Exhibition In Copenhagen

I have the chance to have three paintings on the walls of the Lighthouse cultural center in Copenhagen for few weeks. To visit, look at the calendar if the space is open, the paitings are available only when the space is open for activities.


The paintings relate to my researches in narratology that can be found in favious articles of the blog. The main useful articles are:

Narrative Sculptures: Graph Theory, Topology and New Perspectives in Narratology.

and for french readers:

Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (1, 2, 3, 4)

The four pieces presented there are the following:

Infinite Walls

Infinite Walls
Infinite Walls by Felix Lambert. Two Circles on a torus. Copyright: Felix Lambert, 2017


Handcuffs by Felix Lambert. Two circles on the plane. Copyright: Felix Lambert, 2017.

Lost in Days and Nights

Lost in Days and Nights
Lost in Days and Nights by Felix Lambert. Two circles on the torus. Copyright: Felix Lambert, 2017.

To complete stories represented by the paintings are presented by the side of the paintings at The Lighthouse. Visit the place, Pasteursvenj 8, Copenhagen, Denmark, to read the stories.

To visit the rest of my work, please visit my website.


Felix Lambert


Arrival: On the other side of a narrative language

Today is a great day for narratology. It is so for the simple reason that we agreed to make things more complicated, beautifully so. It doesn’t matter how many Oscars end up in the hands of Denis Villeneuve for his sci-fi movie Arrival, what matter is its inescapable presence.

Storytelling, in all forms, has always been a way to shape our minds. Stories need to be entertaining in order to stand out from all the available ways to occupy ourselves, but also need to be challenging so we can step out of our habits, and learn to think something new.

Many movies have been able to satisfy both sides of the balance. Some by the order the story is been told, as for movies from Pulp Fiction (Tarantino, 1994) to Memento (Nolan, 2000) and some reached similar effect by the inner story structure like Primer (Carruth, 2004), Looper (Johnson, 2012) or Triangle (Smith, 2009).

What makes Arrival particularly interesting is the prominent place given to a language itself, a language that allows for more intricate patterns and storytelling process.


Indeed, being presented on the other side of the mirror, within the diegetic world itself, this language permits time traveling by itself, understanding both future and past events at the same time and acting coherently with all of them.

Sadly, there is no proof such a language exist in our world. What we do have though is languages that help us understanding stories as groups of logical interactions of groups of events, just like in the classic publicity against drug abuse where one works more, to make more money, to make more drugs, to work more.

Of such languages are mathematics and the way we can use them to represent and understand stories, our own stories, and our own patterns. Such simple examples can easily be drawn and analyzed with graph theory and topology.

A conclusion we can drawn from Arrival, both in its content and its worldwide popularity, is that we might need to accept the fact that we need to learn something new to be able to solve, as humans, the the various pressing worldwide problems that could lead to our extermination, or at least mass decimation.

The fact we all seemed to touch so many of us could simply be the fact that it addresses the conclusion we have all already made, somewhere in our self-regulating surviving minds: we need to find solutions, solutions to problems deep enough that it could involve restructuring the way we tell ourselves, as a species, our own story, through mass media, through education, through thinking.

The fact that Arrival is there tonight might be a very indirect way of admitting it. Movies that create intricate story structures are a strong first step, since they are also a language. Arrival stands clearly as its own pertinent example. It’s entertaining enough that masses want to watch it, and complex enough so that we need to make links ourselves, conclude ourselves, think a step further.

The real arrival that is needed is not the aliens’ one, it’s the arrival of new languages, new paradigms.

Félix Lambert.

Automated Process as art: Authorship from Mathematics to Visual Arts (Part 3)

The epitome of art as resulting from automated process can be find in fractals. We will discuss two examples to underline two major components of the automated process; the structure, or skeleton, implied by the automata, and the theoretically possible infiniteness of its application in time and space. Fractals are geometrical figures defined by Mandelbrot in Les objets fractals (1975) in an attempt to describe the geometry of nature. These objects are often use by iterated processes and are self-similar for certain scale factors. Similar to the comments by Mandelbrot in his article Fractals and an Art for the Sake of Science, we can distinguished between two types of fractals, the organic and inorganic ones. The organic fractals identifies by and obvious similarity with nature whereas inorganic share the structural quality of independence of scale but keep evident traces of man’s hands.

                Inorganic fractals usually results from a defined automated iterated process. For instance, the Koch curve is obtained by infinitely adding triangles on the middle thirds of each segments of its constitution. Surprises arise when one realises the same figure can be obtained from different automated processes. The Thue-Morse sequence is a sequence of zeros and ones built iteratively in such a way to avoid any triplet repetitions. It is constructed by the infinite concatenation of the complement of a binery sequence. The sequence is constructed as follow: 01, 0110, 01101001, 0110100110010110 etc.

It has been shown it was intrinsically related to the Koch curve: by assigning directions values to the digits of the sequence, it is possible to obtain the iterations of the Koch curve (Ma and Holdener, 2005). In a similar fashion, by assigning another set of instruction to the digits it has been demonstrated that the same Thue-Morse sequence can serve to obtain a tamil kolam (types of ritual figure drawn with sand or rice powder) (Allouche, Allouche and Shallit, 2006). The three entities, the Thue-Morse sequence, the Koch curve and this particular kolam are simply different interpretation of a common genetic code hidden in their automated iterative processes. (Figure 8) An automated process could, therefore, generate three or more different objects that we, from a visual point of view, consider distinct.

Figure 7

Figure 8: A Kolam and its equivalence as Koch curve and Thue-Morse sequence

Finally, we present a set of fractals named Julia sets and the Mandelbrot set. Again, it all roots back to the idea of representing complex numbers in a plane. Complex numbers are have two components, and real part on which we add an imaginary part, or equivalently a multiple of the square root of -1, denoted i. We usually write them a+bi. To reprensent them on the plane, we give the real component value to the x-axis and the imaginary part to the y-axis. Therefore the point (3,4) represent the complex number 3+4i. This representation helped understanding the way complex numbers multiply themselves and led to studies of conformal mappings as previously seen.

With this coordinate equivalence for a complex number, we can represent complex numbers on the plane as vectors with a length and a direction. The new vectors obtained from the multiplication has an angle equals to the sum of the previous vectors and a length equals to the product of their length. As a result, a number bigger than one will spiral out to infinity if multiplied by itself an infinite number of times. At the end of the First World War, the Academy of Science of Paris promised a prize for the better paper on complex numbers’ dynamic[1]. From his hospital room where he cured his injuries, Gaston Julia wrote many important papers on the topic. He defined his set by the set of complex numbers not diverging to infinity when iterated in rational functions. For C a nonzero complex constant, the Julia set of quadratic forms f(z) = z² + C forms a fractal. Indeed, at the time, Julia did not have the tools to visualize the complexity of these sets. When the computer entered universities in the 60’s and 70’s, researchers started to code programs that would automatically generates Julia sets. The results started to evoke, even if only slightly, how rich wew the images Julia was trying to draw decades ago.

Julia Set

Figure 8: Julia Set

Nowadays, colors are added to these figures to produce marvelous pictures. On top of having to compute a great number of points in the complex plane in order to obtain a single picture, by a step by step focusing figures on the border of these sets we can obtain fractal zooms. In theory, these zooms could produce infinitely many different forms and could last forever, such is the complexity of Julia sets. (Figure 9)[1] A French mathematician, decided two classify the Julia sets into connected and disconnected ones. His classification led him to another infinitely complex set now dubbed the Mandelbrot set on which infinite zooms are also possible. The exploration of fractals led mathematicians into trying to define three dimensional versions of Julia sets and the Mandelbrot set. Difficulty arises and multiplication for complex numbers are to be represented. Since the complex numbers are defined on two dimensions, the real and imaginary one, the complex multiplication can be visualised in the plane, the representation of two complex numbers would need four dimensions. Fortunately, Paul Nylander have found a way to represent such mapping in three dimensions and three dimensional fractals based on this operation have arised, as for example the Mandelbox and the Mandelbulb. (Figure 10) As for the planar versions of these fractals, three dimensional fractals are never fully seen since they are infinitely intricate. Although, with the arrival of 3D printers, there’s been many attempt the represent some fractals such as the Sierpinski triangle. As well, it worths mentioning Tom Beddard’s work with fractal sculptures with lasers[2].

Inside the Mandelbox

Figure 9: Inside of the Mandelbox, image by Krzysztof Marczak

Fractals apply naturally to arts, but they can also find specific technical application. For instance, there are many attempt to construct virtual landscapes based on fractal oriented programs. This tradition find its roots in the work of Voss who was developing programs to generate infinite maps, which has been done as well by Mandelbrot.

Again, the question of author seems problematic. The multi-level architecture behind these zooms starts with the definition of complex numbers, the idea of the complex plane, the studies of Julia, the long story behind computers and their programs, and then gigantic calculations made by the computers to generate a fractal zoom. The choice of the zoom’s point and the applications of specific colors is what is left to the last person involved in line, the artist. In that case, what is the fractal, where does it stands between discovery, invention and piece of art. Mandelbrot put it in these words: ‘’ Thus fractal art seems to fall outside the usual categories of ‘invention’, ‘discovery’ and ‘creativity’.’’ (Mandelbrot 1993, 14)

If again, no simple solution can be drawn from these various examples, they can still be linked to the idea of author. The idea of authorship is not only to refer to the existence of a creative process, but as well to contain a certain mark, a certain signature proper to the author. Of course, in the previous examples, elements of signature could be grasp at different level, in the choice of topic for a conformal mapping photograph, in the program’s style of coding lines, in the idea behind the proofs a the different theorems leading to these constructions. Since traces of authorship could be found at all these level, it shows that the notion transcend the simple binary separation between what is art and what is patentable. I urges as well that research centers such like universities to allow more permeability between areas of sciences and arts and include more classes on cross-disciplinary classes where students and researchers from both groups can meet and work together not only to solve problems, but to propose new ones as well.

Félix Lambert (First ideas presented at Harvard in 2013, first draft for this paper finished may 2015)

[1] For the detailed history, the reader is referred to Michèle Audin’s work: Fatou, Julia, Montel: The Great Prize of Mathematical Science of 1918.Springer, 2011.

[1] http://social-biz.org/2010/03/28/generating-chaos/

[2] http://www.visualnews.com/2013/06/23/faberge-fractals-by-tom-beddard/


Mediagraphy :

Allouche, Gabrielle, Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit. 2006. « Kolam indiens, dessins sur le sable aux îles Vanatu, courbe de Sierpinski et morphismes de monoïde ». En Ligne : Annales de L’Institut Fourier, Tome 56, n°7, p. 2115-2130. Consulté le 07/02/12. http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2006_56_7_2115_0

Arnold, Douglas N. and Johnathan Rogness. 2008. « Möbius Transforms Revealed ». Notices of the American Mathematical Society, Vol. 55, Nu. 10, p. 1226-1231.

Audin, Michèle. 2011. Fatou, Julia, Montel : The Great Prize of Mathematical Sciences of 1918, and Beyond. New York: Springer, Lecture Notes in Mathematics 2014, History of Mathematics Subseries.

Bouton, Charles. 1902. « Nim, a Game with a Complete Mathematical Theory ». Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 3, no. 1. P. 35-39.

Calaprice, Alice, Ed. 2000. The Expandable Quotable Einstein. Princeton: Princeton University Press.

Frampton, Hollis. 1970. Zorns Lemma. In A Hollis Frampton Odyssey, DVD 1, 59 min. Criterion Collection 2012.

Ma, Jun and Judy Holdener. 2005. « When Thue-Morse Meets Koch ». Fractals: Complex Geometry, Patterns, and Scaling in Nature and Society, vol. 13. n°3, p. 191-206.

Mandelbrot, Benoît. Les Objets Fractals : Formes Hasard et Dimension, 4th Ed. Paris:   Flammarion, 1995.

Mandelbrot, Benoït. 1993. ‘’Fractals and an Art for the Sake of Sciences’’. In Michel Emmer Ed. The Visual Mind: Art and Mathematics. Cambridge: MIT Press, p.11-14.

Munkres, James R. Topology. 2nd Ed. New Jersey: Prentice Hall, Inc., 2000.

Schattschneider, Doris. 1992 (1990). Visions de la Symétrie: Les Cahiers, les Dessins Périodiques              et les Oeuvres Corrélatives de M.C. Escher. Traduit de l’américain par Marie Bouazzi. Paris : Éditions du Seuil.

Smit, B. de and H.W. Lenstra Jr. 2003. « Artful Mathematics: The Heritage of M.C. Escher». Notices of the American Mathematical Society, Volume 50, nu 4, p. 446-451.

Stillwell, John. Geometry of Surfaces. New York: Springer-Verlag, 1992.


Automated Process as art: Authorship from Mathematics to Visual Arts (Part 2)

In between these poles of mathematic as subject, as structure and as narrative construction stands the automated processes. In the last 60 years or so, computers have galvanised and specialised the precision of the relations between the abstract mathematical procedures and visual content. Indeed, it has been possible by means of automated processes, especially in the construction of geometrical operations. The rest of the article focus on structures defined on abstract art instead of figurative or narratives as in the case of Last year in Marienbad. As a result, we are interested in authorship in arts and sciences from a double perspective: as creator of an aesthetic geometrical result and as inventor of an abstract structure. A clear and simple example of such a problematic objects can be found in the Ulam spiral. Bored during a meeting Stanislaw Ulam started to organise numbers in a spiral and in this structures some patterns seem to appear for prime numbers. This simple object of number disposition leads to beautiful imagery when focusing on the prime numbers disposition and to some new mathematical results about these prime numbers.

The signature over the aesthetic constituents being often available, we need to address the question to find the source of the structure and its authorship.

In order to comprehend this relation tied between a creator and an automated process, we need to distinguish between the different tributary relations linking an artistic visual object and an abstract automated process. It is important to underline the implied relation might appears in both directions; an artistic object can be obtain by applying an automated process, and oppositely, an automated process can be discovered by trying to solve an artistic problem. Both sides of this equation share the common ground of creation and the results, no matter what is the original paradigm, lay on shared space of double probability: the result stands in the midway between pure technicality and art. The next step of application of the automated process is fundamentally unpredictable. For this reason, the automated process is in equal rights as much an invention as an artistic creation. Of course, once a seed bloomed, layers and layers of artistic objects, related automated process, solutions to various problems and, finally, new problems might add to the complexity of the object. We study some examples in the following paragraphs.

                A practice of tiling the planarity of a wall or a floor is maybe as old as architecture itself. There exist infinitely many ways to tile the plane, but these can be grouped in finite sets when restrictions are added or when classifications are needed. If we restrict the tiling to congruent tiles, then a classification is made possible by considering reflections, rotations, translations and glide reflections of the original tile. The artist Maurelius C. Escher studied these different patterns of tiling and tried to find all possible patterns. Escher found an article by Polya and Haag on crystallography giving the complete classifications of such tilings and Escher based his next experimentations on these observations. Even if Escher have found by himself almost all the patterns, it still give a good example of an abstract mathematical problem including automatic process related to an art object. In this case, the automated process constitutes of applying infinitely many translations, rotations, reflexions or glide-reflexions, to cover a space harmonically.(Figure 4) (Schattschneider, p.23-30)

Wallpaper group

Figure 4: Polya’s representation of the wallpaper groups. Source: Visions of Symmetry, p. 23

The story does not end here. Of course, different types of tessellations not involving congruent tiles have been explored as a legacy to Escher’s work and covering problem, like the Penrose aperiodic tiling and fractal tilings. The problem even evolved to include other surfaces; mathematicians and artists have explored the tiling of the sphere and this led even to tessellations on other surfaces as the hyperbolic plane or the projective plane[1]. (Figure 5) Therefore, the creation of the tiling problem is double, it includes the eventual creation of a mathematical knowledge as much as of series of artistic creations. Moreover, it creates the space of discussion in which both disciplines challenge each other.

Jos Leys

Figure 5: Jos Leys Hyperbolic 1

A similar story is hidden behind conformal mappings. Conformal mappings are functions that project images between surfaces, possibly from itself to itself, by preserving angles of intersection between lines. Conformal mappings arises as a main interest in the study of projections and the complex plane where they naturally arise as differentiable functions. A commonly used conformal mapping from the sphere to the plane is called the stereographic projection. To obtain this projection, we can imagine we set a sphere on a plane, and from the North Pole, i.e. the more distant point from the sphere, we traces rays crossing the sphere at a point and reaching the plane at second point. The stereographic projection is obtained when mapping the whole sphere to the plane in that respect.

In the last decades, photographers like Alexandre Duret-Lutz have used projection in order obtain pleasant photographs offering different spatial perspectives. The application of the stereographic projection lead to very peculiar pictures dubbed wee planets. In these photographs, objects are grotesquely deformed while keeping an overall readability due to the conformity of the projection. Ususally, the horizon surrounding the camera morphs into the circumference a small planet on the picture, resulting in pleasant cartoonesques scenes.  (Figure 6) Modern photography contains more peculiar pictures calling for stronger mathematical notions. (Lambert, 2012)

Alexandre Duret-Lutz

Figure 6: wee planet Alexandre Duret-Lutz

The study of functions in the complex plane led August Ferninand Möbius to the definition of Möbius transforms, a group of conformal mappings constructed from translations, rotations, dilations and inversions (which inverts the inside and outside of a circle before rotating it). These functions are conformal and they can all be link to the stereographic projection through some motions of the sphere. (Arnold and Rogness) For instance, to obtain the inversion, it is equivalent to rotate the sphere upside down before applying the stereographic projection. The use of Möbius transformations is also recognisable in the photographs of Duret-Lutz, especially when the sky stands as a disk in the middle of the picture as a result of the inversion. Interestingly, artists are now applying similar techniques to video, Ryubin Tokuzawa[1]. (http://www.ryubin.com/panolab/panoflash/#)

               Other conformal mappings have been explores by photographs like Seb Pzbr or Josh Sommers. The utilisation by Sommers and Pzbr of a special composition of conformal mappings comes, though, from outside the mathematical discipline. In 1956, Escher worked on the highly complex Printing Gallery. The conformal mapping he tried to develop was so elaborate he could never finish his work, leaving a blank space in the middle. Half a century later, Lenstra and his team finally modeled the transformation Escher had in mind and, with the help of computers, they filled the blank spot. (Smit and Lenstra) The transformation, usually named the Droste effect -after on old advertisement using a self-referential figure- is now used by photographers to propose a wide range of new imageries, from self-portrait to the representation of abstract architecture. (Figure7)[1]

Droste Effect

Figure 7 : Droste effect on architectural desing

The story of such photographs lies on multiple layers on each of which part of the authorship is diluted. It comes from a rich balance of complex numbers, functions, projections, Escher’s vision and programmers that integrated this process in code to obtain the results on photographs. This automated process and results from a 300 years old long dialogue where the authorship was constructed.

It is of prime importance to underline the presence in these pieces of art of the automated process: without the programs applying the conformal deformations, some photographs and videos, could never have existed. The creations, unreachable solely by humans, exist at the very limit of the creator’s capacity. It is the result of a tremendous collaboration where the sum worth more than the parts.



[1] For a clear introduction to the topic the reader is invited to consult John Stillwell’s work: Geometry of Surfaces, Springer, 1992.

[1] http://www.ryubin.com/panolab/panoflash/#)

[1] Source : http://flickrhivemind.net/blackmagic.cgi?id=3614016516&url=http%3A%2F%2Fflickrhivemind.net%2FTags%2Fescher%252Cimpossible%2FInteresting%3Fsearch_type%3DTags%3Btextinput%3Descher%252Cimpossible%3Bphoto_type%3D250%3Bmethod%3DGET%3Bnoform%3Dt%3Bsort%3DInterestingness%23pic3614016516&user=&flickrurl=http://www.flickr.com/photos/16772070@N00/3614016516

Automated Process as art: Authorship from Mathematics to Visual Arts (Part 1)

There is a process involved behind every artistic and scientific productions. These processes can evolve, change directions and motivations, but at some point when the exact procedure is defined, automated processes can be constructed. The automated procedure is then available for others to be experimented and modified in order to find new applications and results. As this extra step is taken, an extended distance appears between the original creator of the process and the final result. Although, as pointed out by Einstein, when great specialisation is involved, the scientific and the artist merge into one identity (Calaprice 245) We show in this article that this double position between art and science is particularly present when creating automated processes. When creating abstract trends of patterns and procedures, the full extent of its applications rarely stands at reachable glance. On the other hand, the creation of subdivisions as copyright and patents leads the path for creators to think about the exact applications for their creations prior to their concretisation. This paper will explore the problematic involved in such a subdivision, especially in the paradigm of modern automated technologies. Various examples involving conceptual mathematic models, automated processes and visual art will be discussed in order to clarify the problematic.

                As a first step, we compare different movies implying some mathematical concepts: Zorns Lemma (1970) by Hollis Frampton, Last Year in Marienbad (1961) by Alain Resnais and Pi (1998) by Darren Aronofski. These movies use different strategies to include mathematical concepts. The movie Pi is emblematic of the use of mathematics as a topic within its diegetic world. In this case, some concepts can be explained to the audience; the mathematical concepts are use in quotations since they don’t interfere with the structure of the movie itself. To a certain extent, these concepts could be changed for others and the structure would remain intact. As an example, the relation between the stock market and the value π could be exchange for the golden ratio to obtain a similar movie. It would remain an excellent movie with outstanding visuals aesthetic, only part of the semantic would be altered since the myth around pi differs largely from the myth around the golden ratio. These perceivable modifications would be linked to these specific numbers’ reputation outside the movie. For instance, the golden ration often being related to beauty, its use would charge scenes with a different emotional impact than the profoundly anxious and neurotic feeling that underline the whole movie. The value π does not work as a framing structure, it adds a mythological symbolism to its content and mark the film with a peculiar color coherent with the movie’s topic.

The film Zorns Lemma proposes a different appropriation of mathematical concept as a main constituent of art’s paradigm. The Zorn lemma is an important result in the foundations of modern logic and axiomatic set theory. It states that for a strictly partially ordered set, if every ordered subset has an upper bound in the original set, then the latest has a maximal element. The lemma has been proved independently by Kuratowski and by Bochner in 1922, but its popular appellation sticks to Zorn who proved it in 1935. (Munkres, p. 70)

Zorn's Kemma 1

Figure 1: Images from Zorns Lemma. Source: http://www.cia.edu/cinematheque/film-schedule/2013/02/zorns-lemma

The movie does not make apparent use of the lemma itself, although Frampton explicitly works its visual content from a set theoretical approach: groups of letters are combined as different sets to form words. As an example, in the second section groups of words appear ‘’organized alphabetically into sets of twenty-four and conforming to the Roman alphabet by combining i and j with u and v.’’ (Jenkins, p. 21) In this case, the abstract frame is calked from of a given field; set theory. Secondly, the object has a similar background question; how to organise elements of a set? In this case, the question is organise letters from the alphabet. The Zorn lemma appears as more than a mere abstract reference and its substitution for another theorem would note guarantee its correspondence with the movie structure. A title linked to the Pythagoras theorem, Fermat’s theorem or Gödel’s theorem would not be suitable references for Frampton’s work since we could not see a correspondence between the movie’s structure and the results of these theorems.

Jeu de Marienbad

Figure 2: Last Year In Marienbad (Alain Resnais, 1961)

A slightly different approach is explored in Alain Resnais’s Last Year in Marienbad. In this film, the main character, interpreted by Giorgio Albertazzi, often plays the game of Nim -sometimes called the game of Marienbad after the movie[1]– and asserts that by starting first this would ensure him victory. On the mathematical side, the game was proved to be solvable, meaning that there is an algorithm leading inevitably to victory. (Bouton, 1902) The victorious pattern is presented multiple times during the movie and its logic is scaled to the overall frame of interplay with memory between to two main characters. The solvability of the game is implied in the movie as the dry output of destiny: the inevitable reconstitution of the forbidden, and maybe false, memory. The hunt for this blurred memory is ended before it started as the game of Nim is won before every game. As a result, the equivalence relation between the mathematics of the game and the movie’s structure is constructed by narrative means.

L'Année dernière à Marienbad

Figure 3: Time Structure of Last Year in Marienbad by Resnais

[1] It was also called Fan-Tan at the beginning of the 20th century (Bouton, 1902)

Les fondements de l’écriture procédurale : images, espaces et algorithmie musicale de l’algèbre aux fractals. (Chapitre 2.5-2.6)

2.5 Les canons rythmiques et l’algèbre

Sans tomber dans les détails minutieux, nous allons à ce point introduire un peu plus d’algèbre afin d’en comprendre les liens avec les canons rythmiques. Pour cela, nous devons définir ce qu’est un groupe. Un groupe est simplement un ensemble muni d’une opération définie entre les éléments de cet ensemble de sorte qu’il existe un élément neutre, un élément inverse et que cette opération soit associative. Pour donner un exemple concret, les nombres entiers munis de l’opération d’addition forment un groupe. L’élément neutre est 0 puisque N + 0 = 0 + N = N, donc cet élément additionné à gauche ou à droite d’un nombre entier ne change pas ce nombre. L’élément inverse de tout nombre entier est son inverse puisque N + (-N) = (-N) + N = 0, c’est-à-dire que l’élément –N additionné à gauche ou à droite de N donne l’élément neutre. Finalement, l’opération est associative puisque (L + M) + N = L + (M + N).  Pour en revenir aux groupes de frise. La première ligne de la figure 10 reste intacte si nous translatons de N figures vers la droite, de refaire une translation vers la gauche, -N, revient à avoir laissé la frise intacte, donc à l’élément neutre 0. L’associativité découle naturellement du même principe.

Un autre groupe qui nous importe ici est ce même groupe des entiers de pair avec l’addition, le groupe (Z,+),  peut-être quotienté pour obtenir le groupe cyclique Z /12Z. Ce groupe est en fait l’addition modulo n (Dummit et Foote, p. 8-9), ce qui veut dire que lorsque l’on obtient une somme de 12, on revient à 0. Par exemple, 10 + 2 = 0 (mod 12) et 9 +6 = 3 (mod 12).

Ce groupe est important puisqu’il apparaît dans l’analyse harmonique de plusieurs compositeurs (Andreatta et Agon, p. 70), dont celle d’Anatole Vieru qui travailla proche de Vuza. Pour bien comprendre ce fait, imaginons que ce qui nous intéresse est la note et non pas son octave, il en découle que le onzième demi-ton de la gamme augmenté d’un demi-ton revient à la fondamentale de la gamme. Tout comme pour le groupe Z /12Z, il est possible de représenter cette situation par un diagramme circulaire

 Évidemment, cette représentation peut servir également à la représentation d’un rythme à douze temps. Nous avons déjà rencontré ce type de représentation dans le travail de Demain. Une des questions qui revient encore une fois est l’idée de pavage. Nous voulons recouvrir les douze temps du rythme une seule et unique fois à l’aide de la translation d’un rythme de base. Par exemple, le rythme (101010101010) et son rythme translaté d’un temps vers la droite (010101010101) couvre les douze temps sans intersection, sans que deux notes soient jouées en même temps. Le jeu devient intéressant lorsque nous voulons construire des canons un peu plus complexes, possiblement sur un plus grand nombre de temps.

Les groupes sont importants dans la compréhension de plusieurs structures, notamment celle des pavages, des transformations géométriques et finalement de certaines opérations musicales. Ce travail est accompli à l’aide de la notion d’isomorphisme de groupe qui permet de comparer la structure interne de deux groupes; deux groupes isomorphes fonctionnent de la même manière. Par extension, comprendre les liens qui existent entre différent groupes revient à comprendre les liens entre différentes applications artistiques. Ces isomorphismes définissent des liens fondamentaux entre des opérations et «the result is an articulation of structure». (Rothstein, p. 130)

Pour démontrer le lien avec l’algèbre, nous pouvons décomposer le groupe Z/12Z en la somme directe de deux autres groupes, ce qui veut dire que chaque élément du premier groupe sera additionné à tous les éléments du second groupe. Nous pouvons voir que Z/12Z = Z/4Z Z/3Z, c’est-à-dire que le cycle de 12 est composé de 3 cycles de 4 ou de 4 cycles de 3.

Du point de vue rythmique, cela veut dire que si l’on prend le rythme qui marque chaque 4 temps comme rythme du canon (nommé rythme interne) et que nous les entamons au temps  0,1 et 2 (rythme externe), nous obtenons un pavage rythmique. En effet, nous obtenons les rythmes suivants (100010001000), (010001000100) et (001000100010) qui excluent toute superposition de temps. Évidemment, nous aurions pu faire le choix inverse et prendre Z/3Z comme rythme interne et prendre Z/4Z comme rythme externe.

2.6 Le Monstre de Vuza

Nous voulons à présent présenté un travail particulier, celui du roumain Dan Tudor Vuza. Le but ici n’est pas de simplement répéter une historiographie autour de ces compositions, mais d’exposer l’incroyable profondeur des structures qui se cachent derrière ce travail. En effet, comme nous allons le démontré, la migration des concepts et structures effectue un va et vient entre nombre de domaines d’études et de créations artistiques. Ce chemin est déjà partiellement tracé par les exemples préalablement étudiés concernant les pavages de l’espace et les canons rythmiques. Pour ne nommer que les grandes avenues principales de ce réseaux, on y trouve de l’algèbre, de la théorie des nombres, les pavages du plan, les pavages à n dimensions, les canons rythmiques, les théories modales de Babbitt et d’Anatole Vieru, l’analyse de Fourier. Nous présentons quelques définitions formelles qui permettent de remplir certains espaces vacants dans l’échafaudage des concepts et théorèmes qui sous-tendent ou découlent ces compositions.

Le lecteur intéressé peut compléter cette lecture à partir des textes éclairants de Moreno Andreatta et d’Emmanuel Amiot, tous deux issus d’une tradition différente et soulignant des aspects complémentaires de ce corpus. Ces textes offrent de nombreuses définitions formelles qui viennent appuyer les résultats mentionnés dans cette section. Ce qui suit est davantage une présentation des différentes migrations paradigmatiques, c’est-à-dire des différentes transpositions entre les aspects mathématiques, géométriques, tonals et rythmiques. Puisque l’étude des canons de Vuza est un espace de convergence, nous devons de retracer l’histoire à partir deux points de départs indépendants, soit l’algèbre et la musique.

La naissance de l’algèbre en Europe au moyen âge est en fait issue de pratiques existantes dans le monde arabe, connues sous le nom d’al-jabr, ce qui signifie balancement ou remplissage. Les savants alors de longues phrases représentant le balancement d’objets dont l’un était inconnu et le tout a finalement été traduit en équations. Des équations qui ont alors vu le jour sont celles composées de combinaisons linéaires de différentes puissances d’une même variable. Ces équations sont des polynômes. On s’intéressa alors à trouver les racines[1] pour différents polynômes[2]. Si la résolution des polynômes de degrés deux est connue depuis Al-Khwarizmi avec la fameuse formule quadratique, celle des degrés supérieurs exigea des recherches plus approfondies. L’Italien del Ferro trouva la forme d’une solution générale pour le degré trois en vers 1500, et de cette méthode Ferrari découla la méthode pour le degré 4. (Stillwell 1994, p. 15) La résolution algébrique du degré 5 allait mener à plusieurs complications. Galois montra en fait qu’il n’existe pas de méthode de résolution générale pour les polynômes de degrés 5 et plus.

Les liens entre la théorie des équations et le groupe de symétrie ont été envisagée par Lagrange dans son traité Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1771). Il explique entre autre les solutions pour les équations de degré trois et quatre par les groupes de symétrie S₃ et S₄. (Stillwell 1994, p.125-126) Le mathématicien allemand Félix Klein avait quant à lui bien compris l’importance de la théorie des groupes dans l’étude de la géométrie[3]. Une des approches intéressante propose une classification des surfaces via les différents groupes de symétries[4] (Stillwell 2010, p 64). Les cas les plus simples d’étude des symétries d’une surface apparaissent naturellement avec les motifs sur une bande et sur un plan. Si le cas des bandes infinies offre sept possibilités, le plan cartésien lui offre 17 cas possibles. (Francis et Weeks, 1999)

L’études des pavages du plan existe depuis longtemps puisque ceux-ci apparaissent naturellement comme solution esthétique en architecture pour les surfaces planes (murs, planchers et ainsi de suite) Un travail d’exploration de ces 17 groupes de pavages a été fait par l’artiste M. C. Escher qui y dédia une grande partie de son œuvre en plus de comprendre que la géométrie des pavages s’applique également aux géométries non euclidennes, celles pour lesquelles le l’axiome des parallèles n’est pas respecté[5]. Cependant, leur étude nous éloigne des canons de Vuza et nous ne les abordons pas. Les recouvrements de l’espace peuvent tout de même être étudiés dans une autre optique, celle de la généralisation des pavages de l’espace euclidien à n dimensions.

Ce petit détour par la énième dimension est un passage obligé vers les canons de Vuza, détour qui débute en fait débute par la conjecture de Minkowski. Après avoir travaillé sur l’approximation de nombres réels à partir de nombres rationnels (Szabó et Stein, p. 1-22), il fit l’observation suivante : lorsque l’on effectue un dallage régulier du plan avec des carrés isométriques, nous obtenons des lignes ou une colonne de carrés parfaitement alignés. Autrement dit, des carrés partage des côtés communs. Remarquant que cette propriété tient également avec des cubes –que les cubes partagent des faces carrés communes- il conjectura que cela était vrai pour tout pavage réguliers de l’espace avec des cubes de n dimensions. Plus précisément, il conjectura que tout pavage basé sur un treillis de l’espace euclidien à n dimensions contient au moins une paire de cube qui partage une face de dimension n-1. (Stein et Szabó, p. 22)  Dans ce théorème, un treillis est un ensemble ordonné de points dans l’espace. (Figure 13) Un pavage en treillis implique que les carrés sont ordonnés de la sorte, par exemple en posant le coin inférieur gauche du cube sur chaque point. Ce principe se généralise naturellement plus un plus grand nombre de dimensions.


Figure 13: Treillis

Il fallut attendre 45 ans pour que Hajós propose trouve une solution au problème, solution qui tire toute sa force par sa transposition en problème de théorie des groupes. La version du théorème de Hajós stipule que pour toute factorisation d’un groupe fini abélien[6] en le produit direct de sous-ensembles cycliques, au moins un des facteurs est aussi un groupe[7].  Une particularité fort intéressante dans le travail de Hajós est qu’une fois la transposition de la conjecture de Minkowski en problème algébrique, le nombre de facteurs dans la décomposition n’a plus besoin d’être égale au nombre de dimensions de pavage cubique! (Szabó et Stein, p. 28) En 1930, Keller proposa que la condition d’être un treillis pouvait être retirée, mais Lagarias et Shor ont démontré que cette hypothèse est fausse pour les dimensions supérieure à 10[8]. (Szabó et Stein p. 28) La propriété d’être un groupe de Hajós est d’être abélien et factorisable en des ensembles cycliques. Ce sont donc les groupes sur lesquelles le théorème de Hajós est applicable.

Pour en revenir à Z/12Z, nous avons déjà montré que nous pouvions le décomposer en le produit direct de deux groupes cycliques Z/3Z et Z/4Z, c’est donc un groupe de Hajós et le théorème est applicable.  Il est possible de le décomposer en {0,1,5} et {0,3,6,9}. Dans ce cas, le premier ensemble n’est pas cyclique, mais le second l’est. Par le théorème, il en est ainsi pour toutes les décompositions de Z/12Z. Le plus petit groupe à ne pas posséder une telle décomposition est Z/72Z.

Or, voyons désormais quel en est le lien avec la musique. De ce point de vue, nous devons présenter deux apports importants de Dan Tudor Vuza. Le premier est la transposition de la théorie modale d’Anatole Vieru vers la structure rythmique et par ce fait même permettant de migrer les outils du problème du dallage harmonique vers celui du dallage rythmique (Andreatta 2011, p. 42) Le second est ce qu’Andreatta nomme «a milestone in the development of the mathematical theory of tiling canons…» (Andreatta 2011, p. 41). Ce sont les canons réguliers complémentaires de catégorie maximale[9] dit les canons de Vuza. Ces canons permettent un pavage parfait[10] d’un cycle de temps à l’aide de rythmes qui ne possèdent pas de périodicité dans leurs rythmes internes et externes (Andreatta 2014 p. 66). Dans la ligné du travail de générations de rythmes asymétriques à l’aide de l’algorithme de Bjorklund, cette avancée permet au compositeur de se libérer des contraintes de régularités des entrés de voix lors de la composition de canons[11] (Andreatta   2011, p. 44)

Or, il se trouve que les solutions pour trouver les canons de Vuza sont précisément les groupes qui ne sont pas des groupes de Hajós, comme le groupe Z/72Z. Dan Tudor Vuza ne connaissais pas ces résultats issues de la conjecture de Minkowski, ce qui explique que sa démarche fut toute autre[12]. Une solution pour la décomposition du groupe Z/72Z est donnée par A= {0,1,5,6,12,25,29,36,42,28,29,53} et B={0,8,16,18,,26,34}[13]. Ces deux ensembles forment donc les rythmes interne et externe d’un canon de Vuza.


Figure 14: Décomposition de Z/72Z et un canon rythmique associé par Moreno Andreatta. Source:http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/RapportMoreno.html

Or, si l’algorithme de Vuza pour a pu offrir une liste complète des décompositions possibles pour Z/72Z, tel n’en est pas le cas pour les autres groupes de non-Hajós Ce fait a été découvert par Moreno Andreatta, Emannuel Amiot et Harald Fripertinger[14]. L’œuvre de Vuza ne s’arrête donc pas avec la création de son algorithme comme solution générale au problème de construction des canons réguliers complémentaires de catégorie maximale et ce pour plusieurs raisons.

Premièrement, l’implémentation et l’analyse de l’algorithme de Vuza par Andreatta dans la pratique de nourrir encore davantage la compréhension théorique des canons de Vuza. Comme l’écrit Andreatta:

                «Building computational models of formal constructions may radically change the perspective on     a given music-theorical problem by emphasizing its experimental component. In the case of the construction of tiling canons, having a computer-aided model made evident a series of properties that would have been difficult to perceive by relying purely on the original theoretical model. For instance, one can show computationally that in non-Hajós groups almost all ‘’outer rythms’’ obtained by Vuza’s algorithm have the property of being palindromes, which establish an unexpected connection with Olivier Messien’s original attempt at constructing canons based on non-invertible rhythms.» (Andreatta, 2011, p. 52)

Il apparaît clairement que l’implémentation de l’algorithme de Vuza a permis deux choses : de compléter le catalogue des canons possibles et de découvrir certaines caractéristiques supplémentaires de ces canons. Le travail de Vuza n’est donc pas complet sans sa mise en forme pratique, sans l’application d’une procédure artistiques certes, celles des compositions musicales, mais aussi celle de la constitution même du catalogue de son corpus éventuellement infini.

Deuxièmement, le travail de Dan Tudor Vuza a offert des résultats à propos groupes non-Hajós avant même que ces résultats soient découverts par des mathématiciens. Par exemple, si un groupe non-Hajós d’ordre n admet une factorisation en deux ensembles A et B, il admet aussi la factorisation en les ensembles kA et B pour k copremier avec n. Ce résultat n’a été obtenu qu’ultérieurement par les mathématiciens Tijdeman en 1995 et par Coven et Meyerowitz en 1999. (Andreatta 2011, 51) De plus, nombre de recherches tissent des liens avec d’autres structures mathématiques, par exemples avec les polynômes cyclotomiques[15]. (Amiot 2011, p. 9-12) Finalement, il y aurait possiblement un lien avec un autre objet théorique fort complexe qu’est la conjecture spectrale, ou conjecture de Fuglede. Les canons de Vuza pourraient apparaître comme contre-exemple de la conjecture de Fuglede pour la dimension 1. (Andreatta 2011, p. 55)

Malgré les subtilités macroscopiques de l’écriture de canons de Vuza – le rythme interne d’un canon n’est pas évident lorsqu’étalé sur 72 temps- quelques compositeurs se sont aventurés dans la composition d’œuvres basées sur ces techniques. Nous pouvons citer les œuvres Coïncidendes de Fabien Levy[16], La Descrizione del Diluvio de Mauro Lanza et Empreinte sonore pour la Fondation Beyeler de Georges Bloch, basée sur une composition de Thelonius Monk (Andreatta et Agon, 2009, p. 68). La partition simplifiée de la section en canon de Coïncidendes (fig. 14) permet de voir la solution utilisée par Fabien Lévy. Le rythme interne du canon à six voix est (0, 11, 17, 20, 23, 24, 44, 47, 48, 53, 59, 68) et le rythme externes est (0, 22, 38, 40, 54, 56). La troisième ligne de la figure contient les premiers temps du pavage rythmique (le premier temps de la ligne est le 72ième temps, le renouvellement du cycle)[17].

La structure de ces pièces nous échappe en tant qu’auditeur puisqu’il est presque impossible de garder trace des rythmes internes et externes de ces canons. Dans le cas de la pièce de Lévy, l’auditeur fait face davantage à des informations continues qu’à une structure contrapunctique (Andreatta et Agon, p. 67); l’introduction du canon est très subtile. Par conséquent, il est normal de s’interroger sur la valeur de ces compositions comme œuvres musicales, ou du moins celle de l’apport rythmique de ces compositions. Au sujet de son propre usage des canons de Vuza, Lévy mentionne que l’oreille ne perçoit pas le canon ni la répétition, mais qu’il est tout de même possible d’en dégager un sens général de cohérence structurel (Lévy, p. 30). C’est le pas vers la recherche d’une structure cachée qui, en fait, en donne toute la valeur perceptive. Comme l’asymétrie des rythmes Euclidien les rend intéressants, la structure irrégulière de la décomposition des groupes non-Hajós font des canons de Vuza des structures riches qui cachent en fait tout un réseau d’informations. Il n’est pas surprenant de voir que ces deux exemples tirent leur complexité d’une structure extrêmement asymétrique, celle des nombres premiers et relativement premiers.


Figure 15: Représentation de la section qui contient le canon de Vuza dans la partion de Fabien Lévy

Comme le démontre l’historique des différents apports de la musique, des arts visuels, des mathématiques et de l’informatique, ces œuvres se positionnent à l’intérieur d’un réseau de concept énorme ce qui fait en sorte que ces compositions ne sont ni fondamentalement musicales, ni mathématiques, ni visuelles. Leur essence réside en leur structure  qui apparaît comme la conséquence d’un échafaudage construit à partir de la théorie des pavages, de canons rythmiques eux-mêmes partiellement issus des pavages harmoniques[18], et de la théorie des groupes. Ne considérer ces œuvres que dans leur modalité musicale revient à n’observer qu’une façade d’un palais majestueux.

C’est la nature rhizomique de ces structures qui explique que les répercussions se multiplient autant par les futurs défis compositionnels qu’elles impliquent que par les nombreuses recherches mathématiques qu’elles engendrent. Sa valeur ne tient pas seulement dans charge synthétique d’éléments de plusieurs sens et paradigmes, mais elle en doit aussi à sa capacité à élargir notre perception tant à la valeur rythmique qu’à la profondeur sémantique de l’œuvre.

Si une œuvre peut prendre de la valeur et faire sens, ce n’est pas simplement par la force de ces affects purs; la lecture de l’œuvre passe également par ce qu’elle implique comme savoirs. Plus le réseau de savoir est vaste, plus les schèmes impliqués sont nombreux et plus la valeur sémantique de l’œuvre gagne en puissance. Il est évident que la lecture d’un canon de Vuza implique une quantité de savoirs qui dépasse largement celui d’un auditeur non averti et si cet espace possible de compréhension laissé par l’œuvre découle de la nature interdisciplinaire qu’elle sous-tend, c’est également parce qu’elle invite à participer à cette transgression des frontières et remplir cet espace vacant. L’écriture procédurale se positionne précisément dans cet espace libre parce que ce lieu permet d’accéder rapidement à divers paradigmes.

[1] Valeurs pour lesquelles le polynôme donne zéro.

[2] Petite note intéressante, les racines irrationnelles étaient nommées asamm par Al-Khwarizmi, c’est-à-dire sourde ou muette. Gérard Crémone a traduit le terme par le latin surdus. (Dahan-Dalmedico et Peiffer, p. 85)

[3] En particulier, il fit la découverte des groupes de symétrie des polyèdres. (Stillwell 1994, p. 127)

[4] Connue désormais comme le programme d’Erlanger suite à la fameuse conférence qu’y donna Félix Klein.

[5] L’axiome stipule que par un point extérieur à une droite il passe une et une seule droite parallèle à la première.

[6] Fini car il possède un nombre fini d’élément comme Z/12Z, et abélien car commutatif, i.e. a + b = b + a.

[7] Plus précisément un sous-groupe du groupe original.

[8] En fait, la question mena à plusieurs autres conjectures et hypothèses, dont celle de Rédei qui ommet la cyclicité du groupe (Szabó, p. 28) et celle de Furtwangler qui permet de recouvrements partiels entre les cubes (Andreatta 2011, p. 48-49)

[9] Regular Complementary Canons of Maximal Category

[10] Chaque temps est couvert une seule et unique fois.

[11] Notons que des recherches afin de permettre des pavages asymétriques ou non réguliers existent également pour le pavage du plan. Escher déjà dans ces notes personnelles développait des formes complexes pour ses pavages à partir d’un carré. Toute transformation devait de faire à l’opposé sur les arrêtes transversales, ou de manière similaire sur les arêtes longitudinales. (Schattschneider, p. 48) Cette méthode revient en fait à appliquer des transformations continues sur deux cercles sur le tore de sorte que ces cercles soient respectivement longitudinal et transversal, qu’ils ne possèdent qu’un point d’intersection et qu’il ne respecte pas le théorème de Jordan sur le tore. Cela découle du fait qu’un pavage carré du plan cartésien est également un espace de recouvrement pour le tore (Munkres, p. 339)

[12] Il passe par exemple par l’utilisation des transformations de Fourier discrètes appliquées aux groupes finis localement compacts.

[13] Afin d’obtenir ce résultat, il est possible de passer par un algorithme décrit par de Bruijn en 1955. L’article d’Andreatta offre la démarche complète afin d’obtenir ce résultat à partir de l’algorithme de de Bruijn.

[14] Les deux derniers ont trouvé 252 nouveaux canons pour Z/108Z. (Andreatta 2011, p. 52)

[15] Notons que les deux articles d’Emmanuel Amiot «À propos des canons rythmiques» et «Why Rhythmic Canons Are Interesting» offrent une liste explicite des résultats mathématiques qui sous-tendent l’ensemble des recherches sur les canons rythmique, et entre autre les canons de Vuza. Leur lecture est donc fortement conseillée pour quiconque cherche à approfondir sa compréhension des structures et théorèmes mathématiques qui nourrissent ces recherches.

[16] Cette pièce a été utilisée pour le film Eclipse de Pascal Signolet. Il serait intéressant de voir si la structure profonde de la pièce est mise en résonnance avec celle du film. Le long cycle des éclipses et le long cycle des canons de Vuza laissent entrevoir une telle possibilité.

[17] Il est possible d’écouter des extraits sur le site du compositeur.

[18] L’article de d’Andreatta (Andreatta, 2014) offre une belle introduction aux liens entre la théorie des groupes, des pavages, des progressions harmoniques représentées sur des cycles et les tonnentz.

Les fondements de l’écriture procédurale : images, espaces et algorithmie musicale de l’algèbre aux fractals. (Chapitre 2.3-2.4)

2.3 La forme de la partition et les pavages

La forme globale de la partition a déjà intéressé d’autres compositeurs. Un exemple qui date déjà est la partition de Baude Cordier pour son canon cyclique Tout par compass suy composé[1]. Dans cette œuvre, la forme structurale de la pièce est reflétée dans la forme de sa partition, point qui devriendra fondamental dans la prochaine section.


Figure 8: Tout par compass suy composé de Baude Cordier. Source : http://www.gordsellar.com/2014/12/09/baude-cordier-pando-and-the-lifecycle-of-radical-music/

La partition musicale standard peut également limite parfois les nuances que le compositeur veut mettre sur papier. Nous avons déjà vu que problème existait déjà en terme de reproduction d’une interprétation, mais l’équivalent existe également directement au moment de la composition. Un des premiers compositeurs à avoir retravaillé la forme même de cette écriture musicale occidentale est Henry Cowell pour sa composition The Banshee. Afin d’obtenir des effets particulier, Cowell se voit dans l’obligation d’inventer plusieurs symboles qu’il explique en annexe à sa partition afin d’en permettre la bonne interprétation. Ce principe sera repris par plusieurs compositeurs autant en Europe avec des compositeurs comme Edgar Varèse, Pierre Boulez et Karlheinz Stockhausen qu’aux États-Unis avec Morton Feldman, John Cage, Milton Babbitt et plusieurs autres. Les possibilités offertes par les partitions qui n’utilisent plus la portée a motivé plusieurs compositeurs à explorer et réinventer la représentation graphique de la musique.


Figure 9: Xenakis. http://www.musicainformatica.org/topics/upic.php

Il n’est pas étonnant de voir que cette tradition se perpétue dans l’écriture musicale par ordinateur. Nombre de programmes proposent des interfaces interactives qui proposent un bon nombre de principes similaires à ces partitions graphiques. Le programme de Matthews offrait déjà une présentation graphique dans les années 50 et peu après celle de UPIC de Xenakis permettait d’écrire directement sur une surface sans passer par la retranscription note par note (Verdier c, p. 81) Plusieurs programmes de compositions par ordinateurs utilisent encore ce principe de synthèse graphique.

Dans le mouvement qui a rapproché les nouvelles formes d’écritures musicales et la peinture d’artistes comme Rothko, Jasper Johns et d’autres, la forme de la fugue est peut-être la forme musicale qui a inspiré le plus grand nombre d’œuvres visuelles. Des artistes tels que Vassily Kandinsky, Adolf Hölzel, František Kupka et Paul Klee ont tous peint des toiles faisant explicitement référence à la fugue et qui, à l’aide de motif abstrait, reprennent les motifs d’entrelacs à plusieurs voix en projetant ce principe par des entrelacs de formes et couleurs (von Maur, 2005). La beauté du fondement de ce principe de transposition vient d’une double possibilité; celle de travaillé le principe visuel de la fugue de manière macroscopique afin d’en favorisé une réception visuelle similaire comme il en est le cas pour les peintres mentionnés, mais aussi la possibilité d’en reprendre des règles d’écriture microscopique qui peuvent ensuite mener à une étude fonctionnelle de la fugue et de ses dérivés.

Une des plus belles évolutions de structure vient du canon. Par son principe de base relativement simple, la recherche sur les structures des canons a mené à de belles découvertes. Le premier effort important dans l’étude des canons est l’omission de la dimension harmonique afin de n’étudier que le rythme en soi, entreprise dont le premier pas significatif est dû à Olivier Messiaen (Andreatta 2013, p. 64). Déjà, dans son Traité de rythme, de couleur et d’ornithologie, le compositeur distingue la possibilité de construire des canons à l’aide de rythmes non rétrogrades, c’est-à-dire des rythmes symétriques par rapport à un de ses temps, c.-à-d. des rythmes palindromes. Parmi les observations faites par Messiaen, il y a le résultat que la concaténation de rythme non inversible de mêmes durées résulte en un nouveau rythme non inversible. En d’autres mots, la concaténation de palindromes possédant le même nombre de lettres donne également un palindrome. (Andreatta 2011, p. 16). Il est encore possible d’explorer davantage cette vision géométrique de la musique. Revenons pour un instant à des considérations qui incluent encore l’harmonie.

Hodges a remarqué qu’il est possible de mettre en lien le plan cartésien et l’espace de la partition musicale conventionnelle. Ou, pour reprendre les mots de Cucker à cet égard : « embed the space where music lives into the Euclidian plane » (p. 188). Or, pour se faire, il est important d’en concevoir les limites. Contrairement au plan cartésien dont les deux axes peuvent a priori posséder la même sémantique, ou le même type d’information, le plan musical lui distingue clairement l’axe des x qui prend la valeur temporelle et l’axe des y qui contient les informations sur la hauteur des notes. Il découle de ce fait qu’en voulait interpréter la valeur géométrique d’une partition, il nous est impossible de considérer les opérations qui permutent ces deux axes. Par exemple, les rotations de 90 degrés sont en générales proscrites[2]. Il est possible malgré tout d’aller chercher bon nombre de symétries qui permettent de classifier les formes géométriques possibles du plan (Hodges, p. 99)

Encore une fois selon les mots de Cucker, les canons perpétuels deviennent alors une « musical version of a frieze» (p. 194) Dans le langage mathématique, l’ensemble des opérations symétriques –qui laisse le résultat visuellement intacte – sur une bande infinie se nomme le groupe de frise[3]. Ce sont en fait les différentes manières de recouvrir une bande infinie à partir d’un motif de base et quelques opérations géométriques. Il est possible de classifier les frises de par les opérations de symétries qui permettent de conserver la frise intacte; ce sont en fait également les opérations qui permettent de recouvrir la bande à partir d’une figure initiale. Pour Hodges, les opérations possibles sont les translations, les rotations de 180 degrés et les réflexions horizontales et verticales[4]. Ces symétries peuvent servir d’outil pour le compositeur : Colon Nacarrow, par exemple, a travaillé avec tous les types de canons possibles avec ses Studies for player piano (Hodges, p. 111)


Figure 10: Les sept groupes de frise.

2.4 Canons, symétries et ruban de Möbius

L’évolution du canon démontre bien la valeur et la puissance de l’écriture procédurale. En travaillant directement sur une structure abstraite, des liens vers d’autres structures similaires se font automatiquement aux fils des siècles avec l’évolution de notre savoir sur ces différentes structures. Nous débutons ici à partir de l’exemple d’un canon précis qui est emblématique de cette évolution et des différents liens qui existent entre une multitude de structures.

Lors de sa visite à l’Empereur Frédéric, fervent amateur de musique, Bach eut la chance d’écouter une mélodie composée par ce dernier. Il improvisa même, selon ses compétences légendaires, une fugue basée sur cette mélodie. Bach rendit hommage à cette rencontre fortuite en composant L’Offrande musicale, suite de pièces basée sur ce thème et chacune inspirée d’une structure particulière. L’une d’entre elles est un canon cancrizan. Cette partition est en fait un canon dont la partition doit se lire de gauche à droite et vice-versa simultanément[5]. En termes géométriques, la partition de la seconde voix s’obtient par une symétrie verticale au centre de la partition pour la première voix[6].

Les jeux de symétries ont été perçus d’un bon œil par Slonimsky. En 1971, il proposa pour la revue Source dédiée aux compositeurs d’avant-garde une composition intitulée Möbius Strip Tease. Cette partition doit être découpée de la page et recollée comme un ruban de Möbius. Le chant qui ponctue cette composition glorifie ce fameux ruban.


Figure 11:Slonimsky et John Cage. Source : http://blogs.kcrw.com/rhythmplanet/show-84-nicolas-slonimsky-amazing-musical-iconoclast/

Xantox, un peu dans la lignée du travail de Slonimsky,  reprit cette idée avec la composition de Bach. Sa vidéo en collaboration avec Jos Leys présente comment la lecture de la partition équivaut en fait à une lecture simple sur le ruban de Möbius, simple puisque nous n’avons pas à tourner la feuille de haute en bas, ce qui peut sembler une action inutile et gratuite pour certains, devient naturelle et même obligatoire sur le ruban de Möbius. Ce qui n’est pas dit explicitement dans le court métrage est que l’on considère cette surface comme transparente comme le film cinématographique, de sorte que les notes puissent se lire de part et d’autre du ruban[7]. La lecture se fait automatiquement de part et d’autre de la structure du ruban par les deux tiges de lectures. La forme du ruban permet d’exprimer qu’il n’y a en fait qu’une partition et que le point de départ est en fait aussi celui de sa fin. Il est important que cette transposition vers le ruban de Möbius ne dépend en aucun cas de la sémantique de la pièce, ou même des tonalités choisies, ce qui rend cette transposition possible est en fait sa structure fondamentale.

En 1932, dans la vague de la Gramophonmusik Georg Schünemann proposait que l’utilisation de vinyles favoriserait l’écriture de canon cancrizans puisque l’on pourrait simplement faire jouer un disque à l’endroit et un second à l’envers (Katz, p. 110) Il est désormais aisé de s’imaginer un petit programme de composition qui se dédie à permettre l’écriture de canon cancrizans presque qu’automatiquement ou doublant chaque note au début de la pièce comme une suite de parenthèse, assurant ainsi la forme du palindrome.

Il existe toutefois une méthode simple et ingénieuse qui permet une construction mécanique presque qu’automatisé de symétries musicales. Peut-être inspirée d’un travail de R. Tremblay dans le Mechanical Music Digest, Vi Hart propose une méthode efficace pour composer des symétries en se basant sur ce principe. Par un jeu de pliage, elle superpose les sections du ruban de Möbius qui doivent être symétriques afin de permettre le bon ‘’fonctionnement’’ sa composition lorsque lues sur la surface. Elle perce alors des trous dans ce papier, le déplie et obtient automatiquement le résultat désiré[8]. Il est à noter que cette écriture à l’aide des pliages est possible en fait à cause de la symétrie même du ruban de Möbius. Son écriture est davantage qu’une écriture sur le ruban, c’est une écriture à même la structure géométrique; l’apport des symétries résulte naturellement de cette écriture. C’est pourquoi elle discute à la fin de son vidéo de la possibilité d’écrire avec des réflexions glissées puisque celles-ci apparaissent naturellement sur le ruban de Möbius.

 Nous avons mentionné rapidement le groupe de pavage du plan cartésien; or il existe un équivalent pour une surface qui se nomme le twisted cylinder[9]. Pour obtenir cette surface, nous imaginons que nous avons une bande qui monte et descend à l’infini, mais qui possède une largeur précise et finie. Nous obtenons la dite surface en rejoignant les deux segments de droites en sens inverse, comme nous l’avions fait avec le ruban de Möbius. En ce sens, le ruban de Möbius n’est qu’un segment d’une coupure horizontale du twisted cylinder. Le groupe de symétrie du ruban lui est donc transmise du twisted cylinder et il est possible de montrer que le groupe de pavage du twisted cylinder est en fait généré par la réflexion glissée, (Stillwell 1992, p.32)  Cela résulte à l’écrite naturelle de composition en forme de réflexion glissée lorsque la partition se trouve sur le ruban de Möbius. (Figure 12)


Figure 12: Canon sur ruban de Möbius. Source: http://www.josleys.com

Cette suite d’évènements démontre bien la puissance de cette forme d’écriture qui permet à des structures de traverser plusieurs domaines. L’étude des canons, en plus d’avoir des connexions avec des surfaces de représentation de la partition, permet de construire des liens avec des structures strictement algébriques.

[1] La forme de la traditionnelle portée est également mise à mal dans un travail de George Crumb qui transforme la partition pour lui donner de multiples formes pour la suite Makrokosmos.

[2] Il est possible d’avoir certain motifs rotationels de la sorte, mais seulement si ce n’est qu’une rotation des notes sur la portée comme dans un exemple tiré de la partition de Die Reihe 7 (1965) de Maurice Kugel (Hodges, p. 98).

[3] La notion de groupe en mathématique est importante et sera défini plus en détails dans la suite de ce texte.

[4] Notons qu’étrangement Hodges ne présente que cinq cas dans son article, contrairement à la définition du groupe de frises qui comporte sept combinaisons possibles. Cela est possiblement dû au fait que soit il considère que les deux cas qu’il ignore, la seconde et sixième ligne de la figure 10, sont équivalent à la première, soit il considère que géométriquement il est possible d’obtenir l’opération de réflexion glissée (glide reflexion) à partir d’une symétrie et d’une translation. En fait, pour le plan, toute transformation isométrique dans le plan est le résultat d’au plus trois réflexions (Stillwell 1992, p.10-12)

[5] Voici une petite animation de Michael Monroe : https://www.youtube.com/watch?v=36ykl2tJwZM

[6] Pour une analyse approfondie des symétries présentes dans L’offrande musicale voir le chapitre sur la musique dans l’ouvrage de Cucker.

[7] http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=349 et http://strangepaths.com/canon-1-a-2-2/2009/01/18/fr/. En fait, pour cette vidéo, xantox dit s’être inspiré de la réflexibilité en physique.

[8] https://www.youtube.com/watch?v=WkmPDOq2WfA

[9] Il n’est pas possible d’obtenir ce cylindre en trois dimensions, donc il reste plus simple de l’imaginer que de le construire.