Exhibition In Copenhagen

I have the chance to have three paintings on the walls of the Lighthouse cultural center in Copenhagen for few weeks. To visit, look at the calendar if the space is open, the paitings are available only when the space is open for activities.

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The paintings relate to my researches in narratology that can be found in favious articles of the blog. The main useful articles are:

Narrative Sculptures: Graph Theory, Topology and New Perspectives in Narratology.

and for french readers:

Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (1, 2, 3, 4)

The four pieces presented there are the following:

Infinite Walls

Infinite Walls
Infinite Walls by Felix Lambert. Two Circles on a torus. Copyright: Felix Lambert, 2017

Handcuffs

Handcuffs
Handcuffs by Felix Lambert. Two circles on the plane. Copyright: Felix Lambert, 2017.

Lost in Days and Nights

Lost in Days and Nights
Lost in Days and Nights by Felix Lambert. Two circles on the torus. Copyright: Felix Lambert, 2017.

To complete stories represented by the paintings are presented by the side of the paintings at The Lighthouse. Visit the place, Pasteursvenj 8, Copenhagen, Denmark, to read the stories.

To visit the rest of my work, please visit my website.

http://metonym.io/

Felix Lambert

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Automated Process as art: Authorship from Mathematics to Visual Arts (Part 1)

There is a process involved behind every artistic and scientific productions. These processes can evolve, change directions and motivations, but at some point when the exact procedure is defined, automated processes can be constructed. The automated procedure is then available for others to be experimented and modified in order to find new applications and results. As this extra step is taken, an extended distance appears between the original creator of the process and the final result. Although, as pointed out by Einstein, when great specialisation is involved, the scientific and the artist merge into one identity (Calaprice 245) We show in this article that this double position between art and science is particularly present when creating automated processes. When creating abstract trends of patterns and procedures, the full extent of its applications rarely stands at reachable glance. On the other hand, the creation of subdivisions as copyright and patents leads the path for creators to think about the exact applications for their creations prior to their concretisation. This paper will explore the problematic involved in such a subdivision, especially in the paradigm of modern automated technologies. Various examples involving conceptual mathematic models, automated processes and visual art will be discussed in order to clarify the problematic.

                As a first step, we compare different movies implying some mathematical concepts: Zorns Lemma (1970) by Hollis Frampton, Last Year in Marienbad (1961) by Alain Resnais and Pi (1998) by Darren Aronofski. These movies use different strategies to include mathematical concepts. The movie Pi is emblematic of the use of mathematics as a topic within its diegetic world. In this case, some concepts can be explained to the audience; the mathematical concepts are use in quotations since they don’t interfere with the structure of the movie itself. To a certain extent, these concepts could be changed for others and the structure would remain intact. As an example, the relation between the stock market and the value π could be exchange for the golden ratio to obtain a similar movie. It would remain an excellent movie with outstanding visuals aesthetic, only part of the semantic would be altered since the myth around pi differs largely from the myth around the golden ratio. These perceivable modifications would be linked to these specific numbers’ reputation outside the movie. For instance, the golden ration often being related to beauty, its use would charge scenes with a different emotional impact than the profoundly anxious and neurotic feeling that underline the whole movie. The value π does not work as a framing structure, it adds a mythological symbolism to its content and mark the film with a peculiar color coherent with the movie’s topic.

The film Zorns Lemma proposes a different appropriation of mathematical concept as a main constituent of art’s paradigm. The Zorn lemma is an important result in the foundations of modern logic and axiomatic set theory. It states that for a strictly partially ordered set, if every ordered subset has an upper bound in the original set, then the latest has a maximal element. The lemma has been proved independently by Kuratowski and by Bochner in 1922, but its popular appellation sticks to Zorn who proved it in 1935. (Munkres, p. 70)

Zorn's Kemma 1

Figure 1: Images from Zorns Lemma. Source: http://www.cia.edu/cinematheque/film-schedule/2013/02/zorns-lemma

The movie does not make apparent use of the lemma itself, although Frampton explicitly works its visual content from a set theoretical approach: groups of letters are combined as different sets to form words. As an example, in the second section groups of words appear ‘’organized alphabetically into sets of twenty-four and conforming to the Roman alphabet by combining i and j with u and v.’’ (Jenkins, p. 21) In this case, the abstract frame is calked from of a given field; set theory. Secondly, the object has a similar background question; how to organise elements of a set? In this case, the question is organise letters from the alphabet. The Zorn lemma appears as more than a mere abstract reference and its substitution for another theorem would note guarantee its correspondence with the movie structure. A title linked to the Pythagoras theorem, Fermat’s theorem or Gödel’s theorem would not be suitable references for Frampton’s work since we could not see a correspondence between the movie’s structure and the results of these theorems.

Jeu de Marienbad

Figure 2: Last Year In Marienbad (Alain Resnais, 1961)

A slightly different approach is explored in Alain Resnais’s Last Year in Marienbad. In this film, the main character, interpreted by Giorgio Albertazzi, often plays the game of Nim -sometimes called the game of Marienbad after the movie[1]– and asserts that by starting first this would ensure him victory. On the mathematical side, the game was proved to be solvable, meaning that there is an algorithm leading inevitably to victory. (Bouton, 1902) The victorious pattern is presented multiple times during the movie and its logic is scaled to the overall frame of interplay with memory between to two main characters. The solvability of the game is implied in the movie as the dry output of destiny: the inevitable reconstitution of the forbidden, and maybe false, memory. The hunt for this blurred memory is ended before it started as the game of Nim is won before every game. As a result, the equivalence relation between the mathematics of the game and the movie’s structure is constructed by narrative means.

L'Année dernière à Marienbad

Figure 3: Time Structure of Last Year in Marienbad by Resnais

[1] It was also called Fan-Tan at the beginning of the 20th century (Bouton, 1902)

Narrative sculptures: graph theory, topology and new perspectives in narratology

“If there is one thing in mathematics that fascinates me more than anything else (and doubtless always has), it is neither “number” nor “size”, but always form. And among the thousand-and-one faces whereby form chooses to reveal itself to us, the one that fascinates me more than any other and continues to fascinate me, is the structure hidden in mathematical things.”

A. Grothendieck. Récoltes et Semailles

There have been many attempts to model narratives from a structural point of view. From these numerous models we want to preserve a macroscopic vision that allows a quick and simultaneous understanding of various important elements of the story, which we call, following Labov’s and Wilensky’s definitions, narrative points (1). Models mapping the general structure of the story can be found, for instance, in the work of Marie Laure Ryan where both diegetic and possible events are represented and where narrative points are related by vectors. In order to preserve this telescopic view and superpose its logic with McCloud’s notion of infinite canvas (2), which will be defined in the body of this text, an option is to start with the notion of a parametric curve. Before doing so, an overview of the pragmatic motivation that led to this research is needed.

The motivation behind this exploration is taken from an interest in mathematics and an increasing amount of narratives using complex time structures and story representations. Movies like Primer (2005) by Shane Carruth lead to the construction of various charts in attempts to understand the hidden time structure (3). Source Code (Jones, 2011) and Looper (Johnson, 2012) are other examples that created the need for such macroscopic representation and many other films, like Cronocrimenes, Triangle (Smith, 2009) and the Terminator suite are cases that could have led to similar practices. In the case of the movie Looper, a three dimensional version of the chart has been produced, bringing to light wider possibilities (Figure 1).

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Figure 1: Movie chart for the movie Looper by Rich Slusher.

Comic artists have explored this path in some isolated cases, either in the use of bigger expositional space (4), or as the juxtaposition of various three dimensional objects, like the booklets in Chris Ware’s Building Stories (2012). This work constitutes a box containing many booklets that can be read in different order. This creates multiple combinations for the reader exploring the diegetic world. Another interesting example, comparable to a mutoscope or other early cinematic devices, is the three dimensional cyclical structure of Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le décalage by Marc-Antoine Mathieu. In this case, when leaving the story at the end of the comic, they actually enter the story again to loop the cycle.

The model presented in this paper is a first exploration in the variety of different surfaces that might be used in further narrative experimentations as well an attempt to establish the basis of a formal narrative tool for academics and artists. Therefore, the author wishes to open discussions in defining narratives and hopes to inspire artists in exploring the challenges offer by this model.

One of the key elements of our model is the use of curves with the continuous stretch of time maintained across them. Even if it seems natural nowadays to represent time with a line, its extensive use in various models results from many different traditions. In our model, these influences are mainly the following: history charts, the construction of the real number line based on Dedekind and Cantor’s work, and the use of parametric curves with time as the general parameter. We will discuss these three influences briefly.

For most of the Middle Ages, time was mainly represented on timetables. Around the beginning of the 19th century, time flux started to be embedded within natural metaphors like lightning and rivers (5). These two examples are important since they allow the time frame to branch out simultaneously. Various time lines could be traced out of single elements. In mathematical terms, these structures are equivalent to oriented graphs, and more precisely to oriented trees, since cycles do not exist in these structures.

For its part, the concept of continuity led to multiple complications and was not well defined until the topology of the real line was properly described. We owe much to the work of Weirstrass, Dedekind and Cantor for this definition and understanding. This dense continuous line of values serves as well in defining parametric curves, curves based on a continuous parameter, usually the time. These curves can be used to represent various types of motion, for instance, the movement of particles in space.

The first trick to make use of mathematical models to represent time frames is to base diegetic time on parametric curves. As a building strategy, this enables various constructions of diegetic time structures. First of all, it allows the concatenation of many line segments as it happens in the time charts discussed above, therefore constructing structures like tree graphs. A simple example of a narrative based on that idea is Griffith’s movie Intolerance, in which different independent stories flow separately (6). Examples can also be found in the work of artists like Chris Ware or Jason Shiga, or in the hypercomics based on McCloud’s infinite canvas such as Daniel Merlin Goodrey’s work (7).

The concatenation of various time segments allows the construction of multi-cyclic time structures as well. This kind of structure is not in itself a novelty; in some mythologies, cyclic time is accepted as the general topology of time frames, and some even make use of many intricate cyclic times as in the Tzolkin and Vedic time constructions. In extending parametric curves into graph theoretical frameworks, we can obtain infinity of cyclic graphs where cycles may be intersecting or independent. This application naturally allows a wide variety of already proven theorems to apply to narratology. For instance, observing the underlying structure of a graph might allow us to determine the number of possible cycles, each of them being a possible reading path.

Because cycles are naturally embedded on a flat surface, some considerations about the implied spaces become important. The Jordan curve theorem states that any simple closed curve separates space in exactly two sections, the interior and exterior of the closed curve, or equivalently, of a cycle. As a result, constructing a cyclical story leads to the creation of these inside and outside spaces that might be used later for a semantic purpose.

In Reinventing Comics, Scott McCloud coined the term infinite canvas to represent the possibility of extending comics infinitely in all directions of a plane. His website specifies that it provides the perfect conditions for a type of comic he names hypercomics. Looking back at mathematical definitions of planes and surfaces, it seems clear that various types of infinities are involved in the notion of an extended version of the infinite canvas.

First, in terms of the continuum defined by Cantor, a plane is dense since it follows from the product of two continuous axes. This implies that infinite zooms are possible at any point on a plane, and as such, on any compact surface (8). To understand this implication, we have to look at a category of curves called space-filling curves, or Peano curves after Giuseppe Peano who first proposed such an example. Space-filling curves are iterated curves that, at their limits, fill a whole part of the plane. (Figure 2) Indeed, many other examples have been provided by other mathematicians in order to provide extra characteristics, as for instance Moore’s curve that is a closed space-filling curve. The density of the plane implies that the breakdown of iterated narrative into infinitely smaller scales is possible. This density leads to possible infinite zoom, fractal-like, construction as found in Marc-Antoine Mathieu’s first and third tomes of his Julius Corentin Acquefaques serie.

Figure 2: A Space-filling curve

The second way in which the canvas is infinite arises first when we allow the plane to be infinite in all directions. In mathematical term, it means the surface is not compact because it would be impossible to cover a plane with a finite amount of bounded sets. From a representative point of view it means it could never be entirely seen, in particular, not in a finite amount of images. In this case, this is why McCloud claims that the infinite canvas naturally supports digital comics. Although true, we suggest the infinite canvas presents even more value with the infinite amount of shapes we can allow the canvas to have.

Also, the canvas does not have to be contained simply in the plane. For instance, as suggested visually in McCloud (9) and in the diegetic world of French author Marc-Antoine Mathieu (10), comics could be presented on spheres (11). The use of different properties of the sphere can lead to a variety of narratological compositions in link with the intrinsic properties of the sphere: the presence of loxodromes, the covering groups different from the wallpaper groups and so on.

In addition, as proposed by many artists, from Alan Moore in Promethea to Jim Woodring in a side project (12), passing by members of the OuBaPo collective, the use of a Möbius strip as the canvas leads to interesting constructions. These can be used as objects existing within the diegetic world as in Moore, or directly as a support inducing a specific topology within the diegesis as in Woodring’s case.

Indeed, any sculptural surface may offer interesting options for narrations and a complete survey of such an approach should be done. In our case, we would like to focus on surfaces that have been studied from a mathematical point of view. The reason is that many theorems shed light on hidden properties that enable us to imagine interesting narratives and limiting ourselves to a sculptural point of view would have prevent us from finding and using these properties. The variety of surfaces is infinite and a list of inspiring surfaces can be found in the fields of differential geometry, differential topology, and knot theory. For instance, as a result of their definition, minimal surfaces seem pleasing to embed stories. It involves the possibility of working on some surfaces of infinite area spreading in different axes, as with Sherk’s surface and Costa’s surface (Figure 3), or even with self-intersecting sections, as in the case of Henneberg’s surface.

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Figure 3: Costa’s surface. Source: Mathworld.com

Compact surfaces also lead to interesting possibilities. In topology, the study of surfaces is bound to the analysis of characteristics which are preserved when surfaces are torn and stretched. Such invariants are coined topological invariants. An example is the number of holes present in the surface. For instance, the sphere contains no holes, but the torus has one; therefore the two surfaces are fundamentally different. On the other hand, the sphere and the cube are classified as the same surface since they both have no holes. This argument leads to a classification for compact surfaces depending on the number of holes involved. As it turns out, all compact orientable surfaces are torus of genus n, meaning a torus with n holes, for n a positive integer These will become useful in the next section.

Orientability is another characteristic that helps refining surface classification. Orientable roughly means they possess an inside and an outside and it is impossible to move smoothly from the inside to the outside. For instance, it is impossible to move on the sphere and end up being inside the sphere without piercing a hole. The Möbius trip is a simple example of non-orientable surface since by smoothly moving along the surface it is possible to end up on the other side of the departure point. In constructing sculptures, non-orientable surfaces lead to some difficulties. For instance, the Klein bottle invented by German mathematician Felix Klein in 1882 cannot be embedded in our three-dimensional world without self-intersecting (Video); it is only possible in four or more dimensions. This makes the visualisation of these surfaces more difficult, but a general classification is still possible.

The class of infinite compact non-orientable surfaces are all equivalent to spheres with a certain number of Möbius strips glued to holes in them (the edge of the Möbius strip is equivalent to a circle, therefore when cutting a circular hole on the sphere it becomes possible to glue the strip’s edge along the edge of the hole). The more complex the non-orientable surface, the more dimensions one needs to avoid self-intersections. Even if it seems very hard to work on these surfaces as a possible infinite canvas, shortcuts exist. There is a way to represent any compact surface, orientable or not, with their fundamental polygons which can easily be represented on the plane. These polygons are simplified maps for these surfaces; to obtain a surface, it suffices to fold its edges by respecting so pair connections or edge directions. Indeed, the writing on non-orientable compact surfaces that aren’t embeddable in three dimensions might be done in a virtual environment, or directly on the equivalent fundamental polygon. The figure below shows the construction of the Klein bottle from its fundamental polygon. (Figure 5)

NS Figure 5

Figure 5: Klein botte’sfundamental polygon.

As a result, the infinite canvas is infinite as well in the number of dimensions a non-orientable surface holding a story could ‘’naturally’’ exist without self-intersecting. Indeed, the use of computers can be a handy tool in constructing such narratives.

The next question we need to address is the following: why would we want to work with parametric curves on this collection of surfaces? The answer comes from the field of topological graph theory. The Polish mathematician Kasimierz Kuratowski and the Russian mathematician Lev Pontryagin proved independently the necessary and sufficient conditions to be able to embed a graph on the plane without crossing edges. It states a graph is planar if and only if it does not contain the subgraphs K₃,₃ or K₅. (Figure 6)

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Figure 6: The obstruction set for the plane

In constructing comics on parametric curves based on graphs containing one of these would inevitably leads to edges crossovers. Indeed, such overlapping can always be dealt with, as in the case of Chris Ware diagram comics, but the point here is to explore the possibilities provided by restricting ourselves to planar embeddings. To give a pragmatic application, we know the two aforementioned graphs can be drawn on the torus or the Möbius strip without having edge overlapping, it means they have planar embedding for the torus. It follows that it is possible to draw planar stories on such graphs if we use the torus as the canvas. (Figure 7)

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Figure 7:Toroidal embedding of K₅

The study of topological graph theory led to the discovery that different surfaces don’t share the same obstruction groups, i.e. the set of graph making the planar embedding impossible, such as K₃,₃, and the K₅, in the case of the plane. We know for instance that the Möbius plane has 35 such graphs (Archdeacon, 1980), and the Torus has more than 16 000! On the other hand every finite graph can find a planar embedding in some compact orientable surfaces with at least n holes for a certain n values, and same holds for non-orientable surfaces and a certain number of Möbius strip glued to the sphere.

Another result is that the presence of cycles leads to different amount of bounded spaces. In other words, if the Jordan curve theorem holds for the sphere, it is not true in general. Already in the case of the torus, construction of longitudinal and transversal cycles leads to a single bounded space; it does not hold for torus with n holes neither.

The construction of narrative on these extended infinite canvases, such as non-orientable surfaces, minimal surfaces and so on, is what we call narrative sculptures because their structures are deeply linked to the surfaceskno hosting them. The main goal in constructing narrative sculptures is the research for new narratological challenges. An optimised use of this involves considerations of the following distinctive properties of narrative sculptures: the possible use of complex multi-cyclic time curve constructions, the use of different spaces the cycles are bounding and the possible semantical implications in our world, or in a digital equivalent to it.

We present two examples, expressing challenges brought by simple constructions. The K₅ graph has a planar embedding on the torus. . It can as well be constructed by the union of two cycles by taking a cycle being the outside pentagon and the second one being the star shape in the middle. We could construct a highly ‘’twisted’’ story as following. Through the double cycles, we could describe the interactions of two individuals at desynchronised moments of their life cycles. The complications and self-containing elements of the story could then be reinforced by presenting it on a trefoil knot, which is simply a torus but embedded differently in three dimensions. (Figure 8) Of course, many other options since the torus can find multiple embedding in four dimensions that could lead to interesting narrative sculptures (13).

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Figure 8: Trefoil knot by Jos Leys. Source: josleys.com

The graph K₅ also possesses a planar embedding on the Klein bottle. It would then possible to construct a complex science-fiction comic. First the multiple desynchronised elements present on the two cycles would bring an intricate time structure. Then, different bounded area could hold their proper images and symbolism related to the story. Finally, the Klein bottle canvas leads to a hyper-fictional statement since the canvas itself could not be properly constructed in our world. The same holds for the infinite collection of surfaces that aren’t embeddable in three dimensions without self-intersecting. (14)

In conclusion, we have seen that by merging various paradigms and concepts from narrative theory, the infinite canvas and mathematical knowledge about surfaces and graphs, we can define highly complex narrative structures that we coined narrative sculptures. Such constructions not only leads to new narratological and artistic challenges, but it can bring new questioning about the way we first, understand stories, and secondly how we teach narratology. In the first case, experiments in cognition could help understanding the effect of dealing with highly complex but still visually clear narratives in our learning process. In the latter case, it evokes the possibility of including some mathematical notions in teaching narratology or even information design.

Félix Lambert

Notes

1- Ryan, p. 150-151

2- McCloud, 2000.

3-An example can be found at http://movies.yahoo.com/blogs/the-projector/incredibly-detailed-primer-timeline-210027548.html

4-Gravett, p. 136-137

5-Rosenberg and Grafton, p.143-149.

6-Eisenstein, p. 397

7- http://e-merl.com/

8-It should simply be understood in this case of surfaces of finite area.

9-McCloud, 1993

10-Mathieu, 2004

11-McCloud also suggest writing on the cube in Reinventing Comics.

12-https://www.fantagraphics.com/rarities-and-miscellany-by-various-artists/moebius-strip-comic-by-jim-woodring-video-photo-animation.html

13-Séquin, 2012

Mediagraphy

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http://scottmccloud.com/4-inventions/canvas/index.html

Filmography:

Carruth, Shane (réal.). Primer. 2005. États-Unis: ERBP. DVD. 77 min.

Johnson, Ryan (réal.). Looper. 2012. États-Unis et Chine: Endgame Entertainment. DVD. 119 min.

Jones, Duncan (real.). Source Code. 2011. États-Unis: Vendome Pictures et The Mark Gordon Company.               DVD. 93 min.

Fractal zooms and infinite spaces: the Unbearable Quest for the Sublime

Even if fractals are omnipresent in nature, we have had to wait until the last century to call attention to their existence in the mathematical literature and acknowledge their importance. Fractals have received international attention and have motivated myriad in-depth studies. They have reached wide recognition in popular culture and are now considered some of the most beautiful mathematical, and in a larger sense, visual wonders. In recent decades, a multitude of videos have appeared on the internet, categorized as Fractal Zooms. In this article, we are interested in understanding what relates these videos to the Sublime. An historical review of the subject provides the basics for comprehending their definitions and characteristics. Some very important basic fractals are presented first, such as the Von Koch curve, and their definitions allow us to apprehend a better view on more modern and complex curiosities such as the Julia sets and the Mandelbrot set. We then turn our attention towards Kandinsky’s theory of art and finally to neuropsychology in order to reach a better understanding of the multiple processes involved in looking at fractal zooms, and therefore, better capturing the cathartic experience of fractal zooms.

Historic; from a blurred definition to tangible examples

An absolute and precise definition of fractals has still yet to be found. The term “fractal” was first adopted by the French mathematician Benoît Mandelbrot in his book Les Objets Fractals: Formes, Hasard et Dimensions first published in 1975. Mandelbrot argued for the necessity of keeping the word partly undefined since any precise definition would inevitably exclude the several examples and the counter-examples that would fall outside of such a narrow definition; the definition would have to be constantly reviewed (159-160). Nevertheless, many characteristics seem to have found consensus as being part of what would be a potential definition. Self-similarity, invariance of scale and fractional dimension are such properties which definitions will be elaborated on in the body of this work. Examples will speak for themselves.

                The first fractal to be conscientiously defined was the Apollonius gasket around 200 BC. Apollonius of Perga, well known for his work on conics, in his study of tangent circles proposed a system of infinitely decreasing tangent circles (tangencies). The infinite number of circles of decreasing sizes permits this geometrical construction to be considered as a fractal. It was not until 1525 that Albrecht Dürer developed a similar construction in his Four Books on Measurement. His idea was to fill a pentagon with other smaller pentagons and so on infinitely many times. These examples laid in obscurity for a while and only in the 19th century, fractals started flourishing in the mathematical field, doomed to simply exist as counter examples for major theorems and conjectures. That will be the case for the functions constructed by Bernhard Riemann in 1961 and Karl Wierstrass in 1872 (Lemoir-Gordon, 14).

Derivabilityis defined as the existence of a tangent line at a point, characteristic believed to be implied by the continuity of a function. The Riemann and Weirstrass functions have been of great importance in showing that continuity does not imply derivability even if the converse holds. A function carrying this property would have to abruptly change direction at every point. To define his function, Riemann used an infinite sum of sinusoidal functions, but due to the high complexity of the constructed function, the first proof of absence of derivative was only given in 1916 by G.H. Hardy (Weirstrass, 3-9). For his part, Weirstrass built his infinitely broken function over an infinite sum of cosine functions and showed it was nowhere derivable (Weirstrass, 5-7). As a matter of fact, a similar function seems to have existed already in 1831, offered by Bolzano. The authors Matin Jašek (1922), Voytěch Jarník (1922) and Karel Rychlík refer to it in their articles. Unfortunately, this function fell into oblivion and only Weirstrass’ function made history.

Figure 1: Weirstrass function

Figure 1: Weirstrass function. Source: Wikipedia

Weirstrass argument for his function was mainly analytical, and unsatisfied by this non intuitive method, Helge von Koch took the challenge of constructing a continuous non derivable function geometrically. As seen previously, this statement is equivalent to finding a curve that allows no tangent; that is only made of peaks. In his 1904 and 1906 articles, the von Koch curve is explicitly defined as an iteration of triangle inclusion over a line segment. Recently, a beautiful proof of the absence of derivative has been given by Šime Ungar using convergence of suites (2007, 61-66). This fractal is now a well-known object and many experiments have been proposed to give similar curves: gluing von Koch curves together we can construct the von Koch snowflakes, and changing the triangle iteration for some other regular polygon iteration leads to some complications like self-intersection (Keleti and Paquette, 2010).

These broken curves forced the mathematicians to redefine the concept of continuity and infinity. Both curves, the Weirstrass function and the von Koch curve, have an infinite length for every segment. This polemic fact and few other counter intuitive ones were shocking the mathematical community at the time of their discovery, and some mathematicians simply refused to work on these curves. The famous French mathematician Henri Poincare went as far as referring to them as the Galerie des monstres. The concept of infinitely broken was still evolving and ready to bring new challenges.

Another fractal that made history is the Cantor set. This set had been defined as early as 1875 by Henry Smith from Oxford University, by Paul du Bois Reymond in 1880 and Vito Voltera in 1881. Georg Cantor defined the Cantor set as part of his great work on different types on infinities. He used it to reach a better understanding of continuity and density. The set is constructed as the recursive deletion of the middle third of a segment. The cantor dust, as named by Mandelbrot, is the limit of that set when iteration is repeated at infinity. This set has a topological dimension higher than 0 but less than 1 and possesses no length (Edgard, 2). As for the von Koch curve, is it easy to give an explicit formula for the iterative function defining it. Some generalisations of the set have been proposed as well by removing other fractions than the ones in the third or the middle segment. These experiments even led Roger Kraft to develop a measure to be able to compare different Cantor sets in size (Kraft, 1994).

Figure 2: Asymetric Cantor set

Figure 2: asymetric cantor set by Tsang. Source: Wikipedia

A fundamental characteristic of certain fractals is to possess a fractional dimension oppositely to the dot, the line and the plane that each possesses respectively 0, 1 and 2 dimensions. Starting from Caratheodory’s work, Felix Hausdorff elaborated a definition apt to describe the size of these figures freshly arrived at the mathematical pantheon. Though this notion is slightly too complex to dwell on in the context of this article, it suffices to understand that non integers are allowed as a dimension of geometrical objects. So a fractal can have a dimension of 0,6309 as the symmetric Cantor Set, or 1,2619 as the Koch Curve.

The examples we’ve seen so far represent this principle well. Starting with a line of dimension 1 for the Koch curve, we add an infinite amount of segments. The result is a geometrical object with a dimension between 1 and 2. Starting from the same line, we withdraw an infinite amount of segments and get the Cantor set of a dimension less than 1. We could do the same for a square and withdraw some smaller squares or from a cube and withdraw smaller cubes to get, respectively, the Sierpiński carpet (1915) and the Menger sponge. Although most fractals have non integer dimension, some have the strange property of ending up exactly at 1 or 2. For instance, starting with a line, we can break the line and intricate it in such a way that it fills, completely, a part of the plane. The first ones to offer such a curve were Giuseppe Peano (1890) and David Hilbert. Each of them wanting to bring little variations Moore (1900), Lebesgue and Osgood (1903) did the same. (Delahaye, 2004, p.90-95)

Figure 3: Peano Curve

Figure 3: Peano curve by Antonio Miguel de Campos. Source: Wikipedia

It is worth mentioning the existence of three dimensional fractals. In general, they share similar properties with some lower dimensional fractals. The Menger sponge, based on the Sierpiński carpet provides a good example. Again, fractals can have fractional dimension or fulfill an entire volume. Yet again, in the tradition of challenging conventions some have been found as counter-examples and followed by some new discoveries such as the Alexander horned sphere. Mathematicians’ passion in abstraction brings objects and theorems to n dimensional fractals, for n any real integer.

Figure 4: Sierpinsky gasket and Menger sponge

Figure 4: Sierpinski gasket by Paul Bourke Source: http://paulbourke.net/fractals/carpet/ and Menger sponge by Niabot Source: wikipedia

Fractal and the hauling semantic

We are now interested in the perceptive experiences related to fractals. The first one is indeed the understanding of its infinitely broken nature. This is in general a result of the iterated process hidden behind these objects. We saw the Koch curve was constructed as an addition on smaller and smaller triangles to obtain a completely broken line, but only within a certain range. The Von Koch curve possesses an infinite length but still lies inside a bounded area due to the process involved in its construction. Some other fractals can be obtained as an infinite Brownian broken trajectory, which is a randomly infinitely broken line. The old conception of line, or curve as previously conceived and understood since antiquity is therefore to be revised. Not only is a line not necessarily what it was intuitively before, but even, as we’ve seen, the complex and so well thought conception of continuity as patiently built by mathematicians over many centuries was to be shaken, even if, luckily enough, not to be redefined.

Indeed, fractals enable non mathematician as well to face peculiar experiences. As mentioned by Manlio Brusatin , the sublime is a broken and zigzagging line, a trouble of sensitive soul (Brusatin, 132) which evokes the first semantic impact of fractals. Fractals as lines are terribly broken geometric objects, therefore amplifying Brusatin’s conception to greater extends. This characteristic challenges Brusatin’s notion of sublime not merely as a result of an infinite higher complexity, but as well as its possible extension to an infinite number of dimensions. Nevertheless, the case in three dimensions is of note. From these fractal objects, there can still rise an overall simple structure, and bringing them into three dimensions, we realise our world might not be as simple as we commonly perceive it. This is where fractals find another root in their mysterious behaviour: namely, their relation with the real world.

In an article written by Richardson (Mandelbrot, 1995), we find the spark of such a discovery. In his article, the author intends to approximate the real, exact and absolutely precise length of Britain’s coast. Surprisingly enough, the answer given was simple. It is infinite, and so is any coast or coastal segment in the world. The logic is based on scaling, just as for the Koch curve. Let’s say we approximate the coast by a regular polygon of side n, we get a value L. Changing each segment for two smaller ones of length m < n, the segments mould themselves more accurately on the coast. In consideration of triangle inequality, we see that by additionally adding each new segment, we obtain the total length approximation for the new polygon, which is bigger than L, the first approximation. Iterating the process we get an infinite coast, a line of infinite length just as the Weirstrass function or the Koch curve.

Figure 5

Figure 5: Polygonal approximation by Alexander Polesnikov Source: http://cs.joensuu.fi/~koles/approximation/Ch3_1.html

In his 1975 book, the French mathematician Benoît Mandelbrot explains that this argument can be applied to any object in nature. The world is then everywhere infinitely broken. Constructing fractals is thus reconstructing nature, and so is their deconstruction. From this point of view, the Earth is in fact of infinite area, and fractals can therefore be used to model the land.

The work of Voss has been discussed in the same book by Mandelbrot. Voss generated pictures of artificial pieces of land from fractal based algorithms. The results were stunning. Resemblance with maps was not as shocking as the fact that any zoom on a coastal area would bring infinitely as remarkably convincing landscapes. The similarity between fractal produced images and some parts of our world as we see it are amazing, and a great deal still waits to be discovered.

Figure 6: Voss infinite map

Figure 6: Voss infinite landscape Source: Mandelbrot 1975

Fractals may find attributes and exemplifications in nature, but some even deeper connexions can be retraced. Just as π seems to have found its way in all parts of science and arts, fractals blooms naturally from different human made constructions.

In southern India, the Tamil people keep geometrical drawings made from rice powder. These drawings, or kolams, are bound to spiritual beliefs. Kolams vary in shape, size and pattenrs. One kolam brought forth a peculiar interest for Gabrielle Allouche, Jean-Paul Allouche and Jeffrey Shallit in 2006 (2115-2130). Studying the Kolam of figure 7, by a assignment of values 0 and 1 to the direction taken by the curve when one follows the curve, the researchers found a very well-known suit known under the name of Thue-Morse suit. The kolam can be constructed by taking the Thue-Morse digits as instructions. Strange fact, considering the suite was first invented for a completely unrelated purpose.

The Thue-Morse suit is remarkable for avoiding any repetition of any triplets using only the alphabet 0,1. The construction goes as follow: from any previous `word` (string of digits), we start by taking the whole word, and then concatenating its opposite on the next iteration. For example, starting with the word 0 the Thue-Morse suit gives the following construction: 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110, 01101001100101101001011001101001 etc. Having no repetition means that taking any section of any size in this infinite word, the following part of same size will differ by at least one digit (Delahaye, 90-95). The fact that such a suit appears in a kolam is surprising, but even more surprising is the fact, discovered by Jun Ma and Judy Holdenerin 2005 that the same suits can be used to construct the Koch curve. Starting with a line segment and putting the next one in an angle determined by the digit 0 or 1 of the Thue-Morse suit, they obtained the very same curve as Helge von Koch exactly a century before (Jun and Holdener, 191-206). The Thue-Morse suit is then a genetic code for both a kolam and the Koch curve: only the interpretation differs.

Indeed, this example is not the sole appearance of fractals in other geometric form: for instance the Sierpiński triangle has been found in the Pascal triangle (Fuchs and Tabachnikov) as well as a sea shell. For its part, the Cantor set has been found in Julia sets (Audin), which we are to study next.

Figure 7: Kolam, Koch curve and the Thue-Morse Sequence

Figure 7: Tamil Kolam from Allouche’s pape and Koch curve from Jun and Holdenberg’s paper and the Thue-Morse sequence

Towards the sublime

We have now understood, partially, the complex uprising of fractals in the mathematical literature. Our goal now shifts to understanding another object that exists as part of more popular culture; fractal zooms. These videos are available online and can be enjoyed by many. To understand the great complexity behind these videos we have to go back again, far in the past.

Complex numbers stood aside from mathematical studies for a long time. For instance, these numbers appear if we try to find the solution for the equation x²+1 = 0, this leads us to obtain √(-1). For a long time, this seemed impossible for most mathematicians. The number √(-1) has been called i for imaginary. Imaginary numbers are built with two components. The real component, being a real number, and the imaginary part which is a multiple of i. Complex numbers can therefore be written as a + bi where a and b are real numbers and i = √(-1).

In 1797, the idea of representing these numbers in a plane came to Norwegian cartographer Casper Wessel. The x axis and y axis would respectively be the real and imaginary components of the complex number (Lemoir-Gordon). This enable us to represent the complex numbers as couplets (a,b). This plane, the complex plane, was hiding many surprises.

At the end of the 19th century, several studies bloomed concerning the transformations of the complex plane. To understand these, let us see few basic examples. To add 1 to every number of the complex plane is the same as translating the whole plane one unit to the right because the x axis is the real value component of complex numbers. Adding i everywhere would be translating the plane one unit up.

Several other transformations can be constructed with multiplication. Multiplying complex numbers, as it have been defined by mathematicians, amount to the same as considering only the length and angle of a vector. Complex numbers being coordinates (a,b), we can picture them as vectors from the origin to the point (a,b) of the complex plane. This line, called a vector, possesses a length and an angle with respect to the x axis. Multiplying two complex numbers proved to be the same as multiplying their lengths and adding their angles in order to get the resulting complex number.

Figure 8: complex number multiplication

Figure 8: Complex numbers multiplication

We are now able to understand the following function: f(z)= z². With z as a complex number, we are simply taking every complex number of the plane, and multiplying it by itself. From the previous definition of multiplication, every number is mapped to a number that possesses the square of its length and the double of its original angle. We can now iterate the function. This means we take the whole new plane obtained and put the values again in our function, therefore taking every new complex number and multiplying it by itself. With enough time and motivation we can iterate that function infinitely many times.

At the beginning of the 20th century, some mathematicians such as Henri Poincarré started to analyze the behavior of iterated fractional functions, of which f(z)= z² represents a basic example, on a certain area of the plane (Audin, 2011). In 1915, during the Great War, the French Academy of Science launched a contest which offered a 3,000-franc award to the best paper on the behavior of iteration of rational functions over the whole complex plane in an attempt to follow Poincaré’s work. In 1918, a disfigured soldier named Gaston Julia won the concourse with a paper he partially wrote in his hospital bed in Paris (Audin, 2011).

The main protagonists for the competition were Gaston Julia and Pierre Fatou, names that are now honored for the sets they worked on, the Julia sets and the Fatou sets. We’ll focus on the Julia sets since Fatou sets have a similar complementary definition. To understand them, let’s use our example f(z)= z². If we take a dot inside the unit disc in the complex plane, that is, the disc of radius 1 centered at the origin, by iterating the multiplication of its length, the value becomes closer and closer to 0, spiraling around it since the original length was smaller than 1. We say that its length converges to 0. If we take a value on the boundary, the length always keeps the value 1 and the dot spins around the unit circle. If we take a dot outside the unit disc, its length grow bigger and bigger to move towards infinity as we keep on iterating. This point is said to diverge. Given a rational complex function, the Julia set is the set of points not diverging after iterating infinitely many times. For our example, the Julia set is simply the unit disc.

This very simple case is the iteration of the function f(z) = z²+c where c = 0. More difficult situations arise when the c value is taken to be other complex values. Works published by Fatou and Julia concerned general facts about the sets and boundary of points diverging after the iterations. The shapes of these sets varied greatly depending on the c values. Some sets seemed connected, some other ones constituted of many islands, and yet other ones seemed to be a fine powder on the plane. It was difficult to analyze their overall behavior, but some classifications, such as the one made at the time by Salvatore Pincherle, could still be made around the idea of connectivity: if the set would be formed of only one piece, it would be connected, otherwise it would be disconnected. The most disconnected ones, made as a fine powder, were revealed to be topologically equivalent to the Cantor set. The other sets were extremely difficult to display and publications of the time included almost no pictures (Audin, 2011). Pen and paper were not sufficient to represent the deepness and rich complexity of the Julia and Fatou sets.

Figure 9: Julia Set by Gaston Julia

Figure 9: Julia set by Julia Source: Audin (2011) ©Archives de l’Academie des sciences

In the 1970s, the arrival of computers would drastically change the way mathematics would be seen and applied. The pre computer era would define mathematics as a science of absolute precision but suddenly this new tool and the astronomical calculations it enabled would make this science take an experimental path as well. Teaching in Paris at the time, John Hubbard and Adrien Douady undertook, in concert with Sullivan from the Institu des Hautes Études Scientifiques to produce pictures of non-diverging sets of points for iterated functions of degree 2. These were Julia sets for functions such as f(z) = z²+c . (Lei)These experiments in turn led to images they could barely have foreseen, images of which only a minuscule glance could have been reached by Julia and Fatou. Another mathematician, Benoît Mandelbrot, would take over this work and popularise what has been defined by Arthur C. Clark as the most complex shape ever created by men (Stewart and Clarke, 2004).

Figure 10: Mandelbrot Set

Figure 10: Mandelbrot set as a map Source: Audin (2011)

During his visit to France, Hubbard and Sullivan showed Mandelbrot the images obtained from their computer. At the time, Mandelbrot had already studied the sets: his grandfather had incited him to seek them out in Fatou’s and Julia”s papers years ago when Mandelbrot was searching for a Ph.D. topic. Previously, however, he had never tried to picture these sets. The next year, his entrance to the IBM laboratory allowed him access to powerful computers from which he extracted, for the first time, a wide range of printed Julia sets. Trying to organize these, he created a set constructed around similar characteristics as Pincherle concerning the connectivity of the Julia sets. Even if the Mendelbrot set found its first historical appearance in paper related to special projective linear groups signed by Robert Brooks and J. Peter Matelski in 1980, the merit of an independent discovery, and subsequent wide popularisation of it, belongs to Mandelbrot.

The Mendelbrot set is defined as the set of values for which the associated Julia set is connected. That is, if we fix a complex value c, and the related iteration of f(z) = z²+c gives a set of non-diverging points that happens to be connected, then the point c of the complex plane belongs to the Mandelbrot set. The Mandelbrot set is then a map of the connected Julia sets. An important theorem states that only the behavior of the origin, the point (0,0), is important to know if the Julia set is connected. The Julia set is disconnected if and only if the origin diverges in the iteration process. This result would faster the production of pictures of the Mandelbrot set. The colors found on the pictures of the Mandelbrot Set one would find on the internet indicates the speed at which the origin diverges, where each of the black dots stands for the connected Julia sets.

Figure 11: Mandelbrot set by Matelsky and Brook

Figure 11: Mandelbrot set by Matelski and Brook (1980)

Since its discovery, many studies have helped to understand the Mandelbrot set, and many important facts were revealed. We now know it is connected and quasi similar, which means it contains almost identical but increasingly smaller copies of it spread densely on its boundary. Furthermore, Shishikura demonstrated that the boundary is so twirled in on itself that it is of Hausdorff dimension 2, just like the Peano curve. That explains why we can zoom everlastingly on its boundary and still get beautiful complex shapes. These zooms that we can now easily find on the internet are what interest us as we try to understand why these are so shocking, almost cathartic. As already underlined by Rothstein, the Sublime can already be found in Cantor’s definition of various size of infinity (Rothstein, p.188), the Mandelbrot set and the collection of all fractals provide a visual equivalent to this.

The incommensurable 

Figure 12: Mandelbrot set (details)

Figure 12: The LotusFort of Seahorses by Ingvar Kullberg   © Ingvar Kulberg. Source: http://klippan.seths.se/ik/frholmes/english.html

The concept of infinity is difficult to handle and it indubitably leads to controversy. Therefore, even if fractal zooms are in theory infinite, we’ll focus for this section on the finite aspect of them. It is also practical since only finite zooms can be found on the internet. Part of the traumatic experience of a fractal zoom comes from its unbearable sense of immensity. The real size of the represented picture even after a finite time zoom is simply incomprehensible to us. To help us we will turn to National Aeronautics and Space Administration. To compare, the farthest object in the universe perceived by man is seated at 13,2 billion light years ,that is 1,2488256 x 10²⁴ meters from the earth. Starting from a 10 centimeters long Mandelbrot set image on a computer screen, the size of the final set at the end of the greatest zoom we could find on Youtube, which is of 2 exponent 3039 times its size, surpasses by far the distance mentioned above (calculated by NASA in 2010). To give an approximate impression, let’s remember the impact of squaring a number. Squaring 10 gives 100, squaring 100 gives 10 000, and squaring the last one gives 100 billion. Thus, the greater the number is, the more important is the impact of squaring the number. The movie Powers of Ten (1977) helps visualizing these numbers.

To get the size of the line crossing the final Mandelbrot set for side to side we started with at 10 centimeters, we have to get the value obtained by NASA in 2010 and square it between 4 and 5 times. The size of the final object is simply unbearable and this is why the zoom provides such an intense vertigo in which we are totally lost. And yet the size is only one aspect of the traumatic experience: the shapes of it, its colors, are what complete the intolerability of this entrancing experience.

Kandinsky and the hypercoloumns

In 1926, Wassily Kandinsky published of treaty on lines and dots in the plane. He offered certain definitions and classifications of these objects as well as the emotional impact of the different types, sizes, and dispositions of lines and dots mixed with colors. Describing this work, Brusatin said it is though using the rhythm of expressive geometry that these objects provoke perceived sonorities and synesthesia (156). For instance, Kandinsy explains that red is associated to diagonal lines and yellow is for free straight lines (1970, 77). These observations are clearly made from a synesthetic viewer.

Many have suggested that synesthesia is at least partly influenced by social schemes. That is, the connections made by the brain’s synapses are either reinforced or curbed by interactions with other individuals. As a result, most people lose these synesthetic synaptic connections, but vestiges can still be found in most people’s perception of the world. As an easy and evocative example let’s take the two pictures here.

Figure 13

Figure 13: Tic-tac and Bubbla Source: Wikipedia, synesthesia article

One of these figures is called Bubbla and the other one Tic-Tac. Our propensity to relate acute angles with sounds like t or hard c influence us to name the one on the left Tic-Tac, while the round shaped one seems more eligible for Bubbla. The connection between a visual object and sounds is not a logical or natural one but a social construction. The same applies to colors with the appellation of warm and cold. A single picture, or painting as those by Kandinsky, can therefore evoke a wide variety of emotions since they are constructed with many colors and lines. Being abstract art, and thus non-figurative, it avoids a clear semantic result. To understand the impact of a fractal zoom we now need to look closely at the visual system.

In 1982, after many experiments on the cells of the visual cortex, Hubel and Wiesel proposed a model for the primary visual cortex constitution. In their model, big structures called hyper-columns are associated as the receptacle for all the incoming information of a very precise visual field’s area. Inside these columns, the cells are tuned for color and orientation, meaning they’ll only react to specific colors and line orientation within a small angle range. A simple picture on the retina will only stimulate certain cells in these hyper-columns and the information will be gathered in the higher visual cortex until the semantic process of the information, or the result, is object recognition and its corresponding and at times subtle emotion, such as in the case of a Kandinsky painting.

Figure 14

Figure 14: Hypercolumns Source: Wolfe, 2009.

In the case of zooms made on the boundary of the Mandelbrot set, the zoom being applied quickly in almost all cases, the amount of different images presented to the retina is highly rich in mutating shapes and colors. Therefore, every section of the retina is constantly being bombarded with new shapes and colors; it continuously stimulates many different neurons in the hyper columns. The visual cortex thus fires very much information towards the semantic processors of the brain, such as the fusiform cortex, that is then challenged, in vain, with making sense of this saturated information. The information also goes to the limbic system though the ventral stream, which is involved in the treatment of emotion. Considering synesthesia, all lines and colors tend to create their own specific emotions. The gathering of all such, at times contradictory information is probably the reason why focusing at a fractal zoom is a charged experience.

Semantic and knowledge

The lack of an easy emotional reading for the fractal zoom could incline one to search for a deep semantic sense of the picture or the object. As pointed out by Mandelbrot, it seems delicate just enough that the fractals can be interpreted as a pattern for shapes in nature. Such a point of view easily evokes spiritual motivations. How can nature be self-constructed so well? Otherwise, who created such intriguing geometrical objects? This almost theological and cathartic perspective quickly hit a wall where the meaning, and even more, the understanding of such objects as fractals is relinquished to a higher spiritual world and the viewer stays in the state of the sublime, overwhelmed logically and emotionally. The other venue left, then, is to try to understand the mathematical construction that led to this set and, moreover, the different theorems surrounding the beast.

This is where new problems arise. In the understanding of the definition of sets as Julia sets, Fatou sets and Mandelbrot set happen to be fairly accessible even without a mathematical background. Nevertheless, even really specialize knowledge of complex numbers’ arithmetic, great mathematical abilities and hard work doesn’t provide sufficient tools for one to construct these sets and display them. As we have seen, almost no pictures were found in the papers by Fatou and Julia. The few drawing provided failed to be accurate and detailed and, decades later, computers had to be used for this tedious task. That is only to obtain a picture, understanding the theorems about the Julia sets, the Fatou sets and, indeed, the Mandelbrot set, is quite another challenge.

To go through a whole proof about as simple facts as the connectivity of the Mandelbrot set, the reader has to master complex numbers analysis for the use of derivative and integrals over complex valued functions and a great deal of results in the aforementioned field, such as Schwarz’s lemma, Poisson’s Integral formula and results on harmonic functions. The use of meromorphic functions may involve familiarity with non-Euclidian geometry and different metrics, like the chordal distance, to reach theorems by Marty and Picard. To understand the arguments demonstrating the thickness of Mandelbrot set’s boundary, one has to accustomed himself with non-integer dimensions and a great deal of topological results. A quick review of a book like The Mandelbrot Set: Theme and Variations reveals that the same goes for most results in the field. This immense and tedious mathematical background certainly creates a strong deterrent to most people to deeply understand facts that permit the fractal zoom to exist, even though these zooms are easily accessible via internet. Yet, this gigantic gap between the viewer and the understanding of the Mandelbrot set enshroud the set with a mystical aura leading the spectator to a cathartic sensation. This forced distance to the object tops the mixed feelings and vertigo already underlined, leaving them with a blurred idea about the greatness of the object presented but surely with overwhelming emotions.

In this case of extreme complexity, there is no surprise in finding fractals related to some deities. Such is the case for the Buddhabrot and the Brahmabrot. These fractals result from various ways to represent the Mandelbrot set in the complex plane. They appear as a type of new gods in a pantheon of a science driven era. It was already the case with the Mandelbrot set which was compared to the fingerprint of god (Stewart and Clarke, 2004), but names of these new fractals underline more clearly the link they share with our conception of God and the space embedding it (1).

Figure 15: Buddhabrot

Figure 15: Buddhabrot. Source: Wikipedia

Extension in 3D

Naturally, mathematicians wanted to expend the fractals to the third dimension. As previously seen, some simple fractals like the Cantor dust or the Sierpinski carpet found logical three dimensional equivalent. It is indeed the fact as well with the the idea of mapping landscapes. Many such constructions provided realistic landscapes as early as 1974 by Handelman (Mandelbrot 1993, 13). Creating realistic landscape representing the great power of nature and its complexity is already a first step in trying to grasp the Sublime with the third dimension. Yet again, it seems that objects that are closer to be discovered, such as the Mandelbrot set, than to be used to copy naturalistic landscapes lead to more sophisticated surprises.

The possibilities offered by more and more powerful computers has reached a point where they enable, as with the two-dimensional equivalent, to present and materialise the sublime by using the same concepts and possibilities and in the previous examples analysed. We now present two such cases where such tendencies collides.

Figure 16: Fabergé fractal by Tom Beddard

Figure 16: Tom Beddard’s Fabergé fractals. Source: http://thecreatorsproject.vice.com/blog/faberg-fractals-are-intangible-geometric-wonders

The first example comes from Scotland based artist Tom Beddard. Beddard, already familiar with fractal generating programs and three dimensional modelisation from his background in physic from university of St-Andrews, created the Fabergé fractals, in tribute to the famous Russian jeweler. If these fractals are not expending in space, they still offer a peculiar notion of infinitely detailed shapes. Some beautiful videos exposes such shapes in constant transformation.

The second case includes a series of different examples and comes from a generalisation of algebra for complex numbers. Because we use two dimension to represent a complex numbers, the representation of n-dimensional complex numbers would imply 2n dimensions. To represent the equivalent of the Cartesian product of two complex numbers we would then need 4 dimensions. Mathematicians have tried to solve this by developing different definition for the product of complex numbers and represent higher dimension fractals arising from complex numbers. Such examples includes Rochon’s Tetrabrot , Tom Lowe’s Mandelbox and Paul Nylander’s Mandelbulb.

Although it is possible to imagine objects similar to the Mandelbrot set in three dimension, there is a problem with their formal construction. The algebra of complex numbers is well defined in 2 dimensions, but it turn out that an equivalent cannot exist in three dimensions. In order for an element to have an inverse element with respect to the operation of division, the space would need to have a dimension that is a power of 2 (2). It is the case for instance for the quaternions developed by Hamilton in order to find complex and for the octonions that hide some symmetries for 4 dimensional objects. The three dimensional attempts to recreate the Mandelbrot might not lead to any proper construction, nevertheless they still provide an extension of the sublime invoked in the two dimensional version. The various zooms offered by digital arstists such as Krzysztof Marczak, Arthur Stammet and many others proved to include all the elements of the planar fractals that leads to overwhelming feeling provoked by these objects. The specificity of this feeling involved has even been use for narrative purpose by Daniel White, the mathematician that constructed the equations behind the Mandelbulb and used in higher polynomial degree by Nylander. On his deviant art page, we can find a small story using the Mandelbulb as a frightening asteroid where a lost souls is landed (3).

Figure 17: Madelbulb (details)

Figure 17: Mandelbulb detail by Krzysztof Marczak. ©2010-2014 Krzysztof Marczak

Source: http://krzysztofmarczak.deviantart.com/art/Mandelbulb-power-4-163319841

Indeed, these are only the fractals we are able to represent. The journey into the quest of sublime goes further with the exploration of fractals in n-dimensional spaces. Such exploration can be made with books like Kenneth Falconer’s Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.

The quest for the Sublime, which started in our case with the simple exploration of simple two dimensional geometric object, leads to an unbounded perception of space, both as infinitely small and broken and as incommensurable and embeddable in any number of dimensions. As well precised by Rothstein again, «it makes the imagination seem inadequate while giving our understanding an almost ecstatic sense of having apprehended what should be beyond its containing powers» (Rothstein, p. 187).

Conclusion

The understanding of the experience related to fractal zoom as we now can easily find on internet, needs to be seen as the result of a long path from which much information and various points of view are gathered. First, through multiple examples such as the Koch curve or the Peano curve, we have seen that the emergence of the concept of fractal in the mathematical literature was by itself shocking for the community. Many concepts like continuity, dimensionality and infinity needed to be revisited, and new definitions had to be proposed. We also have underlined that some fractal images were far too complex to be pictured by humans without computer assistance; which had been indispensable to produce accurate images of the Julia, Fatou and Mandelbrot sets. Aware of the difficult trajectories to reach fractal images, and therefore fractal zooms, we were then ready to focus on the different aspects that make the screening of such zooms a traumatic experience.

We first underlined the mystical aspects of fractals by looking at some very surprising properties that places these fractals between one another and some other human created geometric constructions. We then looked at fractals as preponderantly curious shapes, and more so, as being the canvas for shapes which occur in nature, revealing more of their mystical aspects. The overwhelming size of shapes created by fractal zooms was then used to show why these zooms can be hard to handle since it forces the viewer to situate himself in a space impossible to imagine or seize. After explaining the construction of the Mandelbrot set, we were ready to show via synesthetic and neuropsychological arguments why the reception of the images contained in the fractal zooms are related to the Sublime, creating series of chaotic emotions. Finally, referring back to the mathematical background on which these fractals, especially the Julia sets and the Mandelbrot set, are constructed, we could see how semantics, or a more decent comprehension of fractals and fractal zooms is unreachable for the common spectator, deepening the gigantic gap between the spectator and the geometrical objects.

All of these aspects redefine the fractal zooms as objects of the Sublime: the screening is emotionally twofold, the spatial construction of the object is incomprehensible and the logical aspects are very difficult to reach. Our incomprehension is difficult to handle since it seems to have some implications in the creation of nature itself, and that very incomprehension found certain mind-blowing applications like fractal image compression. Some more developments bloomed in the last few years concerning the construction of three dimensional Mandelbrot set using a new way to compute complex numbers in four dimensions. This shape, the Mandelbulb, is a new creature as fascinating as its two dimensional acolyte and already, 3D fractal zooms on the web are available. These zooms still seem incomplete since the infinitely broken aspect doesn’t appear everywhere, but yet some fantastic images and zooms are to be found on the web.

1- Lori Gardi, who coined the term Buddhabrot, was actually looking for a proof of God in the Mandelbrot set (http://www.butterflyeffect.ca/Close/Pages/Buddhabrot.html)

2-For a more complete description the reader can explore the following site http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/2011/06/distance-estimated-3d-fractals-part-i/

3-http://dspwhite.deviantart.com/art/The-Eternal-Dream-149572608

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Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et en bande dessinée (Chapitre 2)

 Chapitre 2 : La case, les graphes et les arbres.

(La version originale du mémoire peut être consultée ici: https://www.academia.edu/10516424/Narration_et_math%C3%A9matiques_l_utilisation_des_graphes_au_cin%C3%A9ma_et_dans_la_bande_dessin%C3%A9e)

Plusieurs auteurs ont tenté de définir le sème de base de la bande dessinée. Guy Gauthier fonde son analyse du médium à partir de groupes de points et de lignes (Groensteen 1999, p. 3). Ulrich Kraft considère les unités de base comme étant des entités tels les corps ou parties d’un corps (Groensteen 1999, p. 4). Ces considérations sont en fait une tentative similaire à celle de comprendre le cinéma comme langage avec une syntaxe sous-jacente (Metz, p. 47-49). Cette perspective n’est d’ailleurs pas étrangère à celle de Emil Cohn qui lui aussi calque son modèle d’analyse de la bande dessinée sur la grammaire universelle de Chomsky (2003, p. 77-104). La démarche de la présente recherche étant d’inspiration structuraliste avec une analyse macroscopique de la trame temporelle, nous simplifions le tout en admettant la case comme unité fondamentale puisque c’est elle qui contient, de manière générale, l’unité de temps. Sachant également qu’il existe maintes formes pour la case, nous omettons les cas particuliers et définissons celle-ci comme l’espace intérieur délimité par un cadre. Dans ce chapitre, nous réviserons cette définition volontairement épurée à l’aide de la courbe simple fermée de Jordan (9). L’espace intérieur de cette case contient également soit un intervalle de temps, soit un moment ponctuel de la diégèse. Il existe des cases dont le cadre n’est pas explicitement défini, ou dont le cadre n’est que partiellement défini, mais cela ne nous empêche pas de pouvoir considérer une section de plan comme formant un tout constituant la représentation d’une certaine temporalité de l’histoire.

Figure 1: The cannibal Frame by Ibn al-Rabin

Figure 1: Ibn al-Rabin, The Cannibal Frame (extrait). Encre sur papier.© 2009 Fantagraphics Books

Il est possible de construire une histoire à l’intérieur d’une seule case. Que ce soit les planches de Yellow Kid d’Outcault qui doivent être lues par errance du regard sur l’image comme l’errance dans une foire (Smolderen, p. 11 et 90), celles des Far Side de Gary Larson ou de Quino, ce type de case contient la synthèse d’une petite histoire. La valeur temporelle d’une case peut être indéfinie et aucun élément visuel n’est requis à l’intérieur de son cadre. Des pages des Chroniques aléatoires de George Bess le démontrent bien. L’auteur réserve toute une page à des cases sans dessins et mentionne que cette page ne contient pas d’histoire, qu’il s’agit d’une page pour se reposer (Bess, p. 65). Dans une autre page, l’auteur invite le lecteur à une méditation d’une durée indéterminée devant une série de cases vides (Bess, p. 79). Une autre de ses pages est totalement dénuée de texte et de dessins, on ne voit que des oiseaux de la dernière case qui nous laisse comprendre que le vide représentait le ciel (Bess, p. 249). La page blanche a également été utilisée par Gustave Doré qui mentionne dans son Histoire de la Sainte-Russie que son ‘’éditeur’’ lui a conseillé de laisser la place désignée pour représenter certains évènements incolores (Doré, p. 7). Certaines histoires, comme The Cannibal Frame d’Ibn al-Rabin (Molotiv, p. 44-45) ou les jeux de cadrages de Patrick McDowell (Molotiv, p. 20-25), démontre que les cadrages à eux seuls peuvent servir pour la construction d’une bande dessinée. (Figure 1) L’inclusion de cases les unes dans les autres s’avère un autre moyen de bâtir une histoire. Lorsqu’une case s’inclue elle-même nous disons du processus d’inclusion qu’il est autoréférentiel. Une stratégie de la sorte permet une mise en abyme infinie de l’histoire. La page d’Al Williamson parue dans Weird Fantasy nu.17 fonctionne de cette manière : deux extra-terrestres lisent la bande dessinée dans laquelle ils se trouvent (Estren, p. 32-33). L’Origine, premier tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves offre également un tel processus itératif (Figure 2). En effet, l’auteur Marc-Antoine Mathieu présente son protagoniste en train de se lire lui-même (Mathieu 1991a, p. 29), soulignant que non seulement la bande dessinée constitue un monde clos (Parain, p. 39), mais que la case elle-même peut l’être. Même si dans ces deux cas l’imagerie récursive s’inscrit dans une narration plus large, nous imaginons très bien la possibilité d’utiliser une suite de cases imbriquées à l’infini pour former une narration. La case initiale peut apparaître directement comme sous-case ou comme énième case itérée dépendamment de la complexité de l’histoire. L’utilisation de l’ordinateur assure de n’avoir aucune image initiale ou finale en permettant des agrandissements infinis sur l’image imbriquée en elle-même.

Figure 2: Julius Corentin Acquefaques par Marc-Anthoine Mathieu

Figure 2 : Marc-Anthoine Mathieu, Julius Corentin Acquefacque: L’Origine, © 1991 Guy Delcourt Productions

Le cadre de l’image définit un second lieu, celui de l’extérieur de la case. En fait, pour être précis, le cadre en définit au moins un autre puisqu’un seul cadrage peut servir à délimiter un nombre arbitraire de cases. Nous utilisons la définition suivante pour la courbe simple : courbe qui débute et se termine en un même point et qui ne croise elle-même en aucun autre point. Cette courbe est en fait celle qui constitue le cadre de la case. Du point de vue topologique, il est possible de démontrer qu’une courbe fermée qui n’est pas concourante à elle-même sépare le plan en au moins deux espaces distincts : l’intérieur de cette courbe et les autres (Munkres, p. 377-380). Un second théorème précise que cette courbe sépare le plan en exactement deux espaces; l’intérieur et l’extérieur de la courbe (Munkres, p. 390-392). Même si ce point peut sembler fort intuitif, il s’avère qu’il est difficile à démontrer et il fallut attendre Camille Jordan pour en apporter une première preuve formelle en 1887 (Jordan, p. 593-594), preuve que Veblen considéra comme insuffisante. Ce dernier en proposa également une preuve en 1905 (Veblen, p. 83-98). Plusieurs auteurs travaillèrent par la suite sur la preuve du théorème afin d’en simplifier la forme. Il reste que du point de vue formel la preuve est longue et ardue. Pour reprendre les mots de Gonthier, cette preuve «is the black hole into which formalizing mathematicians fall» (Hales, p. 883). Le groupe Mizar (10) débuta une vérification formelle de la preuve par ordinateur en 1991. L’évolution a été longue et finalement Arthur Kornilowicz déposa une preuve qui demande pas moins de 6500 lignes en 2005. Thomas Hales, la même année, compléta une preuve avec HOL-light qui consiste de plus de 138 définitions, 1381 lemmes et 59 000 lignes de programmation. En termes d’inférences logiques, le chiffre s’élève à une vingtaine de millions (Hales, p. 883). La section qui stipule qu’une courbe simple fermée sépare le plan en au moins deux sections n’est pas si impertinente que cela puisse paraître puisqu’il est connu depuis Brouwer qu’il existe des courbes possédant la particularité de séparer le plan en plus de deux parties (Guggeheimer, p. 195), telle la courbe de Wada qui sépare le plan en exactement trois parties (Boltyanskiĭ et Efremovich, p. 24). (Figure 3) Le cadre de la vignette conventionnelle ne possède pas de telles particularités et donc, il sépare l’espace du plan entre l’intérieur et l’extérieur de la courbe simple. Il est à noter qu’une version discrète du théorème de Jordan existe et que par conséquent celui-ci tient également pour l’image créée sur l’écran d’ordinateur (Šlapal, p. 3255-3264). Nous reviendrons sur d’autres points importants qu’implique ce théorème, mais soulignons pour l’instant l’impact en bande dessinée de cette capacité à séparer le plan entre l’intérieur et l’extérieur de la courbe, du cadre.

 Figure 3: Wada curve                                                    Figure 3 : La courbe de Wada. Source : Wikipedia

L’auteur possède l’option d’utiliser l’extérieur du cadre pour construire sa narration. Déjà dans la Bible Moralisée (11) un Dieu hors cadre (12) apparaît à plusieurs reprises et projette parfois des triangles bleus afin de punir les pécheurs (13).Plus récemment, le personnage du professeur Burp de Gotlib s’y retrouve souvent pour jouer le rôle du narrateur dans un faux documentaire. Or, si l’intérieur de la case peut defénir un lieu et une temporalité de la diégèse qui varie de situations concrètes à des situations aussi abstraites que la séparation entre la lumière et les ténèbres (14), il en est de même pour l’espace hors cadre. Nous classifions ces deux espaces en quatre modalités différentes suivant la synchronicité et la coprésence. Donc, ces deux espaces partagent ou non leurs temporalités et leurs espaces. Naturellement, ces deux espaces sont dépendants l’un de l’autre et l’espace de l’intérieur de la case peut empiéter sur celui de l’extérieur de la case. Benoit Peeters démontre dans son livre Lire la bande dessinée comment la taille des cases, et donc l’espace extérieur associé, s’adapte parfois au récit. Dans les trois cases tirées de Les Bijoux de la Castafiore de Hergé, alors qu’il tente de garder son équilibre le domestique prend un espace horizontal de plus en plus important. En perdant pied, les bras du domestique se balancent et il en résulte que le cadre doit être élargi pour permettre de voir l’ensemble du personnage (Peeters 1998, p. 60-62). Il y a donc toujours la possibilité de jouer avec cette interdépendance de l’espace interne et externe de la case. À l’inverse, la taille de la case peut avoir un résultat sur la scène représentée. Dans Little Nemo in Slumberland de Winsor Mckay nous trouvons un résultat qui démontre ce principe. L’élargissement de la case dans ce cas ne se perçoit pas comme une «ouverture de l’objectif», mais comme un étirement vertical de l’espace intérieur du cadre initial, les corps inclus dans ce cadre en subissent les mêmes contraintes et s’étirent à leur tour (Canemaker, p. 11 et 118). (Figure 4) Les espaces intérieur et extérieur peuvent être cohabitables ou distincts et les variables de l’un peuvent affecter les variables de l’autre.

Figure 4: Little Nemo in Slumberland by Winsor McCay

Figure 4: Winsor McCay, Little Nemo in Slumberland. Tiré du livre de John Canemaker.

La juxtaposition d’un second cadre dont la temporalité dans la diégèse se situe après celle du premier se fait en général dans une seconde case en dehors de la première. En présentant un second cadre, qu’il soit collé au précédent ou séparé par une gouttière, une relation entre les deux apparaît. Cette relation naissant de leur état de coprésence s’impose comme l’unité de base de l’arthrologie. Elle définit en premier lieu quel sera le sens de lecture, de gauche à droite ou de droite à gauche. En second lieu, à moins d’épouser parfaitement les rebords du médium, elle redéfinit l’espace hors case comme espace de transition temporelle. Le lieu non représenté à travers lequel s’écoule le temps se situe entre deux cases. Le choix du lieu et du temps à l’intérieur de deux cases consécutives se fait parmi une infinité de possibilités que McCloud a regroupées en six catégories créées selon les aspects suivants : moment, action, lieu, sujet et aspect (15) (1993, p. 70-74). La contingence d’un aspect dans les deux cases constitue les cinq premières catégories et le non-sequitur détermine la sixième. En omettant les autres variables nommées par McCloud, nous pouvons procéder comme pour la case isolée et catégoriser les relations entre les trois espaces, l’intérieur du premier cadre, celui du second, et l’extérieur des deux, selon les contingences de temporalité et d’espace. En dénombrant toutes les possibilités, on obtient de total de 31 cas différents.

La relation de temporalité entre ces trois espaces nous permet de construire notre modèle de narrativité sur la courbe paramétrée. L’idée est de considérer un cadre à l’espace extérieur des cadres des vignettes comme la pellicule peut-être le cadre de chaque photogramme d’un film. McCloud fait d’ailleurs cette analogie dans Understanding Comics (1993, p. 8). Ce cadre continu contient l’espace extérieur de la suite des cadres qui représentent l’histoire et à l’intérieur de ce cadre existe le temps continu qui s’écoule entre chaque case. Du point de vue de la modélisation formelle, ce temps en dehors des cases est celui du paramètre t qui permet son expression mathématique. Il équivaut au temps continu que l’on retrouve dans les constructions d’histoire sur des broderies du Moyen Âge dont la tapisserie de Bayeux constitue l’exemple le plus connu (Blanchard, p. 18-19) (McCloud, 1993, p. 12-13). (Figure 5)

Figure 5: Tapisserie de Bayeu (extrait)

Figure 5 : Extrait de la Tapisserie de Bayeux (extrait), circa 1070. Musée de Bayeux

L’astuce centrale de l’utilisation de la courbe paramétrée se cache dans la métaphore de la progression du temps représentée par une ligne. La perception de la ligne comme quantité de temps vient de la conception du point en tant qu’instant, comme c’est le cas chez Léonard de Vinci (Brusatin, p. 89). Bernard Teissier, en se basant sur des études cognitives de Berthoz, en arrive à la conclusion que des connexions neurologiques permettent cette correspondance conceptuelle entre le temps et une ligne : «It allows us to accept as obvious that time is described by geometric line» (Teissier, p. 239). Bien qu’omniprésente de nos jours, l’utilisation systématique de la ligne de temps s’avère relativement récente; elle date de quelques siècles à peine. Du quatrième siècle à la fin du Moyen Âge, la représentation temporelle de l’Histoire s’articulait principalement dans les tableaux tels que celui développé dans la Chronique d’Eusebius (Rosenberg et Grafton, p. 26). Au douzième siècle, Pierre de Poitiers utilisa une colonne descendante pour l’écoulement du temps dans sa représentation du Vieux Testament destiné à ses élèves. L’idée fut reprise par Werner Rolevinck dans son Fasciculus temporus, mais sous une forme où l’écoulement du temps s’effectue à l’horizontale. Hartman Schedel reprit quant à lui la version verticale pour la représentation de l’arbre généalogique dans sa Chronique de Nuremberg (Rosenberg et Grafton, p. 31-32). Verticalement ou horizontalement, l’avancement le long d’une charte historique représentait la progression du temps. Afin de faciliter l’usage pédagogique de ces chartes (16) dans l’enseignement de l’histoire, les historiens prirent l’habitude de présenter plusieurs éléments contemporains les uns aux autres sur différentes lignes, le long de la même progression temporelle. Un tel exemple se trouve dans le Chronicum de Paulus Constantinus Phrygio de 1534 (Rosenberg et Grafton, p. 44-48). Finalement, le graphique historique qui vint réellement changer l’utilisation de ces lignes de temps par les historiens fut celui de Joseph Priesley, A New Chart of History, en 1769 (Rosenberg et Grafton, p. 126). (Figure 6) Son travail, inspiré des Tables historiques, chronologiques et généalogiques de Jean Rou, A View of Universal History de Francis Tallent et A Chart of Universal History de Thomas Jeffrey (Rosenberg et Grafton, p. 97-101 et 115-116) est d’une grande importance puisque, comme le mentionne Priestley, l’expérience de compréhension se fait en dehors de la lecture et donc en grande partie par la représentation graphique (Rosenberg et Grafton, p. 122). À partir de ce moment, la cartographie du temps prit une multitude de formes dont plusieurs nous serviront d’exemple. Nous nous intéressons à l’une issue du domaine des mathématiques : la courbe paramétrée, de paramètre t.

Figure 6: Jospeh Priestley A new chart of History

Figure 6 : Joseph Priestley, A New Chart of History (extrait) (1769) Tirée de Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010.  Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York : Princeton Architectural Press.

L’apparition de la courbe paramétrée découle de la découverte du plan cartésien et de la géométrie analytique créée indépendamment par Descartes et Fermat. À l’inverse des Grecs de l’Antiquité qui utilisaient la géométrie pour étudier l’algèbre, l’apparition de la géométrie analytique a permis l’étude de la géométrie à partir de l’algèbre (Stillwell 2010b, p. 110). La décomposition de cette algèbre dans les coordonnées x et y est l’extension naturelle de cette perception. La courbe paramétrée apparaît lorsque nous voulons faire dépendre les coordonnées x et y sur un même paramètre, le paramètre t.

Le paramètre t représente habituellement le temps dans notre modèle. Nous pouvons lui conférer des valeurs sur l’ensemble des nombres réels. Les valeurs positives de t représentent les moments qui ont lieu après un moment référentiel défini à t=0, et les valeurs négatives représentent les moments du passé diégétique de ce moment référentiel. Puisque nous nous occupons principalement du temps de l’histoire et non du temps du récit, ce paramètre varie de manière continue. Son utilisation pour le temps du récit impliquerait son découpage et la permutation de sections du domaine sur lequel il serait défini. Il serait possible malgré tout d’en faire bon usage dans cette recherche, mais comme mentionné précédemment cela nous éloignerait de l’objectif d’explorer la narration en se limitant au temps de l’histoire. Le concept même de continuité de ce paramètre s’applique ensuite à la continuité d’une fonction telle qu’habituellement définie et utilisée en mathématique (définition dont les rouages sont également délaissés puisqu’elle demeure généralement assez lourde et encore une fois cela ne servirait pas la compréhension claire du texte (17)). La continuité d’une fonction sert ensuite à définir la continuité de la courbe paramétrée et pour la raison mentionnée nous utilisons une forme intuitive de la continuité de la courbe paramétrée. La continuité du paramètre t indique que ce paramètre évolue graduellement sans irrégularités comme des coupures ou des espaces vacants. La continuité de la courbe implique que nous pouvons la tracer sans lever le crayon.

Figure 7: projectio paradoxe

                                     Figure 7: Bijection entre le cercle et la droite des réels. Source :   http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/compactification/

La continuité de ce paramètre sur les réels entraîne d’inévitables paradoxes similaires à ceux rencontrés par les théoriciens de la théorie des ensembles comme George Cantor (Vidal-Rousset, p. 12), en particulier des paradoxes sur la notion de longueur (Peter, p. 281-282). Par exemple, deux segments de droite de différentes longueurs contiennent exactement le même nombre de points puisqu’il est possible de les mettre en bijection, paradoxe équivalent au paradoxe de la roue d’Aristote (Gardner 1983, p. 2-3). Il en va de même pour un segment fini et infini. (Figure 7) Mieux encore, étant tous les deux dénombrables, le nombre infini de points d’une droite égale celui d’un plan, et ce même s’ils n’ont pas la même dimension (Guillen, p. 62). Dans notre modèle, nous contournons ce problème en admettant la correspondance absolue entre temps et distance comme un outil éventuel d’analyse ou comme une contrainte de création intéressante; il n’y a pas d’obligation à s’en tenir à la définition absolue. Dans ce cas, nous nous situons davantage dans la perspective offerte par la théorie des graphes dans laquelle la longueur ou la forme des arêtes n’importe pas. Les auteurs d’hypercomics travaillant sur le canevas infini de McCloud contournent également cette contrainte de l’équivalence distance-temps (http://scottmccloud.com/4-inventions/canvas/index.html). Nous constatons par exemple que dans Popcom (http://e-merl.com/pocom.htm) de Daniel Merlin Goodrey, cette constante ne semble pas toujours prise en compte. Des courbes de différentes longueurs peuvent contenir la même temporalité et inversement, deux courbes de même longueur peuvent contenir des temporalités différentes. Nous verrons que dans certains cas, il peut tout de même rester utile de conserver cet axiome d’équivalence entre espace et temps : un modèle appliqué au film Inception de Christopher Nolan le démontrera.

Le réalisateur américain David Llewelyn Wark Griffith décrit le début de son film Intolerance par une métaphore fort intéressante. Il compare la multitude d’histoires indépendantes qui découlent d’un point initial dans son film à plusieurs ruisseaux qui descendent une montagne (Eisenstein, p. 397). Cette image évoque précisément un type de graphe fort simple que nous nommons «arbre».

Comme mentionné au premier chapitre, un graphe G := {V, E} est un ensemble d’éléments V de pair avec les relations E qui les unissent. Lorsque nous voulons faire une représentation graphique de cette structure, il est fort utile de considérer les éléments comme des points (ou des sommets) et les relations comme des lignes (ou des arêtes) qui relient un certain nombre de ces points. La disposition de ces points dans l’espace, la forme et la longueur des lignes n’ont aucune importance. Seule importe la présence de ces points et la présence d’arêtes entre certains de ces points. Le nombre de sommets d’un graphe est son ordre et son nombre d’arêtes est sa taille. L’ordre peut être nul, constitué d’aucun point, nous disons alors que le graphe est trivial. S’il existe une relation réflexive d’un élément vers lui-même, nous représentons cette relation par une boucle qui débute et termine en ce point. Deux arêtes sont dites parallèles s’ils débutent et se terminent aux mêmes deux points. Un graphe qui ne possède aucune boucle et aucune arête parallèle est dit simple (Bondy, p. 2-3).

Figure 8: Paul Klee

Figure 8: Paul Klee, exemple de ligne active. Tiré de Théorie de l’art moderne.

Un chemin est une suite de sommets et d’arêtes consécutifs sur un graphe. Le nombre d’arêtes d’un chemin est la longueur du chemin. L’artiste Paul Klee illustre bien le concept de chemin par ce qu’il nomme la « ligne active soumise à des délais » (Klee, p. 74). (Figure 8) S’il existe au moins un chemin entre toute paire de points d’un graphe, on dit que ce graphe est connecté. Un chemin qui débute et se termine au même sommet est un cycle (Bondy, p.4-5). Un graphe connecté qui ne possède aucun cycle est un arbre. Il découle de cette définition que les arbres les plus simples sont les chemins. Si plusieurs chemins sont raboutés les uns aux autres ou ont un même point de départ, nous obtenons encore un arbre. Un groupe d’arbres non connectés entre eux est une forêt (Bondy, p. 99-100).

Comme mentionné au chapitre précédent, nous pouvons représenter des histoires ou segments d’histoires par des courbes paramétrées et nous considérons que l’histoire se déroule le long de ces courbes. Nous pouvons comparer ce modèle à la «ligne active», c’est-à-dire à la simple promenade d’un point en mouvement (Klee, p. 73), ou dans notre modèle à la promenade d’un espace discret. Nous pouvons joindre les segments de courbes paramétrées, ou arêtes d’un graphe en chemin, afin de former un chemin plus long, ou une histoire plus longue.

Bien que les détails de la forme, de la longueur et du domaine du paramètre t peuvent s’avérer forts importants dans la composition d’une histoire, il est possible de les omettre temporairement afin d’en avoir une compréhension plus macroscopique. En ne prenant en compte que le temps de l’histoire, le début du film Intolerance peut ainsi être schématisé dans ce modèle comme étant quatre chemins incidents en leur point initial, donc, un graphe avec un point central et quatre arêtes, des courbes paramétrées partant dans des directions différentes.

Figure 9

Figure 9 : Arbre orienté. Source: http://stackoverflow.com/questions/2471412/how-to-spread-changes-in-oriented-graph

Les arbres possèdent plusieurs caractéristiques intéressantes. Nous pouvons aisément dénombrer les arêtes d’un arbre à partir de son nombre de sommets en utilisant la formule e=n-1e est le nombre d’arrêtes et n le nombre de sommets (Bondy, p. 100). Nous savons aussi que l’ajout d’une arête (sans l’ajout d’un sommet) à un arbre créé inévitablement un cycle et que par conséquent le résultat de cette opération n’est pas un arbre (West, p. 69). Nous pouvons construire des arbres à partir de chemins orientés, c’est-à-dire en donnant une direction à chacune des arêtes. Un chemin orienté est donc une suite de sommets et d’arêtes sur un graphe orienté qui respecte le sens d’orientation des arêtes. Dans ce cas particulier, l’ajout d’une arête sans l’ajout d’un sommet sur un arbre orienté n’implique pas systématiquement l’apparition d’un cycle. (Figure 9)

Figure 10: Bible Moralisée

Figure 10 : Auteur Inconnu, Bible Morlisée. Extrait de la Genèse.

Comme nous l’avons vu avec la représentation du temps dans le domaine de l’Histoire, l’utilisation de la ligne comme support du temps est relativement récente. Dans l’historiographie de la bande dessinée, plusieurs historiens dont David Kunzle (1972) (18) et Thierry Smolderen (2009, p. 21) (19) trouvent des racines du médium dans la suite d’estampes de William Hogarth. Dans ce cas, les différents tableaux sont reliés par une trame narrative, mais aucune représentation de cette lignée temporelle n’est accessible. Le type de lecture requise pour en comprendre les rouages diffère beaucoup de celle presque automatique de la bande dessinée : lente, de va-et-vient entre les différents tableaux puisque ce sont les petits détails qui indiquent le sens de l’histoire (Smolderen, p. 14). La première juxtaposition temporelle de peintures par Hogarth est en fait Before and After, deux tableaux représentant un couple avant et après l’acte sexuel. Cependant, c’est pour de plus longues séries telles que Harlot’s Progress que l’artiste est reconnu (Smolderen, p. 18). Les suites d’images visuellement reliées entre elles peuvent être retracées à l’Antiquité et un grand nombre ont circulé au Moyen Âge et à la Renaissance comme le démontrent les ouvrages de Gérard Blanchard (1969) et de David Kunzle (1972). Dans la majorité des cas, la courbe de l’histoire n’est pas explicitement présentée. Dans la Bible Moralisée, cette courbe se déroule verticalement avec les médaillons. (Figure 10) Nous retrouvons le même principe, mais cette fois horizontalement, dans l’œuvre de Rodolphe Töpffer. Dans ce cas, nous constatons bien que la trame narrative se déroule sur une courbe paramétrée sous-jacente, et donc en termes de graphe nous avons un simple chemin. C’est ce modèle qui prévaut en général dans la bande dessinée; elle apparaît sous forme concaténation de segments de courbes paramétrées. (Figure 11)

Figure 11: Scott McCloud Understanding comics

Figure 11 : La flèche du temps. McCloud, Scott. 2000. Reinventing Comics, p.219. New York: Paradox Press. © 2000 Scott McCloud

Nous retrouvons un exemple d’utilisation de courbe continue dans le roman Tristram Shandy de Lawrence Sterne où le narrateur tente d’exprimer le parcours de l’histoire de Tristram par une série de lignes loufoques (Sterne, p. 417-418). (Figure 12) Cette forme d’histoire en chemin apparaît distinctement dans certains roman-cinéma de Louis Feuillade dans laquelle l’histoire descend en zigzagant dans la page (Blanchard, p. 188). (Figure 13) Le peintre anglais construisit aussi des suites d’images dans lesquelles nous retrouvons une forme de montage : les tableaux 3,4 et 6 de la suite Mariage À-la Mode présentent les aventures du mari et de l’épouse indépendamment alors que les tableaux 1,2 et 5 présentent des scènes communes (Lacassin, p. 16), nous retrouvons une histoire en arbre dans laquelle les personnages se joignent et se séparent. Des histoires en chemin sont également présente dans des planches de McCloud (2000, p.223) et dans le travail de Bruno Schaub (Molotiv, p. 168-169).

Figure 12: Lawrence Sterne Tristram Shandy

Figure 12: Sterne, Lawrence. 1964. The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, p. 417. Toronto: Holt, Rinehart and Winston.

Figure 13

Figure 13 : Roman Cinéma, tiré de Blanchard, Gérard.1969. La Bande Dessinée : histoire des histoires en images de la préhistoire à nos jours, p. 189. Verviers : Marabout. © Ed. J. Rouff

La représentation de l’histoire sur une simple ligne de temps équivaut à un chemin et l’intersection des lignées dans un arbre généalogique est bien évidemment l’équivalent d’un graphe en arbre -un graphe en arbre dont les arêtes sont des segments de courbes paramétrées sur lesquelles se déroule l’histoire, ou les histoires. Nous nous intéressons aux exemples qui présentent l’histoire sur des graphes en arbre un peu plus complexes que la plupart des bandes dessinées étant des juxtapositions de courbes paramétrées qui forment un chemin qui s’étale le long des pages d’un album. Un exemple intéressant se trouve dans Uchronie (l’utopie dans l’histoire) : Esquisse historique apocryphe du développement de la civilisation européenne tel qu’il n’a pas été, tel qu’il aurait pu être de Charles Renouvier (1876). (Figure 14) L’auteur présente une histoire réelle et utopique sur un graphe en arbre en représentant les évènements réels en lettres minuscules et les évènements imaginés par des lettres majuscules (Rosenberg et Grafton, p.23). L’auteur explique en bas de page qu’une définition plus rigoureuse de son schéma pourrait être utile et il ajoute que la valeur des angles entre les trajectoires réelles et imaginées pourrait représenter la mesure de cet écart par rapport aux évènements réels (Renouvier, p. 467). On voit que ce modèle s’apparente au modèle de Ryan puisqu’il contient à la fois des moments réels et des moments imaginés dans la diégèse. Ce modèle donne également un bon exemple de l’ajout d’un aspect géométrique à la perspective de la théorie des graphes tant dans le processus de création que dans celui de lecture du graphe. Cet élément géométrique -le sens donné à l’angle d’inclinaison des arêtes- n’appartient pas à la théorie des graphes, mais permet d’enrichir les informations contenues dans le graphe.

Figure 14: Charles Renouvier Uchronie

Figure 14 : Renouvier, Charles. [1876] 1988. Uchronie (L’Utopie dans l’Histoire) : Esquisse historique apocryphe du développement de la civilisation Européenne tel qu’il n’a pas été, tel qu’il aurait pu être. Paris : Librairie Arthème Fayard

Pour simplifier la compréhension des récits, nous retrouvons souvent des représentations similaires à celles existantes dans le domaine de l’histoire qui comme celles de Ryan donnent une orientation générale de lecture de gauche à droite en concordance avec notre sens habituel de lecture. Un exemple similaire est explicitement utilisé par Randall Munroe dans la bande dessinée xzcd : The Movie Narrative Chart (http://xkcd.com/657/). (Figure 15) À l’exception du film Primer dont nous étudierons la structure narrative dans le chapitre quatre, tous les exemples suivent cette tendance. La présentation d’une histoire sur le support macroscopique du graphe en arbre révèle cependant des aspects importants de leur réception que sont le sens et la direction de lecture.

Figure 15: Xkcd Movie Chart

Figure 15: Randall Munroe, Movie Chart. Source : http://xkcd.com/657/

Le sens commun de lecture en occident se fait de gauche à droite et se confond généralement avec la direction de lecture. On peut définir le sens de lecture comme étant le fait de lire de gauche à droite à partir du bas des lettres. La direction de lecture est l’orientation du plan sur lequel se fait la lecture et se réfère dans notre cas à la direction prise par la courbe paramétrée. (Figure 16) L’utilisation de la courbe paramétrée permet de conserver clairement les principes d’uniformité, de directionalité et d’irréversibilité propre au temps (Rosenberg et Grafton, p. 19). Il se trouve que les deux derniers ne sont pas des principes immuables. La forme des chartes historiques se compare aisément à celle de la courbe paramétrée et l’évolution de ce support depuis le 18e siècle dans la culture occidentale a déjà offert des cas de lecture verticale, horizontale ou même circulaire comme dans celle de Girolmo Andrea Martignoni (Rosenberg et Grafton, p. 108-109). La direction de la lecture, comme nous l’avons également vu dans le cas des histoires présentées en arbres, peut être définie à 360 degrés. Nous verrons dans les prochains chapitres qu’il est encore possible de donner de l’expansion à ce principe de direction. Il reste encore le point litigieux de sens de la lecture, c’est-à-dire le sens de lecture prise sur la courbe paramétrée elle-même.

Figure 16

Figure 16: Direction de lecture. Source : http://mathwiki.ucdavis.edu/Calculus/Vector_Calculus/Vector-                                             Valued_Functions_and_Motion_in_Space/Curvature_and_Normal_Vectors_of_a_Curve

Dans l’ouvrage Possible Worlds, Artificial Intelligence, and Narrative Theory de Marie-Laure Ryan, la présentation des récits conserve en général le sens de lecture qui est aussi la direction de lecture, et ce, autant pour les points et vecteurs qui suivent l’histoire diégétique que ceux qui suivent l’histoire possible ou imaginée de la diégèse. Une étape importante dans la création d’un corpus qui utilise la présentation macroscopique de l’histoire est de se défaire de cette contrainte. Dans la construction de telles œuvres, la possibilité de lecture pluridirectionnelle devrait être prise en compte comme élément esthétique ou porteur d’une sémiotique particulière. Un premier corpus intéressant est celui de l’OuBaPo qui offre de nombreux exemples dans son deuxième et troisième Oupus.

Figure 17: Lewis Trondheim Le roi du Monde

Figure 17 : Lewis Trondheim, Le Roi du Monde. Tiré de Lapin nu. 27, Paris : L’Association, 2001.

Le premier double sens de lecture à reconnaître est le double sens de lisibilité notamment propre au palindrome. Un exemple flagrant est celui de Le Roi du Monde de Lewis Trondheim (OuBaPo 2003, p. 14). (Figure 17) Dans cette bande dessinée de 16 cases placées régulièrement en carré, chaque ligne peut être lue de gauche à droite ou de droite à gauche et chaque colonne de haut en bas ou vice versa. Il y a également des possibilités de lectures à double sens dans chaque diagonale. Ces différents sens de lecture se rattachent à la plurilecturabilité de chaque case (OuBaPo).

Figure 18: Jean-Christophe Menu Stip Croisé

Figure 18 : Jean-Christophe Menu, Strips croisés, 2000. Tiré de L’oupus 3 © Jean-Christophe Menu

Il est possible de lire chaque case en plusieurs sens et il en découle plusieurs directions de lecture dans le multicadre. En fait, chaque direction de lecture contient un double sens de lecture. L’interprétation du sens de lecture peut se confondre avec celui de la direction sur le support. Dans cette situation chaque case a un sens précis de lecture, mais la suite des cases qui forment l’histoire est pluridirectionnelle. C’est-à-dire que le lecteur construit un chemin en passant d’une case à l’autre en suivant les différentes directions de lecture possibles à partir de chaque case. Une fois de plus l’Oupus 3 offre de beaux exemples dans les «strips croisés» de Ayroles, Menu et Lécroart. Dans ceux de Lécroart et de Menu, nous pouvons lire chaque colonne vers le bas et chaque ligne vers la droite pour former un total de sept histoires possibles. (Figure 18) L’œuvre 26, Ayroles fait ses strips croisés, doit se lire dans le sens normal de gauche à droite et du haut vers le bas, mais à partir de chaque case plusieurs suites sont possibles comme le présente le schéma de la figure 19. L’ensemble des lectures possibles constitue 256 histoires différentes.

Figure 19: François Ayroles -Strips Croisés pour l'OuBaPo

Figure 19 : François Ayroles, Strips Croisés, 2000. Tiré de L’oupus 3 © François Ayroles

Un autre exemple de lecturabilité particulière vient des travaux de Gustav Verbeck qui produisit la série The Upside Downs of Little Lady Lovekins and Old Man Muffaroo (1903) (Figure 20). Après la lecture en son sens conventionnel le lecteur doit retourner la planche à 180° pour poursuivre la lecture (Couperie et al., p. 27). Plusieurs auteurs réutilisent cette technique dans L’Oupus 3 : Gerner, Lécroart, Killofer, Ayroles, Lécroart, Trondheim et J.C. Menu se soumettent tous à cette contrainte (OuBaPo 2000, p. 2, 22, 20, 24 et 26). Dans les deux cas, le sens de lecture de la courbe paramétrée sous-jacente est double et par ce fait même nous lisons des graphes non orientés qui possèdent deux sens de lecture puisque chaque case peut se lire de gauche à droite ou de droite à gauche.

Figure 20: Gustav Verbeek -Upside Downs

Figure 20: Gustav Verbeek, Upside Downs of Little Lady Lovekind and Old Man Muffaroo.

Pour un multicadre qui a un sens de la gauche vers la droite et du haut vers le bas, il devient facile de dénombrer le nombre de lectures possibles. En nommant chaque lecture vers la droite D et chaque lecture vers le bas B, on peut représenter par un mot. Une lecture du multicadre DBDBDBD représente alors une lecture sur la diagonale du multicadre. Le dénombrement du nombre d’histoires d’un multicadre de m par n cases revient alors à celui du dénombrement du nombre de mots de m+n lettres D et B. Le résultat donne (m+n)!/(m!xn!) (Grimaldi, p. 27) Nous pouvons encore ajouter la contrainte de ne pas dépasser la diagonale du multicadre. Le problème du dénombrement des lectures possibles se transforme alors en celui des nombres de Catalan qu’il est également assez simple de calculer (Grimaldi, p. 36-38). (Figure 21)

Figure 21: Nombre de Catalan -Catalan Numbers

Figure 21 : Les nombres de Catalan représentent le nombre de chemins qui ne traversent pas la diagonale. Source : Wikipedia

Les exemples que nous venons d’étudier présentent une forme intéressante lorsque nous les considérons du point de vue des courbes paramétrées. Sous le multicadre se retrouve une panoplie de courbes clairement définies qui doivent suivre un sens et une direction de lecture. La plurilecturabilité peut être comprise dans ces cas comme la possibilité de sauter d’une courbe à une autre ou comme la coprésence superposée de toutes les courbes paramétrées possibles qui équivalent à une lecture possible.

Figure 22: Chris Ware -Quimby the Mouse

Figure 22: Chris Ware, Quimby the Mouse, 2003. Seattle: Fantagraphics Books. © Chris Ware

Revenons aux cas où les courbes sont bien définies et disjointes les unes des autres. Cela permet de mettre en valeur une interprétation de la direction de lecture qui peut prendre une signification particulière en rapport avec le support de la courbe. Nous constatons que les exemples des chartes historiques et des différentes schématisations de l’histoire telle qu’elles se retrouvent chez Ryan restent encore très ancrés dans la tradition littéraire de la lecture de gauche à droite. Nous pouvons observer une tendance à mi-chemin entre sens de lecture traditionnelle et une exploration de la direction de lecture. Dans une planche de Quimby the Mouse de Chris Ware, nous retrouvons un bel exemple de structure en arbre, en chemin plus précisément, dans laquelle la direction de lecture n’est pas toujours équivalente au sens de lecture. Les cases suivent un parcours relativement conventionnel jusqu’au bas de la page, par la suite elles remontent du coin inférieur droit vers le coin supérieur gauche en quelques cases (Ware 2003, p. 28). (Figure 22) Les cases possèdent un sens de lecture de gauche à droite alors que la courbe paramétrée sous-jacente contenant le temps de l’histoire possède une direction qui va vers le haut. La direction globale du multicadre demeure quant à elle vers la droite puisque la courbe paramétrée nous ramène en haut à gauche de la page suivante disposée à droite de la première. L’auteur Fred propose une structure similaire dans un tome de Philémon où le protagoniste peut descendre la page en passant par plusieurs chemins (Fred, p.25). (Figure 23) Le schéma de cette page construit par Peeters indique que la structure de la page est un arbre orienté et qu’aucun cycle n’y apparaît (Peeters 1998, p. 71). (Figure 24) Comme le souligne Peeters, la planche apparaît tout d’abord comme un «espace homogène et simultané» (1998, p. 69). Une lecture plus approfondie révèle la présence d’un récit-carte : les évènements de l’histoire sont superposés à une carte de fond (le chien géant nommé Simbbabad) et ils sont disposés sur les lieux précis de la carte où ils ont lieu. Chaque évènement prend son sens avec son positionnement sur la carte puisque le lieu de l’action dans la case est le même que celui du multicadre.

Figure 23: Fred -Philémon

Figure 23: Fred. 1974. Philémon: Simbabbad de batbad. Montréal : Dargaud Éditeur. © Dargaud Éditeur 1974.

Figure 24

Figure 24 : Schéma de Peeters pour la page de Fred. Peeters, Benoît. 1998. Lire la Bande Dessinée. Paris : Casterman, 1998. © Casterman 1998.

Analysons un exemple qui s’écarte quelque peu de cette tradition. Dans son œuvre Dernier Rappel, Alex Robinson représente la tourmente dans laquelle se retrouve son personnage en offrant un dialogue structuré en arbre (Robinson, p. 216). Les différents phylactères s’étalent et se perdent sur la page. (Figure 25) Même si des croisements se font au niveau des dialogues, puisque ces dialogues ont un sens de lecture la suite de phylactères forme un graphe orienté sans cycle. Par conséquent, ce graphe est un arbre. L’instabilité de la direction de lecture de la suite de phylactère renforce l’idée de l’égarement des pensées du protagoniste. Par conséquent, cet arbre, sans être un récit carte, contient une information contenue dans sa forme. Cette relation spatio-topique issue des différentes directions de lectures relie ces phylactères entre eux procure un sens supplémentaire à l’image.

Figure 25: Alex Robinson Derniers Rappels

Figure 25Robinson, Alex. 2006. Derniers Rappels. Montreil : Éditions Rackham. © Alex Robinson

Examinons un cas simple qui se base sur ce principe : une histoire construite en étoile peut souligner l’éloignement définitif de personnages dans le temps et dans l’espace. Dans un graphe, nous définissons la distance entre deux arêtes par la longueur du plus court chemin qui les sépare (Bondy, p. 80). Un graphe en étoile est un graphe tel qu’il existe un sommet à une distance 1 de tous les autres sommets (West, p. 67). Dans la représentation d’un graphe en étoile à n sommets, nous pouvons construire le graphe avec le sens conventionnel de lecture en plaçant le centre de l’étoile à gauche et les n-1 sommets suivants à sa droite. Une seconde option est distribuer les n-1 points autour du centre en les plaçant à une distance euclidienne (20) égale des uns des autres. Par la grande symétrie de l’image obtenue, nous obtenons une histoire qui possède plusieurs directions de lecture, mais un seul sens. (Figure 26) C’est-à-dire qu’en fixant au bas de l’image d’une seule case le référentiel de lecture, la lecture de la prochaine case se fera vers la droite, mais lorsque nous observons le graphe en arbre de manière générale, il y a des branches qui partent vers différents angles du plan.

Figure 26

Figure 26-Graphes en étoiles. Source: Wolfram Mathworld.

Un exemple simple d’histoire basée sur cette structure est un graphe en étoile dans laquelle à partir d’un évènement dramatique, plusieurs amis partent dans des directions régulièrement distribuées sur 360 degrés. Cet éloignement égal des personnages des uns aux autres insinue un éclatement parfait du groupe social. Une telle histoire en étoile a été conçue par Henriette Valium pour l’affiche Créateur : tu est (sic) et tu seras ça toi!. Dans ce cas, les cinq cases disposées en périphérie pointent vers la case centrale où se déroule l’acte de création. Nous avons une histoire en «étoile» du point de vue iconique, mais le texte semble suivre un ordre plus habituel, c’est-à-dire que le texte des cases semble devoir être lu en passant par l’ordre conventionnel des cases de la bande dessinée. (Figure 27)

Figure 27: Henriette Valium

Figure 27: Henriette Valium, Créateur, tu es et tu seras ça toi. © Henriette Valium

Cette liberté prise en regard de la direction de lecture apparaît déjà dans plusieurs hypercomics qui utilisent à plein escient la pluridirectionnalité de l’espace du plan cartésien et offre au lecteur des symétries esthétiques de la présentation macroscopique de l’histoire. Comparons trois exemples d’hypercomics de Daniel Merlin Goodrey, soit Never Shoot the Chronopath (21) , Merlism: The Book of Merl, et Cells: War on Weird (22). Le premier offre une belle structure globale principalement constituée de trois branches, mais qui garde une lecture de gauche à droite. (Figure 28)

Figure 28: Daniel Merlin Godbrey : Never shoot the Chronopath

Figure 28: Daniel Merlin Goodbrey, Never Shoot the Chronopath 2005 © Daniel Merlin Goodbrey Tiré du site personnel de Goodbrey

Le deuxième possède principalement une structure similaire à celle de l’étoile ou des rivières de Griffith où plusieurs histoires découlent d’un point central. Il n’en reste pas moins que les deux principales directions sont le haut et le bas. (Figure 29)

Figure 29: Daniel Merlin Godbrey : Merlism

Figure 29: Daniel Merlin Godbrey Merlism: The Book of Merl , 2005 © Daniel Merlin Godbre

Finalement, plus éclectique, Cells : War on Weird travaille dans plusieurs directions à la fois. (Figure 30). Comme le remarque Martha B. Kuhlman en se basant sur l’analyse de Thomas Bredehoft, la multitude des directions de lecture caractérise également certaines pages de Chris Ware: «one can approach the multilinear pages in Jimmy Corrigan from several directions.» (Kuhlman, p. 83). Nous ajoutons que dans le cas de ces planches, certaines cases ont également des sens de lecture qui diffèrent du sens habituel.

Figure 30: Daniel Merlin Godbrey Cells: war on Weird

Figure 30: Daniel Merlin Godbrey Cells: War on Weird, 2010 © Daniel Merlin Godbrey

Nous pouvons donc considérer à la fois un sens et une direction de lecture dans la création d’une œuvre. De plus, comme le mentionne Groensteen dans son analyse spatio-topique, la forme de la suite de case peut être un élément important. De manière équivalente, la forme de la courbe paramétrée peut donner lieu à une esthétique et à des interprétations particulières, à un graphisme sémiotique comme le souligne Peeters (1998, p. 106). Nous verrons ce fait plus en détail à l’aide de remarques de Brusatin, Kandinsky et Klee. Or, inévitablement la direction prise par la courbe a une incidence sur la forme du graphe et par conséquent sur le sens de sa forme. Le schéma apocryphe de Renouvier en est un bon exemple avec la sémantique apportée aux angles entre les segments de droite. Nous allons étudier un exemple fort simple qui illustre à merveille l’utilisation conjointe de direction de lecture et de la spatio-topie, celui de la spirale. Un exemple saillant nous vient du milieu de la musique et il nous est possible de l’étudier sous le modèle de la courbe paramétrée. La partition musicale représente naturellement une progression du temps et une belle analogie entre cette trame de temps et une trame narrative est bien représentée par le travail de J. J. Granville paru dans la revue Magasin Pittoresque en 1840. (Figure 31)

Figure 31: J.J. Granville

Figure 31: J.J. Granville, parution originale dans le Magasin Pittoresque en 1840, tire du livre de Smolderen

L’auteur présente une histoire de bonshommes allumettes sur une partition musicale; le temps de la partition musicale est en fait le même que le temps de l’histoire (Smolderen, p. 37). Cette correspondance entre le temps de la partition et le temps de l’histoire apparaît également dans Histoire de la Sainte-Russie de Gustave Doré. Dans ce passage, le czar Nicolas I amène un de ses boyards devant son armée afin que ce dernier démontre ses capacités (Doré, p. 179). (Figure 32) Ces deux temporalités trouve une parfaite équivalence puisque le temps de cette partition en littéralement un sous segment du temps de l’histoire de la Russie.

Figure 32: Gustave Doré Histoire de la Sainte-Russie

Figure 32: Gustave Doré, Histoire de la Sainte-Russie (extrait)

L’analyse ou la construction d’histoire de par la spatio-topie peut s’avérer utile puisque la forme d’une courbe peut déjà être porteuse de sens. Par exemple, Brusatin écrit que « Le sublime est à la fois une ligne brisée et zigzagante…» (Brusatin, p. 132). Des artistes comme Paul Klee et Wassily Kandisky ajoutent des éléments à ce type d’analyse perceptuelle. Kandinsky, distingue les «lignes droites libres» en opposition aux diagonales et discute de la notion de température d’une droite (Kandinsky, p. 69). Dans sa Théorie de L’Art Moderne, Klee mentionne que deux lignes secondaires peuvent former une ligne imaginaire (Klee, p. 74). (Figure 33)

Figure 33: Paul Klee

Figure 33: Ligne imaginaire de Paul Klee, 1985. Théorie de l’Art Moderne. Édition et traduction par Pierre-Henri Gonthier. Genève : Éditions Gonthier

Nous analyserons le cas particulier des spirales puisqu’elles possèdent une spatio-topie complexe qui évoque souvent la folie. Avant de le faire, nous devons voir l’utilité de la construction en arc de cercle. Dans les deux cas, les courbes paramétrées que nous utilisons peuvent faire usage de fonctions trigonométriques dépendantes de t dans leurs coordonnées x et y. En ce sens, le temps devient un paramètre angulaire de la courbe. Par exemple, sur un quart d’arc de cercle dans le premier quadrant du plan cartésien, le paramètre angulaire du temps passe de 0 à 90 degrés. En prenant des cercles de rayons différents et en nous basant sur une équivalence stricte du temps et de la distance sur une courbe sur le canevas infini tel que le propose McCloud, nous remarquons qu’un même temps angulaire représente différents temps de l’histoire sur différents cercles. Sur de plus petits cercles, le temps sera court et sur de grands cercles le temps sera beaucoup plus étiré. Ce modèle représente parfaitement ce qui se déroule dans le film Inception de Christopher Nolan. L’arc de cercle le plus proche représente le déroulement originel de l’histoire et chaque cercle supplémentaire représente un niveau de rêve superposé. Conformément au récit de Nolan, un temps court du premier arc de cercle est étiré sur le second et encore plus étiré sur les cercles plus éloignés. (Figure 34)

Figure 34

Figure 34: Distances radiales

Nous devons apporter quelques précisions sur le paramètre t. Puisque ce dernier varie sur les nombres réels, il peut représenter plusieurs intervalles différents : un intervalle fini, un intervalle allant de l’infini dans le passé à un moment précis, un intervalle allant d’un moment précis à l’infini comme le veut le concept d’aevum représentant le temps de la vie des anges tel que défini par le théologien Kilwardby (Gauvard, Libera et Zink, p. 12), et finalement, un temps variant de l’infini passé à l’infini futur. Nous expliquerons plus loin en quoi ces considérations sont utiles.

Figure 35: George Crumb Markocosmos

Figure 35-George Crumb, Makrokosmos, 1972. © George Crumb

En 1972, le compositeur George Crumb composa une suite de pièces pour piano amplifié qu’il nomma Makrokosmos. La grande particularité de cette œuvre est la forme de ses partitions. Chaque section est associée à un signe du zodiaque et possède une partition de forme différente. La pièce Spiral Galaxy possède une partition en spirale. (Figure 35). Il est aisé de comparer la partition musicale avec une courbe paramétrée qui progresse au gré des mesures comme le fait Granville. On peut trouver un modèle similaire de représentation du temps dans le jeu Wallis’ New Game of Universal History and Chronology de 1840 dans lequel les joueurs déplaçaient leurs pions le long d’une série de moments historiques disposés chronologiquement en spirale avec le présent situé au centre (Rosenberg et Grafton, p. 194-195). (Figure 36)

Figure 36: John Wallis

Figure 36- John Wallis, Wallis’ New Game of Universal  History and Chronology ,Londres, 1840. http://alteagallery.com/stock_detail.php?ref=13893&search=

Une telle représentation du temps a également été utilisée dans le cadre du jeu The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden, in Germany (1631). (Figure 37) Kunzle remarque que la spirale suggère autant la continuité des victoires que la précision mathématique des déplacements du roi (Kunzle, p. 74-75). Les Yanktonais d’Amérique du Nord semblent avoir également utilisé une trame de temps en spirale dans la présentation de l’Histoire (Rosenberg et Grafton, p. 157). Le modèle le plus élaboré est sans doute celui du rabbi Jacob Bloch de l’Oregon qui proposait un modèle en spirale où le temps au centre représentait le passé et évoluait plus rapidement que celui plus à l’extérieur de la spirale qui représentait le temps plus proche du présent. Cette stratégie visait à éviter les nombreux trous laissés dans le lointain passé dans les chartes linéaires, espaces vacants qu’impliquait une moins grande connaissance des évènements de l’histoire antique (Rosenberg et Grafton, p. 200-202).

Figure 37: The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden

Figure 37: The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden, in Germany (1631) Tiré de l’ouvrage de Kunzle

En bande dessinée, Scott McCloud envisagea la possibilité de construire des histoires en spirale puisqu’il présente une suite de cases prenant une telle forme sur son canevas infini en arrière-plan d’une de ses cases. Il ne fait que suggérer cette utilisation, il n’insère pas la spirale comme structure des cases dans son ouvrage (McCloud 2000, p. 223). L’auteur Joe Matt fait un usage narratif d’une spirale dans l’une des pages de son journal Peepshow : the Cartoon Diary of Joe Matt. De la case supérieure droite de la page, le lecteur doit suivre l’auteur dans un parcours en spirale qui se termine au centre de la page (Matt 1999, p. 9). (Figure 38)

Figure 38: Joe Matt Peepshow

Figure 38-Joe Matt, Peepshow: the cartoon diary of Joe Matt , 1999. © Joe Matt

Cet exemple démontre bien l’utilité de la spirale dans la présentation d’une histoire sur une durée finie. L’auteur utilise bien les notions de direction et de forme de la courbe paramétrée. Le changement constant de direction du personnage et de la courbe paramétrée souligne le manque de référents psychologiques du personnage et finalement l’auteur utilise la forme de la spirale pour piéger son personnage au centre de l’histoire. Les deux plus beaux exemples restent néanmoins ceux dessinés par Marc-Antoine Mathieu dans le second tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves : Le Processus. À la page 37, le protagoniste parcourt une spirale qui non seulement aboutit au centre de la page, mais également sur la page suivante. (Figure 39)

Figure 39: Julis Corentin Acquefawue par Marc-Antoine Mathieu

Figure 39: Mathieu, Marc-Antoine. 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus, Paris : Éditions Delcourt. © 1993 Delcourt Productions

L’effet de profondeur renforce l’idée du point de fuite. La fin de l’histoire prend une forme similaire; la dernière page du récit présente une spirale de cases dans laquelle, théoriquement, l’histoire continue indéfiniment (Mathieu 1993, p. 46). (Figure 40)

Figure 40: Julius Corentin Acquefaque par Marc-Antoine Mathieu

Figure 40- Mathieu, Marc-Antoine. 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus, Paris : Éditions Delcourt. © 1993 Delcourt Productions

Dans le but de rendre plus palpable cette idée d’histoire sans fin, un utilisateur anonyme a proposé en 2003 une histoire en spirale dans laquelle le lecteur pourrait zoomer infiniment sur son écran d’ordinateur. L’utilisateur amenait l’idée de coder un programme pouvant donner cet effet d’optique. L’idée ne semble pas avoir trouvé preneur (23). (Figure 41)

Figure 41

Figure 41- Proposition d’un modèle pour une histoire en spirale infinie. Source : http://www.zwol.org/forum/viewtopic.php?t=1284&sid=29afe7eb537b284815d2d075b9389c13

 

Dans le domaine des jouets optiques, il existe un exemple de disque de zootrope sur lequel la progression du temps s’effectue en spirale (24) (Willoughby, p. 55). Les implications d’une courbe paramétrée qui possède cette forme de représentation en spirale sont multiples, principalement sur des histoires possédant au moins un infini temporal. Plusieurs types de spirales existent : il y a la spirale logarithmique, la spirale de Theodorus, d’Archimède, de Fibonnacci, le lituus, la spirale hyperbolique et d’autres. Nous pouvons classifier les spirales en trois grandes catégories : les développées, la spirale d’Archimède et les spirales de croissance (25) (Lauwerier, p. 55-64). La définition de la développée étant quelque peu complexe, nous l’omettrons dans cette analyse. La spirale d’Archimède se caractérise pas la distance constante entre ses branches (Lauwerier, p. 60) comme nous pouvons le voir dans Wallis’ New Game of Universal History and Chronology. Un second exemple de spirale d’Archimède est la spirale de Fermat. (Figure 42) Cette spirale diffère par le fait qu’il n’y a pas un point de convergence de la courbe au centre. En fait elle est constituée de deux segments se rejoignant au centre de sorte que si l’on suit un segment jusqu’au centre on se retrouve ensuite à suivre l’autre segment qui s’éloigne du centre.

Figure 42

Figure 42- Exemple de spirale de Fermat. http://wonderfl.net/c/zcm8. © Kayak Inc

Si nous voulons faire une modélisation formelle de la spirale à l’aide de la courbe paramétrée, plusieurs options sont possibles. Un exemple courant est une spirale de croissance, la spirale logarithmique f(t)=(etcos(t),etsin(t) (Pressley, p. 8). Cette courbe a la particularité d’avoir un point de départ, mais pas de point final si l’on définit t sur l’intervalle [0,∞ [ où le point initial se retrouve près du centre et d’où ensuite la spirale s’éloigne infiniment. Si nous définissons le temps sur l’ensemble des réels alors la spirale s’approche infiniment de l’origine lorsque le temps diverge vers l’infini négatif. Il est également possible de permuter ces deux points en inversant le signe du paramètre temporel.

Nous pouvons choisir de représenter une histoire infinie de plusieurs manières. Soit en lui donnant un début, mais pas de fin, et ce d’une manière difficilement représentable puisque cette fin peut diverger dans l’espace, soit en faisant l’inverse. En inversant le sens de la courbe paramétrée, nous obtenons une histoire sans début, mais avec une fin fixe et représentable au centre de la spirale. Nous pouvons donc de deux manières similaires représenter une histoire sans début ni fin : avec soit le début ou la fin comme représentable à l’infiniment petit centre et l’autre comme abstrait divergent vers l’infiniment grand. Un cas intéressant peut également être construit à partir de la spirale de Fermat. Dans ce cas, l’infini du passé et l’infini du futur divergent vers l’infiniment grand du plan. La forme particulière de la spirale de Fermat permettrait aussi de représenter un évènement important au centre et de mettre en corrélation les éléments du passé et du futur en les associant radialement le long de la spirale.

Nous devons alors faire face à une problématique déjà rencontrée par M. C. Escher lorsqu’il voulait représenter l’infini à l’aide de ses pavages du plan. En fait, lorsqu’il a terminé son estampe Étude d’un remplissage du plan avec reptiles, il a compris qu’il arrivait à représenter l’infini théoriquement par son pavage, mais qu’en pratique il lui faudrait poursuivre ses dessins indéfiniment dans toutes les directions (Escher, p. 44). Un problème similaire se produit avec De plus en plus petit (1956) (Locher, p. 219), le point de fuite au centre représente l’infini, mais l’infinité des reptiles qui divergent au-delà n’arrive pas à bien cerner l’infini. Notre situation est similaire dans le sens où nous pouvons nous poser la question à savoir comment représenter fidèlement le double infini du temps par une seule courbe. En gardant l’idée de spirale, nous arrivons à bien cerner le temps de l’infini qui disparaît de plus en plus petit au centre, mais celui de l’infini qui diverge en temps et en distance par rapport au centre du plan peut, comme pour Escher, nous sembler insatisfaisant. Dans le modèle de Bloch, cela détermine un futur réel non encore réalisé, mais dans le cas d’une diégèse où nous pouvons vouloir présenter un temps futur infini.

Figure 43: George Crumb Makrocosmos

Figure 43- Georges Crumb, Makrokosmos, 1972. © Georges Crumb

En fait, il nous est possible d’ajouter un deuxième point à l’infini afin d’y faire converger la seconde extrémité de la courbe paramétrée infinie. Encore une fois, George Crumb fit preuve de créativité et proposa une partition construite à partir d’une double spirale. Toujours dans l’œuvre Makrocosmos, cette partition pour Aquarius est construite sur une sorte de double spirale finie, finie car les lieux d’enroulement ne se font que pour une section finie. (Figure 43) Huang Yong Ping introduisit cette même idée dans l’œuvre Carte du Monde (Rosenberg et Graton, p. 216). (Figure 44)

Figure 44

Figure 44- Huang Yong Ping, Carte du Monde, © 2010 Princeton Architecturl Press

Dans un globe terrestre déroulé en double spirale, l’artiste présente la chronologie de désastres futurs. Ces deux exemples pointent vers la possibilité de représenter deux balises de l’infini dans un espace restreint. Une représentation formelle d’une double spirale peut-être vue dans la spirale de Cornu (26) (Pressley, p. 33). Cette double spirale possède la particularité de converger vers deux points précis (27) (Pressley, p. 32-33). (Figure 45).

Figure 45

Figure 45-Spirales de Cornu, Source: Wolfram Mathworld.

Figure 46: Escher Tourbillons

Figure 46: M.C. Escher, Tourbillons, 1957, xylographie, 1957. 45 x 23,5 cm

La gravure Tourbillons (1957) de Escher représente bien ce principe. Deux séries de poissons disparaissent en convergeant à l’infini en s’enroulant autour de deux points fixes. (Figure 46) Il existe également une version à trois spirales équivalente à la spirale de Fermat dans le sens où il n’y a pas de convergence infinie vers le centre (28). En fait, cette triskèle représentant une déesse celtique ne diverge pas non plus vers l’extérieur du plan. (Figure 47) Il existe une variante de cette triskèle dans laquelle un des segments de chacune des trois spirales diverge vers l’infini. La construction d’une telle triskèle revient à l’équivalent d’un graphe en étoile de longueur infinie puisque ces trois brins qui forment les spirales partent d’un point central et ne se recoupent jamais. (Figure 48) Nous pouvons trouver d’autres manières de construire des doubles spirales, nous verrons celles-ci dans un chapitre ultérieur.

Figure 47

Figure 47-Triskèle, 2014 © ClipArt Best. Source: http://www.clipartbest.com/clipart-jixeqx6iE

Figure 48

Figure 48- Triskèle, © Zazzle Inc. Source: http://www.zazzle.ca/triskele_spirals_sticker-217523299385155614

Les cas de la spirale finie de Joe Matt et de la spirale de Fermat démontrent bien l’importance de la spatio-topie. La série de cases, de par sa forme, peut permettre une interprétation plus précise de l’histoire. Joe Matt utilisa la forme de la spirale pour produire un effet claustrophobique et pour laisser sous-entendre que son personnage était pris dans un cul-de-sac. La géométrie de la spirale d’Archimède permet quant à elle d’assurer de ne laisser aucun espace vacant entre les branches de la spirale allant vers l’infini. Ces cas sont de beaux exemples d’utilisation de la spatio-topie et des caractéristiques géométriques de la courbe paramétrée. La définition et les propriétés de l’espace sur laquelle la spirale se développe peuvent de plus mener vers la construction de récit-cartes. Par exemple, si nous considérons le centre de la spirale comme un lieu de grande richesse, une spirale tourbillonnant vers ce centre peut servir à représenter une lente progression vers l’avarice.

Les spirales sont fort intéressantes puisqu’elles soulignent un point important du canevas infini. Le plan est par définition infini par sa grandeur, par son incommensurabilité. Or, si nous nous basons sur la notion de plan cartésien, nous obtenons le résultat suivant concernant l’infini de ses détails : le plan cartésien est défini par ses deux coordonnées sur les réels, et par la densité des réels, ses points sont denses (Labelle, p. 10). C’est-à-dire que nous pouvons zoomer à l’infini sur n’importe quel point du plan sans qu’il n’y ait de lieu vacant. C’est aussi ce qui nous permet de réaliser ces spirales qui convergent vers ces points qui représentent le lieu du temps à l’infini. Sur papier, la représentation de telles narrations devient rapidement problématique puisque physiquement il nous est impossible de dessiner l’infiniment petit, problème qui peut être pallié par l’utilisation de l’ordinateur.

Dans la lignée déjà mentionnée des différents paradoxes liés au contiuum infini, les recouvrements de l’espace par une courbe ont fait couler beaucoup d’encre. Si cette caractéristique semble naturelle pour Kandisky (1970, p. 69), elle requiert plusieurs précisions de la part des mathématiciens. En particulier, tel que démontré par Eugen Netto, même s’il est impossible de mettre la ligne des réels en bijection avec le carré à l’aide d’une fonction continue (c’est-à-dire qu’il est impossible d’associer à chaque point de la ligne un seul et unique point du carré et vice-versa à l’aide d’une courbe continue), il est tout de même possible de faire une surjection ; en d’autres mots nous pouvons associer à chaque point du carré un point de la ligne (Sagan, p. 2). En fait, certains points du plan sont associés à plusieurs points de la ligne. Cette restriction est précisément celle qui empêche d’avoir une bijection entre les deux espaces. Dans la suite des débats sur ces paradoxes sont apparues les courbes de recouvrement de l’espace, c’est-à-dire des courbes qui théoriquement recouvrent entièrement une section de plan. Nous devons la première courbe de recouvrement de l’espace à l’italien Giuseppe Peano en 1890 (Peano, p. 157-160), mais à David Hilbert la popularisation de sa géométrie (Sagan, p. 10). (Figure 49)

Figure 49: Peano Curve -courbe de Peano

Figure 49: António Miguel de Campos, Peano Curve, 2007, JAVA animation. Source: Wikipédia.

La construction de la courbe de Peano se base sur un processus itératif. À partir d’une courbe de longueur finie, nous introduisons des segments de courbe semblables à la courbe initiale, mais à une plus petite échelle. Avec un choix adéquat de cette courbe et une itération à l’infini de l’insertion des segments de courbes, on arrive à recouvrir entièrement une section de plan. Plusieurs courbes similaires ont ensuite été proposées par différents mathématiciens tels que Sierpínski, Moore (Moore, 1900), Osgood (Osgood, 1903), Hilbert, Lebesgue (Delahaye 2004a, p. 92-93).

Nous avons déjà mentionné que les pages autoréférentielles contenant la mise en abyme infinie d’une case fait partie du répertoire de certains artistes. À l’opposé, le défi de la mise en abyme d’un nombre infini de segments de droite à l’intérieur d’un même segment initial reste encore à relever. Si nous ajoutons le critère du recouvrement du carré par l’itération à l’infini de ces courbes nous devrons alors également considérer les inévitables points qui seront recouverts plus d’une fois dans cette narration, donc inclure comme élément de l’histoire l’intersection de ces segments de courbes par eux-mêmes.

Nous arrivons à représenter l’ensemble de l’histoire comme ligne temporelle en considérant la trame temporelle qui lie entre elles les différentes cases d’une histoire en cadrant cette trame à l’intérieure d’une courbe paramétrée. En évitant la formation de cycle, l’agrégation de différents segments de courbes permet la construction de graphes en arbre qui peuvent servir la représentation macroscopique des histoires. La forme de ces arbres peut guider la création et la lecture de ces histoires. En ajoutant des points à l’infini, les histoires représentées peuvent posséder un temps diégétique infini. Finalement, l’utilisation de courbes de longueur peut mener vers de nouveaux défis tels que le recouvrement théorique d’une portion de plan et le recouvrement du plan par une histoire.

Notes:

9-Du point de vue des mathématiques, une courbe est un objet à une dimension. Dans notre cas, nous admettons une certaine largeur, celle nécessaire à l’inclusion des cases.

10-http://www.mizar.org/

11-La Bible Moralisée est un manuscrit du Moyen Âge qui présente en image plusieurs passages de la Bible. Elle fut probablement commandée par Isabelle de France au 13e siècle (Haussherr, p. 7).

12-Le mot exact dans le cas de la Bible Moralisée est médaillon. (Haussherr, p. 3)

13-Anonyme. Bible Moralisée : Faksimile-Ausgabe im Originalformat des CODEX VINDOBONENSIS 255 der Österreicjischen Nationalbibliothek. Paris : Club du Livre : Graz Akademische Druck-u. Verlasanstalt, 1973, p. 104. Un autre exemple d’apparition hors cadre se trouve à la page 112. Le cas le plus particulier se retrouve à la page vingt alors que le cadre est déformé pour prendre place dans le médaillon.

14-Ibid, p. 2. Page 41 du Commentarium.

15-Traduction libre de l’auteur.

16-Nous utilisons le mot charte avec sa définition anglaise de ‘’document organisationnel’’ puisque cette définition fait état précis du type de document dont il est question et qu’un terme équivalent en français n’existe pas.

17-Pour la définition complète voir Labelle, Jacques et Armel Mercier. 1993. Introduction à l’analyse réelle. Montréal: Modulo, p. 99.

18-En fait, tout un chapitre est dédié à Hogarth et un autre est dédié à ses successeurs.

19-Il est à spécifier que Smolderen oppose tout de même les modes de lectures de l’art séquentiel et du travail de Hogarth.

20-Par distance euclidienne nous nous référons à la distance dans le plan au lieu de la distance définie dans le graphe.

21-http://e-merl.com/chrono.htm

22-http://e-merl.com/cells.htm

23-http://www.zwol.org/forum/viewtopic.php?t=1284&sid=29afe7eb537b284815d2d075b9389c13

24-Lorsque ce disque est utilisé dans sa fonction rotative initiale, cette visibilité de la continuité de temps en spirale disparait quelque peu au profit d’une progression radiale.

25- Elles portent ce nom car on les retrouve souvent dans la nature.

26-Cette spirale est construite par la variation linéaire de sa courbature.

27-Cette propriété découle de sa définition. En effet, plus sa courbature tend vers l’infini, plus elle s’enroule en sens antihoraire vers des arcs de cercle ayant une courbature grande, et donc des arcs de cercle ayant des rayons de plus en plus petits.

28-Notons que ces spirales apparaissent dans la bande dessinée Meanwhile (Shiga, 2010). Cette insertion ne présente qu’une forme en spirale de la courbe paramétrée, aucune case n’y apparaît et la spirale ne diverge pas indéfiniment vers l’extérieur.

L’image retrouvée : de l’anamorphose à la transformation conforme (Partie 3)

DISCUSSION

Il existe une grande variété de distorsions que l’on peut appliquer à l’image. Elles sont toutes aussi surprenantes les unes que les autres et c’est ce qui en fait l’attrait pour plusieurs artistes. Certains types de distorsions, même simples, garantissent l’impossibilité de retrouver l’image initiale comme il en est le cas de la méthode de cryptographie visuelle de Moni Naor et Adi Shamir. . Or, quels sont les points communs et divergents qui nous permettent dans le cas des anamorphoses et des transformations de Möbius de remonter vers l’image? Quelques observations sont de mise. Premièrement, on doit constater qu’il est possible de remonter vers une image sans posséder un point de vue particulier dans l’espace. Le cas de la cryptographie est un exemple évident et il en est de même pour les transformations de Möbius. En effet, toute transformation de Möbius, aussi déformante soit-elle, possède une transformation de Möbius inverse qui permet de ramener l’image à son image originale (Gamelin 63-64). De sorte que d’une image déformée du vidéo de Tokuzawa, il est possible de ramener l’image avec le nadir au centre et le zénith comme bordure de l’image, c’est-à-dire à l’image équivalente à une Wee Planets de Duret-Lutz prise sans distorsions immédiatement après la projection stéréographique. Il est de manière équivalente possible de retrouver la position initiale de la sphère de projection avant les transformations sur celle-ci. Il existe donc des remontées vers l’image qui soit strictement techniques et non imputables à un point de vue particulier. Cette caractéristique semble être partagée par certaines anamorphoses. Par exemple, le retour à l’image dans le cas des anamorphoses cylindriques, comme celle d’Orosz, est impossible sans l’outil nécessaire.

En comparant l’anamorphose d’Orosz et les anamorphoses cylindriques des Pays-Bas du 18e siècle que l’on retrouve dans la collection de H. Tannenbaum un point particulier nous frappe, point qui s’applique tout aussi pertinemment au travail de Duret-Lutz : la peinture d’Orosz est cohérente et agréable à regarder même si on ne fait pas le retour à l’image originale (dissimulée dans ce cas) contrairement à celles de la collection de Tannenbaum qui semblent chaotiques sans le miroir cylindrique. Ce principe va encore plus loin dans le cas de Duret-Lutz où le retour à l’image n’a pas lieu de se faire. L’œuvre est l’image déformée et la petite planète constitue en soit un monde à part entière sur laquelle on s’attend à voir ressurgir le petit prince. Les images sont vendues telles quelles par l’artiste, sans aucune piste pour la reconstruction. Il y a donc possibilité de comprendre une image sans avoir à remonter vers l’image originale.

Il devient alors intéressant de chercher à comprendre ce qui permet à une image de conserver une cohérence. Cette possibilité est-elle engendrée les mêmes principes des anamorphoses qui permettent la transition d’image chaotique à l’image compréhensible en se positionnant au point de vue approprié?

La piste qu’il semble naturelle de prendre vient de la définition même de transformation conforme. Comme mentionné auparavant, ces transformations conservent les angles d’incidence aux croisements de lignes. En regardant une gravure de Schön ou les graffitis du TSF Crew, l’image comme telle ne semble aucunement préservée Cependant, si le spectateur arrive à reconnaître l’image du point de vue adéquat, c’est bien que l’image retrouve les bons angles d’intersections en arrivant sur la rétine. On a donc une transformation conforme, en plusieurs étapes, entre l’image originelle avant sa construction déformée et l’image finale rétinienne.

L’image anamorphique rétinienne possède une autre caractéristique : c’est une homothétie. C’est-à-dire qui même si l’image rétinienne est beaucoup plus petite que l’originale, les longueurs sont toutes proportionnellement plus petites par un certain rapport d’homothétie k, et les aires le sont par le carré de ce rapport. Un argument simple pour le démontrer serait de faire une triangulation de l’image, c’est-à-dire de la découper en une somme finie de petits triangles. Pour que deux triangles soient homologues, il suffit que deux de leurs angles soient égaux, ce qui découle directement de la discussion du paragraphe précédent. Trivialement, les images de la projection stéréographiques et des transformations de Möbius ne conservent pas les aires. Par exemple, pour la projection stéréographique, un cercle minuscule autour du pôle sud se retrouvera projeté vers un immense cercle avec son contour très loin de l’origine. Par les cas de l’inversion, on peut voir que les aires ne sont pas proportionnelles.

Il semble pour l’instant que les ressemblances s’arrêtent ici. La conformité est partagée dans tous les cas, mais pas l’équivalence des aires. Tournons-nous maintenant vers la psychologie de la perception afin de voir comment celle-ci peut souligner l’importance de ces caractéristiques dans la reconnaissance d’image

LA THÉORIE DE LA RÉCEPTION DE L’IMAGE

Au cours du dernier siècle, de grandes avancées ont permis une meilleure compréhension de notre système visuel. Ces découvertes ont permis entre autres d’expliquer un grand nombre d’illusions d’optique et de mieux comprendre le fonctionnement de la réception des objets visuels. Dans un article important, Irving Biederman a mis sur pied sa théorie des géons, ou constituants visuels des objets. Il présente entre autres l’effet de l’ablation de certains éléments d’objets visuels. L’un des résultats importants concerne les lignes et leurs intersections. Dans une expérience, il effaça 50% des lignes de deux manières différentes. Une fois en ne touchant qu’aux segments milieux des lignes et l’autre en touchant aux intersections. Il observa que les sujets avaient beaucoup plus de difficulté à reconnaître les objets lorsque des intersections de lignes avaient été enlevées. Il en va de même aux constituants. Par exemple, un avion auquel on a enlevé une aile est plus difficile à reconnaître que si l’on enlève une bonne part des intersections des lignes qui le représentent. La conclusion est que les intersections de lignes sont des constituants extrêmement importants pour la reconnaissance d’image (135-140). Pour se convaincre de l’importance de l’angle entre les lignes, on peut regarder dans une chambre d’Ames et voir les gens y changer de grandeur. Comme l’explique Ramanchandram, les présuppositions concernant les angles entre les lignes d’une pièce sont si fortes qu’elles outrepassent le fait absurde que les gens y changent de forme.

Cette expérience semble expliquer pourquoi le spectateur malgré la difformité de l’image anamorphique plus traditionnelle, est apte à reconstituer et reconnaître cette image. Ce n’est cependant pas une grande surprise puisque l’image rétinienne est une homothétie de l’image originale. L’expérience devient fort intéressante lorsqu’on l’applique aux images obtenues par transformations conformes.

Il est certain que la conservation des angles doit être jumelée à d’autres principes de base de la reconnaissance d’objet, notamment ceux de la gestalt. Ces principes sont simples mais évocateurs : un objet qui est entouré doit être la figure, la planète de la figure 12 est entouré de bleue; la partie la plus petite doit être la figure; ce qui est symétrique à plus de chance d’être une figure; les lignes parallèles déterminent une même figure; ce qui est de la même couleur doit appartenir à la même figure (Wolfe 87-89). Observons par exemple la figure 15 avec ces considérations en concert avec la conservation des angles. Il y a ici une difficulté à comprendre que le sol est un objet car il entoure plutôt que d’être entouré comme dans le cas des Wee Planets. Il reste tout de même certains éléments aisément identifiables. Par exemple, du sol partent des lignes perpendiculaires à celui-ci mais parallèles l’ l’une à l’autre. Ensuite, ces lignes parallèles sont proches et contiennent toutes la même couleur brune donc devraient être unies en une figure. Finalement, de ces parallèles se ramifies des perpendiculaires contenant également du brun. On reconnaît donc des arbres.

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Figure 15: A Hole in the Ground de Seb Pzbr

Les mêmes principes s’appliquent pour la troublante vidéo de Tokuzawa. Le regroupement des objets et les angles d’incidences restant intacte de sorte que l’on arrive à déchiffrer les éléments de la scène. Il reste que, en congruence avec notre système visuel, l’image nous semble plus naturelle lorsque les points à l’infini sont plus éloignés les uns des autres, lorsque l’image est une Wee Planet avec un point de fuite en bordure de l’image. Lorsque les deux points noirs sont trop rapprochés, un autre phénomène se produit. Retournons à la théorie de la perception pour le comprendre.

Dans son même article sur la théorie du système visuel, Biederman discute de l’effet de certaines illusions d’optique dont le fameux triangle de Penrose  (Figure 5). En revenant sur l’importance des intersections, il discute du fait que chacune des intersections de lignes aux coins du triangle nous impute une vision tridimensionnelle de l’objet, même si son sens global est contradictoire. Les objets peuvent donc être localement cohérents mais tout en restant difficiles à interpréter dans leur ensemble (Biederman 135-140). C’est un effet que l’on retrouve couramment chez les artistes adeptes d’illusion comme Escher ou Orosz. Il semble que le même effet se produise avec la vidéo de Tokuzawa, principalement lorsque les deux points de fuite se rapprochent. N’ayant pas l’habitude de percevoir le monde ainsi, nous n’arrivons pas à en faire un sens : même si techniquement la scène est stéréoscopique, nous la percevons comme se déroulant seulement en avant, ou derrière l’écran. Les transformations conformes sont donc des outils importants qui permettent de représenter différemment les espaces en trois dimensions. Le cas de la projection stéréographique et les images de Duret-Lutz nous montrent comment il est possible ainsi de faire un espace tridimensionnel abstrait mais qui reste parfaitement intelligible alors que le travail de Tokuzawa démontre que l’on peut représenter un monde localement intelligible mais difficile à interpréter dans son ensemble.

Comme nous l’avons vu, le terme anamorphose est assez générique et ne permet pas à lui seul de bien rendre compte des nuances qui forment l’ensemble des œuvres que l’on peut trouver dans cette catégorie. Résumons un peu les différentes observations obtenues.

L’étymologie du mot anamorphose fait référence à la possibilité de retourner vers une image à partir d’une image modifiée. L’acceptation conventionnelle du mot permet l’usage d’un outil pour retrouver cette image originale. La définition de Baltrusaitis du mot implique le positionnement du spectateur à un point de vue particulier. Des images comme les photographies de Duret-Lutz permettent le retour vers une image, mais cela ne constitue pas le but de l’œuvre. Un point de vue particulier du spectateur n’étant pas requis, cela empêche ces œuvres d’être considérées comme anamorphoses au sens de Baltrusaitis même si un processus permet de retrouver l’image originale. Ces différences n’empêchent pas les anamorphoses et les images obtenues avec la projection stéréographique et les transformations de Möbius de partager certaines caractéristiques importantes à leur réception, celle de la conservation des angles d’intersection des courbes. Ce point commun permet une exploration de notre perception de l’espace tridimensionnel.

Cette caractéristique de conserver les angles est une caractéristique des transformations conformes dont les transformations de Möbius et la projection stéréographique ne constituent qu’un échantillon.  La compréhension du lien entre conformité et réception de l’image peut mener vers deux considérations importantes. Premièrement, lorsqu’une image est identifiable même après modifications, il semble légitime d’aller vérifier si la transformation est conforme. Prenons un exemple précis. En 2003, le mathématicien H. Lenstra et son équipe ont réussi à comprendre la transformation qu’Escher avait tenté d’effectuer dans sa lithographie Prententoonstelling , (L’exposition d’estampes, 1956). La transformation était d’une telle complexité qu’Escher n’arriva pas à terminer son œuvre et il fallut attendre près de 50 ans pour voir Lenstra et son équipe y parvenir (Lenstra 104-105). Depuis, plusieurs photographes ont entreprit de reconstruire des images similaires en utilisant les même transformations. Les résultats sont très complexes mais restent presque parfaitement intelligibles. Lenstra confirme notre intuition en définissant la relation mathématique utilisée pour modéliser et compléter le travail d’Escher. Cette transformation à base de fonctions exponentielles et logarithmes est une transformation conforme (Gamelin 449). est étonnant de voir que les principes de projections peuvent également servir à définir cette relation. En effet, la transformation décrite par Lenstra peut être décrite en passant par la déformation d’une image projetée sur un cylindre (Carphin, Rousseau 21-24).

Inversement, il pourrait être intéressant d’expérimenter avec une série de transformations conformes et observer à quel point les images restent intelligibles. Ces expériences pourraient sûrement donner lieu à plusieurs œuvres intéressantes qui reviendraient confronter notre perception de l’espace. Pour le moment, l’utilisation cinématographique des projections reste une pratique limitée à quelques artistes spécialisés mais il est évident que ces techniques pourraient mener à des séquences intéressantes notamment dans le domaine de l’humour et du vidéo-clip. La transformation d’Escher-Lenstra donne lieu à quelques vidéos de zooms sur une image fixe infinie, mais il est à croire que cette technique serait intéressante dans un cadre narratif. On voit en autre que, puisque par une image du type de Tokuzawa on arrive à représenter une sphère tridimensionnelle, en juxtaposant plusieurs de ces images on arriverait à représenter un espace avec un grand nombre de dimensions. La production de dédales avec un grand nombre serait également possible en juxtaposant sphériquement plusieurs images de ce type.

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Figure 16:Obligatory Droste Self Portrait par Josh Sommers

CONCLUSION

Nous avons tenté de comprendre et de classifier quelques œuvres en les considérant dans la perspective de l’anamorphose. À l’aide d’un retour sur l’histoire des théories de la perspective nous avons pu entreprendre une analyse qui contient l’idée des points à l’infini. Utilisant la projection stéréographique et finalement les transformations conformes, nous avons réussi à comprendre davantage les photographies d’Alexandre Duret-Lutz et certaines vidéos que l’on retrouve sur internet. Une fois cette compréhension acquise, la comparaison avec la définition d’anamorphose et des différents types d’anamorphoses nous ont à la fois permis d’exclure les photographie de Duret-Lutz des anamorphoses et de trouver un point commun avec celles-ci : la conformité. La théorie de la perception a permis de consolider notre analyse de la conformité ainsi que de confirmer son importance comme élément d’analyse dans notre entendement de la perception de l’espace réel ou virtuel. Finalement, nous avons ouvert des pistes d’analyse et d’explorations artistiques se basant sur le concept des transformations conformes. Les isométries étant déjà bien présentes dans les arts visuels, il serait fort intéressant de piger dans le grand catalogue des projections et transformations du plan pour tenter d’élaborer des œuvres et hypothèses sur les transformations qui conservent les aires afin de mieux saisir leur importance.

L’image retrouvée : de l’anamorphose à la transformation conforme (Partie 2)

LES PROJECTIONS STÉRÉOGRAPHIQUES ET AUTRES VARIATIONS

Les adeptes de projections, artistes ou scientifiques, ont développé au fil des siècles une multitude de techniques différentes pour faire passer les images d’un type de surface à une autre. Évidemment, une des questions découlant de la prise de conscience de la sphéricité de la Terre était celle de la projection d’une sphère vers le plan (et vice versa) afin de permettre des cartes précises. La recherche d’une projection adéquate fit apparaître des techniques, comme celle de Mercator, avec leurs avantages et désavantages. Les types de projection sont nombreux et contiennent tous certaines nuances qu’il faut bien savoir déceler.

Une des projections les plus importantes, étudiée depuis l’antiquité (Snyder 154), est connue sous le nom de projection stéréographique. Dans cette projection, on place la sphère sur un plan en la faisant reposer sur son pôle sud et du pôle nord on trace une ligne droite qui traverse la sphère en un point et finalement rencontre le plan. Le point sur le plan est le point de projection de celui de la sphère, c’est l’endroit où ce point se retrouve après la projection (Figure 11). Si l’on fait la transformation inverse, chaque point revient à son point initial sur la sphère. Plus on s’éloigne vers l’infini dans n’importe quelle direction du plan, plus on se rapproche du pôle nord après la transformation inverse qui ramène les points sur la sphère (Gamelin 11-13); (Pressley 109-111). La bordure infinie du plan dans toute les directions, l’horocycle, est un point à l’infini lorsque considérée dans cette projection.

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Figures 10: Anges et démons de Esher

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Figure 11: Projections stéréographiques

En cherchant des images de projections stéréographiques, on tombe rapidement sur le travail d’Alexandre Duret-Lutz, photographe et informaticien français. (Figures 12 et 13) Ces images à la fois belles et vaguement humoristiques laissent difficilement entrevoir l’application de la projection stéréographique. Heureusement, Duret-Lutz explique très clairement la démarche qu’il a suivi afin d’obtenir son résultat. . Il débute en prenant des photographies d’un lieu à 360° horizontalement et à 180° verticalement. Ces photos, raboutées toutes ensembles peuvent former une sphère dans laquelle se trouvait la caméra au moment de la prise des clichés avec le zénith comme pôle nord et le nadir comme pôle sud. Cette sphère est l’équivalent photographique d’une Termesphere, mais virtuelle et perçue de l’intérieur. Une fois cette sphère virtuellement construite par ordinateur, Duret-Lutz applique la projection stéréographique. . C’est la raison pour laquelle dans les Wee Planets comme elles sont souvent nommées sur internet, les objets qui s’élèvent vers le ciel le font en direction de la bordure de l’image puisque cette bordure, en toute direction, représente le point à l’infini et donc le zénith. La liste des photographies faisant usage de cette projection est longue et donne lieu à une panoplie d’effets forts intéressants.

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Figure 12 : Wee Planet par Alexandre Duret-Lutz

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Figure 13: Wee planet par Alexandre Duret-Lutz

Si le principe s’applique à la photographie, il est normal qu’en remplaçant les caméras photographiques par des caméras vidéo on puisse obtenir des vidéos similaires et il semble que l’une de ces premières expériences ait été faite en 2008 par Nate Bolt. Depuis, d’autres passionnés de projection ont suivi la tendance. On peut souligner en particulier le très beau travail de Mark Macaro.. On trouve même désormais des travelings de caméras qui s’effectuent sur des Wee Planets, ce qui revient à dire que le pôle nord de la projection bouge en permanence comme dans Zach Walks Around dans lequel Zack Palmer utilise une sphericam. D’autres vidéos poussant encore plus l’expérimentation ont vu le jour et nous y reviendrons plus loin dans ce texte.

CARACTÉRISTIQUES DES PROJECTIONS ET COMPRÉHENSION DU TRAVAIL DE DURET-LUTZ

Premièrement, il faut préciser qu’il existe différentes manières de projeter une sphère sur un plan. Les projections utilisées par Mercator, Miller ou Cassini par exemple projettent la sphère à partir de son centre sur un cylindre qui l’entoure (Synder 37-38). D’autres projettent la sphère sur un cône que l’on déplie par la suite pour obtenir une carte, c’est le cas des projections de Albers ou de Lambert. Malgré de nombreuses caractéristiques intéressantes, ces projections ne semblent pas être utilisées dans la production de photographies artistiques pour l’instant et pour cette raison nous limitons notre intérêt à la projection stéréographique.

Les projections entre deux surfaces ont tendance à modifier certaines propriétés géométriques telle que la longueur ou l’aire. On sait désormais qu’une conséquence directe d’un théorème due à Gauss, le Théorème Egregium (remarquable), est qu’il n’existe aucune projection isométrique entre la sphère et le plan (Pressley 229 et 238). C’est-à-dire qu’il n’existera jamais une carte sur laquelle les longueurs sont proportionnelles à celles sur le globe. Ces longueurs se retrouvent obligatoirement rallongées ou rétrécies. Il y a principalement trois caractéristiques que l’on regarde lors d’une projection. Cette analyse en revient à une précision des interrogations d’Alberti, à savoir quelles sont les caractéristiques géométriques conservées entre deux perspectives (Dahan-Dalmedico, Pfeiffer128), ou dans notre cas entre deux images sur deux surfaces différentes après une projection. Si les longueurs sont conservées, on dit qu’il y a isométrie. Si les aires des sections sur la première surface sont conservées sur la seconde surface on dit qu’il y a équivalence. Finalement, ce qui nous intéresse ici, si les angles entre deux courbes qui se croisent sont conservés, on dit que la transformation est conforme. Conséquemment, on peut étudier la projection de certaines figures géométriques. Par exemple, on sait que pour la projection stéréographique, les cercles qui ne passent pas par le pôle nord sont envoyés vers des cercles sur le plan. Les cercles passant par le pôle nord correspondent à des lignes droites infinies dans le plan puisqu’elles vont d’un infinie à un autre, i.e., du pôle nord au pôle nord après la projection inverse (Gamelin 12-13).

L’effet d’envoyer les cercles vers les cercles est clairement visible dans le travail d’Alexandre Duret-Lutz. En prenant des photos en panoramiques circulaires sur la ligne d’horizon, autrement dit en 360° horizontalement, il crée un cercle avec l’horizon qui, dans la construction de la sphère virtuelle, se retrouve à être le cercle de l’équateur. Une fois la projection stéréographique appliquée, ce cercle équatorial est le cercle qui délimite la circonférence de cette petite planète que l’on voit. Ce cercle d’horizon devient alors cette fameuse ligne à l’infini qui permet une présentation particulière de l’espace.

Élaborons un peu sur les transformations conformes. Ce principe veut que si nous avons deux courbes qui se coupent perpendiculairement sur la sphère elles se couperont également perpendiculairement sur le plan. Évidemment, on doit avoir une définition d’angle qui convienne autant pour des courbes sur une surface sphérique que sur le plan. C’est pourquoi on utilise l’angle entre les droites tangentes aux deux courbes en leur point d’intersection (Gamelin 36-43). Il suffira de comprendre en fait que l’on sait calculer l’angle entre deux courbes sur une sphère ou un plan. Le point qui nous intéresse est le même qu’Alexandre Duret-Lutz tient à préciser dans son texte explicatif sur internet , c’est le fait que la projection stéréographique est une transformation conforme (Pressley 108-111; Snyder  154). Il précise très clairement que son travail n’est pas effectué à partir de la projection polaire (un autre type de projection) qui elle n’est pas une transformation conforme . Cette qualité d’être conforme a une grande incidence sur le résultat et parfois sur l’appréciation du résultat final. La qualité d’être conforme permet de conserver la forme générale (dans un sens large) des constituants de l’image et permet de reconnaître la scène. Ces détails seront approfondis dans la section sur la théorie de la perception. Nous avons pour l’instant deux constatations importantes : les Wee Planets sont construites à partir de la projection stéréographique et celle-ci est une transformation conforme.

Il semble qu’un certain bagage mathématique nous ait donné l’opportunité de comprendre un peu plus les Wee Planets d’Alexandre Duret-Lutz. On comprend qu’il y a conservation des cercles, conservation des angles et dilatation ou rétraction des longueurs. Or, il reste encore dans son portfolio quelques photographies qui portent à confusion. C’est le cas de la figure 14. Dans cette photographie, le sol semble former un immense cylindre au bout duquel le ciel siège. La distorsion des formes semble vaguement similaire aux autres photographies de Duret-Lutz mais le résultat global se distingue énormément de celui de la projection stéréographique. Toutes les projections que nous avons vues ou nommées jusqu’à présent avaient pour but de cartographier la terre, ou le ciel , mais aucune d’elles ne semble pouvoir donner le résultat que l’on observe. Pour comprendre l’effet obtenu sur cette photographie, il y a deux chemins possibles. L’un passe par la projection stéréographique et l’autre par les transformations de Möbius.

TRANSFORMATIONS DE MÖBIUS ET PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE

Dans le processus de création de ses images, Duret-Lutz fait la projection d’une sphère virtuelle qu’il a construite à l’aide de ses photographies à 360°x180°. Dans les projections stéréographiques qu’il fait pour ses images de planètes, il place le zénith comme pôle nord, point à partir duquel on tire les rayons qui définissent la correspondance entre les points de la sphère et ceux du plan. Or, rien ne l’empêche d’appliquer des modifications sur cette sphère avant de faire sa projection. En observant la figure 14, on voit que cette fois-ci le zénith se retrouve au centre au lieu d’en bordure de l’image et que la bordure de l’image est en fait le nadir de la caméra. Il y a donc inversion du pôle nord et du pôle sud, c’est-à-dire que le photographe a appliqué à sa sphère de projection une rotation de 180° verticalement avant de faire la projection. Logiquement, la rotation de la sphère ne modifie pas les angles entre les lignes sur la sphère et comme vu auparavant, la projection stéréographique conserve également les angles. Conséquemment, les objets dans la figure 14 conservent leurs formes générales et restent reconnaissables.

Ici, la question de la projection se complexifie largement et il nous faudra creuser plus profondément encore dans l’univers de la projection et des transformations de l’image. On aura besoin d’un nouvel outil : les transformations de Möbius.

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Figure 14: Photographie d’Alexandre Duret-Lutz

Avant tout, il nous faut connaître le plan complexe. Le plan complexe est comme le plan cartésien, la seule nuance est que les valeurs de l’axe des ordonnées sont des valeurs qui multiplient le nombre i =√-1. Par conséquent, si j’écris le couplet (2,3), cela revient à dire que j’ai deux en valeur réelle et 3i. Le nombre complexe résultant est z =2+3i. Tout point du plan est donc associé à un nombre complexe. Comme pour les nombres réels, on peut additionner, multiplier ou diviser un nombre complexe par un autre. La transformation t = a+z, où a est un nombre complexe fixe et z un nombre complexe quelconque.  Autrement dit, on ajoute à tous les points du plan la valeur complexe a. Il en résulte une translation du plan. De manière équivalente, on trouve que l’on peut aisément construire des dilatations, rétractions et rotations du plan complet. . Les transformations de Möbius sont les transformations de la forme (az+b)÷(cz +d), où a,b,c,d sont des nombres complexes fixes. Toute transformation de Möbius peut être construite à l’aide d’un nombre fini de dilatations, translations, rotations et inversions (Gamelin 65).

La dernière transformation mentionnée, l’inversion t =1÷z, est celle qui diffère quelque peu des transformations triviales. Elle prend le point à l’infini et le positionne au centre du plan, et inversement met le centre du plan au point à l’infini dans toutes les directions, ce qui est exactement l’effet observé sur la photographie de Duret-Lutz.

Pour bien comprendre les effets de cette inversion, le lecteur est invité à visionner la vidéo s’intitulant Möbius Transform Revealed par Douglas Arnold et Johnathan Rogness. Le film présente le lien qui existe entre la projection stéréographique et les transformations de Möbius. Cette connexion entre les deux types de transformation est fondamentale pour la compréhension des photographies de Duret-Lutz et une autre œuvre qui sera présentée dans le texte, une vidéo de Tokuzawa. Afin d’éclaircir ce lien revenons sur un point de vue plus théorique. En utilisant l’idée de Desargues d’ajouter un point à l’infini dans toutes les directions, on referme  le plan et on obtient le Extended complex plane, c’est-à-dire le plan complexe plus un point à l’infini, ce qui revient en fait à la sphère de Riemann, sphère qui représente le plan complexe avec son pôle nord comme point à l’infini. Cette sphère est équivalente à celle de la projection stéréographique. Il n’est donc pas surprenant qu’il existe un lien entre les modifications de la sphère et les transformations de Möbius.

Il y a plusieurs caractéristiques des transformations de Möbius qui nous intéressent. Premièrement, ce sont des transformations conformes (Saff, Snider 389). Ceci est déjà une première caractéristique semblable à la projection stéréographique. De plus, comme il est laissé entendre dans la vidéo d’Arnold et Rogness, transformations de Möbius de base sont toutes équivalentes à un mouvement particulier de la sphère avant d’appliquer la projection stéréographique. Les translations du plan sont les translations de la sphère avant la projection. Les dilations et rétrécissement du plan reviennent à changer la grandeur ou la hauteur de la sphère. Les rotations autour de l’axe perpendiculaire au plan sont les rotations du plan et les rotations verticales mènent vers les inversions du plan. La photographie problématique de Duret-Lutz peut donc simplement être considérée comme une inversion de Möbius sur une image planaire d’une Wee Planet  comme celle de la figure 12. De plus, puisque les transformations de Möbius peuvent toutes être construites à partir des transformations de base que constituent la rotation, dilatation, la translation et l’inversion, toute transformation de Möbius peut être construite à partir de la projection stéréographique et des modifications associées sur la sphère. Il en découle que toute caractéristique propre aux transformations de Möbius peut également être obtenue à partir de la méthode de projection. En particulier, c’est vrai pour la caractéristique suivante : à l’aide des transformations de Möbius, on peut prendre n’importe quel triplet de points et le transposer vers n’importe quel autre triplet de points (Gamelin 63). Cette caractéristique est d’autant plus surprenante qu’il est possible de le faire tout en conservant les angles entre les courbes puisque cette transformation sera aussi obligatoirement conforme. Ce constat en main, il est désormais possible d’étudier la vidéo Stereographic Projection – Sample 02 (motion picture) de Ryubin Tokuzawa.

Cette vidéo est en premier lieu notable par la présence de deux énormes ronds noirs envers lesquels semblent converger un grand nombre de lignes. Plus étonnant encore est que ces grands points noirs semblent pouvoir se promener vers le haut et se muter en l’ensemble de la bordure noire de l’image qui semble elle aussi pouvoir former un point mouvant vers lequel les lignes convergent. Ces modifications continues de l’image ne semblent cependant pas modifier notre compréhension de l’image, la caméra se situe sur le toit d’une automobile qui circule sur une route. Comment chaque photographie et finalement la vidéo a-t-elle été construite? Revenons à notre duo projection stéréographique et transformations de Möbius.

Ces transformations étant équivalentes à des mouvements de la sphère combinés avec la projection stéréographique, il en résulte que l’on peut porter n’importe quel triplet de points de la sphère vers n’importe quel triplet de points sur le plan. ces transformations sont également équivalentes à des mouvements de la sphère combinés avec la projection stéréographique. Il en résulte que l’on peut porter n’importe quel triplet de points de la sphère vers n’importe quel triplet de points sur le plan. En observant la vidéo de Tokuzawa plus attentivement, on s’aperçoit que le point noir que l’on voit on début en haut de l’image est le point de zénith de la caméra placé sur le véhicule. Le point du bas de l’image est en fait le nadir de la caméra. Ce qui a été fait après le tournage est simplement de déplacer deux points des pôles pour les installer près du centre de l’image. Ensuite, modifier leurs positions respectives revient à modifier les effets visuels. En projetant le zénith vers le point à l’infini, on associe la bordure de l’image avec le point de fuite et on obtient une Wee Planet, ce qui se retrace visuellement par le point noir qui se dirige tranquillement vers le haut pour se fondre dans la bordure et laisser apparaître la Wee Planet en question avec le nadir au centre. Le résultat peut avoir été obtenu de deux manières différentes. Soit en créant une sphère abstraite à l’aide des photographies panoramiques pour ensuite modifier cette sphère par des dilatations et rotations avant d’appliquer la projection stéréographique, soit la sphère virtuelle a été projeté directement pour créer une image sur laquelle on a appliqué les transformations planaires, les transformations de Möbius.

Nous avons désormais compris l’ensemble des technicités qui se dissimulent derrière les œuvres comprenant des anamorphoses, des projections stéréographique et des transformations de Möbius. Nous sommes prêts à entreprendre une discussion sur les différentes implications, conséquences et interprétations de ces travaux dans le domaine des arts visuels et du cinéma en particulier.