand serpent les conspirateurs de la fraternité remonstrante (Kunzle, p.58-60). (Figure 14)

Figure 15

Figure 14: The Remonstrant Snake.  Tiré de l’ouvrage de KunzleFigure 14: The Remonstrant Snake.  Tiré de l’ouvrage de Kunzle

Une autre surface populaire qui commence à attirer l’attention des artistes est le ruban de Möbius. Le ruban existe depuis l’Antiquité ; le philosophe Lao Tseu l’avait déjà décrit pour en faire une représentation de l’infini (Cazenave, p.731). Le ruban est généralement nommé d’après le mathématicien allemand August Ferdinand Möbius qui l’étudia au 19e siècle. Un autre mathématicien du nom de Johann Benedict Listing en fit la découverte 1958, mais il approfondit moins ses recherches que Möbius ce qui explique son appellation (Pickover, p.28). Nous pouvons construire le ruban de Möbius à partir d’un simple rectangle. Il suffit de tourner l’une de ses extrémités de 180 degrés et de le coller à l’autre extrémité du rectangle (Barr, p.23-25). (Figure 15)

Figure 16

Figure 15 : Le ruban de Moebius. Source : http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Victor/part2.htm

La surface résultante est bornée et ne possède qu’un seul côté. Effectivement, en traçant une ligne le long du rectangle nous passons sur le devant et l’arrière de la bande. Pour cette raison nous disons que cette surface est non-orientable (Pressley, p.76-77) et nous verrons plus loin qu’il existe en faire une infinité de surface de la sorte. En suivant la bordure du rectangle nous trouvons également que cette surface ne possède qu’une arrête, cette arrête consiste en le cadre de cette surface, cadre qui la rend bornée (Barr, p.24). Il possède une caractéristique d’Euler de zéro.

Figure 17

Figure 16: M.C. Escher, Ruban de Moebius II, 1963, xylogrphie, 45×20 cm

Le ruban de Möbius est probablement l’une des figures mathématiques les plus connues et son utilisation passe de la prestidigitation à la physique (Gardner 1956, p.70-71). Dans son livre The Möbius Strip, Clifford Pickover démontre l’ampleur de cette popularité autant en ingénierie, qu’en physique et dans les arts (2006, p.xvii-xix). Parmi les nombreux artistes qui se sont intéressés à cette surface, le nom d’Escher apparaît encore. Plusieurs de ses gravures représentent d’une manière ou d’une autre un ruban de Möbius ou un espace inspiré par celui-ci (Locher, p.212, 248 et 260) (Figure 16). Le ruban a aussi motivé la construction de nombreuses sculptures par Max Bill, Keizo Ushio, Bruce White, Enrique Carbajal G. Sebastián, et plusieurs autres (Friedman 2007) (Luecking 2007) (Carbajal 1975) (Figure 17). Si l’utilisation première de Lao Tseu en était pour représenter l’éternité, ce mandat s’est depuis élargi ; «It has become a metaphor for change, strangeness, looping, and rejunevation» (Pickover, p.xviii).

Figure 18

Figure 17: Ruban de Moebius par Max Bill

Son utilisation dans la construction d’histoires apparaît également en littérature et plusieurs structures d’histoires cycliques sont considérées comme étant des rubans de Möbius. Pickover présente une panoplie d’œuvres littéraires reliées au ruban de Möbius (Pickover, p.179-187). Certaines, comme No Sided Professor de Martin Gardner ou The Wall of Darkness d’Arthur C. Clark, font apparaître le ruban comme objets dans la diégèse (Pickover, p.174-175). D’autres, telles It’s a Wonderfull Life de Frank Capra ou À la recherche du temps perdu de Marcel Proust, présentent des boucles qui motivent l’auteur à les comparer au fameux ruban. Il en va de même pour le film Donnie Darko de Richard Kelly (Pickover, p.179-181). Nous devons préciser que rien n’indique que nous devons analyser ces histoires réellement comme des structures apparentées à des rubans de Möbius. Effectivement, ces histoires sont en fait strictement des histoires circulaires planaires, peu importe la surface sur laquelle nous les considérons. Ces histoires pourraient être également considérées comme étant inscrites sur des cylindres. Finalement, nous pouvons imaginer ces histoires comme étant écrites sur un ruban de Möbius, mais aucune des particularités qui distinguent le ruban de Möbius d’un simple segment de cylindre ne sont mises à profit. Pickckover discute également l’une de ses propres histoires dont il présente le schéma sur un ruban de Möbius (Pickover, p.183).

Figure 19

Figure 18: Killoffer, Morlaque. OuBaPo. Oupus 3. Paris : L’Association, 2000. © Killorffer

Les stratégies propres à la surface du ruban de Möbius apparaissent réellement avec leur utilisation de certains auteurs de bandes dessinées. Afin de bien comprendre ces différentes utilisations, nous allons distinguer deux cas particuliers. Premièrement, le ruban de Möbius peut apparaître comme objet tridimensionnel dans la diégèse. La construction de Killoffer dans le troisième ouvroir de l’OuBaPo s’apparente aux histoires décrites par Pickover puisqu’elle ne sert qu’à présenter les cogitations philosophiques cycliques d’un personnage (OuBaPo 2000, p.6). (Figure 18) Or, l’idée de Killoffer peut être légèrement agrémentée afin d’obtenir un usage propre au ruban de Möbius. Alan Moore en fait une telle utilisation dans le tome trois de sa série Promethea. (Figure 19) Comme le mentionne Di Liddo, Promethea est «a self-reflexive deliberation about the power of narration » (2009, p.87) et l’utilisation du ruban participe clairement dans cette optique. En discutant de l’infini, les personnages de Sophie et Barbara se retrouvent à marcher sur un ruban de Möbius (Di Liddo, p.93). Dans cette construction les différents moments de l’action sont à la fois synchrones et distincts, c’est-à-dire qu’ils ont lieu à la fois au même moment et à des moments séparés. Par exemple, en lisant la planche du point supérieur gauche et en suivant les personnages, le second moment souligne la synchronicité : Sophie mentionne qu’elle entend des bruits sous ses pieds, ce bruit vient en fait du même personnage marchant plus tard et plus loin sur le ruban. De même, à deux reprises les personnages s’aperçoivent au loin sur le ruban à un moment qui est donc à la fois postérieur et synchrone. La synchronicité des éléments de la scène n’est en rien une particularité du ruban, nous pourrions très bien imaginer des personnages qui marchent autour d’un cylindre dans plusieurs moments à la fois distincts et synchrones. Ce qui semble justifier l’utilisation du ruban est la présence d’un cycle de pair avec des moments synchronisés de part et d’autre du ruban, comme il en est le cas lorsque la protagoniste entend ses propres sons sous le ruban. La non-orientabilité du ruban est ici mise au service de la narration. Nous devons noter qu’encore une fois, cette construction pourrait être possible à l’aide d’une sphère ou d’un cylindre.

Figure 20

Figure 19: Alan Moore, J.H. Williams III et Mick Gray. Promethea. © America’s Best Comics

L’utilisation du ruban est alors principalement symbolique. Le tome Le début de la fin de la série des Julius Corentin présente aussi un ruban de Möbius dans sa diégèse (Mathieu 1995, p.11). Cette présence tente d’outrepasser la simple présence physique pour référer également à la structure globale du tome qui possède cette double orientation ; le milieu du livre est le lieu de rencontre de deux sens de lecture qui se lise à un demi-tour de différence. Cette mise en opposition, souligné de surcroît par la dichotomie du noir et blanc qui se complètent dans les deux segments d’histoire, est une référence à une autre utilisation du ruban de Möbius qui apparaît à mi-chemin entre les deux prochains types que nous discutons.

Figure 21

Figure 20: Möbius Comic Strip de Mark Heat. Source: http://www.CartoonStock.com ©Mark Heat

Figure 22

Figure 21: Tom Tomorrow, The Modern World : Moebius Strip Foreign Policy. © 2003 Tom Tomorrow

Le second type d’utilisation apparaît lorsque le ruban de Möbius est extra-diégétique, mais confiné à l’intérieur de la bande dessinée où il apparaît comme support de l’histoire. Comme dans le cas des différentes histoires analysées par Pickover, certaines ne font pas un usage spécifique de ruban de Möbius et auraient pu simplement être représentées sur le plan ou le cylindre. Le support en ruban de Möbius ne fait qu’ajouter un élément esthétique à l’histoire. C’est le cas pour les histoires Möbius Comic Strip de Mark Heat (49), The Modern World : Moebius Strip Foreign Policy de Tom Tomorrow (50) et celui de Brian MacLachlan (51). (Figures 20-21)Dans le premier cas, l’histoire n’est pas circulaire et se termine à la troisième case. Étrangement, cette troisième case apparaît du mauvais côté de la bande, comme si l’histoire sautait soudainement d’un côté à l’autre du ruban. De plus, la bande n’apparaît pas clairement comme celui de Möbius; le titre seulement indique cette propriété. L’histoire de Tom Tomorrow utilise clairement la visualisation d’un ruban de Möbius, mais encore une fois l’histoire semble sauter de côté et  de l’autre du ruban sans explication. Le ruban présente la logique circulaire du président George Bush à propos de sa politique d’invasion de l’Iraq. Cette fois l’histoire est cyclique, mais ne fait pas usage des caractéristiques propres au ruban de Möbius. Encore une fois, l’histoire saute de côté à l’autre du ruban sans explications et nous pouvons en déduire que certaines sections du ruban restent blanches. Finalement, MacLachlan fait également basculer l’histoire de part et d’autre du ruban. (Figure 22)

Figure 23

Figure 22: Ruban de Moebius par MacLachlan. Source : http://www.brianmcl.com/moebius-comic-strip/. © Brian MacLachlan

Dans les deux derniers cas, les auteurs omettent également un élément en plus de ne pas utiliser la non-orientabilité. Lors de la construction du ruban, lorsque nous tournons une extrémité de 180 degrés nous obtenons que les scènes de chaque côté du ruban sont verticalement inversées. Cela rend la lecture confuse lorsque l’histoire bascule d’un côté à l’autre. Ces auteurs ne semblent pas considérer ce fait.

Figure 23a

Figure 23: Instructions pour le magazine Nick Mag. Source : http://nickmag-comics.livejournal.com/16577.html

Le magazine Nick Mag a dédié un numéro seulement aux bandes dessinées construites sur des rubans de Mobius (52). (Figure 23)Cette fois les histoires sont réellement adaptées à la forme du ruban. Les histoires restent malgré tout de simples histoires cycliques dessinées sur un ruban de Möbius sans faire un usage particulier des caractéristiques propres au ruban Möbius. Il en est de même pour l’histoire de Lécroart offerte à en vœu en 2008 à L’Association (Groupe Acme, p.96-97). (Figure 24)

Figure 24

Figure 24: Lécroart, Ruban de Moebius , Dans Groupe Acme. 2011. L’Association: Une utopie éditoriale et esthétique. Paris : Les Édtions Nouvelles.

Certains auteurs ont fait un usage du ruban de Möbius réellement en lien avec sa non orientabilité. Analysons en premier lieu un exemple apparu dans xzcd nommée Möbius battle. Cette fois, afin d’éviter le retournement des scènes de haut en bas, l’auteur présente les cases dont la lecture se fait perpendiculairement à la bordure. Il utilise la non-orientabilité du ruban en présentant l’histoire sur une surface transparente de sorte que les mêmes scènes sont lues à deux reprises, mais inversées comme dans un miroir (53). (Figure 25)La bande dessinée proposée par Jim Woodring est tout aussi ingénieuse. Dans son histoire, un personnage traverse littéralement le ruban pour se retrouver de l’autre côté, mais par la propriété d’être non orienté il demeure tout de même dans la même histoire et il ne fait que rentrer une fois de plus dans la boucle (54). (Figure 26)

Figure 25

Figure 25: Möbius battle par Randall Munroe. Source: http://xkcd.com/381/

Figure 26

Figure 26: Ruban de Moebius par Jim Woodring. Source: http://www.fantagraphics.com/index.php?option=com_content&task=view&id=4811&Itemid=109

En considérant les histoires sous leur forme de graphe planaire, le ruban de Möbius offre de nouvelles options. Par exemple, nous pouvons tracer le graphe complet biparti sur deux groupes de trois points K₃,₃ ou le graphe K₅ sur le ruban de Möbius de manière planaire (Pickover, p.94). (Figure 27 et 28) Il serait donc possible de construire des histoires planaire sur ce graphe si ce graphe est présenté sur le ruban de Möbius.

Figure 27

 

Figure 27 : Représentation planaire du graphe complet sur cinq sommets sur le ruban de Moebius. Source : http://demonstrations.wolfram.com/EmbeddingsOfGraphsInATorusAndInAMoebiusStrip/

Figure 28

Figure 28: Représentations planaires de K3,3 et K5. Dans  Gross, J.L. and T.W. Tucker.  [1987] 2012. Topological graph theory, p.30. New York: Dover Publications, Inc. © 1987, 2001 par Jonathan Gross et Thomas W. Tucker

Une famille de graphes qu’il est possible de présenter de manière planaire sur le ruban de Möbius sont les échelles de Möbius. Ces graphes sont en fait formés d’un cycle possédant un nombre pair de sommets qui sont reliés par une arête aux sommets exactement opposés à eux. (Figure 29) Si le nombre de sommets est de huit, il porte le nom particulier de graphe de Wagner. Ces graphes sont facilement représentables sur un ruban de Möbius par une simple échelle qui suit le contour du ruban. (Figure 30)

Figure 29

 

Figure 29: Les échelles de Moebius, Source : Mathworld.com

Figure 30

Figure 30: Représentation d’une échelle de Moebius en ruban de Moebius. Source : Wikipedia

En fait, nous pouvons les représenter sur le plan à l’aide d’une seule intersection non planaire (Guy et Harary, p.494-495). L’avantage d’une telle construction est de jumeler deux à deux des éléments d’un cycle. De ce fait nous pouvons construire l’histoire suivante : à chaque moment d’une histoire, un personnage s’imagine comment se rendre dans une situation idéale dans laquelle il se retrouve lui-même plus tard dans l’histoire. Il existe un équivalent au théorème de Kuratowski pour le ruban de Möbius. En 1980, Dan Archdecon identifia les 35 graphes d’obstruction pour le critère de planarité (Gagarin, Myrvold et Chambers, p.152), autrement dit les graphes qui, si présents en tant que mineurs, rendent la planarité impossible (Delahaye avril 2008, p.97).

figure 31

Figure 31: Coloriage et construction du tore. Source : Wikipedia

Une autre surface sur laquelle il est intéressant de présenter une histoire est le tore. Nous pouvons construire le tore en rejoignant les deux paires de côtés d’un rectangle (Figure 31). Encore une fois, certains graphes qui ne sont pas planaires sur le plan le sont sur le tore. (Figure 32-34)

Figure 32

Figure 32 : K3,3 sur le tore.  Dans Pickover, Clifford. 2006. The Möbius Strip : Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Litterature, Art, Technology, and Cosmology. New York: Thunder’s Mouth. © 2006 Clifford A. Pickover

Figure 33

Figure 33: K5 et K6  sur le tore. Dans Gross, J.L. and T.W. Tucker.  [1987] 2012. Topological graph theory. New York: Dover Publications, Inc. © 1987, 2001 par Jonathan Gross et Thomas W. Tucker

Figure 34

Figure 34: Le graphe K5 sur le tore Source : http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/4/textbook/05.php

Du point de vue topologique, le tore se distingue de la sphère par la présence d’un trou. Cela implique qu’une boucle ne peut pas obligatoirement être comprimée en un seul point. De plus, le théorème de Jordan ne tient plus pour cette surface. En effet, comme le démontre la figure 35, un cercle qui contient le trou du tore en son centre ne sépare pas la surface en deux espaces, il en de même pour un cercle perpendiculaire à l’axe de rotation du tore (Barr, p.17). D’autres assemblages de courbes sont également intéressant. (Figure 35) L’ensemble d’obstruction du tore lui contient au moins 16 629 mineurs (Gagarin, Myrvold et Chambers, p.152).

Figure 35

Figure 36

Figure 35: Le théorème de Jordan sur le tore. Source : http://ferrebeekeeper.wordpress.com/2011/03/09/the-torus/

Par les principes d’étirements propres à la topologie, un tore est équivalent à une sphère avec une poignée. Or, il est possible d’ajouter un nombre arbitraire de poignées et nous obtenons des surfaces équivalentes à des tores avec le même nombre de trous. Cette méthode d’ajout de poignées à la sphère permet de construire l’infinité des surfaces compactes orientables et chacune de ces surfaces possède une caractéristique d’Euler différente. Il en résulte que chacune de ces surfaces permet un ensemble de graphes planaires différents. Inversement, il est possible à partir de n’importe quel graphe de trouver une surface sur lequel il est possible de le superposer de manière planaire en débutant par représenter ce graphe sur la sphère et en ajoutant une poignée à chaque fois qu’un croisement est inévitable (Gross et Tucker, p.25)(Figure 36). Évidemment, il est possible d’effectuer des dallages de chacune de ces surfaces puisqu’il est possible de faire une triangulation de toute surface (Francis et Weeks, p. 394).

Figure 36a

 

Figure 36: Technique pour éviter les croisements. Dans Gross, J.L. and T.W. Tucker.  [1987] 2012. Topological graph theory. New York: Dover Publications, Inc. © 1987, 2001 par Jonathan Gross et Thomas W. Tucker

Figure 37

Figure 37: Polygone fondamental de la bouteille de Klein. Source : Wikipedia

Il existe toutefois une seconde classe infinie de surfaces bornées, celle des surfaces non orientables comme la bouteille de Klein. Nous pouvons obtenir cette surface à partir du polygone fondamental de la figure 37 en rejoignant les paires de côtés opposés selon l’orientation donnée. Nous ne pouvons pas représenter cette surface en trois dimensions sans éviter un croisement qui n’est pas réellement une intersection de la surface avec elle-même. (Figure 38)

Figure 38

Figure 38: Bouteille de Klein en trois dimensions. Source : http://plus.maths.org/content/imaging-maths-inside-klein-bottle

Il existe une infinité de surfaces non orientables que nous pouvons obtenir à partir de la sphère et du ruban de Möbius. Nous avons préalablement mentionné que la bordure du ruban de Moebius est en fait un cercle, pour obtenir la bouteille de Klein nous pouvons y faire un trou circulaire et y coller la bordure circulaire du ruban de Möbius. Nous pouvons obtenir l’infinité des surfaces non orientables en collant un nombre arbitraire de rubans de Möbius sur la sphere (56). (Gross et Tucker, p.120). (Figure 39)

Figure 39

Figure 39: L’ajout d’un ruban de Moebius sur une surface. Dans: Pickover, Clifford. 2006. The Möbius Strip: Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Litterature, Art, Technology, and Cosmology. New York: Thunder’s Mouth. © 2006 Clifford A. Pickover

L’avantage des polygones fondamentaux est donc premièrement de pouvoir représenter de manière planaire n’importe quelle surface, aussi complexe soit-elle. Nous pouvons alors reconstruire n’importe quelle histoire à partir d’une sculpture narrative. L’avantage de travailler sur des surfaces non orientables est en fait d’étendre la notion de fiction non plus seulement au contenu de l’histoire, mais également à sa forme. Si de plus nous prenons en compte les espaces intérieurs et extérieurs aux cycles de sorte à la combiner de par la non-orientabilité -comme les deux ‘’côtés’’ du ruban de Möbius sont reliés par la même opposition- certaines histoires ne sont représentables que sur des surfaces qui ne peuvent exister en trois dimensions.

Figure 40

Figure 40: Noeud Trefoil  par Jos Leys (2004). Source : http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/4/textbook/05.php

Tout comme la forme d’une courbe peut influencer sa lecture, la forme de la surface sur laquelle un graphe et son histoire sont représentés peut être lourde de sens. Par exemple, le tore peut simplement prendre la forme d’un beigne ou bien il peut s’imbriquer en trois dimensions pour former le nœud gordien de la surface de la figure 40. Une vaste littérature sur l’effet des formes existe, principalement dans l’histoire et l’analyse de la sculpture. Une autre branche des mathématiques se dédie à la classification de ces surfaces : la théorie des nœuds.

Figure 41

 

Figure 41: Surface de Costa. Source : Wikipédia

Figure 42

Figure 42: Surface de Scherk. Source : Wikipedia

La liste des surfaces non compactes est également infinie. Nous pouvons également utiliser ces surfaces comme canevas infini dans la construction de sculptures narratives. Certaines permettent des espaces vacants, comme la surface de Costa (57) (Figure 41), d’autres offrent différentes portions de plans dans diverses directions comme la surface de Scherk (58) (Figure 42) et finalement des surfaces peuvent, à la manière de la bouteille de Klein, se croiser elles-mêmes lorsque représentée en trois dimensions. C’est le cas pour les surfaces de Henneberg et d’Enneper (Pressley, p.227 et 214). (Figure 43) Ces surfaces mènent vers de nouveaux défis narratologiques.

Figure 43

Figure 43 : Surface de Henneberg par Dizingof.  Source : http://www.ponoko.com/design-your-own/products/henneberg-math-art-by-dizingof-8507

Comme le mentionne Paul Gravett dans Comics Art, en discutant le canevas infini dans sa forme initiale telle que proposée par McCloud; les dimensions de la bande dessinée « could mutate beyond them into stranger, unpredictable configurations, akin to networks, subway systems, flow-charts, maps, atomic structures puzzles or mazes, traversables along multiple trails » (Gravett, p.130) L’utilisation élargie du concept de canevas infini permet de travailler sur une infinité de surfaces ayant toutes des caractéristiques différentes. Encore une fois selon Gravett: « it will always be human imagination that is the inexhaustible, the infinite canvas » (Gravett, p.136). Nous avons vu comment l’utilisation de cycles diffère déjà beaucoup entre le plan, la sphère et le tore. La notion de sculpture narrative permet d’inclure autant les caractéristiques propres à l’histoire, l’arthrologie qu’implique naturellement le médium de la bande dessinée, les affects de la sculpture par l’utilisation de l’espace ainsi que les notions mathématiques principalement issues de la géométrie, de la théorie des graphes et de la topologie. Nous pouvons parfois représenter la surface sur laquelle s’écrit théoriquement l’histoire par une seconde surface ; par exemple, nous avons vu qu’il est possible de représenter de manière planaire la bouteille de Klein même si celle-ci ne prend sa forme réelle qu’en quatre dimensions. Le canevas infini peut par conséquent être infini de trois manières différentes : par la densité du plan qui permet des zooms infinis, par l’utilisation d’une surface non compacte qui permet une expansion infinie et par le nombre infini de dimensions dans laquelle nous pouvons l’imaginer. L’utilisation des sculptures narratives permet d’explorer différentes narrations sous la lumière de ces diverses composantes. Dans ce chapitre, nous avons exploré un petit nombre de surfaces ainsi que quelques propriétés des graphes qui sont en lien avec la surface sur laquelle ils se trouvent afin de démontrer la pertinence de cette approche.

Conclusion:

Dans ce mémoire, nous avons étudié les structures temporelles des narrations en les considérant comme sculptures narratives. Pour ce faire, nous avons limité notre recherche à l’analyse du temps de l’histoire tel que défini par Genette et nous avons modélisé des histoires en les considérant comme agencements de courbes paramétrées en graphes. Nous avons ensuite étudié comment la complexité de certaines constructions mène vers l’étude de la surface sur laquelle cette histoire est représentée. Par le fait même, l’étude des surfaces devient naturellement un outil servant la construction de telles structures. Nous avons nommées sculptures narratives la représentation d’histoires en suites d’images sur une surface. Le cas trivial étant le plan, nous avons étudié comment d’autres surfaces permettent de régler le problème de la planarité ou servir à des fins esthétiques.

Nous devons alors nous questionner en quoi les résultats de ce mémoire pourront soit mener vers de nouvelles recherches sur l’objet même, soit mener vers une nouvelle approche narratologique. En ce qui concerne les différentes recherches qui pourraient complémenter ce mémoire, plusieurs avenues sont possibles. Nous pourrions approfondir cette étude en construisant un plus grand nombre d’histoires et en incluant un plus grand nombre de théorèmes et définitions issues de la géométrie, de la théorie des graphes, de l’algèbre, de la géométrie différentielle, de la topologie et de la théorie des noeuds. Cet ajout servirait principalement à l’ajout de contraintes éventuelles dans la construction de sculptures narratives. Des considérations sur la réception de ces formes préalablement à la réception de l’histoire pourraient servir cette étude et guider le choix des formes.

Une deuxième avenue importante serait l’inclusion dans ce modèle du temps du récit. Par exemple, un temps d’histoire cyclique peut être représenté cycliquement dans le désordre afin de complexifier la lecture de ces histoires et favoriser la création d’intrigues. Une telle approche compliquerait considérablement notre modèle, mais ouvrirait la voie vers de multiples expérimentations. En effet, déjà la simple permutation de segments du temps de l’histoire peut alors être perçue comme la permutation de segments de surfaces. Nous pourrions par exemple construire un récit sur un cube Rubik dont il faudrait retrouver la forme initiale du temps de l’histoire.

Finalement, des études en cognition pourraient tenter d’évaluer l’influence de la lecture d’histoires complexes sur l’apprentissage des réseaux de concepts. Comme mentionné au premier chapitre, les vecteurs des schémas de Ryan sont des vecteurs d’incidences qui s’apparentent à des structures d’incidences logiques, c’est-à-dire que des évènements A,B,C peuvent mener vers des ‘’conclusions’’ D,E,F. L’apprentissage de réseaux d’incidences de concepts et théorèmes pourrait donc être facilité par la mise en contact avec de telles structures dès un bas âge. Il resterait à mesurer la valeur réelle d’une telle hypothèse.

Une autre conséquence éventuelle est celle d’un appel à la collaboration entre diverses disciplines dans l’élaboration et la construction des sculptures narratives. La collaboration entre les mathématiques et les arts visuels existe déjà dans la pratique, surtout depuis l’arrivée de l’ordinateur, mais cette collaboration reste encore discrète dans l’étude théorique de l’art visuel. Quoique plusieurs ouvrages relativement récents existent sur les relations entre les mathématiques et les arts, principalement au niveau des formes, ces ouvrages prennent habituellement la forme de collections d’articles. Les nombreux livres publiés sous la direction de Michèle Emmer ou de Claude Bruter en sont de parfaits exemples. Le

Notes: 

43-Celle d’un espace de Hausdorff avec une base dénombrable de sorte que le voisinage de tout point soit homéomorphe à un sous ensemble du plan cartésien.

44-Pour plus d’informations, nous recommandons le site suivant: http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/2-manifolds

45-Pour une lecture plus complète sur le sujet : http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Victor/part4.htm

46-http://stumptowntradereview.com/2012/04/the-5-largest-comics-in-the-world/

47-Une série de dallages de la sphère peut être consultée sur le site http://cs.stmarys.ca/~dawson/images4.html

48-http://pyramidbeach.com/tag/homeomorphic/ et http://emdinger195.blogspot.ca/2009/06/poincare-conjecture.html

49-Il est possible de trouver cette histoire à l’adresse suivante : http://www.neatoshop.com/product/Mobius-Comic-Strip

50-http://www.shroomery.org/forums/showflat.php/Number/1881574

51-http://www.brianmcl.com/moebius-comic-strip/

52-http://nickmag-comics.livejournal.com/16577.htm

53-https://xkcd.com/381/

54-https://www.fantagraphics.com/rarities-and-miscellany-by-various-artists/moebius-strip-comic-by-jim-woodring-video-photo-animation.html

55-Il existe en fait plusieurs manières de définir les ensembles d’obstruction qui impliquent des nombres différents d’obstructions, par exemple les obstructions topologiques et les obstructions de graphes mineurs. Les résultats donnés ici concernent les obstructions de graphes mineurs. Le site de Dan Archdeacon présente ces ensembles d’obstructions. (http://www.emba.uvm.edu/~darchdea/graphs/)

56-Pour plus de détails sur la preuve de cette classification voir aussi l’article : Francis, George K. and Jeffrey R. Weeks. «Conway’s ZIP Proof». American Mathematical Society, 106 (1999), p. 393-399.

57-http://mathworld.wolfram.com/CostaMinimalSurface.html

58-Pour une description formelle de cette surface : http://mathworld.wolfram.com/ScherksMinimalSurfaces.html

Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et en bande dessinée (Chapitre 2)

 Chapitre 2 : La case, les graphes et les arbres.

(La version originale du mémoire peut être consultée ici: https://www.academia.edu/10516424/Narration_et_math%C3%A9matiques_l_utilisation_des_graphes_au_cin%C3%A9ma_et_dans_la_bande_dessin%C3%A9e)

Plusieurs auteurs ont tenté de définir le sème de base de la bande dessinée. Guy Gauthier fonde son analyse du médium à partir de groupes de points et de lignes (Groensteen 1999, p. 3). Ulrich Kraft considère les unités de base comme étant des entités tels les corps ou parties d’un corps (Groensteen 1999, p. 4). Ces considérations sont en fait une tentative similaire à celle de comprendre le cinéma comme langage avec une syntaxe sous-jacente (Metz, p. 47-49). Cette perspective n’est d’ailleurs pas étrangère à celle de Emil Cohn qui lui aussi calque son modèle d’analyse de la bande dessinée sur la grammaire universelle de Chomsky (2003, p. 77-104). La démarche de la présente recherche étant d’inspiration structuraliste avec une analyse macroscopique de la trame temporelle, nous simplifions le tout en admettant la case comme unité fondamentale puisque c’est elle qui contient, de manière générale, l’unité de temps. Sachant également qu’il existe maintes formes pour la case, nous omettons les cas particuliers et définissons celle-ci comme l’espace intérieur délimité par un cadre. Dans ce chapitre, nous réviserons cette définition volontairement épurée à l’aide de la courbe simple fermée de Jordan (9). L’espace intérieur de cette case contient également soit un intervalle de temps, soit un moment ponctuel de la diégèse. Il existe des cases dont le cadre n’est pas explicitement défini, ou dont le cadre n’est que partiellement défini, mais cela ne nous empêche pas de pouvoir considérer une section de plan comme formant un tout constituant la représentation d’une certaine temporalité de l’histoire.

Figure 1: The cannibal Frame by Ibn al-Rabin

Figure 1: Ibn al-Rabin, The Cannibal Frame (extrait). Encre sur papier.© 2009 Fantagraphics Books

Il est possible de construire une histoire à l’intérieur d’une seule case. Que ce soit les planches de Yellow Kid d’Outcault qui doivent être lues par errance du regard sur l’image comme l’errance dans une foire (Smolderen, p. 11 et 90), celles des Far Side de Gary Larson ou de Quino, ce type de case contient la synthèse d’une petite histoire. La valeur temporelle d’une case peut être indéfinie et aucun élément visuel n’est requis à l’intérieur de son cadre. Des pages des Chroniques aléatoires de George Bess le démontrent bien. L’auteur réserve toute une page à des cases sans dessins et mentionne que cette page ne contient pas d’histoire, qu’il s’agit d’une page pour se reposer (Bess, p. 65). Dans une autre page, l’auteur invite le lecteur à une méditation d’une durée indéterminée devant une série de cases vides (Bess, p. 79). Une autre de ses pages est totalement dénuée de texte et de dessins, on ne voit que des oiseaux de la dernière case qui nous laisse comprendre que le vide représentait le ciel (Bess, p. 249). La page blanche a également été utilisée par Gustave Doré qui mentionne dans son Histoire de la Sainte-Russie que son ‘’éditeur’’ lui a conseillé de laisser la place désignée pour représenter certains évènements incolores (Doré, p. 7). Certaines histoires, comme The Cannibal Frame d’Ibn al-Rabin (Molotiv, p. 44-45) ou les jeux de cadrages de Patrick McDowell (Molotiv, p. 20-25), démontre que les cadrages à eux seuls peuvent servir pour la construction d’une bande dessinée. (Figure 1) L’inclusion de cases les unes dans les autres s’avère un autre moyen de bâtir une histoire. Lorsqu’une case s’inclue elle-même nous disons du processus d’inclusion qu’il est autoréférentiel. Une stratégie de la sorte permet une mise en abyme infinie de l’histoire. La page d’Al Williamson parue dans Weird Fantasy nu.17 fonctionne de cette manière : deux extra-terrestres lisent la bande dessinée dans laquelle ils se trouvent (Estren, p. 32-33). L’Origine, premier tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves offre également un tel processus itératif (Figure 2). En effet, l’auteur Marc-Antoine Mathieu présente son protagoniste en train de se lire lui-même (Mathieu 1991a, p. 29), soulignant que non seulement la bande dessinée constitue un monde clos (Parain, p. 39), mais que la case elle-même peut l’être. Même si dans ces deux cas l’imagerie récursive s’inscrit dans une narration plus large, nous imaginons très bien la possibilité d’utiliser une suite de cases imbriquées à l’infini pour former une narration. La case initiale peut apparaître directement comme sous-case ou comme énième case itérée dépendamment de la complexité de l’histoire. L’utilisation de l’ordinateur assure de n’avoir aucune image initiale ou finale en permettant des agrandissements infinis sur l’image imbriquée en elle-même.

Figure 2: Julius Corentin Acquefaques par Marc-Anthoine Mathieu

Figure 2 : Marc-Anthoine Mathieu, Julius Corentin Acquefacque: L’Origine, © 1991 Guy Delcourt Productions

Le cadre de l’image définit un second lieu, celui de l’extérieur de la case. En fait, pour être précis, le cadre en définit au moins un autre puisqu’un seul cadrage peut servir à délimiter un nombre arbitraire de cases. Nous utilisons la définition suivante pour la courbe simple : courbe qui débute et se termine en un même point et qui ne croise elle-même en aucun autre point. Cette courbe est en fait celle qui constitue le cadre de la case. Du point de vue topologique, il est possible de démontrer qu’une courbe fermée qui n’est pas concourante à elle-même sépare le plan en au moins deux espaces distincts : l’intérieur de cette courbe et les autres (Munkres, p. 377-380). Un second théorème précise que cette courbe sépare le plan en exactement deux espaces; l’intérieur et l’extérieur de la courbe (Munkres, p. 390-392). Même si ce point peut sembler fort intuitif, il s’avère qu’il est difficile à démontrer et il fallut attendre Camille Jordan pour en apporter une première preuve formelle en 1887 (Jordan, p. 593-594), preuve que Veblen considéra comme insuffisante. Ce dernier en proposa également une preuve en 1905 (Veblen, p. 83-98). Plusieurs auteurs travaillèrent par la suite sur la preuve du théorème afin d’en simplifier la forme. Il reste que du point de vue formel la preuve est longue et ardue. Pour reprendre les mots de Gonthier, cette preuve «is the black hole into which formalizing mathematicians fall» (Hales, p. 883). Le groupe Mizar (10) débuta une vérification formelle de la preuve par ordinateur en 1991. L’évolution a été longue et finalement Arthur Kornilowicz déposa une preuve qui demande pas moins de 6500 lignes en 2005. Thomas Hales, la même année, compléta une preuve avec HOL-light qui consiste de plus de 138 définitions, 1381 lemmes et 59 000 lignes de programmation. En termes d’inférences logiques, le chiffre s’élève à une vingtaine de millions (Hales, p. 883). La section qui stipule qu’une courbe simple fermée sépare le plan en au moins deux sections n’est pas si impertinente que cela puisse paraître puisqu’il est connu depuis Brouwer qu’il existe des courbes possédant la particularité de séparer le plan en plus de deux parties (Guggeheimer, p. 195), telle la courbe de Wada qui sépare le plan en exactement trois parties (Boltyanskiĭ et Efremovich, p. 24). (Figure 3) Le cadre de la vignette conventionnelle ne possède pas de telles particularités et donc, il sépare l’espace du plan entre l’intérieur et l’extérieur de la courbe simple. Il est à noter qu’une version discrète du théorème de Jordan existe et que par conséquent celui-ci tient également pour l’image créée sur l’écran d’ordinateur (Šlapal, p. 3255-3264). Nous reviendrons sur d’autres points importants qu’implique ce théorème, mais soulignons pour l’instant l’impact en bande dessinée de cette capacité à séparer le plan entre l’intérieur et l’extérieur de la courbe, du cadre.

 Figure 3: Wada curve                                                    Figure 3 : La courbe de Wada. Source : Wikipedia

L’auteur possède l’option d’utiliser l’extérieur du cadre pour construire sa narration. Déjà dans la Bible Moralisée (11) un Dieu hors cadre (12) apparaît à plusieurs reprises et projette parfois des triangles bleus afin de punir les pécheurs (13).Plus récemment, le personnage du professeur Burp de Gotlib s’y retrouve souvent pour jouer le rôle du narrateur dans un faux documentaire. Or, si l’intérieur de la case peut defénir un lieu et une temporalité de la diégèse qui varie de situations concrètes à des situations aussi abstraites que la séparation entre la lumière et les ténèbres (14), il en est de même pour l’espace hors cadre. Nous classifions ces deux espaces en quatre modalités différentes suivant la synchronicité et la coprésence. Donc, ces deux espaces partagent ou non leurs temporalités et leurs espaces. Naturellement, ces deux espaces sont dépendants l’un de l’autre et l’espace de l’intérieur de la case peut empiéter sur celui de l’extérieur de la case. Benoit Peeters démontre dans son livre Lire la bande dessinée comment la taille des cases, et donc l’espace extérieur associé, s’adapte parfois au récit. Dans les trois cases tirées de Les Bijoux de la Castafiore de Hergé, alors qu’il tente de garder son équilibre le domestique prend un espace horizontal de plus en plus important. En perdant pied, les bras du domestique se balancent et il en résulte que le cadre doit être élargi pour permettre de voir l’ensemble du personnage (Peeters 1998, p. 60-62). Il y a donc toujours la possibilité de jouer avec cette interdépendance de l’espace interne et externe de la case. À l’inverse, la taille de la case peut avoir un résultat sur la scène représentée. Dans Little Nemo in Slumberland de Winsor Mckay nous trouvons un résultat qui démontre ce principe. L’élargissement de la case dans ce cas ne se perçoit pas comme une «ouverture de l’objectif», mais comme un étirement vertical de l’espace intérieur du cadre initial, les corps inclus dans ce cadre en subissent les mêmes contraintes et s’étirent à leur tour (Canemaker, p. 11 et 118). (Figure 4) Les espaces intérieur et extérieur peuvent être cohabitables ou distincts et les variables de l’un peuvent affecter les variables de l’autre.

Figure 4: Little Nemo in Slumberland by Winsor McCay

Figure 4: Winsor McCay, Little Nemo in Slumberland. Tiré du livre de John Canemaker.

La juxtaposition d’un second cadre dont la temporalité dans la diégèse se situe après celle du premier se fait en général dans une seconde case en dehors de la première. En présentant un second cadre, qu’il soit collé au précédent ou séparé par une gouttière, une relation entre les deux apparaît. Cette relation naissant de leur état de coprésence s’impose comme l’unité de base de l’arthrologie. Elle définit en premier lieu quel sera le sens de lecture, de gauche à droite ou de droite à gauche. En second lieu, à moins d’épouser parfaitement les rebords du médium, elle redéfinit l’espace hors case comme espace de transition temporelle. Le lieu non représenté à travers lequel s’écoule le temps se situe entre deux cases. Le choix du lieu et du temps à l’intérieur de deux cases consécutives se fait parmi une infinité de possibilités que McCloud a regroupées en six catégories créées selon les aspects suivants : moment, action, lieu, sujet et aspect (15) (1993, p. 70-74). La contingence d’un aspect dans les deux cases constitue les cinq premières catégories et le non-sequitur détermine la sixième. En omettant les autres variables nommées par McCloud, nous pouvons procéder comme pour la case isolée et catégoriser les relations entre les trois espaces, l’intérieur du premier cadre, celui du second, et l’extérieur des deux, selon les contingences de temporalité et d’espace. En dénombrant toutes les possibilités, on obtient de total de 31 cas différents.

La relation de temporalité entre ces trois espaces nous permet de construire notre modèle de narrativité sur la courbe paramétrée. L’idée est de considérer un cadre à l’espace extérieur des cadres des vignettes comme la pellicule peut-être le cadre de chaque photogramme d’un film. McCloud fait d’ailleurs cette analogie dans Understanding Comics (1993, p. 8). Ce cadre continu contient l’espace extérieur de la suite des cadres qui représentent l’histoire et à l’intérieur de ce cadre existe le temps continu qui s’écoule entre chaque case. Du point de vue de la modélisation formelle, ce temps en dehors des cases est celui du paramètre t qui permet son expression mathématique. Il équivaut au temps continu que l’on retrouve dans les constructions d’histoire sur des broderies du Moyen Âge dont la tapisserie de Bayeux constitue l’exemple le plus connu (Blanchard, p. 18-19) (McCloud, 1993, p. 12-13). (Figure 5)

Figure 5: Tapisserie de Bayeu (extrait)

Figure 5 : Extrait de la Tapisserie de Bayeux (extrait), circa 1070. Musée de Bayeux

L’astuce centrale de l’utilisation de la courbe paramétrée se cache dans la métaphore de la progression du temps représentée par une ligne. La perception de la ligne comme quantité de temps vient de la conception du point en tant qu’instant, comme c’est le cas chez Léonard de Vinci (Brusatin, p. 89). Bernard Teissier, en se basant sur des études cognitives de Berthoz, en arrive à la conclusion que des connexions neurologiques permettent cette correspondance conceptuelle entre le temps et une ligne : «It allows us to accept as obvious that time is described by geometric line» (Teissier, p. 239). Bien qu’omniprésente de nos jours, l’utilisation systématique de la ligne de temps s’avère relativement récente; elle date de quelques siècles à peine. Du quatrième siècle à la fin du Moyen Âge, la représentation temporelle de l’Histoire s’articulait principalement dans les tableaux tels que celui développé dans la Chronique d’Eusebius (Rosenberg et Grafton, p. 26). Au douzième siècle, Pierre de Poitiers utilisa une colonne descendante pour l’écoulement du temps dans sa représentation du Vieux Testament destiné à ses élèves. L’idée fut reprise par Werner Rolevinck dans son Fasciculus temporus, mais sous une forme où l’écoulement du temps s’effectue à l’horizontale. Hartman Schedel reprit quant à lui la version verticale pour la représentation de l’arbre généalogique dans sa Chronique de Nuremberg (Rosenberg et Grafton, p. 31-32). Verticalement ou horizontalement, l’avancement le long d’une charte historique représentait la progression du temps. Afin de faciliter l’usage pédagogique de ces chartes (16) dans l’enseignement de l’histoire, les historiens prirent l’habitude de présenter plusieurs éléments contemporains les uns aux autres sur différentes lignes, le long de la même progression temporelle. Un tel exemple se trouve dans le Chronicum de Paulus Constantinus Phrygio de 1534 (Rosenberg et Grafton, p. 44-48). Finalement, le graphique historique qui vint réellement changer l’utilisation de ces lignes de temps par les historiens fut celui de Joseph Priesley, A New Chart of History, en 1769 (Rosenberg et Grafton, p. 126). (Figure 6) Son travail, inspiré des Tables historiques, chronologiques et généalogiques de Jean Rou, A View of Universal History de Francis Tallent et A Chart of Universal History de Thomas Jeffrey (Rosenberg et Grafton, p. 97-101 et 115-116) est d’une grande importance puisque, comme le mentionne Priestley, l’expérience de compréhension se fait en dehors de la lecture et donc en grande partie par la représentation graphique (Rosenberg et Grafton, p. 122). À partir de ce moment, la cartographie du temps prit une multitude de formes dont plusieurs nous serviront d’exemple. Nous nous intéressons à l’une issue du domaine des mathématiques : la courbe paramétrée, de paramètre t.

Figure 6: Jospeh Priestley A new chart of History

Figure 6 : Joseph Priestley, A New Chart of History (extrait) (1769) Tirée de Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010.  Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York : Princeton Architectural Press.

L’apparition de la courbe paramétrée découle de la découverte du plan cartésien et de la géométrie analytique créée indépendamment par Descartes et Fermat. À l’inverse des Grecs de l’Antiquité qui utilisaient la géométrie pour étudier l’algèbre, l’apparition de la géométrie analytique a permis l’étude de la géométrie à partir de l’algèbre (Stillwell 2010b, p. 110). La décomposition de cette algèbre dans les coordonnées x et y est l’extension naturelle de cette perception. La courbe paramétrée apparaît lorsque nous voulons faire dépendre les coordonnées x et y sur un même paramètre, le paramètre t.

Le paramètre t représente habituellement le temps dans notre modèle. Nous pouvons lui conférer des valeurs sur l’ensemble des nombres réels. Les valeurs positives de t représentent les moments qui ont lieu après un moment référentiel défini à t=0, et les valeurs négatives représentent les moments du passé diégétique de ce moment référentiel. Puisque nous nous occupons principalement du temps de l’histoire et non du temps du récit, ce paramètre varie de manière continue. Son utilisation pour le temps du récit impliquerait son découpage et la permutation de sections du domaine sur lequel il serait défini. Il serait possible malgré tout d’en faire bon usage dans cette recherche, mais comme mentionné précédemment cela nous éloignerait de l’objectif d’explorer la narration en se limitant au temps de l’histoire. Le concept même de continuité de ce paramètre s’applique ensuite à la continuité d’une fonction telle qu’habituellement définie et utilisée en mathématique (définition dont les rouages sont également délaissés puisqu’elle demeure généralement assez lourde et encore une fois cela ne servirait pas la compréhension claire du texte (17)). La continuité d’une fonction sert ensuite à définir la continuité de la courbe paramétrée et pour la raison mentionnée nous utilisons une forme intuitive de la continuité de la courbe paramétrée. La continuité du paramètre t indique que ce paramètre évolue graduellement sans irrégularités comme des coupures ou des espaces vacants. La continuité de la courbe implique que nous pouvons la tracer sans lever le crayon.

Figure 7: projectio paradoxe

                                     Figure 7: Bijection entre le cercle et la droite des réels. Source :   http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/compactification/

La continuité de ce paramètre sur les réels entraîne d’inévitables paradoxes similaires à ceux rencontrés par les théoriciens de la théorie des ensembles comme George Cantor (Vidal-Rousset, p. 12), en particulier des paradoxes sur la notion de longueur (Peter, p. 281-282). Par exemple, deux segments de droite de différentes longueurs contiennent exactement le même nombre de points puisqu’il est possible de les mettre en bijection, paradoxe équivalent au paradoxe de la roue d’Aristote (Gardner 1983, p. 2-3). Il en va de même pour un segment fini et infini. (Figure 7) Mieux encore, étant tous les deux dénombrables, le nombre infini de points d’une droite égale celui d’un plan, et ce même s’ils n’ont pas la même dimension (Guillen, p. 62). Dans notre modèle, nous contournons ce problème en admettant la correspondance absolue entre temps et distance comme un outil éventuel d’analyse ou comme une contrainte de création intéressante; il n’y a pas d’obligation à s’en tenir à la définition absolue. Dans ce cas, nous nous situons davantage dans la perspective offerte par la théorie des graphes dans laquelle la longueur ou la forme des arêtes n’importe pas. Les auteurs d’hypercomics travaillant sur le canevas infini de McCloud contournent également cette contrainte de l’équivalence distance-temps (http://scottmccloud.com/4-inventions/canvas/index.html). Nous constatons par exemple que dans Popcom (http://e-merl.com/pocom.htm) de Daniel Merlin Goodrey, cette constante ne semble pas toujours prise en compte. Des courbes de différentes longueurs peuvent contenir la même temporalité et inversement, deux courbes de même longueur peuvent contenir des temporalités différentes. Nous verrons que dans certains cas, il peut tout de même rester utile de conserver cet axiome d’équivalence entre espace et temps : un modèle appliqué au film Inception de Christopher Nolan le démontrera.

Le réalisateur américain David Llewelyn Wark Griffith décrit le début de son film Intolerance par une métaphore fort intéressante. Il compare la multitude d’histoires indépendantes qui découlent d’un point initial dans son film à plusieurs ruisseaux qui descendent une montagne (Eisenstein, p. 397). Cette image évoque précisément un type de graphe fort simple que nous nommons «arbre».

Comme mentionné au premier chapitre, un graphe G := {V, E} est un ensemble d’éléments V de pair avec les relations E qui les unissent. Lorsque nous voulons faire une représentation graphique de cette structure, il est fort utile de considérer les éléments comme des points (ou des sommets) et les relations comme des lignes (ou des arêtes) qui relient un certain nombre de ces points. La disposition de ces points dans l’espace, la forme et la longueur des lignes n’ont aucune importance. Seule importe la présence de ces points et la présence d’arêtes entre certains de ces points. Le nombre de sommets d’un graphe est son ordre et son nombre d’arêtes est sa taille. L’ordre peut être nul, constitué d’aucun point, nous disons alors que le graphe est trivial. S’il existe une relation réflexive d’un élément vers lui-même, nous représentons cette relation par une boucle qui débute et termine en ce point. Deux arêtes sont dites parallèles s’ils débutent et se terminent aux mêmes deux points. Un graphe qui ne possède aucune boucle et aucune arête parallèle est dit simple (Bondy, p. 2-3).

Figure 8: Paul Klee

Figure 8: Paul Klee, exemple de ligne active. Tiré de Théorie de l’art moderne.

Un chemin est une suite de sommets et d’arêtes consécutifs sur un graphe. Le nombre d’arêtes d’un chemin est la longueur du chemin. L’artiste Paul Klee illustre bien le concept de chemin par ce qu’il nomme la « ligne active soumise à des délais » (Klee, p. 74). (Figure 8) S’il existe au moins un chemin entre toute paire de points d’un graphe, on dit que ce graphe est connecté. Un chemin qui débute et se termine au même sommet est un cycle (Bondy, p.4-5). Un graphe connecté qui ne possède aucun cycle est un arbre. Il découle de cette définition que les arbres les plus simples sont les chemins. Si plusieurs chemins sont raboutés les uns aux autres ou ont un même point de départ, nous obtenons encore un arbre. Un groupe d’arbres non connectés entre eux est une forêt (Bondy, p. 99-100).

Comme mentionné au chapitre précédent, nous pouvons représenter des histoires ou segments d’histoires par des courbes paramétrées et nous considérons que l’histoire se déroule le long de ces courbes. Nous pouvons comparer ce modèle à la «ligne active», c’est-à-dire à la simple promenade d’un point en mouvement (Klee, p. 73), ou dans notre modèle à la promenade d’un espace discret. Nous pouvons joindre les segments de courbes paramétrées, ou arêtes d’un graphe en chemin, afin de former un chemin plus long, ou une histoire plus longue.

Bien que les détails de la forme, de la longueur et du domaine du paramètre t peuvent s’avérer forts importants dans la composition d’une histoire, il est possible de les omettre temporairement afin d’en avoir une compréhension plus macroscopique. En ne prenant en compte que le temps de l’histoire, le début du film Intolerance peut ainsi être schématisé dans ce modèle comme étant quatre chemins incidents en leur point initial, donc, un graphe avec un point central et quatre arêtes, des courbes paramétrées partant dans des directions différentes.

Figure 9

Figure 9 : Arbre orienté. Source: http://stackoverflow.com/questions/2471412/how-to-spread-changes-in-oriented-graph

Les arbres possèdent plusieurs caractéristiques intéressantes. Nous pouvons aisément dénombrer les arêtes d’un arbre à partir de son nombre de sommets en utilisant la formule e=n-1e est le nombre d’arrêtes et n le nombre de sommets (Bondy, p. 100). Nous savons aussi que l’ajout d’une arête (sans l’ajout d’un sommet) à un arbre créé inévitablement un cycle et que par conséquent le résultat de cette opération n’est pas un arbre (West, p. 69). Nous pouvons construire des arbres à partir de chemins orientés, c’est-à-dire en donnant une direction à chacune des arêtes. Un chemin orienté est donc une suite de sommets et d’arêtes sur un graphe orienté qui respecte le sens d’orientation des arêtes. Dans ce cas particulier, l’ajout d’une arête sans l’ajout d’un sommet sur un arbre orienté n’implique pas systématiquement l’apparition d’un cycle. (Figure 9)

Figure 10: Bible Moralisée

Figure 10 : Auteur Inconnu, Bible Morlisée. Extrait de la Genèse.

Comme nous l’avons vu avec la représentation du temps dans le domaine de l’Histoire, l’utilisation de la ligne comme support du temps est relativement récente. Dans l’historiographie de la bande dessinée, plusieurs historiens dont David Kunzle (1972) (18) et Thierry Smolderen (2009, p. 21) (19) trouvent des racines du médium dans la suite d’estampes de William Hogarth. Dans ce cas, les différents tableaux sont reliés par une trame narrative, mais aucune représentation de cette lignée temporelle n’est accessible. Le type de lecture requise pour en comprendre les rouages diffère beaucoup de celle presque automatique de la bande dessinée : lente, de va-et-vient entre les différents tableaux puisque ce sont les petits détails qui indiquent le sens de l’histoire (Smolderen, p. 14). La première juxtaposition temporelle de peintures par Hogarth est en fait Before and After, deux tableaux représentant un couple avant et après l’acte sexuel. Cependant, c’est pour de plus longues séries telles que Harlot’s Progress que l’artiste est reconnu (Smolderen, p. 18). Les suites d’images visuellement reliées entre elles peuvent être retracées à l’Antiquité et un grand nombre ont circulé au Moyen Âge et à la Renaissance comme le démontrent les ouvrages de Gérard Blanchard (1969) et de David Kunzle (1972). Dans la majorité des cas, la courbe de l’histoire n’est pas explicitement présentée. Dans la Bible Moralisée, cette courbe se déroule verticalement avec les médaillons. (Figure 10) Nous retrouvons le même principe, mais cette fois horizontalement, dans l’œuvre de Rodolphe Töpffer. Dans ce cas, nous constatons bien que la trame narrative se déroule sur une courbe paramétrée sous-jacente, et donc en termes de graphe nous avons un simple chemin. C’est ce modèle qui prévaut en général dans la bande dessinée; elle apparaît sous forme concaténation de segments de courbes paramétrées. (Figure 11)

Figure 11: Scott McCloud Understanding comics

Figure 11 : La flèche du temps. McCloud, Scott. 2000. Reinventing Comics, p.219. New York: Paradox Press. © 2000 Scott McCloud

Nous retrouvons un exemple d’utilisation de courbe continue dans le roman Tristram Shandy de Lawrence Sterne où le narrateur tente d’exprimer le parcours de l’histoire de Tristram par une série de lignes loufoques (Sterne, p. 417-418). (Figure 12) Cette forme d’histoire en chemin apparaît distinctement dans certains roman-cinéma de Louis Feuillade dans laquelle l’histoire descend en zigzagant dans la page (Blanchard, p. 188). (Figure 13) Le peintre anglais construisit aussi des suites d’images dans lesquelles nous retrouvons une forme de montage : les tableaux 3,4 et 6 de la suite Mariage À-la Mode présentent les aventures du mari et de l’épouse indépendamment alors que les tableaux 1,2 et 5 présentent des scènes communes (Lacassin, p. 16), nous retrouvons une histoire en arbre dans laquelle les personnages se joignent et se séparent. Des histoires en chemin sont également présente dans des planches de McCloud (2000, p.223) et dans le travail de Bruno Schaub (Molotiv, p. 168-169).

Figure 12: Lawrence Sterne Tristram Shandy

Figure 12: Sterne, Lawrence. 1964. The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, p. 417. Toronto: Holt, Rinehart and Winston.

Figure 13

Figure 13 : Roman Cinéma, tiré de Blanchard, Gérard.1969. La Bande Dessinée : histoire des histoires en images de la préhistoire à nos jours, p. 189. Verviers : Marabout. © Ed. J. Rouff

La représentation de l’histoire sur une simple ligne de temps équivaut à un chemin et l’intersection des lignées dans un arbre généalogique est bien évidemment l’équivalent d’un graphe en arbre -un graphe en arbre dont les arêtes sont des segments de courbes paramétrées sur lesquelles se déroule l’histoire, ou les histoires. Nous nous intéressons aux exemples qui présentent l’histoire sur des graphes en arbre un peu plus complexes que la plupart des bandes dessinées étant des juxtapositions de courbes paramétrées qui forment un chemin qui s’étale le long des pages d’un album. Un exemple intéressant se trouve dans Uchronie (l’utopie dans l’histoire) : Esquisse historique apocryphe du développement de la civilisation européenne tel qu’il n’a pas été, tel qu’il aurait pu être de Charles Renouvier (1876). (Figure 14) L’auteur présente une histoire réelle et utopique sur un graphe en arbre en représentant les évènements réels en lettres minuscules et les évènements imaginés par des lettres majuscules (Rosenberg et Grafton, p.23). L’auteur explique en bas de page qu’une définition plus rigoureuse de son schéma pourrait être utile et il ajoute que la valeur des angles entre les trajectoires réelles et imaginées pourrait représenter la mesure de cet écart par rapport aux évènements réels (Renouvier, p. 467). On voit que ce modèle s’apparente au modèle de Ryan puisqu’il contient à la fois des moments réels et des moments imaginés dans la diégèse. Ce modèle donne également un bon exemple de l’ajout d’un aspect géométrique à la perspective de la théorie des graphes tant dans le processus de création que dans celui de lecture du graphe. Cet élément géométrique -le sens donné à l’angle d’inclinaison des arêtes- n’appartient pas à la théorie des graphes, mais permet d’enrichir les informations contenues dans le graphe.

Figure 14: Charles Renouvier Uchronie

Figure 14 : Renouvier, Charles. [1876] 1988. Uchronie (L’Utopie dans l’Histoire) : Esquisse historique apocryphe du développement de la civilisation Européenne tel qu’il n’a pas été, tel qu’il aurait pu être. Paris : Librairie Arthème Fayard

Pour simplifier la compréhension des récits, nous retrouvons souvent des représentations similaires à celles existantes dans le domaine de l’histoire qui comme celles de Ryan donnent une orientation générale de lecture de gauche à droite en concordance avec notre sens habituel de lecture. Un exemple similaire est explicitement utilisé par Randall Munroe dans la bande dessinée xzcd : The Movie Narrative Chart (http://xkcd.com/657/). (Figure 15) À l’exception du film Primer dont nous étudierons la structure narrative dans le chapitre quatre, tous les exemples suivent cette tendance. La présentation d’une histoire sur le support macroscopique du graphe en arbre révèle cependant des aspects importants de leur réception que sont le sens et la direction de lecture.

Figure 15: Xkcd Movie Chart

Figure 15: Randall Munroe, Movie Chart. Source : http://xkcd.com/657/

Le sens commun de lecture en occident se fait de gauche à droite et se confond généralement avec la direction de lecture. On peut définir le sens de lecture comme étant le fait de lire de gauche à droite à partir du bas des lettres. La direction de lecture est l’orientation du plan sur lequel se fait la lecture et se réfère dans notre cas à la direction prise par la courbe paramétrée. (Figure 16) L’utilisation de la courbe paramétrée permet de conserver clairement les principes d’uniformité, de directionalité et d’irréversibilité propre au temps (Rosenberg et Grafton, p. 19). Il se trouve que les deux derniers ne sont pas des principes immuables. La forme des chartes historiques se compare aisément à celle de la courbe paramétrée et l’évolution de ce support depuis le 18e siècle dans la culture occidentale a déjà offert des cas de lecture verticale, horizontale ou même circulaire comme dans celle de Girolmo Andrea Martignoni (Rosenberg et Grafton, p. 108-109). La direction de la lecture, comme nous l’avons également vu dans le cas des histoires présentées en arbres, peut être définie à 360 degrés. Nous verrons dans les prochains chapitres qu’il est encore possible de donner de l’expansion à ce principe de direction. Il reste encore le point litigieux de sens de la lecture, c’est-à-dire le sens de lecture prise sur la courbe paramétrée elle-même.

Figure 16

Figure 16: Direction de lecture. Source : http://mathwiki.ucdavis.edu/Calculus/Vector_Calculus/Vector-                                             Valued_Functions_and_Motion_in_Space/Curvature_and_Normal_Vectors_of_a_Curve

Dans l’ouvrage Possible Worlds, Artificial Intelligence, and Narrative Theory de Marie-Laure Ryan, la présentation des récits conserve en général le sens de lecture qui est aussi la direction de lecture, et ce, autant pour les points et vecteurs qui suivent l’histoire diégétique que ceux qui suivent l’histoire possible ou imaginée de la diégèse. Une étape importante dans la création d’un corpus qui utilise la présentation macroscopique de l’histoire est de se défaire de cette contrainte. Dans la construction de telles œuvres, la possibilité de lecture pluridirectionnelle devrait être prise en compte comme élément esthétique ou porteur d’une sémiotique particulière. Un premier corpus intéressant est celui de l’OuBaPo qui offre de nombreux exemples dans son deuxième et troisième Oupus.

Figure 17: Lewis Trondheim Le roi du Monde

Figure 17 : Lewis Trondheim, Le Roi du Monde. Tiré de Lapin nu. 27, Paris : L’Association, 2001.

Le premier double sens de lecture à reconnaître est le double sens de lisibilité notamment propre au palindrome. Un exemple flagrant est celui de Le Roi du Monde de Lewis Trondheim (OuBaPo 2003, p. 14). (Figure 17) Dans cette bande dessinée de 16 cases placées régulièrement en carré, chaque ligne peut être lue de gauche à droite ou de droite à gauche et chaque colonne de haut en bas ou vice versa. Il y a également des possibilités de lectures à double sens dans chaque diagonale. Ces différents sens de lecture se rattachent à la plurilecturabilité de chaque case (OuBaPo).

Figure 18: Jean-Christophe Menu Stip Croisé

Figure 18 : Jean-Christophe Menu, Strips croisés, 2000. Tiré de L’oupus 3 © Jean-Christophe Menu

Il est possible de lire chaque case en plusieurs sens et il en découle plusieurs directions de lecture dans le multicadre. En fait, chaque direction de lecture contient un double sens de lecture. L’interprétation du sens de lecture peut se confondre avec celui de la direction sur le support. Dans cette situation chaque case a un sens précis de lecture, mais la suite des cases qui forment l’histoire est pluridirectionnelle. C’est-à-dire que le lecteur construit un chemin en passant d’une case à l’autre en suivant les différentes directions de lecture possibles à partir de chaque case. Une fois de plus l’Oupus 3 offre de beaux exemples dans les «strips croisés» de Ayroles, Menu et Lécroart. Dans ceux de Lécroart et de Menu, nous pouvons lire chaque colonne vers le bas et chaque ligne vers la droite pour former un total de sept histoires possibles. (Figure 18) L’œuvre 26, Ayroles fait ses strips croisés, doit se lire dans le sens normal de gauche à droite et du haut vers le bas, mais à partir de chaque case plusieurs suites sont possibles comme le présente le schéma de la figure 19. L’ensemble des lectures possibles constitue 256 histoires différentes.

Figure 19: François Ayroles -Strips Croisés pour l'OuBaPo

Figure 19 : François Ayroles, Strips Croisés, 2000. Tiré de L’oupus 3 © François Ayroles

Un autre exemple de lecturabilité particulière vient des travaux de Gustav Verbeck qui produisit la série The Upside Downs of Little Lady Lovekins and Old Man Muffaroo (1903) (Figure 20). Après la lecture en son sens conventionnel le lecteur doit retourner la planche à 180° pour poursuivre la lecture (Couperie et al., p. 27). Plusieurs auteurs réutilisent cette technique dans L’Oupus 3 : Gerner, Lécroart, Killofer, Ayroles, Lécroart, Trondheim et J.C. Menu se soumettent tous à cette contrainte (OuBaPo 2000, p. 2, 22, 20, 24 et 26). Dans les deux cas, le sens de lecture de la courbe paramétrée sous-jacente est double et par ce fait même nous lisons des graphes non orientés qui possèdent deux sens de lecture puisque chaque case peut se lire de gauche à droite ou de droite à gauche.

Figure 20: Gustav Verbeek -Upside Downs

Figure 20: Gustav Verbeek, Upside Downs of Little Lady Lovekind and Old Man Muffaroo.

Pour un multicadre qui a un sens de la gauche vers la droite et du haut vers le bas, il devient facile de dénombrer le nombre de lectures possibles. En nommant chaque lecture vers la droite D et chaque lecture vers le bas B, on peut représenter par un mot. Une lecture du multicadre DBDBDBD représente alors une lecture sur la diagonale du multicadre. Le dénombrement du nombre d’histoires d’un multicadre de m par n cases revient alors à celui du dénombrement du nombre de mots de m+n lettres D et B. Le résultat donne (m+n)!/(m!xn!) (Grimaldi, p. 27) Nous pouvons encore ajouter la contrainte de ne pas dépasser la diagonale du multicadre. Le problème du dénombrement des lectures possibles se transforme alors en celui des nombres de Catalan qu’il est également assez simple de calculer (Grimaldi, p. 36-38). (Figure 21)

Figure 21: Nombre de Catalan -Catalan Numbers

Figure 21 : Les nombres de Catalan représentent le nombre de chemins qui ne traversent pas la diagonale. Source : Wikipedia

Les exemples que nous venons d’étudier présentent une forme intéressante lorsque nous les considérons du point de vue des courbes paramétrées. Sous le multicadre se retrouve une panoplie de courbes clairement définies qui doivent suivre un sens et une direction de lecture. La plurilecturabilité peut être comprise dans ces cas comme la possibilité de sauter d’une courbe à une autre ou comme la coprésence superposée de toutes les courbes paramétrées possibles qui équivalent à une lecture possible.

Figure 22: Chris Ware -Quimby the Mouse

Figure 22: Chris Ware, Quimby the Mouse, 2003. Seattle: Fantagraphics Books. © Chris Ware

Revenons aux cas où les courbes sont bien définies et disjointes les unes des autres. Cela permet de mettre en valeur une interprétation de la direction de lecture qui peut prendre une signification particulière en rapport avec le support de la courbe. Nous constatons que les exemples des chartes historiques et des différentes schématisations de l’histoire telle qu’elles se retrouvent chez Ryan restent encore très ancrés dans la tradition littéraire de la lecture de gauche à droite. Nous pouvons observer une tendance à mi-chemin entre sens de lecture traditionnelle et une exploration de la direction de lecture. Dans une planche de Quimby the Mouse de Chris Ware, nous retrouvons un bel exemple de structure en arbre, en chemin plus précisément, dans laquelle la direction de lecture n’est pas toujours équivalente au sens de lecture. Les cases suivent un parcours relativement conventionnel jusqu’au bas de la page, par la suite elles remontent du coin inférieur droit vers le coin supérieur gauche en quelques cases (Ware 2003, p. 28). (Figure 22) Les cases possèdent un sens de lecture de gauche à droite alors que la courbe paramétrée sous-jacente contenant le temps de l’histoire possède une direction qui va vers le haut. La direction globale du multicadre demeure quant à elle vers la droite puisque la courbe paramétrée nous ramène en haut à gauche de la page suivante disposée à droite de la première. L’auteur Fred propose une structure similaire dans un tome de Philémon où le protagoniste peut descendre la page en passant par plusieurs chemins (Fred, p.25). (Figure 23) Le schéma de cette page construit par Peeters indique que la structure de la page est un arbre orienté et qu’aucun cycle n’y apparaît (Peeters 1998, p. 71). (Figure 24) Comme le souligne Peeters, la planche apparaît tout d’abord comme un «espace homogène et simultané» (1998, p. 69). Une lecture plus approfondie révèle la présence d’un récit-carte : les évènements de l’histoire sont superposés à une carte de fond (le chien géant nommé Simbbabad) et ils sont disposés sur les lieux précis de la carte où ils ont lieu. Chaque évènement prend son sens avec son positionnement sur la carte puisque le lieu de l’action dans la case est le même que celui du multicadre.

Figure 23: Fred -Philémon

Figure 23: Fred. 1974. Philémon: Simbabbad de batbad. Montréal : Dargaud Éditeur. © Dargaud Éditeur 1974.

Figure 24

Figure 24 : Schéma de Peeters pour la page de Fred. Peeters, Benoît. 1998. Lire la Bande Dessinée. Paris : Casterman, 1998. © Casterman 1998.

Analysons un exemple qui s’écarte quelque peu de cette tradition. Dans son œuvre Dernier Rappel, Alex Robinson représente la tourmente dans laquelle se retrouve son personnage en offrant un dialogue structuré en arbre (Robinson, p. 216). Les différents phylactères s’étalent et se perdent sur la page. (Figure 25) Même si des croisements se font au niveau des dialogues, puisque ces dialogues ont un sens de lecture la suite de phylactères forme un graphe orienté sans cycle. Par conséquent, ce graphe est un arbre. L’instabilité de la direction de lecture de la suite de phylactère renforce l’idée de l’égarement des pensées du protagoniste. Par conséquent, cet arbre, sans être un récit carte, contient une information contenue dans sa forme. Cette relation spatio-topique issue des différentes directions de lectures relie ces phylactères entre eux procure un sens supplémentaire à l’image.

Figure 25: Alex Robinson Derniers Rappels

Figure 25Robinson, Alex. 2006. Derniers Rappels. Montreil : Éditions Rackham. © Alex Robinson

Examinons un cas simple qui se base sur ce principe : une histoire construite en étoile peut souligner l’éloignement définitif de personnages dans le temps et dans l’espace. Dans un graphe, nous définissons la distance entre deux arêtes par la longueur du plus court chemin qui les sépare (Bondy, p. 80). Un graphe en étoile est un graphe tel qu’il existe un sommet à une distance 1 de tous les autres sommets (West, p. 67). Dans la représentation d’un graphe en étoile à n sommets, nous pouvons construire le graphe avec le sens conventionnel de lecture en plaçant le centre de l’étoile à gauche et les n-1 sommets suivants à sa droite. Une seconde option est distribuer les n-1 points autour du centre en les plaçant à une distance euclidienne (20) égale des uns des autres. Par la grande symétrie de l’image obtenue, nous obtenons une histoire qui possède plusieurs directions de lecture, mais un seul sens. (Figure 26) C’est-à-dire qu’en fixant au bas de l’image d’une seule case le référentiel de lecture, la lecture de la prochaine case se fera vers la droite, mais lorsque nous observons le graphe en arbre de manière générale, il y a des branches qui partent vers différents angles du plan.

Figure 26

Figure 26-Graphes en étoiles. Source: Wolfram Mathworld.

Un exemple simple d’histoire basée sur cette structure est un graphe en étoile dans laquelle à partir d’un évènement dramatique, plusieurs amis partent dans des directions régulièrement distribuées sur 360 degrés. Cet éloignement égal des personnages des uns aux autres insinue un éclatement parfait du groupe social. Une telle histoire en étoile a été conçue par Henriette Valium pour l’affiche Créateur : tu est (sic) et tu seras ça toi!. Dans ce cas, les cinq cases disposées en périphérie pointent vers la case centrale où se déroule l’acte de création. Nous avons une histoire en «étoile» du point de vue iconique, mais le texte semble suivre un ordre plus habituel, c’est-à-dire que le texte des cases semble devoir être lu en passant par l’ordre conventionnel des cases de la bande dessinée. (Figure 27)

Figure 27: Henriette Valium

Figure 27: Henriette Valium, Créateur, tu es et tu seras ça toi. © Henriette Valium

Cette liberté prise en regard de la direction de lecture apparaît déjà dans plusieurs hypercomics qui utilisent à plein escient la pluridirectionnalité de l’espace du plan cartésien et offre au lecteur des symétries esthétiques de la présentation macroscopique de l’histoire. Comparons trois exemples d’hypercomics de Daniel Merlin Goodrey, soit Never Shoot the Chronopath (21) , Merlism: The Book of Merl, et Cells: War on Weird (22). Le premier offre une belle structure globale principalement constituée de trois branches, mais qui garde une lecture de gauche à droite. (Figure 28)

Figure 28: Daniel Merlin Godbrey : Never shoot the Chronopath

Figure 28: Daniel Merlin Goodbrey, Never Shoot the Chronopath 2005 © Daniel Merlin Goodbrey Tiré du site personnel de Goodbrey

Le deuxième possède principalement une structure similaire à celle de l’étoile ou des rivières de Griffith où plusieurs histoires découlent d’un point central. Il n’en reste pas moins que les deux principales directions sont le haut et le bas. (Figure 29)

Figure 29: Daniel Merlin Godbrey : Merlism

Figure 29: Daniel Merlin Godbrey Merlism: The Book of Merl , 2005 © Daniel Merlin Godbre

Finalement, plus éclectique, Cells : War on Weird travaille dans plusieurs directions à la fois. (Figure 30). Comme le remarque Martha B. Kuhlman en se basant sur l’analyse de Thomas Bredehoft, la multitude des directions de lecture caractérise également certaines pages de Chris Ware: «one can approach the multilinear pages in Jimmy Corrigan from several directions.» (Kuhlman, p. 83). Nous ajoutons que dans le cas de ces planches, certaines cases ont également des sens de lecture qui diffèrent du sens habituel.

Figure 30: Daniel Merlin Godbrey Cells: war on Weird

Figure 30: Daniel Merlin Godbrey Cells: War on Weird, 2010 © Daniel Merlin Godbrey

Nous pouvons donc considérer à la fois un sens et une direction de lecture dans la création d’une œuvre. De plus, comme le mentionne Groensteen dans son analyse spatio-topique, la forme de la suite de case peut être un élément important. De manière équivalente, la forme de la courbe paramétrée peut donner lieu à une esthétique et à des interprétations particulières, à un graphisme sémiotique comme le souligne Peeters (1998, p. 106). Nous verrons ce fait plus en détail à l’aide de remarques de Brusatin, Kandinsky et Klee. Or, inévitablement la direction prise par la courbe a une incidence sur la forme du graphe et par conséquent sur le sens de sa forme. Le schéma apocryphe de Renouvier en est un bon exemple avec la sémantique apportée aux angles entre les segments de droite. Nous allons étudier un exemple fort simple qui illustre à merveille l’utilisation conjointe de direction de lecture et de la spatio-topie, celui de la spirale. Un exemple saillant nous vient du milieu de la musique et il nous est possible de l’étudier sous le modèle de la courbe paramétrée. La partition musicale représente naturellement une progression du temps et une belle analogie entre cette trame de temps et une trame narrative est bien représentée par le travail de J. J. Granville paru dans la revue Magasin Pittoresque en 1840. (Figure 31)

Figure 31: J.J. Granville

Figure 31: J.J. Granville, parution originale dans le Magasin Pittoresque en 1840, tire du livre de Smolderen

L’auteur présente une histoire de bonshommes allumettes sur une partition musicale; le temps de la partition musicale est en fait le même que le temps de l’histoire (Smolderen, p. 37). Cette correspondance entre le temps de la partition et le temps de l’histoire apparaît également dans Histoire de la Sainte-Russie de Gustave Doré. Dans ce passage, le czar Nicolas I amène un de ses boyards devant son armée afin que ce dernier démontre ses capacités (Doré, p. 179). (Figure 32) Ces deux temporalités trouve une parfaite équivalence puisque le temps de cette partition en littéralement un sous segment du temps de l’histoire de la Russie.

Figure 32: Gustave Doré Histoire de la Sainte-Russie

Figure 32: Gustave Doré, Histoire de la Sainte-Russie (extrait)

L’analyse ou la construction d’histoire de par la spatio-topie peut s’avérer utile puisque la forme d’une courbe peut déjà être porteuse de sens. Par exemple, Brusatin écrit que « Le sublime est à la fois une ligne brisée et zigzagante…» (Brusatin, p. 132). Des artistes comme Paul Klee et Wassily Kandisky ajoutent des éléments à ce type d’analyse perceptuelle. Kandinsky, distingue les «lignes droites libres» en opposition aux diagonales et discute de la notion de température d’une droite (Kandinsky, p. 69). Dans sa Théorie de L’Art Moderne, Klee mentionne que deux lignes secondaires peuvent former une ligne imaginaire (Klee, p. 74). (Figure 33)

Figure 33: Paul Klee

Figure 33: Ligne imaginaire de Paul Klee, 1985. Théorie de l’Art Moderne. Édition et traduction par Pierre-Henri Gonthier. Genève : Éditions Gonthier

Nous analyserons le cas particulier des spirales puisqu’elles possèdent une spatio-topie complexe qui évoque souvent la folie. Avant de le faire, nous devons voir l’utilité de la construction en arc de cercle. Dans les deux cas, les courbes paramétrées que nous utilisons peuvent faire usage de fonctions trigonométriques dépendantes de t dans leurs coordonnées x et y. En ce sens, le temps devient un paramètre angulaire de la courbe. Par exemple, sur un quart d’arc de cercle dans le premier quadrant du plan cartésien, le paramètre angulaire du temps passe de 0 à 90 degrés. En prenant des cercles de rayons différents et en nous basant sur une équivalence stricte du temps et de la distance sur une courbe sur le canevas infini tel que le propose McCloud, nous remarquons qu’un même temps angulaire représente différents temps de l’histoire sur différents cercles. Sur de plus petits cercles, le temps sera court et sur de grands cercles le temps sera beaucoup plus étiré. Ce modèle représente parfaitement ce qui se déroule dans le film Inception de Christopher Nolan. L’arc de cercle le plus proche représente le déroulement originel de l’histoire et chaque cercle supplémentaire représente un niveau de rêve superposé. Conformément au récit de Nolan, un temps court du premier arc de cercle est étiré sur le second et encore plus étiré sur les cercles plus éloignés. (Figure 34)

Figure 34

Figure 34: Distances radiales

Nous devons apporter quelques précisions sur le paramètre t. Puisque ce dernier varie sur les nombres réels, il peut représenter plusieurs intervalles différents : un intervalle fini, un intervalle allant de l’infini dans le passé à un moment précis, un intervalle allant d’un moment précis à l’infini comme le veut le concept d’aevum représentant le temps de la vie des anges tel que défini par le théologien Kilwardby (Gauvard, Libera et Zink, p. 12), et finalement, un temps variant de l’infini passé à l’infini futur. Nous expliquerons plus loin en quoi ces considérations sont utiles.

Figure 35: George Crumb Markocosmos

Figure 35-George Crumb, Makrokosmos, 1972. © George Crumb

En 1972, le compositeur George Crumb composa une suite de pièces pour piano amplifié qu’il nomma Makrokosmos. La grande particularité de cette œuvre est la forme de ses partitions. Chaque section est associée à un signe du zodiaque et possède une partition de forme différente. La pièce Spiral Galaxy possède une partition en spirale. (Figure 35). Il est aisé de comparer la partition musicale avec une courbe paramétrée qui progresse au gré des mesures comme le fait Granville. On peut trouver un modèle similaire de représentation du temps dans le jeu Wallis’ New Game of Universal History and Chronology de 1840 dans lequel les joueurs déplaçaient leurs pions le long d’une série de moments historiques disposés chronologiquement en spirale avec le présent situé au centre (Rosenberg et Grafton, p. 194-195). (Figure 36)

Figure 36: John Wallis

Figure 36- John Wallis, Wallis’ New Game of Universal  History and Chronology ,Londres, 1840. http://alteagallery.com/stock_detail.php?ref=13893&search=

Une telle représentation du temps a également été utilisée dans le cadre du jeu The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden, in Germany (1631). (Figure 37) Kunzle remarque que la spirale suggère autant la continuité des victoires que la précision mathématique des déplacements du roi (Kunzle, p. 74-75). Les Yanktonais d’Amérique du Nord semblent avoir également utilisé une trame de temps en spirale dans la présentation de l’Histoire (Rosenberg et Grafton, p. 157). Le modèle le plus élaboré est sans doute celui du rabbi Jacob Bloch de l’Oregon qui proposait un modèle en spirale où le temps au centre représentait le passé et évoluait plus rapidement que celui plus à l’extérieur de la spirale qui représentait le temps plus proche du présent. Cette stratégie visait à éviter les nombreux trous laissés dans le lointain passé dans les chartes linéaires, espaces vacants qu’impliquait une moins grande connaissance des évènements de l’histoire antique (Rosenberg et Grafton, p. 200-202).

Figure 37: The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden

Figure 37: The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden, in Germany (1631) Tiré de l’ouvrage de Kunzle

En bande dessinée, Scott McCloud envisagea la possibilité de construire des histoires en spirale puisqu’il présente une suite de cases prenant une telle forme sur son canevas infini en arrière-plan d’une de ses cases. Il ne fait que suggérer cette utilisation, il n’insère pas la spirale comme structure des cases dans son ouvrage (McCloud 2000, p. 223). L’auteur Joe Matt fait un usage narratif d’une spirale dans l’une des pages de son journal Peepshow : the Cartoon Diary of Joe Matt. De la case supérieure droite de la page, le lecteur doit suivre l’auteur dans un parcours en spirale qui se termine au centre de la page (Matt 1999, p. 9). (Figure 38)

Figure 38: Joe Matt Peepshow

Figure 38-Joe Matt, Peepshow: the cartoon diary of Joe Matt , 1999. © Joe Matt

Cet exemple démontre bien l’utilité de la spirale dans la présentation d’une histoire sur une durée finie. L’auteur utilise bien les notions de direction et de forme de la courbe paramétrée. Le changement constant de direction du personnage et de la courbe paramétrée souligne le manque de référents psychologiques du personnage et finalement l’auteur utilise la forme de la spirale pour piéger son personnage au centre de l’histoire. Les deux plus beaux exemples restent néanmoins ceux dessinés par Marc-Antoine Mathieu dans le second tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves : Le Processus. À la page 37, le protagoniste parcourt une spirale qui non seulement aboutit au centre de la page, mais également sur la page suivante. (Figure 39)

Figure 39: Julis Corentin Acquefawue par Marc-Antoine Mathieu

Figure 39: Mathieu, Marc-Antoine. 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus, Paris : Éditions Delcourt. © 1993 Delcourt Productions

L’effet de profondeur renforce l’idée du point de fuite. La fin de l’histoire prend une forme similaire; la dernière page du récit présente une spirale de cases dans laquelle, théoriquement, l’histoire continue indéfiniment (Mathieu 1993, p. 46). (Figure 40)

Figure 40: Julius Corentin Acquefaque par Marc-Antoine Mathieu

Figure 40- Mathieu, Marc-Antoine. 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus, Paris : Éditions Delcourt. © 1993 Delcourt Productions

Dans le but de rendre plus palpable cette idée d’histoire sans fin, un utilisateur anonyme a proposé en 2003 une histoire en spirale dans laquelle le lecteur pourrait zoomer infiniment sur son écran d’ordinateur. L’utilisateur amenait l’idée de coder un programme pouvant donner cet effet d’optique. L’idée ne semble pas avoir trouvé preneur (23). (Figure 41)

Figure 41

Figure 41- Proposition d’un modèle pour une histoire en spirale infinie. Source : http://www.zwol.org/forum/viewtopic.php?t=1284&sid=29afe7eb537b284815d2d075b9389c13

 

Dans le domaine des jouets optiques, il existe un exemple de disque de zootrope sur lequel la progression du temps s’effectue en spirale (24) (Willoughby, p. 55). Les implications d’une courbe paramétrée qui possède cette forme de représentation en spirale sont multiples, principalement sur des histoires possédant au moins un infini temporal. Plusieurs types de spirales existent : il y a la spirale logarithmique, la spirale de Theodorus, d’Archimède, de Fibonnacci, le lituus, la spirale hyperbolique et d’autres. Nous pouvons classifier les spirales en trois grandes catégories : les développées, la spirale d’Archimède et les spirales de croissance (25) (Lauwerier, p. 55-64). La définition de la développée étant quelque peu complexe, nous l’omettrons dans cette analyse. La spirale d’Archimède se caractérise pas la distance constante entre ses branches (Lauwerier, p. 60) comme nous pouvons le voir dans Wallis’ New Game of Universal History and Chronology. Un second exemple de spirale d’Archimède est la spirale de Fermat. (Figure 42) Cette spirale diffère par le fait qu’il n’y a pas un point de convergence de la courbe au centre. En fait elle est constituée de deux segments se rejoignant au centre de sorte que si l’on suit un segment jusqu’au centre on se retrouve ensuite à suivre l’autre segment qui s’éloigne du centre.

Figure 42

Figure 42- Exemple de spirale de Fermat. http://wonderfl.net/c/zcm8. © Kayak Inc

Si nous voulons faire une modélisation formelle de la spirale à l’aide de la courbe paramétrée, plusieurs options sont possibles. Un exemple courant est une spirale de croissance, la spirale logarithmique f(t)=(etcos(t),etsin(t) (Pressley, p. 8). Cette courbe a la particularité d’avoir un point de départ, mais pas de point final si l’on définit t sur l’intervalle [0,∞ [ où le point initial se retrouve près du centre et d’où ensuite la spirale s’éloigne infiniment. Si nous définissons le temps sur l’ensemble des réels alors la spirale s’approche infiniment de l’origine lorsque le temps diverge vers l’infini négatif. Il est également possible de permuter ces deux points en inversant le signe du paramètre temporel.

Nous pouvons choisir de représenter une histoire infinie de plusieurs manières. Soit en lui donnant un début, mais pas de fin, et ce d’une manière difficilement représentable puisque cette fin peut diverger dans l’espace, soit en faisant l’inverse. En inversant le sens de la courbe paramétrée, nous obtenons une histoire sans début, mais avec une fin fixe et représentable au centre de la spirale. Nous pouvons donc de deux manières similaires représenter une histoire sans début ni fin : avec soit le début ou la fin comme représentable à l’infiniment petit centre et l’autre comme abstrait divergent vers l’infiniment grand. Un cas intéressant peut également être construit à partir de la spirale de Fermat. Dans ce cas, l’infini du passé et l’infini du futur divergent vers l’infiniment grand du plan. La forme particulière de la spirale de Fermat permettrait aussi de représenter un évènement important au centre et de mettre en corrélation les éléments du passé et du futur en les associant radialement le long de la spirale.

Nous devons alors faire face à une problématique déjà rencontrée par M. C. Escher lorsqu’il voulait représenter l’infini à l’aide de ses pavages du plan. En fait, lorsqu’il a terminé son estampe Étude d’un remplissage du plan avec reptiles, il a compris qu’il arrivait à représenter l’infini théoriquement par son pavage, mais qu’en pratique il lui faudrait poursuivre ses dessins indéfiniment dans toutes les directions (Escher, p. 44). Un problème similaire se produit avec De plus en plus petit (1956) (Locher, p. 219), le point de fuite au centre représente l’infini, mais l’infinité des reptiles qui divergent au-delà n’arrive pas à bien cerner l’infini. Notre situation est similaire dans le sens où nous pouvons nous poser la question à savoir comment représenter fidèlement le double infini du temps par une seule courbe. En gardant l’idée de spirale, nous arrivons à bien cerner le temps de l’infini qui disparaît de plus en plus petit au centre, mais celui de l’infini qui diverge en temps et en distance par rapport au centre du plan peut, comme pour Escher, nous sembler insatisfaisant. Dans le modèle de Bloch, cela détermine un futur réel non encore réalisé, mais dans le cas d’une diégèse où nous pouvons vouloir présenter un temps futur infini.

Figure 43: George Crumb Makrocosmos

Figure 43- Georges Crumb, Makrokosmos, 1972. © Georges Crumb

En fait, il nous est possible d’ajouter un deuxième point à l’infini afin d’y faire converger la seconde extrémité de la courbe paramétrée infinie. Encore une fois, George Crumb fit preuve de créativité et proposa une partition construite à partir d’une double spirale. Toujours dans l’œuvre Makrocosmos, cette partition pour Aquarius est construite sur une sorte de double spirale finie, finie car les lieux d’enroulement ne se font que pour une section finie. (Figure 43) Huang Yong Ping introduisit cette même idée dans l’œuvre Carte du Monde (Rosenberg et Graton, p. 216). (Figure 44)

Figure 44

Figure 44- Huang Yong Ping, Carte du Monde, © 2010 Princeton Architecturl Press

Dans un globe terrestre déroulé en double spirale, l’artiste présente la chronologie de désastres futurs. Ces deux exemples pointent vers la possibilité de représenter deux balises de l’infini dans un espace restreint. Une représentation formelle d’une double spirale peut-être vue dans la spirale de Cornu (26) (Pressley, p. 33). Cette double spirale possède la particularité de converger vers deux points précis (27) (Pressley, p. 32-33). (Figure 45).

Figure 45

Figure 45-Spirales de Cornu, Source: Wolfram Mathworld.

Figure 46: Escher Tourbillons

Figure 46: M.C. Escher, Tourbillons, 1957, xylographie, 1957. 45 x 23,5 cm

La gravure Tourbillons (1957) de Escher représente bien ce principe. Deux séries de poissons disparaissent en convergeant à l’infini en s’enroulant autour de deux points fixes. (Figure 46) Il existe également une version à trois spirales équivalente à la spirale de Fermat dans le sens où il n’y a pas de convergence infinie vers le centre (28). En fait, cette triskèle représentant une déesse celtique ne diverge pas non plus vers l’extérieur du plan. (Figure 47) Il existe une variante de cette triskèle dans laquelle un des segments de chacune des trois spirales diverge vers l’infini. La construction d’une telle triskèle revient à l’équivalent d’un graphe en étoile de longueur infinie puisque ces trois brins qui forment les spirales partent d’un point central et ne se recoupent jamais. (Figure 48) Nous pouvons trouver d’autres manières de construire des doubles spirales, nous verrons celles-ci dans un chapitre ultérieur.

Figure 47

Figure 47-Triskèle, 2014 © ClipArt Best. Source: http://www.clipartbest.com/clipart-jixeqx6iE

Figure 48

Figure 48- Triskèle, © Zazzle Inc. Source: http://www.zazzle.ca/triskele_spirals_sticker-217523299385155614

Les cas de la spirale finie de Joe Matt et de la spirale de Fermat démontrent bien l’importance de la spatio-topie. La série de cases, de par sa forme, peut permettre une interprétation plus précise de l’histoire. Joe Matt utilisa la forme de la spirale pour produire un effet claustrophobique et pour laisser sous-entendre que son personnage était pris dans un cul-de-sac. La géométrie de la spirale d’Archimède permet quant à elle d’assurer de ne laisser aucun espace vacant entre les branches de la spirale allant vers l’infini. Ces cas sont de beaux exemples d’utilisation de la spatio-topie et des caractéristiques géométriques de la courbe paramétrée. La définition et les propriétés de l’espace sur laquelle la spirale se développe peuvent de plus mener vers la construction de récit-cartes. Par exemple, si nous considérons le centre de la spirale comme un lieu de grande richesse, une spirale tourbillonnant vers ce centre peut servir à représenter une lente progression vers l’avarice.

Les spirales sont fort intéressantes puisqu’elles soulignent un point important du canevas infini. Le plan est par définition infini par sa grandeur, par son incommensurabilité. Or, si nous nous basons sur la notion de plan cartésien, nous obtenons le résultat suivant concernant l’infini de ses détails : le plan cartésien est défini par ses deux coordonnées sur les réels, et par la densité des réels, ses points sont denses (Labelle, p. 10). C’est-à-dire que nous pouvons zoomer à l’infini sur n’importe quel point du plan sans qu’il n’y ait de lieu vacant. C’est aussi ce qui nous permet de réaliser ces spirales qui convergent vers ces points qui représentent le lieu du temps à l’infini. Sur papier, la représentation de telles narrations devient rapidement problématique puisque physiquement il nous est impossible de dessiner l’infiniment petit, problème qui peut être pallié par l’utilisation de l’ordinateur.

Dans la lignée déjà mentionnée des différents paradoxes liés au contiuum infini, les recouvrements de l’espace par une courbe ont fait couler beaucoup d’encre. Si cette caractéristique semble naturelle pour Kandisky (1970, p. 69), elle requiert plusieurs précisions de la part des mathématiciens. En particulier, tel que démontré par Eugen Netto, même s’il est impossible de mettre la ligne des réels en bijection avec le carré à l’aide d’une fonction continue (c’est-à-dire qu’il est impossible d’associer à chaque point de la ligne un seul et unique point du carré et vice-versa à l’aide d’une courbe continue), il est tout de même possible de faire une surjection ; en d’autres mots nous pouvons associer à chaque point du carré un point de la ligne (Sagan, p. 2). En fait, certains points du plan sont associés à plusieurs points de la ligne. Cette restriction est précisément celle qui empêche d’avoir une bijection entre les deux espaces. Dans la suite des débats sur ces paradoxes sont apparues les courbes de recouvrement de l’espace, c’est-à-dire des courbes qui théoriquement recouvrent entièrement une section de plan. Nous devons la première courbe de recouvrement de l’espace à l’italien Giuseppe Peano en 1890 (Peano, p. 157-160), mais à David Hilbert la popularisation de sa géométrie (Sagan, p. 10). (Figure 49)

Figure 49: Peano Curve -courbe de Peano

Figure 49: António Miguel de Campos, Peano Curve, 2007, JAVA animation. Source: Wikipédia.

La construction de la courbe de Peano se base sur un processus itératif. À partir d’une courbe de longueur finie, nous introduisons des segments de courbe semblables à la courbe initiale, mais à une plus petite échelle. Avec un choix adéquat de cette courbe et une itération à l’infini de l’insertion des segments de courbes, on arrive à recouvrir entièrement une section de plan. Plusieurs courbes similaires ont ensuite été proposées par différents mathématiciens tels que Sierpínski, Moore (Moore, 1900), Osgood (Osgood, 1903), Hilbert, Lebesgue (Delahaye 2004a, p. 92-93).

Nous avons déjà mentionné que les pages autoréférentielles contenant la mise en abyme infinie d’une case fait partie du répertoire de certains artistes. À l’opposé, le défi de la mise en abyme d’un nombre infini de segments de droite à l’intérieur d’un même segment initial reste encore à relever. Si nous ajoutons le critère du recouvrement du carré par l’itération à l’infini de ces courbes nous devrons alors également considérer les inévitables points qui seront recouverts plus d’une fois dans cette narration, donc inclure comme élément de l’histoire l’intersection de ces segments de courbes par eux-mêmes.

Nous arrivons à représenter l’ensemble de l’histoire comme ligne temporelle en considérant la trame temporelle qui lie entre elles les différentes cases d’une histoire en cadrant cette trame à l’intérieure d’une courbe paramétrée. En évitant la formation de cycle, l’agrégation de différents segments de courbes permet la construction de graphes en arbre qui peuvent servir la représentation macroscopique des histoires. La forme de ces arbres peut guider la création et la lecture de ces histoires. En ajoutant des points à l’infini, les histoires représentées peuvent posséder un temps diégétique infini. Finalement, l’utilisation de courbes de longueur peut mener vers de nouveaux défis tels que le recouvrement théorique d’une portion de plan et le recouvrement du plan par une histoire.

Notes:

9-Du point de vue des mathématiques, une courbe est un objet à une dimension. Dans notre cas, nous admettons une certaine largeur, celle nécessaire à l’inclusion des cases.

10-http://www.mizar.org/

11-La Bible Moralisée est un manuscrit du Moyen Âge qui présente en image plusieurs passages de la Bible. Elle fut probablement commandée par Isabelle de France au 13e siècle (Haussherr, p. 7).

12-Le mot exact dans le cas de la Bible Moralisée est médaillon. (Haussherr, p. 3)

13-Anonyme. Bible Moralisée : Faksimile-Ausgabe im Originalformat des CODEX VINDOBONENSIS 255 der Österreicjischen Nationalbibliothek. Paris : Club du Livre : Graz Akademische Druck-u. Verlasanstalt, 1973, p. 104. Un autre exemple d’apparition hors cadre se trouve à la page 112. Le cas le plus particulier se retrouve à la page vingt alors que le cadre est déformé pour prendre place dans le médaillon.

14-Ibid, p. 2. Page 41 du Commentarium.

15-Traduction libre de l’auteur.

16-Nous utilisons le mot charte avec sa définition anglaise de ‘’document organisationnel’’ puisque cette définition fait état précis du type de document dont il est question et qu’un terme équivalent en français n’existe pas.

17-Pour la définition complète voir Labelle, Jacques et Armel Mercier. 1993. Introduction à l’analyse réelle. Montréal: Modulo, p. 99.

18-En fait, tout un chapitre est dédié à Hogarth et un autre est dédié à ses successeurs.

19-Il est à spécifier que Smolderen oppose tout de même les modes de lectures de l’art séquentiel et du travail de Hogarth.

20-Par distance euclidienne nous nous référons à la distance dans le plan au lieu de la distance définie dans le graphe.

21-http://e-merl.com/chrono.htm

22-http://e-merl.com/cells.htm

23-http://www.zwol.org/forum/viewtopic.php?t=1284&sid=29afe7eb537b284815d2d075b9389c13

24-Lorsque ce disque est utilisé dans sa fonction rotative initiale, cette visibilité de la continuité de temps en spirale disparait quelque peu au profit d’une progression radiale.

25- Elles portent ce nom car on les retrouve souvent dans la nature.

26-Cette spirale est construite par la variation linéaire de sa courbature.

27-Cette propriété découle de sa définition. En effet, plus sa courbature tend vers l’infini, plus elle s’enroule en sens antihoraire vers des arcs de cercle ayant une courbature grande, et donc des arcs de cercle ayant des rayons de plus en plus petits.

28-Notons que ces spirales apparaissent dans la bande dessinée Meanwhile (Shiga, 2010). Cette insertion ne présente qu’une forme en spirale de la courbe paramétrée, aucune case n’y apparaît et la spirale ne diverge pas indéfiniment vers l’extérieur.