Exhibition In Copenhagen

I have the chance to have three paintings on the walls of the Lighthouse cultural center in Copenhagen for few weeks. To visit, look at the calendar if the space is open, the paitings are available only when the space is open for activities.

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The paintings relate to my researches in narratology that can be found in favious articles of the blog. The main useful articles are:

Narrative Sculptures: Graph Theory, Topology and New Perspectives in Narratology.

and for french readers:

Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (1, 2, 3, 4)

The four pieces presented there are the following:

Infinite Walls

Infinite Walls
Infinite Walls by Felix Lambert. Two Circles on a torus. Copyright: Felix Lambert, 2017

Handcuffs

Handcuffs
Handcuffs by Felix Lambert. Two circles on the plane. Copyright: Felix Lambert, 2017.

Lost in Days and Nights

Lost in Days and Nights
Lost in Days and Nights by Felix Lambert. Two circles on the torus. Copyright: Felix Lambert, 2017.

To complete stories represented by the paintings are presented by the side of the paintings at The Lighthouse. Visit the place, Pasteursvenj 8, Copenhagen, Denmark, to read the stories.

To visit the rest of my work, please visit my website.

http://metonym.io/

Felix Lambert

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Arrival: On the other side of a narrative language

Today is a great day for narratology. It is so for the simple reason that we agreed to make things more complicated, beautifully so. It doesn’t matter how many Oscars end up in the hands of Denis Villeneuve for his sci-fi movie Arrival, what matter is its inescapable presence.

Storytelling, in all forms, has always been a way to shape our minds. Stories need to be entertaining in order to stand out from all the available ways to occupy ourselves, but also need to be challenging so we can step out of our habits, and learn to think something new.

Many movies have been able to satisfy both sides of the balance. Some by the order the story is been told, as for movies from Pulp Fiction (Tarantino, 1994) to Memento (Nolan, 2000) and some reached similar effect by the inner story structure like Primer (Carruth, 2004), Looper (Johnson, 2012) or Triangle (Smith, 2009).

What makes Arrival particularly interesting is the prominent place given to a language itself, a language that allows for more intricate patterns and storytelling process.

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Indeed, being presented on the other side of the mirror, within the diegetic world itself, this language permits time traveling by itself, understanding both future and past events at the same time and acting coherently with all of them.

Sadly, there is no proof such a language exist in our world. What we do have though is languages that help us understanding stories as groups of logical interactions of groups of events, just like in the classic publicity against drug abuse where one works more, to make more money, to make more drugs, to work more.

Of such languages are mathematics and the way we can use them to represent and understand stories, our own stories, and our own patterns. Such simple examples can easily be drawn and analyzed with graph theory and topology.

A conclusion we can drawn from Arrival, both in its content and its worldwide popularity, is that we might need to accept the fact that we need to learn something new to be able to solve, as humans, the the various pressing worldwide problems that could lead to our extermination, or at least mass decimation.

The fact we all seemed to touch so many of us could simply be the fact that it addresses the conclusion we have all already made, somewhere in our self-regulating surviving minds: we need to find solutions, solutions to problems deep enough that it could involve restructuring the way we tell ourselves, as a species, our own story, through mass media, through education, through thinking.

The fact that Arrival is there tonight might be a very indirect way of admitting it. Movies that create intricate story structures are a strong first step, since they are also a language. Arrival stands clearly as its own pertinent example. It’s entertaining enough that masses want to watch it, and complex enough so that we need to make links ourselves, conclude ourselves, think a step further.

The real arrival that is needed is not the aliens’ one, it’s the arrival of new languages, new paradigms.

Félix Lambert.

Les fondements de l’écriture procédurale : images, espaces et algorithmie musicale de l’algèbre aux fractals. (Chapitre 2.5-2.6)

2.5 Les canons rythmiques et l’algèbre

Sans tomber dans les détails minutieux, nous allons à ce point introduire un peu plus d’algèbre afin d’en comprendre les liens avec les canons rythmiques. Pour cela, nous devons définir ce qu’est un groupe. Un groupe est simplement un ensemble muni d’une opération définie entre les éléments de cet ensemble de sorte qu’il existe un élément neutre, un élément inverse et que cette opération soit associative. Pour donner un exemple concret, les nombres entiers munis de l’opération d’addition forment un groupe. L’élément neutre est 0 puisque N + 0 = 0 + N = N, donc cet élément additionné à gauche ou à droite d’un nombre entier ne change pas ce nombre. L’élément inverse de tout nombre entier est son inverse puisque N + (-N) = (-N) + N = 0, c’est-à-dire que l’élément –N additionné à gauche ou à droite de N donne l’élément neutre. Finalement, l’opération est associative puisque (L + M) + N = L + (M + N).  Pour en revenir aux groupes de frise. La première ligne de la figure 10 reste intacte si nous translatons de N figures vers la droite, de refaire une translation vers la gauche, -N, revient à avoir laissé la frise intacte, donc à l’élément neutre 0. L’associativité découle naturellement du même principe.

Un autre groupe qui nous importe ici est ce même groupe des entiers de pair avec l’addition, le groupe (Z,+),  peut-être quotienté pour obtenir le groupe cyclique Z /12Z. Ce groupe est en fait l’addition modulo n (Dummit et Foote, p. 8-9), ce qui veut dire que lorsque l’on obtient une somme de 12, on revient à 0. Par exemple, 10 + 2 = 0 (mod 12) et 9 +6 = 3 (mod 12).

Ce groupe est important puisqu’il apparaît dans l’analyse harmonique de plusieurs compositeurs (Andreatta et Agon, p. 70), dont celle d’Anatole Vieru qui travailla proche de Vuza. Pour bien comprendre ce fait, imaginons que ce qui nous intéresse est la note et non pas son octave, il en découle que le onzième demi-ton de la gamme augmenté d’un demi-ton revient à la fondamentale de la gamme. Tout comme pour le groupe Z /12Z, il est possible de représenter cette situation par un diagramme circulaire

 Évidemment, cette représentation peut servir également à la représentation d’un rythme à douze temps. Nous avons déjà rencontré ce type de représentation dans le travail de Demain. Une des questions qui revient encore une fois est l’idée de pavage. Nous voulons recouvrir les douze temps du rythme une seule et unique fois à l’aide de la translation d’un rythme de base. Par exemple, le rythme (101010101010) et son rythme translaté d’un temps vers la droite (010101010101) couvre les douze temps sans intersection, sans que deux notes soient jouées en même temps. Le jeu devient intéressant lorsque nous voulons construire des canons un peu plus complexes, possiblement sur un plus grand nombre de temps.

Les groupes sont importants dans la compréhension de plusieurs structures, notamment celle des pavages, des transformations géométriques et finalement de certaines opérations musicales. Ce travail est accompli à l’aide de la notion d’isomorphisme de groupe qui permet de comparer la structure interne de deux groupes; deux groupes isomorphes fonctionnent de la même manière. Par extension, comprendre les liens qui existent entre différent groupes revient à comprendre les liens entre différentes applications artistiques. Ces isomorphismes définissent des liens fondamentaux entre des opérations et «the result is an articulation of structure». (Rothstein, p. 130)

Pour démontrer le lien avec l’algèbre, nous pouvons décomposer le groupe Z/12Z en la somme directe de deux autres groupes, ce qui veut dire que chaque élément du premier groupe sera additionné à tous les éléments du second groupe. Nous pouvons voir que Z/12Z = Z/4Z Z/3Z, c’est-à-dire que le cycle de 12 est composé de 3 cycles de 4 ou de 4 cycles de 3.

Du point de vue rythmique, cela veut dire que si l’on prend le rythme qui marque chaque 4 temps comme rythme du canon (nommé rythme interne) et que nous les entamons au temps  0,1 et 2 (rythme externe), nous obtenons un pavage rythmique. En effet, nous obtenons les rythmes suivants (100010001000), (010001000100) et (001000100010) qui excluent toute superposition de temps. Évidemment, nous aurions pu faire le choix inverse et prendre Z/3Z comme rythme interne et prendre Z/4Z comme rythme externe.

2.6 Le Monstre de Vuza

Nous voulons à présent présenté un travail particulier, celui du roumain Dan Tudor Vuza. Le but ici n’est pas de simplement répéter une historiographie autour de ces compositions, mais d’exposer l’incroyable profondeur des structures qui se cachent derrière ce travail. En effet, comme nous allons le démontré, la migration des concepts et structures effectue un va et vient entre nombre de domaines d’études et de créations artistiques. Ce chemin est déjà partiellement tracé par les exemples préalablement étudiés concernant les pavages de l’espace et les canons rythmiques. Pour ne nommer que les grandes avenues principales de ce réseaux, on y trouve de l’algèbre, de la théorie des nombres, les pavages du plan, les pavages à n dimensions, les canons rythmiques, les théories modales de Babbitt et d’Anatole Vieru, l’analyse de Fourier. Nous présentons quelques définitions formelles qui permettent de remplir certains espaces vacants dans l’échafaudage des concepts et théorèmes qui sous-tendent ou découlent ces compositions.

Le lecteur intéressé peut compléter cette lecture à partir des textes éclairants de Moreno Andreatta et d’Emmanuel Amiot, tous deux issus d’une tradition différente et soulignant des aspects complémentaires de ce corpus. Ces textes offrent de nombreuses définitions formelles qui viennent appuyer les résultats mentionnés dans cette section. Ce qui suit est davantage une présentation des différentes migrations paradigmatiques, c’est-à-dire des différentes transpositions entre les aspects mathématiques, géométriques, tonals et rythmiques. Puisque l’étude des canons de Vuza est un espace de convergence, nous devons de retracer l’histoire à partir deux points de départs indépendants, soit l’algèbre et la musique.

La naissance de l’algèbre en Europe au moyen âge est en fait issue de pratiques existantes dans le monde arabe, connues sous le nom d’al-jabr, ce qui signifie balancement ou remplissage. Les savants alors de longues phrases représentant le balancement d’objets dont l’un était inconnu et le tout a finalement été traduit en équations. Des équations qui ont alors vu le jour sont celles composées de combinaisons linéaires de différentes puissances d’une même variable. Ces équations sont des polynômes. On s’intéressa alors à trouver les racines[1] pour différents polynômes[2]. Si la résolution des polynômes de degrés deux est connue depuis Al-Khwarizmi avec la fameuse formule quadratique, celle des degrés supérieurs exigea des recherches plus approfondies. L’Italien del Ferro trouva la forme d’une solution générale pour le degré trois en vers 1500, et de cette méthode Ferrari découla la méthode pour le degré 4. (Stillwell 1994, p. 15) La résolution algébrique du degré 5 allait mener à plusieurs complications. Galois montra en fait qu’il n’existe pas de méthode de résolution générale pour les polynômes de degrés 5 et plus.

Les liens entre la théorie des équations et le groupe de symétrie ont été envisagée par Lagrange dans son traité Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1771). Il explique entre autre les solutions pour les équations de degré trois et quatre par les groupes de symétrie S₃ et S₄. (Stillwell 1994, p.125-126) Le mathématicien allemand Félix Klein avait quant à lui bien compris l’importance de la théorie des groupes dans l’étude de la géométrie[3]. Une des approches intéressante propose une classification des surfaces via les différents groupes de symétries[4] (Stillwell 2010, p 64). Les cas les plus simples d’étude des symétries d’une surface apparaissent naturellement avec les motifs sur une bande et sur un plan. Si le cas des bandes infinies offre sept possibilités, le plan cartésien lui offre 17 cas possibles. (Francis et Weeks, 1999)

L’études des pavages du plan existe depuis longtemps puisque ceux-ci apparaissent naturellement comme solution esthétique en architecture pour les surfaces planes (murs, planchers et ainsi de suite) Un travail d’exploration de ces 17 groupes de pavages a été fait par l’artiste M. C. Escher qui y dédia une grande partie de son œuvre en plus de comprendre que la géométrie des pavages s’applique également aux géométries non euclidennes, celles pour lesquelles le l’axiome des parallèles n’est pas respecté[5]. Cependant, leur étude nous éloigne des canons de Vuza et nous ne les abordons pas. Les recouvrements de l’espace peuvent tout de même être étudiés dans une autre optique, celle de la généralisation des pavages de l’espace euclidien à n dimensions.

Ce petit détour par la énième dimension est un passage obligé vers les canons de Vuza, détour qui débute en fait débute par la conjecture de Minkowski. Après avoir travaillé sur l’approximation de nombres réels à partir de nombres rationnels (Szabó et Stein, p. 1-22), il fit l’observation suivante : lorsque l’on effectue un dallage régulier du plan avec des carrés isométriques, nous obtenons des lignes ou une colonne de carrés parfaitement alignés. Autrement dit, des carrés partage des côtés communs. Remarquant que cette propriété tient également avec des cubes –que les cubes partagent des faces carrés communes- il conjectura que cela était vrai pour tout pavage réguliers de l’espace avec des cubes de n dimensions. Plus précisément, il conjectura que tout pavage basé sur un treillis de l’espace euclidien à n dimensions contient au moins une paire de cube qui partage une face de dimension n-1. (Stein et Szabó, p. 22)  Dans ce théorème, un treillis est un ensemble ordonné de points dans l’espace. (Figure 13) Un pavage en treillis implique que les carrés sont ordonnés de la sorte, par exemple en posant le coin inférieur gauche du cube sur chaque point. Ce principe se généralise naturellement plus un plus grand nombre de dimensions.

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Figure 13: Treillis

Il fallut attendre 45 ans pour que Hajós propose trouve une solution au problème, solution qui tire toute sa force par sa transposition en problème de théorie des groupes. La version du théorème de Hajós stipule que pour toute factorisation d’un groupe fini abélien[6] en le produit direct de sous-ensembles cycliques, au moins un des facteurs est aussi un groupe[7].  Une particularité fort intéressante dans le travail de Hajós est qu’une fois la transposition de la conjecture de Minkowski en problème algébrique, le nombre de facteurs dans la décomposition n’a plus besoin d’être égale au nombre de dimensions de pavage cubique! (Szabó et Stein, p. 28) En 1930, Keller proposa que la condition d’être un treillis pouvait être retirée, mais Lagarias et Shor ont démontré que cette hypothèse est fausse pour les dimensions supérieure à 10[8]. (Szabó et Stein p. 28) La propriété d’être un groupe de Hajós est d’être abélien et factorisable en des ensembles cycliques. Ce sont donc les groupes sur lesquelles le théorème de Hajós est applicable.

Pour en revenir à Z/12Z, nous avons déjà montré que nous pouvions le décomposer en le produit direct de deux groupes cycliques Z/3Z et Z/4Z, c’est donc un groupe de Hajós et le théorème est applicable.  Il est possible de le décomposer en {0,1,5} et {0,3,6,9}. Dans ce cas, le premier ensemble n’est pas cyclique, mais le second l’est. Par le théorème, il en est ainsi pour toutes les décompositions de Z/12Z. Le plus petit groupe à ne pas posséder une telle décomposition est Z/72Z.

Or, voyons désormais quel en est le lien avec la musique. De ce point de vue, nous devons présenter deux apports importants de Dan Tudor Vuza. Le premier est la transposition de la théorie modale d’Anatole Vieru vers la structure rythmique et par ce fait même permettant de migrer les outils du problème du dallage harmonique vers celui du dallage rythmique (Andreatta 2011, p. 42) Le second est ce qu’Andreatta nomme «a milestone in the development of the mathematical theory of tiling canons…» (Andreatta 2011, p. 41). Ce sont les canons réguliers complémentaires de catégorie maximale[9] dit les canons de Vuza. Ces canons permettent un pavage parfait[10] d’un cycle de temps à l’aide de rythmes qui ne possèdent pas de périodicité dans leurs rythmes internes et externes (Andreatta 2014 p. 66). Dans la ligné du travail de générations de rythmes asymétriques à l’aide de l’algorithme de Bjorklund, cette avancée permet au compositeur de se libérer des contraintes de régularités des entrés de voix lors de la composition de canons[11] (Andreatta   2011, p. 44)

Or, il se trouve que les solutions pour trouver les canons de Vuza sont précisément les groupes qui ne sont pas des groupes de Hajós, comme le groupe Z/72Z. Dan Tudor Vuza ne connaissais pas ces résultats issues de la conjecture de Minkowski, ce qui explique que sa démarche fut toute autre[12]. Une solution pour la décomposition du groupe Z/72Z est donnée par A= {0,1,5,6,12,25,29,36,42,28,29,53} et B={0,8,16,18,,26,34}[13]. Ces deux ensembles forment donc les rythmes interne et externe d’un canon de Vuza.

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Figure 14: Décomposition de Z/72Z et un canon rythmique associé par Moreno Andreatta. Source:http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/RapportMoreno.html

Or, si l’algorithme de Vuza pour a pu offrir une liste complète des décompositions possibles pour Z/72Z, tel n’en est pas le cas pour les autres groupes de non-Hajós Ce fait a été découvert par Moreno Andreatta, Emannuel Amiot et Harald Fripertinger[14]. L’œuvre de Vuza ne s’arrête donc pas avec la création de son algorithme comme solution générale au problème de construction des canons réguliers complémentaires de catégorie maximale et ce pour plusieurs raisons.

Premièrement, l’implémentation et l’analyse de l’algorithme de Vuza par Andreatta dans la pratique de nourrir encore davantage la compréhension théorique des canons de Vuza. Comme l’écrit Andreatta:

                «Building computational models of formal constructions may radically change the perspective on     a given music-theorical problem by emphasizing its experimental component. In the case of the construction of tiling canons, having a computer-aided model made evident a series of properties that would have been difficult to perceive by relying purely on the original theoretical model. For instance, one can show computationally that in non-Hajós groups almost all ‘’outer rythms’’ obtained by Vuza’s algorithm have the property of being palindromes, which establish an unexpected connection with Olivier Messien’s original attempt at constructing canons based on non-invertible rhythms.» (Andreatta, 2011, p. 52)

Il apparaît clairement que l’implémentation de l’algorithme de Vuza a permis deux choses : de compléter le catalogue des canons possibles et de découvrir certaines caractéristiques supplémentaires de ces canons. Le travail de Vuza n’est donc pas complet sans sa mise en forme pratique, sans l’application d’une procédure artistiques certes, celles des compositions musicales, mais aussi celle de la constitution même du catalogue de son corpus éventuellement infini.

Deuxièmement, le travail de Dan Tudor Vuza a offert des résultats à propos groupes non-Hajós avant même que ces résultats soient découverts par des mathématiciens. Par exemple, si un groupe non-Hajós d’ordre n admet une factorisation en deux ensembles A et B, il admet aussi la factorisation en les ensembles kA et B pour k copremier avec n. Ce résultat n’a été obtenu qu’ultérieurement par les mathématiciens Tijdeman en 1995 et par Coven et Meyerowitz en 1999. (Andreatta 2011, 51) De plus, nombre de recherches tissent des liens avec d’autres structures mathématiques, par exemples avec les polynômes cyclotomiques[15]. (Amiot 2011, p. 9-12) Finalement, il y aurait possiblement un lien avec un autre objet théorique fort complexe qu’est la conjecture spectrale, ou conjecture de Fuglede. Les canons de Vuza pourraient apparaître comme contre-exemple de la conjecture de Fuglede pour la dimension 1. (Andreatta 2011, p. 55)

Malgré les subtilités macroscopiques de l’écriture de canons de Vuza – le rythme interne d’un canon n’est pas évident lorsqu’étalé sur 72 temps- quelques compositeurs se sont aventurés dans la composition d’œuvres basées sur ces techniques. Nous pouvons citer les œuvres Coïncidendes de Fabien Levy[16], La Descrizione del Diluvio de Mauro Lanza et Empreinte sonore pour la Fondation Beyeler de Georges Bloch, basée sur une composition de Thelonius Monk (Andreatta et Agon, 2009, p. 68). La partition simplifiée de la section en canon de Coïncidendes (fig. 14) permet de voir la solution utilisée par Fabien Lévy. Le rythme interne du canon à six voix est (0, 11, 17, 20, 23, 24, 44, 47, 48, 53, 59, 68) et le rythme externes est (0, 22, 38, 40, 54, 56). La troisième ligne de la figure contient les premiers temps du pavage rythmique (le premier temps de la ligne est le 72ième temps, le renouvellement du cycle)[17].

La structure de ces pièces nous échappe en tant qu’auditeur puisqu’il est presque impossible de garder trace des rythmes internes et externes de ces canons. Dans le cas de la pièce de Lévy, l’auditeur fait face davantage à des informations continues qu’à une structure contrapunctique (Andreatta et Agon, p. 67); l’introduction du canon est très subtile. Par conséquent, il est normal de s’interroger sur la valeur de ces compositions comme œuvres musicales, ou du moins celle de l’apport rythmique de ces compositions. Au sujet de son propre usage des canons de Vuza, Lévy mentionne que l’oreille ne perçoit pas le canon ni la répétition, mais qu’il est tout de même possible d’en dégager un sens général de cohérence structurel (Lévy, p. 30). C’est le pas vers la recherche d’une structure cachée qui, en fait, en donne toute la valeur perceptive. Comme l’asymétrie des rythmes Euclidien les rend intéressants, la structure irrégulière de la décomposition des groupes non-Hajós font des canons de Vuza des structures riches qui cachent en fait tout un réseau d’informations. Il n’est pas surprenant de voir que ces deux exemples tirent leur complexité d’une structure extrêmement asymétrique, celle des nombres premiers et relativement premiers.

FabienLevy

Figure 15: Représentation de la section qui contient le canon de Vuza dans la partion de Fabien Lévy

Comme le démontre l’historique des différents apports de la musique, des arts visuels, des mathématiques et de l’informatique, ces œuvres se positionnent à l’intérieur d’un réseau de concept énorme ce qui fait en sorte que ces compositions ne sont ni fondamentalement musicales, ni mathématiques, ni visuelles. Leur essence réside en leur structure  qui apparaît comme la conséquence d’un échafaudage construit à partir de la théorie des pavages, de canons rythmiques eux-mêmes partiellement issus des pavages harmoniques[18], et de la théorie des groupes. Ne considérer ces œuvres que dans leur modalité musicale revient à n’observer qu’une façade d’un palais majestueux.

C’est la nature rhizomique de ces structures qui explique que les répercussions se multiplient autant par les futurs défis compositionnels qu’elles impliquent que par les nombreuses recherches mathématiques qu’elles engendrent. Sa valeur ne tient pas seulement dans charge synthétique d’éléments de plusieurs sens et paradigmes, mais elle en doit aussi à sa capacité à élargir notre perception tant à la valeur rythmique qu’à la profondeur sémantique de l’œuvre.

Si une œuvre peut prendre de la valeur et faire sens, ce n’est pas simplement par la force de ces affects purs; la lecture de l’œuvre passe également par ce qu’elle implique comme savoirs. Plus le réseau de savoir est vaste, plus les schèmes impliqués sont nombreux et plus la valeur sémantique de l’œuvre gagne en puissance. Il est évident que la lecture d’un canon de Vuza implique une quantité de savoirs qui dépasse largement celui d’un auditeur non averti et si cet espace possible de compréhension laissé par l’œuvre découle de la nature interdisciplinaire qu’elle sous-tend, c’est également parce qu’elle invite à participer à cette transgression des frontières et remplir cet espace vacant. L’écriture procédurale se positionne précisément dans cet espace libre parce que ce lieu permet d’accéder rapidement à divers paradigmes.

[1] Valeurs pour lesquelles le polynôme donne zéro.

[2] Petite note intéressante, les racines irrationnelles étaient nommées asamm par Al-Khwarizmi, c’est-à-dire sourde ou muette. Gérard Crémone a traduit le terme par le latin surdus. (Dahan-Dalmedico et Peiffer, p. 85)

[3] En particulier, il fit la découverte des groupes de symétrie des polyèdres. (Stillwell 1994, p. 127)

[4] Connue désormais comme le programme d’Erlanger suite à la fameuse conférence qu’y donna Félix Klein.

[5] L’axiome stipule que par un point extérieur à une droite il passe une et une seule droite parallèle à la première.

[6] Fini car il possède un nombre fini d’élément comme Z/12Z, et abélien car commutatif, i.e. a + b = b + a.

[7] Plus précisément un sous-groupe du groupe original.

[8] En fait, la question mena à plusieurs autres conjectures et hypothèses, dont celle de Rédei qui ommet la cyclicité du groupe (Szabó, p. 28) et celle de Furtwangler qui permet de recouvrements partiels entre les cubes (Andreatta 2011, p. 48-49)

[9] Regular Complementary Canons of Maximal Category

[10] Chaque temps est couvert une seule et unique fois.

[11] Notons que des recherches afin de permettre des pavages asymétriques ou non réguliers existent également pour le pavage du plan. Escher déjà dans ces notes personnelles développait des formes complexes pour ses pavages à partir d’un carré. Toute transformation devait de faire à l’opposé sur les arrêtes transversales, ou de manière similaire sur les arêtes longitudinales. (Schattschneider, p. 48) Cette méthode revient en fait à appliquer des transformations continues sur deux cercles sur le tore de sorte que ces cercles soient respectivement longitudinal et transversal, qu’ils ne possèdent qu’un point d’intersection et qu’il ne respecte pas le théorème de Jordan sur le tore. Cela découle du fait qu’un pavage carré du plan cartésien est également un espace de recouvrement pour le tore (Munkres, p. 339)

[12] Il passe par exemple par l’utilisation des transformations de Fourier discrètes appliquées aux groupes finis localement compacts.

[13] Afin d’obtenir ce résultat, il est possible de passer par un algorithme décrit par de Bruijn en 1955. L’article d’Andreatta offre la démarche complète afin d’obtenir ce résultat à partir de l’algorithme de de Bruijn.

[14] Les deux derniers ont trouvé 252 nouveaux canons pour Z/108Z. (Andreatta 2011, p. 52)

[15] Notons que les deux articles d’Emmanuel Amiot «À propos des canons rythmiques» et «Why Rhythmic Canons Are Interesting» offrent une liste explicite des résultats mathématiques qui sous-tendent l’ensemble des recherches sur les canons rythmique, et entre autre les canons de Vuza. Leur lecture est donc fortement conseillée pour quiconque cherche à approfondir sa compréhension des structures et théorèmes mathématiques qui nourrissent ces recherches.

[16] Cette pièce a été utilisée pour le film Eclipse de Pascal Signolet. Il serait intéressant de voir si la structure profonde de la pièce est mise en résonnance avec celle du film. Le long cycle des éclipses et le long cycle des canons de Vuza laissent entrevoir une telle possibilité.

[17] Il est possible d’écouter des extraits sur le site du compositeur.

[18] L’article de d’Andreatta (Andreatta, 2014) offre une belle introduction aux liens entre la théorie des groupes, des pavages, des progressions harmoniques représentées sur des cycles et les tonnentz.

Les fondements de l’écriture procédurale : images, espaces et algorithmie musicale de l’algèbre aux fractals. (Chapitre 2.1-2.2)

Images, espaces et algorithmie musicale :

2.1 Les écritures musicales

Maintenant que nous avons défini la notion d’écriture procédurale, nous voulons en démontrer toute la puissance à l’aide d’une zone de convergence particulièrement fertile ; celle où se rencontrent les arts visuels, la musique et les mathématiques. Précisions que nous limitons plus précisément l’apport musical à celui du rythme. Cet apport demeure indissociable de celui des études harmoniques, mais l’étude approfondie de l’apport harmonique s’éloignerait de la visée de ce texte. Seules les mentions particulièrement utiles viendront s’ajouter afin de laisser voir l’influence qu’a pu avoir cette étude connexe.

Nous voulons avant tout retracer brièvement l’écriture assistée par ordinateur et l’écriture algorithmique. L’une et l’autre peuvent servir la cause de l’écriture procédurale et peuvent trouver des applications qui se portent aisément vers les espaces et les sons. Quoique très proches, ces deux écritures demeurent distinctes. La seconde se réfère principalement à un processus presqu’automatisé alors que la première fait usage d’un outil pour lequel l’algorithme s’applique aisément, l’ordinateur.

Les premiers compositeurs à s’être intéressés à l’écriture musicale à l’aide de l’ordinateur sont Max Matthews et John Pierce aux laboratoires Bell. Le premier programme d’écriture musicale par ordinateur est développé par Matthews en 1957. Music I ne permet l’écriture que d’une ligne mélodie, mais les versions ultérieures permettent l’agencement de plusieurs voix (Palacio-Quintin, p. 18-19). L’écriture dans les programmes de Matthews se sert de graphes en guise de partitions ce qui le rapproche des différentes notations développées à la même époque par des compositeurs comme Cage, Feldman et plusieurs autres. La particularité du travail de Matthews est qu’il y a synthèse de sons, contrairement par exemple à la composition Iliac Suite de Lejaren Hiller travaillant à l’époque avec L.M. Isaacson à l’université d’Illinois et qui ne se sert de l’ordinateur que pour composer la partition qui à son tour sera interprétée par un quatuor à cordes[1]. L’écriture de Matthews se  définit comme procédurale en partie car elle se base sur une notation musicale qu’il définit afin de permettre un usage particulier de l’ordinateur. Celle-ci s’articule au niveau même de l’écriture du programme puisque la création d’une forme de partition différente permet d’ouvrir sur de nouvelles possibilités. De son côté, le travail de Hiller et Isaacson n’est pas procédural par la forme de la partition, mais par l’implémentation de processus stochastiques dans le processus d’écriture[2]. Se faisant, Hiller et Isaacson ont introduit une notion supplémentaire dans le processus d’écriture procédurale; l’algorithme implémenté dans l’ordinateur.

L’écriture musicale algorithmique trouve ses sources dans une procédure automatisée. Les componiums du 19ème siècle sont déjà de premiers exemples de machines à composer[3]. Dans cette lignée se trouvent également les pianos à cylindres. À la base ces cylindres contenaient des versions automatisées de pièces déjà existantes, ce qui n’en fait qu’une simple transposition. À l’inverse, une écriture plus minutieuse apparaît lorsque l’objectif est de reproduire le doigté même du pianiste, c’est-à-dire que l’écriture sur le support tente d’ajouter des nuances qui ne sont peut-être pas écrites sur la partition. Déjà présente dans la pensée du Père Marie Dominique Joseph Engramelle lors de sa transcription d’une interprétation de Claude Balbastre pour le traité de 1778 sur les orgues écrit par Dom François Bèdos (Feaster, p. 7-12), cette tendance a s’est poursuivie avec la transcription plus mécanique d’un grand nombre de pianistes de l’époque, comme Gershwin, Rachmaninoff, Joplin et d’autres[4]. Notons que la richesse des nuances d’une interprétation réelle mena également Evgeny Cholpo à inventer des instruments qui permettent d’enregistrer les variations de tempo, tel le Mélographe et l’Autopianographe[5] (Smirnov).

Or, il y a automatisation d’une composition, mais l’appartenance de ces cylindres à l’écriture procédurale reste malgré tout difficile à définir. Contrairement à la pratique de reproduire les nuances de l’interprète, la composition à même les rouleaux pour piano mécanique permettent l’écriture et l’interprétation automatisée de pièces qu’un pianiste ne pourrait pas jouer. C’est ce qui a motivé les études pour piano de Colon Nancarrow[6] qui voulait outrepasser la contrainte performative de l’interprète. (Slonimsky, p  190-191) Il en est de même avec les études pour piano mécanique de Tom Johnson[7]. Ces partitions se basent principalement sur des motifs géométriques qui sont interprétés comme tels par le piano mécanique, motifs possiblement inspirés en partie des études pour piano de Ligeti pour lesquels les motifs géométriques sont très apparents[8]. Dans ce cas, l’écriture musicale est subordonnée à différents motifs géométriques plutôt qu’à la dextérité de l’interprète. Cela marque une participation double à l’écriture procédurale, l’une par sa partition à mi-chemin entre le visuel et le musical et l’autre de par son interprétation automatisée, celle d’un automate qui possède la capacité de transformer cette structure visuelle en structure mélodique et rythmique. Pour comprendre ce fait, je peux tenter d’interpréter les structures géométriques présentent dans un extrait d’une partition de Nancarrow, dans notre cas un extrait de l’étude 49c (Figure 5). La section gauche de l’image donne l’effet de trois structures miroirs vaguement décalé sur l’axe du temps (de gauche à droite) et sur l’axe harmonique (de haut en bas). Cette interprétation géométrique peut-être justifiable en soi, mais il est important de comprendre da variété des apports de son interprétation mécanisée. Par exemple, l’axe harmonique pourrait aller de haut en bas. Également, une fois son interprétation mécanique peut mener vers des effets sonores différents. La lecture visuelle ne me permet pas de différencier l’effet produit par la suite de note précise. Peut-être que le premier triplet descendait de la structure en miroir de du haut entre plus aisément en résonance avec la structure ascendante de la seconde structure en miroir en vertu d’une tonalité similaire, ou simplement avec celle de la troisième structure en miroir. Tous ces effets dépendent de la lecture automatisée précise de la partition.

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Figure 5: Colon Nancarrow, Piano Study No. 49c (Extrait) Source : http://www.nancarrow.de/arbeitsweise.htm

Notons que plusieurs autres compositeurs, tels James Tenney[9], ont également travaillé ce type d’écriture.

L’acte d’écriture peut également s’inspirer fortement des mathématiques, ou même d’une géométrie propre à celles-ci. Tom Johnson s’est inspiré directement des fonctions sinusoïdales pour la composition Cosinus pour piano (Figure 6). (Delahaye 2004, p. 90) Le transfert de structure est double, il y a  d’abord le transfert de la forme visuelle du graphique de sin(x) vers la forme de vague dans l’espace de la partition et ensuite celui de la forme de vague visuelle vers l’effet de vague sur les fréquences. Par conséquent, un oscilloscope pourrait directement nous redonner la partition de Johnson. Cet exemple démontre comment une structure, si elle est bien établie, se transfert d’un médium à un autre et que la relation inverse devrait également tenir.

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Figure 6: Cosinus pour piano de Tom Johnson. Source: Pour la Science nu. 325

Si la forme de la partition permet de mettre en lien des structures tonales et des structures visuelles elle permet aussi de modifier la manière de percevoir théoriquement la musique. Elle ajoute non seulement une dimension visuelle à la musique, dimension qui est le réel prolongement d’un même objet abstrait, mais elle justifie également l’étude théorique de la musique basée sur la potentialité de son support écrit. En effet, la partition, ou forme simplifiée de la partition, peut servir comme objet ou modèle d’étude. Tel est le cas avec la représentation de rythmes comme des mots binaires ou comme structures cycliques. Avant que de se plonger plus en profondeur dans l’étude de la forme de la partition, voyons un premier cas de partition musicale simplifié qui permet une étude musicale particulière et qui a mené vers une forme d’écriture algorithmique fort intéressante.

2.2 L’algorithme euclidien

 Demain et ses associés ont démontré une relation puissante qui peut être tissée entre la construction de rythme et un vieil algorithme; l’algorithme de division d’Euclide. Cet algorithme permet de trouver le plus grand commun diviseur entre deux nombres (Grimaldi, 232-233). Pour obtenir ce nombre, on applique la procédure suivante : à partir de deux nombres a < b nous regardons combien de fois ce nombre a entre dans b. Nous prenons le reste de cette division r1 et nous regardons combien de fois il entre dans a. Nous regardons ensuite combien de fois reste de cette division r2 entre dans le reste r1 et obtenons un nouveau reste r3 et ainsi de suite. Lorsqu’un reste divise parfaitement le reste précédent du processus, ce reste est le plus grand diviseur commun. (Grimaldi, p. 232) Voici un exemple de cette procédure à partir de 242 et 39:

242 = 6×39 + 8

39 = 4×8 + 7

8 = 1×7 + 1

7 = 7×1

Le plus grand commun diviseur de 242 et 39 est 1, ils sont donc relativement premiers par définition.

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Figure 7: Interprétation géométrique de l’algorithme d’Euclide pour 40 et 15.

Encore une fois les auteurs travaillent à la fois sur l’axe du rythme que sur l’axe tonal, nous allons toutefois nous restreindre à l’aspect rythmique de leurs résultats. La première étape est de modifier la partition musicale sur laquelle nous travaillons. Puisque nous n’observons que le rythme et que nous voulons ce rythme soit cyclique, nous allons simplement travailler sur un graphe cyclique à n points, pour n le nombre de temps du rythme étudié. (Figure 14) Chaque point peut être colorié en noir ou en blanc afin de lui donner une valeur de temps marqué ou non. Une seconde notation utile est la notation en boîte équivalente à celle utilisée en Corée. Par exemple, le rythme du Son s’exprime comme [1001001000101000][10] avec les 1 représentant les temps marqués et les 0 les silences[11].

Plusieurs rythmes simples sont souvent bien espacés ou uniformes[12], par exemple le rythme [10101010] possède des intervalles réguliers de 2. Cette régularité est possible car le temps des intervalles divise sans reste le nombre de temps du rythme. Les rythmes deviennent plus intéressants lorsque ces deux valeurs sont des nombres premiers relatifs, c’est-à-dire que leur seul diviseur commun est 1. Il est possible de définir plusieurs mesures afin de classifier ces rythmes.

Parmi les mesures rythmiques existantes, Demain et ses associés étudient les rythmes à partir de la notion de la somme des paires des distances euclidiennes sur le cercle, telle que définie par Block et Douthett (Demain et al., p. 5) Dans ce système, si sur le cercle les temps marqués sont consécutifs ils possèdent une distance de 1, s’ils sont séparés par un silence ils ont une distance de deux et ainsi de suite. Les rythmes qui maximisent l’uniformité sont les rythmes dont la somme des distances entre toutes les paires de temps marqués est maximale.

Un rythme est dit Winograd profond si dans un rythme cyclique à n temps, chaque distance entre les temps possède un nombre d’occurrences uniques dans ce cycle, cette occurrence doit aussi être plus grande ou égale à 1. Par exemple, dans le rythme [111010] à six temps, la distance 1 apparaît 2 fois (entre le temps 1 et 2, et entre le temps 2 et 3), la distance deux apparaît trois fois (entre le temps 1 et 3, entre 3 et 5, et entre 5 et 1) et finalement la distance 3 apparaît une seule fois (entre 2 et 5)[13].

La notion de Winograd profond reste restrictive, puisqu’en imposant l’apparition de chaque distance possible au moins une fois, cela requiert que la moitié des temps soient marqués. Il est alors possible de définir les rythmes Erdös profond de manière plus générale en n’imposant pas la restriction que chaque distance doit apparaître au moins une fois. Par conséquent les rythmes Winograd profond ne forment qu’un sous-ensemble des rythmes Erdös profonds. Cette extension permet désormais d’inclure des rythmes comme celui de la bossa nova [1001001000100100]. Dans ce rythme, les distances 1 et 2, 5 et 8 n’ont aucune occurrence, mais la distance 3 a 4 occurrences, la distance 4 a une occurrence, la distance 6 a 3 occurrences, la distance 7 a 2 occurrences. Nous revenons alors à l’algorithme euclidien.

En travaillant sur le voltage dans un accélérateur à neutrons, Bjorklund rencontra également le problème de l’uniformité maximale pour k signaux dans n intervalles. Pour obtenir cette maximalité, il utilisa la procédure équivalente à l’algorithme d’Euclide. Supposons de manière équivalente au modèle rythmique que les signaux sont des sons marqués parmi une séquence de n temps. Pour 5 temps marqués parmi 12 temps, l’algorithme de Bjorklund débute ainsi :

                                                                          111110000000

Nous associons à chaque 1 un des zéros et nous laissons le reste en suffixe :

                                                                          101010101000

Nous procédons de même avec les deux zéros restants :

                                                                          100100101010

Ensuite, nous appliquons la même opération sur les deux des trois paires de 10 restants puisque nous pouvons les associer aux deux triplets de 100 en début de ligne. Lorsqu’il ne reste qu’un groupe à la fin, nous avons terminé la procédure.

                                                                          100101001010

La structure de l’algorithme de Bjorklund est la même que celle de l’algorithme d’Euclide[14]. Nous regroupes des éléments et réutilisons les restes de manière itérative. Les rythmes euclidiens sont les rythmes obtenus par cet algorithme à partir de nombres relativement premiers de 1 et de 0. Ces rythmes sont également les rythmes d’uniformité maximale.

Le principal résultat de Demain et ses associés est de démontrer qu’essentiellement tous les rythmes euclidiens sont Erdös profond[15]. En plus d’être un résultat théorique fort intéressant, il s’adonne que ce principe semble posséder une application naturelle dans divers rythmes complexes que l’on retrouve à travers le monde. En effet, en appliquant l’algorithme d’Euclide sur plus paires de nombres relativement premiers, Domaine et ses associées ont retrouvé plusieurs rythmes présents dans des musiques traditionnelles de Macédoine, Bulgarie, Turquie, Brésil, Cuba, Roumanie, Inde ainsi que des rythmes présents chez les Pygmées. Comme ils le mentionnent, la complexité liée à l’asymétrie de ces rythmes que l’on retrouve à travers le monde, peut expliquer leur popularité[16]. (Demain et al., p. 5)

Il s’ensuit que ce travail est un exemple parfait d’écriture procédurale autour de la notion de rythme. En définissant une procédure, cette de l’algorithme d’Euclide, il est possible de générer des solutions mathématiques, mais aussi musicales et visuelles par la forme de la partition rythmique[17]. La force de cette procédure traverse plusieurs domaines et cultures .Nous verrons plus loin l’exemple des canons de Vuza qui poussent encore les limites de cette interdépendance.

[1] Notons que c’est la première instance d’utilisation de processus aléatoire de composition par l’ordinateur. Avant cela on peut remonter à la composition Musikaliche Wurfelspiel de Mozart qui permet via une charte et deux dés de composer une valse aléatoire. En 1955, D.A. Caplin en fit la transcription algorithmique pour ordinateur. (Busser et Souder, p. 67) Il y a dans ce cas transcription sur l’ordinateur, mais pas une composition stochastique sur l’ordinateur.

[2] Principe également utilisé par Iannis Xenakis dans plusieurs compositions. (Verdier, p. 76-81)

[3] Ces machines semblent avoir grandement inspiré Raymond Roussel qui en représentait plusieurs dans ses livres (Bussier et Souder, p. 68)

[4] http://www.pianola.com/mrolla.htm

[5] http://asmir.info/graphical_sound.htm

[6] https://www.youtube.com/watch?v=1mKfQYzfduY

[7] https://www.youtube.com/watch?v=8s9LPsCpf_U, Ce jeu sur l’incapacité d’appliquer une procédure est un thème qui revient dans une autre œuvre importante de Johnson que nous discuterons en fin de texte.

[8] Une version de Vertige pour piano mécanique a été interprétée à Cologne en 1990, donc avant la composition de Johnson. https://www.youtube.com/watch?v=skVaqb5xXHE

[9] https://www.youtube.com/watch?v=49mu_d7J4L8

[10] Dans l’article original, les auteurs utilisent des croix et des points, mais puisque nous voulons présenter l’algorithme de Bjorklund qui lui utilise cette notation, nous utilisons directement la notation des nombres binaires.

[11] Cette notation peut être reprise par la notation numérique {0,3,6,10,12}₁₆ pour exprimer que les temps forts sont situés aux temps 0,3,6,10 et 12 sur un ensemble de 16 temps ou par (3,3,4,2,4) pour exprimer les intervalles de temps présents dans la séquence.

[12] Traduction libre de l’auteur de even.

[13] Évidemment, si le rythme n’est pas vide la distance maximale entre deux temps marqués vaut la partie entière de la moitié du nombre de temps présent dans le rythme.

[14] Pour rendre ce fait plus évident, en collant les 0 au-dessous des 1 au lieu d’à côté, on voir clairement apparaître la structure de la figure 7.

[15] Un second résultat important est qu’il est toujours possible de retirer des temps marqués d’un rythme Erdös profond de sorte que ce rythme conserve la propriété d’être Erdös profond.

[16] Tout comme si l’on prend le rythme profond 101011010101 et on le transforme en une succession de tons et demi-tons, nous obtenons la gamme majeur dont la popularité lui-vient peut-être de cette profondeur (Demain et al., p. 7)

[17] Puisque nous étudions les liens entre l’auditif et le visuel, il est intéressant d’ajouter que les résultats obtenus sont également les solutions au problème de trouver les pixels qui contiennent une droite du plan cartésien. Le problème est plus largement étudié dans le même article.

Les fondements de l’écriture procédurale : images, espaces et algorithmie musicale de l’algèbre aux fractals. (Chapitre 1)

Riemann arrivait dans un paysage  où chaque point… se transforme en musique. Une ligne de zéros le long de la mer.  

 Marcus dans Adieu au Langage de Godard

Cette recherche a été produite sous la tutelle du Laboratoire La Création Sonore dirigé par Serge Cardinal. (http://www.creationsonore.ca/)

Le son et l’image resteront à tout jamais fondamentalement irréconciliables de par leur nature. L’une est une onde mécanique, c’est-à-dire une onde qui nécessite un milieu de propagation comme l’eau ou l’air, tandis que l’autre est une onde électromagnétique qui peut se propager dans le vide. Malgré tout, nous avons toujours tenté de juxtaposer la perception de ces ondes dans les arts et d’en favoriser une juxtaposition harmonieuse et complémentaire. Que ce soit avec de vieilles tentatives techniques comme le clavecin oculaire de l’Abbé Castel (Rousseau, p.21) ou plus généralement dans l’optique de l’œuvre d’art totale, cette quête a su motiver le travail d’un grand nombre d’artistes et de chercheurs. En fait, sans prétendre que cela en est la raison principale, il est possible de prendre comme hypothèse que cette tendance s’explique, en partie du moins, par la convergence de ces informations dans notre système perceptif.

À partir de leur transfert en influx nerveux par le système perceptif, ces ondes ne deviennent qu’un type d’information et seule la région cérébrale parcourue diffère. Évidemment, dans la majorité des cas cet influx parcourt un trajet différent et des zones distinctes du système nerveux central s’en trouvent stimulées. La compréhension de l’influx nerveux comme moteur essentiel de la sensation a permis d’envisager une «synesthésie électromagnétique» menant à «réaliser l’utopie radicale de l’abstraction». (Rousseau, p. 33) Cette position laisse sous-entendre la possibilité de s’adresser à tous les sens à l’aide d’une même source, position qui prend une valeur particulière lorsqu’on envisage des processus cognitifs et des modes et schèmes de réflexion.

Il est important de mentionner que des expériences dites pseudo-synesthésiques -comme l’association de certaines sonorités à certaines formes- peuvent survenir même chez des personnes qui ne sont pas considérées comme synesthètes. (Sagiv, p. 4) Que ces expériences relèvent d’une synesthésie réelle ou non, cela permet malgré tout d’envisager la synesthésie comme base instrumentale de l’analyse neuronale de la métaphore, tel que proposé par Hubbard et Ramachandran (Sagiv, p. 4) Sans nous aventurer dans le fondement plastique de la métaphore dans notre système nerveux principal, nous voudrions voir comment l’écriture de structures abstraites permet une écriture synesthésique dans le sens où il est possible d’appliquer ces structures dans le spectre de plusieurs formes artistiques. Dans ce travail, nous n’inférons pas que les œuvres décrites induisent des expériences synesthésiques, nous désirons simplement prendre une position théorique qui favorise des transferts de structures entre différents médiums et paradigmes, entre différents sens et différentes applications artistiques. Telle que nous la définirons, nous voulons démontrer l’importance de l’étude de l’écriture procédurale en vertu de sa force unificatrice entre plusieurs disciplines, ce qui permet à la fois de prendre une position forte dans l’étude de réseaux d’œuvres et concepts et de proposer une stature multidisciplinaire de la recherche-création.

L’objectif de relier les structures musicales à d’autres structures macroscopiques a souvent servie de nombreuses pensées et mythologies. Par exemple celles des nombres, des calendriers et de la musique s’unissent dans les textes fondateurs de l’hindouisme (McClain) ou chez Kepler et ses successeurs (Field) Il semble donc que la musique se prête bien à cet exercice d’abstraction et nous voulons voir comment elle s’articule lorsque mise en parallèle avec des structures issues des arts visuels et des mathématiques.

Nous voulons tout d’abord définir une écriture dite procédurale qui nous permet de travailler directement dans l’abstraction. Nous définissons de nombreuses caractéristiques de cette écriture procédurale à travers la description et l’analyse d’un éventail d’œuvres qui se situent toutes aux croisements de divers disciplines et pratiques artistiques. Cela nous permet de saisir ces différentes œuvres dans une perspective commune afin de comprendre quels peuvent être les prochains défis compositionnels pour les artistes et chercheurs travaillant avec du matériel qui favorise la convergence de différentes modalités sensorielles, notamment l’ouïe et la vue. Bien entendu, il existe plusieurs frontières qui délimitent le territoire que peut explorer l’auteur de compositions musicales, d’œuvres visuelles, de structures abstraites et de procédures. Certaines frontières apparaissent naturellement entre les lieux de transition possibles entre les structures de composition, alors que d’autres découlent de la complexité même de ces structures. Cette dernière difficulté laisse prévoir les limites éventuelles de la compétence d’un auteur à concevoir à l’avance les différentes formes que son œuvre peut prendre, ce qui en souligne en même temps toute la richesse.

Afin de bien exposer ces faits, nous construisons notre travail par paliers. Nous débutons par présenter quelques exemples simples d’écriture procédurale afin d’en comprendre les rouages et d’en offrir une définition synthétique à la fin de la section 1.1. La multiplication matricielle, le motif de répétition et la figure de la fugue nous servent d’exemples qui permettent de bien démontrer comment l’écriture procédurale possède ce pouvoir de traverser différentes formes artistiques et paradigmes. Puisque les mathématiques font naturellement l’étude des structures, notamment des structures d’espaces, nous précisons à la fois comment les mathématiques, l’espaces et la musique peuvent être intimement reliés pour ensuite montrer comment certaines notions particulièrement présentes en mathématiques migrent aisément vers le domaine des arts, ce qui clos le premier chapitre. Une fois fort de ces constats, nous pouvons entamer le second chapitre avec le sujet central de cette étude qu’est la présentation de réseaux dans lesquels la juxtaposition de la musique, de l’espace et des mathématiques s’avère riche de complémentarités. Les principaux aspects abordés sont l’espace de la partition, la construction de rythmes et la théorie des groupes. Des exemples de réseaux d’œuvres et concepts se trouvent, entre autres, avec la théorie des pavages, l’espace de la partition musicale et les canons rythmiques, comme de considérer la partition comme un ruban de Möbius peut aider à comprendre les symétries présentent dans une partition. Nous présenterons un cas particulier qui brille par la richesse des apports théoriques qu’il sous-tend : les canons de Vuza. Finalement, dans le dernier chapitre, nous abordons la notion de fractale comme écriture procédurale afin de comprendre certains défis que contient encore ce type d’écriture, autant comme objet théorique qu’artistique.

L’ordre choisi ne reflète en rien l’importance relative des exemples discutés, le choix se justifie par l’échafaudage qui permet de comprendre graduellement les concepts importants tout en menant naturellement vers la compréhension des prochains exemples. Tout au long du texte, nous voulons démontrer la puissance de la prise de position autour de l’écriture procédurale par la force de cohésion qu’elle offre à la compréhension de différents corpus aux allures disparates ainsi que par la position privilégiée qu’elle permet dans l’acte de création.

1.1 Vers une définition de l’écriture procédurale :

L’écriture que nous définissons ne mène pas immédiatement vers le sens et l’affect. Elle ordonne, dicte des règles, énonce un ordre et des ordres. Elle est fonctionnelle car elle impose ou propose l’ordre des choses et cet ordre résulte en une structure. Nous pouvons trembler instantanément aux mots lourds de sens comme ‘’le Sublime’’, nous pouvons rester de marbre à l’écoute ou à la lecture des organisateurs logiques ‘’et’’ et ‘’ou’’ ou ‘’not’’ et ‘’nor’’ (1). Cela s’explique par le fait que pour un concept, selon le pragmatisme philosophique, «son sens s’identifie à l’ensemble des de ses conséquences pratiques» Malderieux, p. 23). Cette écriture d’organisateurs logiques nous intéresse car elle n’affecte pas directement, elle ordonne et organise en traçant des liens entre différents éléments. Peu importe les mots qui se côtoient de part et d’autre l’organisateur ‘’et’’, l’effet en sera le même, celui de la juxtaposition. L’ensemble du sens offert par cet organisateur se construit à l’aide de la pluralité des relations sémantiques qui peuvent découler de son usage.

La création d’un organisateur de la sorte permet donc de générer un ensemble de possibles. Dans ce cas il peut, par le choix des mots, générer la répétition, l’oxymoron et à l’énumération qui n’est que l’itération de ce principe. C’est sa structure de juxtaposition de ce qui vient avant et après qui permet la naissance de ces structures binaires. Or, il n’y a pas que la langue qui peut ordonner et dicter. De manière concrète, nous pouvons trouver plusieurs exemples qui dictent l’ordre et la structure avec différents niveaux de précision.

Une première écriture de la sorte est l’écriture à même la matière. Par exemple, il est possible d’écrire de la musique à même un disque vinyle vierge à l’aide d’une aiguille. C’était d’ailleurs l’idée d’Alexander Dillman qui croyait qu’une personne particulièrement habile arriverait même à y réécrire exactement les sons désirés, même la voix humaine (2). (Katz p. 104) Proposition que Moholy-Nagy voyait du bon œil en considérant qu’une entreprise de la sorte pourrait mener vers une compréhension d’une sorte d’alphabet scriptural qui mènerait vers de nouvelles compositions, voir même à la synthèse de sons encore inconnus (Levin, p. 51) (Katz, p. 105) L’écriture à même la pellicule cinématographique constitue un second exemple de cette écriture doté cette fois d’un degré plus large de liberté. L’écriture à même la pellicule, par le dispositif cinématographique, peut mener soit à des œuvres visuelles comme les œuvres de Vikking Eggeling, Hans Richter et Walter Ruttman ou sonores comme dans le travail de Pfenninger, Fischinger, Cholpo, Avraamov et plusieurs autres qui suivront leurs pas (3). (Figure 1)

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Figure 1: Graphical score by Boris Yankovsky. Source: http://asmir.info/graphical_sound.htm

Le cas des portes logiques (4) s’avère également important puisque il implique une ‘’lecture’’ particulière malgré l’absence d’un geste scriptural. En effet, leurs constitutions dictent des règles très précises du passage de l’électricité comme les sillons dirigent le passage de l’aiguille. Il en résulte, un peu comme dans le rêve que caressait Moholy-Nagy, une sorte d’alphabet propre qui traduit physiquement le principe des opérateurs logiques. Il est en fait possible de construire des portes logiques qui traduisent les fonctions ‘’et’’, ‘’ou’’ et la negation (5). (Grimaldi, p 719-720). Malgré une écriture à petite échelle, le résultat final peut s’avérer extrêmement puissant si un réseau contient un nombre suffisant de portes logiques. C’est en fait un point fondamental qui marque les possibilités qui se sont ouvertes avec l’arrivée des ordinateurs en termes d’écritures au sens large. Si les noms ont comme fonction de représenter des objets réels ou abstraits, quelques mots -les organisateurs logiques- sont en fait devenus des objets réels et cela n’a été possible justement que parce que ces mots ne représentent pas, ils sont une procédure, une fonctionnalité.

Le choix lexical d’écriture procédurale s’explique de plusieurs manières. Afin de bien comprendre son essence et le choix du vocable, nous devons la mettre en lien avec les notions de structure et d’algorithme.

La structure est la matière de fond, réelle ou abstraite, sur laquelle il est possible construire. Évidemment, la notion de structure peut dépendre de plusieurs niveaux d’analyse. Pour donner quelques exemples, nous pouvons parler de la structure interne d’une porte logique faite de transistors, de la structure d’une pièce faite d’un réseau de portes logiques et finalement de la structure d’un programme qui fait usage du processeur. De manière équivalente, nous pouvons parler de la structure d’un organisateur logique, de la structure grammaticale d’une phrase et finalement de la structure d’un texte. Un terme adéquat pour notre analyse doit alors nécessairement inclure un acteur externe. Certes la structure importe énormément, mais cela va obligatoirement de pair avec une lecture de cette structure, un passage au travers de cette structure. Cette lecture peut s’avérer être directement porteuse de sens, comme la lecture d’un poème, ou bien elle peut mener vers un résultat, ou une action comme dans le cas d’un programme informatique. Lors de cette lecture, voir interaction avec cette structure, cette dernière n’est pas obligatoirement rigide. Sa modalité peut être malléable et interactive.

La procédure n’est pas non plus strictement algorithmique. Tout d’abord, contrairement à l’algorithme, la procédure admet généralement une plus grande liberté. Ce sens précis du vocable vient du fait que la procédure est généralement effectuée par un être alors que l’algorithme sous-entend une application machinale. Ensuite, l’objectif de la procédure n’est pas obligatoirement de produire ou obtenir un résultat précis. La procédure peut se suffire en elle-même comme une œuvre d’art peut le faire.

En général, l’écriture peut être celle de l’idée, d’une structure imaginée et de sa procédure opérationnelle qui peut être celle d’une de lecture au sens large. Dans ce cas, la manière de retranscrire physiquement l’objet réfléchit n’importe qu’en second lieu. Ce point il s’articule clairement comme la clef de voûte de cette pensée en termes d’écriture procédurale puisque les instances précises de l’objet imaginé ne sont plus déjà que la mise pratique d’une structure et d’un ensemble de règles; une interprétation de la structure. L’écriture procédurale peut donc s’effectuer à plusieurs niveaux qui varient de la définition de la structure comme objet abstrait à une instance réelle qui exemplifie ou laisse sous-entendre une structure.

Cette écriture procédurale, peu importe les restrictions qu’elle implique, possède un pouvoir de transgression et de transposition qui s’applique à une cartographie aux frontières multiples. La structure peut transgresser les sens, les médiums, les langues, les paradigmes. Cette capacité de transgression est l’une des qualités qui donnent à l’écriture procédurale toute sa force puisqu’en ce sens la création d’une œuvre devient en fait la création d’un corpus de par ses multiples instances possibles. Comme de nombreux exemples le démontrent, elle génère aussi parfois un ensemble de savoirs qui s’obtient par l’analyse de la structure sous-jacente.

L’écriture procédure n’est donc pas l’écriture d’une œuvre précise, c’est l’écriture d’un ensemble de structures, de règles et de processus de lecture des structures et d’applications de ces règles. Elle se caractérise par un ensemble d’applications possibles extrêmement variés puisqu’elle contient un nombre de règles immuables jumelées à un certain degré de liberté, ce qui peut mener d’autres suites d’études et de résultats.

Une figure qui permet de bien comprendre cette écriture est la création de la multiplication matricielle. Une matrice est un tableau de données mxn, c’est-à-dire de m lignes et n colonnes (6). Un processus associé à ces structures est la multiplication matricielle, donc entre deux matrices. Pour bien comprendre cette définition, nous utilisons une matrice dont les entrées sont des nombres réels. La multiplication d’une matrice mxn et d’une matrice nxl donne une matrice mxl, pour m, n et l des nombres entiers. L’élément i,j, de ligne i et colonne j, est obtenue en calculant la somme du premier élément de la ligne i avec celui de la colonne j, avec le second de la ligne i avec le second de la colonne j et ainsi de suite. (Figure 2)

Figure 2

Figure 2: Multiplication de matrices 2×2

La multiplication de matrices implique donc deux autres opérations, celles de multiplication et d’addition des nombres réels dans notre exemple (si nous considérons que les lettres minuscules de la figure 2 sont des nombres réels). Le degré de liberté se trouve ici non pas dans la multiplication des structures, mais dans la règle multiplicative et additive des éléments de la matrice, ce qui donne lieu à plusieurs résultats possible. Par exemple, si les entrés sont des nombres réels et que la multiplication des donnés internes des matrices est la multiplication et l’addition entre les nombres réels et déjà ce cas particulier mène vers différentes applications. Lorsque nous avons une matrice d’une ligne (1xn) qui multiplie une matrice colonne (nx1), donc deux vecteurs, nous obtenons qu’une seule information numérique (1×1), cet exemple n’est rien d’autres que le produit scalaire. Le produit scalaire permet entre autre de définir que deux vecteurs sont perpendiculaires dans le plan si leur produit scalaire donne 0 (7).Si nous utilisons des matrices 2×2 dont les données sont des cosinus et des sinus d’un angle, nous pouvons obtenir l’équivalent de nombreuses transformations géométriques dans le plan, tel la rotation et la réflexion, processus souvent utilisés pour les graphiques fait par ordinateur. En insérant différent paramètres reliés aux lentilles, nous pouvons déduire plusieurs formules importantes (8). Raymond Queneau, de son côté, discute de remplacer les données des matrices par des mots (9) (Queneau, p.340-345). Dans ce cas, la multiplication des éléments internes des matrices est la concaténation de mots entrecoupés d’un espace, ce qui résulte en la construction de phrases. En plus d’applications diverses, la multiplication de matrice se généralise à la multiplication de tenseurs –sorte de matrices avec un plus grand nombre de dimension- objets qui servent à effectuer plusieurs calculs en relativité générale (10). Du point de vue sonore, il serait facile d’imagine d’autre règles qui permettraient d’utiliser la multiplication matricielle dans la composition musicale.

1.2 Quelques exemples

Un exemple fort simple de procédure qui possède une grande force de pénétration se reconnaît aisément dans la formule de répétition. En littérature, la répétition se traduite par la répétition d’un mot ou groupe de mots, l’extension de ce principe dans le plan permet à cette répétition d’acquérir des qualités plus proche des arts visuels avec des répétitions de mots dans plusieurs directions. Une fois libérée de la contrainte de directionnalité conventionnelle de lecture, la répétition peut s’effectuer sur plusieurs axes de symétries et même se contenir soi-même. Dans la figure suivante, il est possible de lire le mot palindrome dans le sens horaire et anti horaire si l’on se permet de lire les lettres la tête en bas. Il en résulte que chaque mot ‘’palindrome’’ contient des segments de ses propres répétitions. (Figure 3)

Figure 3

Figure 3 : Palindrome circulaire. Source : http://www.ecriture-art.com/ambigrammes/slides/palindrome.html

En musique la répétition d’un segment mélodique ou rythmique peut également s’effectuer tel quel ou à une symétrie près. Comme dans le cas précédent, la répétition peut aussi exister en elle-même et ce principe d’invariance d’échelle peut servir d’outil de composition. Pour une œuvre audiovisuelle la répétition peut trouver écho dans l’image. Un exemple simple et efficace de ce principe se trouve dans le vidéoclip réalisé Michel Gondry pour la pièce Star Guitar du groupe The Chemical Brothers (11). Dans ce vidéoclip, les sons sont associés à des éléments du paysage et la répétition des sons et motifs musicaux induit de ce fait des répétitions du paysage présenté.

Quels que soient les médiums et les sens impliqués, le motif de répétition est un exemple simple d’écriture procédurale qui possède cette qualité de traverser les frontières. Malgré des mises en pratique différentes qui peuvent mener à des effets tous aussi différents dépendamment du context (12), l’effet de base se ressent de manière extrêmement similaire. Le motif de répétition possède cette force de transgression qui lui permet de jouir d’une telle popularité d’une grande popularité, ce qui en fait une figure importante pour la grande majorité des arts.

La compréhension de l’écriture procédurale peut se complexifier lorsque qu’une œuvre est définie a priori dans un médium précis. Le roman Le naufragé de Thomas Bernhard démontre bien comment peut émerger de telles complications. Dans ce livre, l’histoire se déroule autour de trois pianistes -Weirtheimer, Glen Gould et le narrateur- et n’est constituée que d’un seul et très dense paragraphe. Dans cet énorme paragraphe l’auteur fait un usage savant de la répétition tout par la celle des pensées des personnages, des scènes et thèmes associés. Cependant, sa grande force tient dans la structure de la fugue qui organise harmonieusement les répétitions. Les trois mélodies entrelacées de cette fugue écrite sont en fait les histoires des trois personnages qui répètent sans cesse les mêmes pensées, repensent les mêmes scènes comme des thèmes mélodiques à des intervalles différents en tierces et quintes intercalées. Cependant, si la lourde présence musicale dans le livre semble légitimer la forme de la fugue comme lecture possible du roman de Bernhard, une thématique différente pourrait nuire à la déduction de cette structure. La migration entre les œuvres de structures préalablement définies dans un contexte artistique défini nécessite parfois la présence d’indices afin d’en faire une lecture adéquate, surtout lorsque ces structures atteignent un plus grand niveau de complexité. Il serait alors possible d’inversé cette perspective et de définir la fugue sur un domaine plus large que celui de la musique. Une définition possible serait : enchevêtrement décalés de figures semblables (13). À partir de cette définition, Le naufragé et une fugue de Bach appartiennent bel et bien au même corpus.

1.3 Mathématiques et espaces

Les mathématiques sont une discipline qui travaille naturellement avec des structures et c’est la raison pour laquelle elle devient particulièrement efficace dans l’analyse des œuvres d’écriture procédurale. Si l’écriture mathématique d’une preuve peut déjà posséder son rythme et son style esthétique (14), (Rothstein, p. 137), des liens conceptuels existent également entre la musique et les mathématiques. Non seulement les deux font usage d’un langage hautement abstrait, mais pour citer David Lewin «In conceptualizing a particular musical space, we often conceptualize a family of directed measurements, distances, or motions of some sort». (Rothstein, p. 130)

Il y a alors la possibilité d’étudier ces différents mappings ou celle d’étudier les espaces dans lesquelles la musique est perçue soit en tant que telle, ou soit en tant que partition. Dans cette optique, les caractéristiques mêmes de cet espace peuvent influencer la composition. Pour ne nommer que deux exemples, on peut se référer au travail d’Iannis Xenakis qui s’inspirait des surfaces réglées (15) pour composer Metastasis afin de transmettre l’effet de glissando (Cross, p. 145) (Figure 4) ou bien on peut se tourner vers le travail de Hodges qui a étudié les symétries possibles de l’espace géométrique de la partition musicale. Dans tous les cas, l’analyse de l’espace d’insertion de la musique ou de toute autre structure devient utile à sa compréhension formelle et esthétique.

Figure 4

Figure 4: Metastasis (extrait) par Iannis Xenakis

1.4 La migration entre les paradigmes

Avant d’entreprendre l’étude de cas propres au corpus mixte des arts visuels et de la musique, il importe de revenir sur une caractéristique importante de l’écrite procédurale; elle peut effectuer une migration paradigmatique, par exemple entre celui des sciences et des arts. Nous étudions brièvement deux cas qui expriment ce fait.

La nouvelle La Bibliothèque de Babel de Jorge Luis Borges présente une version architecturale de l’une des formes de l’infini. Dans cette fiction, une bibliothèque contiendrait l’infinité des ouvrages possibles. Borges se sert principalement de trois modes structurels pour arriver à transférer la notion d’infini dans sa nouvelle. La première est celle d’un espace infini. En effet, pour contenir une infinité de livres, l’espace se doit d’être lui-même infini. Ensuite, il se sert de l’explosion combinatoire pour donner un ‘’sentiment’’ de la grandeur de cet infini. Il précise que cette fameuse bibliothèque contiendrait toutes combinaisons de lettres et toutes les combinaisons de mots possibles et que par conséquent elle contient toutes les histoires possibles. Pour quiconque a déjà travaillé avec la combinatoire, cet effet risque d’être plus marquant que la description du dédale infini. L’effort de calculer les combinaisons possibles d’ensembles de lettres et mots permettent aisément de comprendre cet infini d’une manière plus ‘’procédurale’’ puisqu’il sous-entend un acte constructif de cet infini. Finalement, un autre processus est traduit dans la nouvelle de Borges. Il est habituellement admis que l’ajout ou la soustraction d’une valeur finie à une valeur infinie ne change pas la nature de cette valeur, elle demeure infinie. En terme plus concis, l’infini moins x égal l’infini. Cette négation de la possibilité d’appliquer les règles algébriques conventionnelles permet une fois de plus de comprendre la nature abstraite de cette bibliothèque. Il est à noter que la négation de l’algèbre conventionnelle cache en fait un second ensemble de procédures, celle des opérations sur les nombres transcendants de Cantor. La logique de ces opérations apparaît clairement lorsque protagoniste s’aperçoit que la censure peut bien retirer des livres, cela ne change rien, le contenu de la bibliothèque reste le même puisqu’il demeure infini.

Un second schème important qui se traduit aisément autant en arts qu’en sciences et celui de l’autoréférentialité. Nous pouvons le concevoir comme une citation d’une œuvre en elle-même, ou comme une œuvre à plusieurs paliers ontologiques équivalents. Nombre d’œuvres font référence à elle-même, que ce soit dans les arts visuels (16), en musique (17) et en littérature (18). La forme de l’autoréférentialité se retrouve également en informatique puisque plusieurs programmes doivent réutiliser le résultat de son propre calcul. Il en résulte que le code doit se référer lui-même à maintes reprises. L’écriture autoréférentielle permet de construire des formes aisément transposables puisque sa logique peut être transmise facilement en motifs géométriques -comme il en est le cas pour les fractals- et soit ces motifs peuvent servir directement de partitions musicales à l’aide d’un ensemble d’instruction qui dirige son interprétation ou soit les règles d’itérations peuvent être appliqués sur des sons ou motifs musicaux (19). De plus, sa forme possède l’avantage d’être possiblement condensée; la formule itérative de la suite de Fibonacci (20) tient en une seule ligne et pourtant la structure qui en découle est riche d’informations, du nombre d’or (Grimaldi, p. 457) à ses liens intimes avec la suite de Stern-Bricot (Delahaye 2012). La formulation de la formule récursive pour l’ensemble de Mandelbrot est probablement le paroxysme d’une complexité infinie contenue dans à peine quelques caractères scripturaux.

Un cas particulier d’utilisation de l’autoréférentialité se retrouve dans la construction de paradoxes. Le paradoxe du menteur ‘’je mens’’, le paradoxe de Russel, son équivalent linguistique le paradoxe de Grelling (Vidal-Rosset, p. 26) ainsi que le paradoxe de Löb en sont de beaux exemples. Ils se ressemblent tous dans le sens où ils impliquent des situations dans lesquelles des éléments se contiennent eux-mêmes dans leur totalité. Si cette particularité implique des problématiques du point de vue de la logique formelle, cela n’est pas obligatoirement le cas dans une œuvre d’art.

Si nous acceptons que l’une des fonctions du paradoxe soit celle de l’élargissement des perspectives, alors nous pouvons concevoir la situation suivante : celle d’être simultanément dans un niveau supérieur et inférieur d’une hiérarchie ontologique. Cette situation n’est problématique que si nous concevons qu’une seule de ces situations est possible. Dans le cas contraire nous percevons cette double identité comme une extension des règles fondamentales d’un monde diégétique et nous acceptons que plusieurs niveaux ontologiques existent. Des telles situations se produisent dans les films eXistenZ (Cronenberg 1999) et Avalon (Oshii, 2001) et une transition continue entre les palliés ontologiques peut être trouvé dans la magistrale Galerie d’Estampes de Escher (21).

Si cette propriété possède une grande puissance de fictionalisation dans les arts visuels figuratifs, elle se limite à une variation de motif dans un contexte musical. Nous reviendrons sur l’autoréférentialité vers la fin de ce texte, mais à ce point soulignons l’importance de la capacité de l’écriture procédurale à transgresser les frontières; une fois une procédure écrite, il est possible de la faire migrer d’une œuvre à une autre et d’un médium à un autre jusqu’à ce que nous trouvions son plein potentiel.

Beaucoup d’autres exemples d’autoréférentialité mériteraient d’être étudiés afin de montrer la profondeur des liens que cette écriture peut tisser entre différentes disciplines. En première ligne se trouve l’œuvre maîtresse de Douglas Hofstadter Gödel, Escher, Bach qui expose un large éventail d’œuvres autoréférentielles dans l’optique d’aller donner une preuve instinctive du théorème d’incomplétude de Gödel. Il en va de même pour les réseaux d’œuvres qui font usage de la citation; si chaque œuvre travaille sous une forme de remake, de l’échantillonnage ou de la citation, l’ensemble d’un corpus peut ensuite être considéré comme autoréférentiel à l’aide des nombreux ponts exprimés entre les œuvres. L’écriture par citation inverse le procédé d’autoréférentialité vers l’extérieur afin de créer un réseau d’œuvres qui se citent entre elles, écriture qui possède également sa structure propre qui transgresse souvent le ou les médiums impliqués.

Après avoir démontré le pouvoir de migration de l’écriture procédurale, nous voulons à présent préciser notre recherche sur le cas particulier de l’écriture qui traverse à la fois les arts visuels et la musique. Cette écriture, comme nous le verrons, prend toute sa puissance à travers la force des concepts abstraits qu’elle implique.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

Notes:

1-‘’Not’’ pour la négation et ‘’nor’’ pour le ‘’ou’’ exclusif.

2- À l’inverse, il est intéressant de mentionner le cas de Arthur B. Lingen qui à l’inverse arrivait à lire directement les sillages, ou du moins à le faire à croire. (Levin, p. 51)

3- Pour un historique détaillé de cette époque, nous recommandons fortement l’article de Levin, le site internet http://www.lesclochesdatlantis.com de Philippe Langlois ainsi que celui d’Andrey Smirnov du centre Theremin, http://asmir.info/graphical_sound.htm

4- Les portes logiques sont des composantes de bases des circuits électroniques.

5-Ce qui est en soit suffisant pour générer n’importe qu’elle table de vérité et par ce fait même n’importe quel autre opérateur logique (Mendelson, p. 26)

6-Elles ont été définies par Arthur Cayley après une collaboration avec James Joseph Sylvester vers la moitié du 19ième siècle (Ouellet, p. 12)

7-Dans la même ligné, des généralisations du produit scalaire ont été offertes, notamment la perpendicularité de deux fonctions si l’intégrale de leur produit donne 0.

8- Selon la méthode des matrices de transfert.

9- Notons qu’il définit la multiplication ligne sur ligne plutôt que ligne sur colonne, mais cela revient à la même chose que de multiplié par une matrice transposée.

10- Voir les notes de Sean Carroll sur le site http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

11-http://www.michelgondry.com/?tag=chemical-brothers#prettyPhoto

12- Les 840 répétitions de la mélodie de Vexations de Satie destinées à ennuyer ses critiques (Cucker, p. 188) peuvent différer grandement des répétitions de Piano Phases de Steve Reich.

13- Le but de l’excercise n’est pas d’offrir une définition large de la fugue qui soit à toute épreuve, mais d’aider à comprendre le point de vue à partir duquel l’écriture procédurale se positionne.

14- Même que Weyl disait qu’il choisirait d’écrire le beau avant d’écrire le vrai (Rothstein, p. 139)

15- Traduction de ruled surface. Une telle surface est obtenue par le mouvement continu d’une droite ou segment de droite dans l’espace (Pressley, p. 80) Le plan, le cylindre, l’hélice et le ruban de Möbius en sont des exemples.

16-Par exemple, le bédéiste Marc-Anthoine Mathieu construit plusieurs pages autoréférentielles dans sa série Julius Corentin Acquefacques.

17-Voir le cas de La Vie est si Courte de Tom Johnson discutée plus loin dans ce texte.

18- Un grand nombre de phrases et textes autoréférentiels peuvent être trouvés dans les articles «On Self-Referential Sentences» et «Self-Referential Sentences; A Follow-Up» de Douglas Hofstadter. Les livres de McHale et Pickover en bibliographie contiennent aussi de beaux exemples.

19- Nous verrons plus loin dans le texte comment elle devient utile dans la construction des fractals et de musiques qui s’en inspirent.

20- Pour une composition basée sur la suite de Fibonnaci, le lecteur peut se référer à l’œuvre de Per Nørgård et John A. Biles (Perayon, p. 395-396). Dans le cadre de notre étude sur l’écriture procédurale, il est intéressant de noter mentionner qu’il existe un lien structurel entre le rythme infini de Nørgård et le code Gray (Shallitt, 2005)

21-L’effet est bien rendu par le zoom infini sur la transformation conforme créée par Smith et Lenstra. (http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/?menu=animation)

Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et en bande dessinée (Chapitre 2)

 Chapitre 2 : La case, les graphes et les arbres.

(La version originale du mémoire peut être consultée ici: https://www.academia.edu/10516424/Narration_et_math%C3%A9matiques_l_utilisation_des_graphes_au_cin%C3%A9ma_et_dans_la_bande_dessin%C3%A9e)

Plusieurs auteurs ont tenté de définir le sème de base de la bande dessinée. Guy Gauthier fonde son analyse du médium à partir de groupes de points et de lignes (Groensteen 1999, p. 3). Ulrich Kraft considère les unités de base comme étant des entités tels les corps ou parties d’un corps (Groensteen 1999, p. 4). Ces considérations sont en fait une tentative similaire à celle de comprendre le cinéma comme langage avec une syntaxe sous-jacente (Metz, p. 47-49). Cette perspective n’est d’ailleurs pas étrangère à celle de Emil Cohn qui lui aussi calque son modèle d’analyse de la bande dessinée sur la grammaire universelle de Chomsky (2003, p. 77-104). La démarche de la présente recherche étant d’inspiration structuraliste avec une analyse macroscopique de la trame temporelle, nous simplifions le tout en admettant la case comme unité fondamentale puisque c’est elle qui contient, de manière générale, l’unité de temps. Sachant également qu’il existe maintes formes pour la case, nous omettons les cas particuliers et définissons celle-ci comme l’espace intérieur délimité par un cadre. Dans ce chapitre, nous réviserons cette définition volontairement épurée à l’aide de la courbe simple fermée de Jordan (9). L’espace intérieur de cette case contient également soit un intervalle de temps, soit un moment ponctuel de la diégèse. Il existe des cases dont le cadre n’est pas explicitement défini, ou dont le cadre n’est que partiellement défini, mais cela ne nous empêche pas de pouvoir considérer une section de plan comme formant un tout constituant la représentation d’une certaine temporalité de l’histoire.

Figure 1: The cannibal Frame by Ibn al-Rabin

Figure 1: Ibn al-Rabin, The Cannibal Frame (extrait). Encre sur papier.© 2009 Fantagraphics Books

Il est possible de construire une histoire à l’intérieur d’une seule case. Que ce soit les planches de Yellow Kid d’Outcault qui doivent être lues par errance du regard sur l’image comme l’errance dans une foire (Smolderen, p. 11 et 90), celles des Far Side de Gary Larson ou de Quino, ce type de case contient la synthèse d’une petite histoire. La valeur temporelle d’une case peut être indéfinie et aucun élément visuel n’est requis à l’intérieur de son cadre. Des pages des Chroniques aléatoires de George Bess le démontrent bien. L’auteur réserve toute une page à des cases sans dessins et mentionne que cette page ne contient pas d’histoire, qu’il s’agit d’une page pour se reposer (Bess, p. 65). Dans une autre page, l’auteur invite le lecteur à une méditation d’une durée indéterminée devant une série de cases vides (Bess, p. 79). Une autre de ses pages est totalement dénuée de texte et de dessins, on ne voit que des oiseaux de la dernière case qui nous laisse comprendre que le vide représentait le ciel (Bess, p. 249). La page blanche a également été utilisée par Gustave Doré qui mentionne dans son Histoire de la Sainte-Russie que son ‘’éditeur’’ lui a conseillé de laisser la place désignée pour représenter certains évènements incolores (Doré, p. 7). Certaines histoires, comme The Cannibal Frame d’Ibn al-Rabin (Molotiv, p. 44-45) ou les jeux de cadrages de Patrick McDowell (Molotiv, p. 20-25), démontre que les cadrages à eux seuls peuvent servir pour la construction d’une bande dessinée. (Figure 1) L’inclusion de cases les unes dans les autres s’avère un autre moyen de bâtir une histoire. Lorsqu’une case s’inclue elle-même nous disons du processus d’inclusion qu’il est autoréférentiel. Une stratégie de la sorte permet une mise en abyme infinie de l’histoire. La page d’Al Williamson parue dans Weird Fantasy nu.17 fonctionne de cette manière : deux extra-terrestres lisent la bande dessinée dans laquelle ils se trouvent (Estren, p. 32-33). L’Origine, premier tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves offre également un tel processus itératif (Figure 2). En effet, l’auteur Marc-Antoine Mathieu présente son protagoniste en train de se lire lui-même (Mathieu 1991a, p. 29), soulignant que non seulement la bande dessinée constitue un monde clos (Parain, p. 39), mais que la case elle-même peut l’être. Même si dans ces deux cas l’imagerie récursive s’inscrit dans une narration plus large, nous imaginons très bien la possibilité d’utiliser une suite de cases imbriquées à l’infini pour former une narration. La case initiale peut apparaître directement comme sous-case ou comme énième case itérée dépendamment de la complexité de l’histoire. L’utilisation de l’ordinateur assure de n’avoir aucune image initiale ou finale en permettant des agrandissements infinis sur l’image imbriquée en elle-même.

Figure 2: Julius Corentin Acquefaques par Marc-Anthoine Mathieu

Figure 2 : Marc-Anthoine Mathieu, Julius Corentin Acquefacque: L’Origine, © 1991 Guy Delcourt Productions

Le cadre de l’image définit un second lieu, celui de l’extérieur de la case. En fait, pour être précis, le cadre en définit au moins un autre puisqu’un seul cadrage peut servir à délimiter un nombre arbitraire de cases. Nous utilisons la définition suivante pour la courbe simple : courbe qui débute et se termine en un même point et qui ne croise elle-même en aucun autre point. Cette courbe est en fait celle qui constitue le cadre de la case. Du point de vue topologique, il est possible de démontrer qu’une courbe fermée qui n’est pas concourante à elle-même sépare le plan en au moins deux espaces distincts : l’intérieur de cette courbe et les autres (Munkres, p. 377-380). Un second théorème précise que cette courbe sépare le plan en exactement deux espaces; l’intérieur et l’extérieur de la courbe (Munkres, p. 390-392). Même si ce point peut sembler fort intuitif, il s’avère qu’il est difficile à démontrer et il fallut attendre Camille Jordan pour en apporter une première preuve formelle en 1887 (Jordan, p. 593-594), preuve que Veblen considéra comme insuffisante. Ce dernier en proposa également une preuve en 1905 (Veblen, p. 83-98). Plusieurs auteurs travaillèrent par la suite sur la preuve du théorème afin d’en simplifier la forme. Il reste que du point de vue formel la preuve est longue et ardue. Pour reprendre les mots de Gonthier, cette preuve «is the black hole into which formalizing mathematicians fall» (Hales, p. 883). Le groupe Mizar (10) débuta une vérification formelle de la preuve par ordinateur en 1991. L’évolution a été longue et finalement Arthur Kornilowicz déposa une preuve qui demande pas moins de 6500 lignes en 2005. Thomas Hales, la même année, compléta une preuve avec HOL-light qui consiste de plus de 138 définitions, 1381 lemmes et 59 000 lignes de programmation. En termes d’inférences logiques, le chiffre s’élève à une vingtaine de millions (Hales, p. 883). La section qui stipule qu’une courbe simple fermée sépare le plan en au moins deux sections n’est pas si impertinente que cela puisse paraître puisqu’il est connu depuis Brouwer qu’il existe des courbes possédant la particularité de séparer le plan en plus de deux parties (Guggeheimer, p. 195), telle la courbe de Wada qui sépare le plan en exactement trois parties (Boltyanskiĭ et Efremovich, p. 24). (Figure 3) Le cadre de la vignette conventionnelle ne possède pas de telles particularités et donc, il sépare l’espace du plan entre l’intérieur et l’extérieur de la courbe simple. Il est à noter qu’une version discrète du théorème de Jordan existe et que par conséquent celui-ci tient également pour l’image créée sur l’écran d’ordinateur (Šlapal, p. 3255-3264). Nous reviendrons sur d’autres points importants qu’implique ce théorème, mais soulignons pour l’instant l’impact en bande dessinée de cette capacité à séparer le plan entre l’intérieur et l’extérieur de la courbe, du cadre.

 Figure 3: Wada curve                                                    Figure 3 : La courbe de Wada. Source : Wikipedia

L’auteur possède l’option d’utiliser l’extérieur du cadre pour construire sa narration. Déjà dans la Bible Moralisée (11) un Dieu hors cadre (12) apparaît à plusieurs reprises et projette parfois des triangles bleus afin de punir les pécheurs (13).Plus récemment, le personnage du professeur Burp de Gotlib s’y retrouve souvent pour jouer le rôle du narrateur dans un faux documentaire. Or, si l’intérieur de la case peut defénir un lieu et une temporalité de la diégèse qui varie de situations concrètes à des situations aussi abstraites que la séparation entre la lumière et les ténèbres (14), il en est de même pour l’espace hors cadre. Nous classifions ces deux espaces en quatre modalités différentes suivant la synchronicité et la coprésence. Donc, ces deux espaces partagent ou non leurs temporalités et leurs espaces. Naturellement, ces deux espaces sont dépendants l’un de l’autre et l’espace de l’intérieur de la case peut empiéter sur celui de l’extérieur de la case. Benoit Peeters démontre dans son livre Lire la bande dessinée comment la taille des cases, et donc l’espace extérieur associé, s’adapte parfois au récit. Dans les trois cases tirées de Les Bijoux de la Castafiore de Hergé, alors qu’il tente de garder son équilibre le domestique prend un espace horizontal de plus en plus important. En perdant pied, les bras du domestique se balancent et il en résulte que le cadre doit être élargi pour permettre de voir l’ensemble du personnage (Peeters 1998, p. 60-62). Il y a donc toujours la possibilité de jouer avec cette interdépendance de l’espace interne et externe de la case. À l’inverse, la taille de la case peut avoir un résultat sur la scène représentée. Dans Little Nemo in Slumberland de Winsor Mckay nous trouvons un résultat qui démontre ce principe. L’élargissement de la case dans ce cas ne se perçoit pas comme une «ouverture de l’objectif», mais comme un étirement vertical de l’espace intérieur du cadre initial, les corps inclus dans ce cadre en subissent les mêmes contraintes et s’étirent à leur tour (Canemaker, p. 11 et 118). (Figure 4) Les espaces intérieur et extérieur peuvent être cohabitables ou distincts et les variables de l’un peuvent affecter les variables de l’autre.

Figure 4: Little Nemo in Slumberland by Winsor McCay

Figure 4: Winsor McCay, Little Nemo in Slumberland. Tiré du livre de John Canemaker.

La juxtaposition d’un second cadre dont la temporalité dans la diégèse se situe après celle du premier se fait en général dans une seconde case en dehors de la première. En présentant un second cadre, qu’il soit collé au précédent ou séparé par une gouttière, une relation entre les deux apparaît. Cette relation naissant de leur état de coprésence s’impose comme l’unité de base de l’arthrologie. Elle définit en premier lieu quel sera le sens de lecture, de gauche à droite ou de droite à gauche. En second lieu, à moins d’épouser parfaitement les rebords du médium, elle redéfinit l’espace hors case comme espace de transition temporelle. Le lieu non représenté à travers lequel s’écoule le temps se situe entre deux cases. Le choix du lieu et du temps à l’intérieur de deux cases consécutives se fait parmi une infinité de possibilités que McCloud a regroupées en six catégories créées selon les aspects suivants : moment, action, lieu, sujet et aspect (15) (1993, p. 70-74). La contingence d’un aspect dans les deux cases constitue les cinq premières catégories et le non-sequitur détermine la sixième. En omettant les autres variables nommées par McCloud, nous pouvons procéder comme pour la case isolée et catégoriser les relations entre les trois espaces, l’intérieur du premier cadre, celui du second, et l’extérieur des deux, selon les contingences de temporalité et d’espace. En dénombrant toutes les possibilités, on obtient de total de 31 cas différents.

La relation de temporalité entre ces trois espaces nous permet de construire notre modèle de narrativité sur la courbe paramétrée. L’idée est de considérer un cadre à l’espace extérieur des cadres des vignettes comme la pellicule peut-être le cadre de chaque photogramme d’un film. McCloud fait d’ailleurs cette analogie dans Understanding Comics (1993, p. 8). Ce cadre continu contient l’espace extérieur de la suite des cadres qui représentent l’histoire et à l’intérieur de ce cadre existe le temps continu qui s’écoule entre chaque case. Du point de vue de la modélisation formelle, ce temps en dehors des cases est celui du paramètre t qui permet son expression mathématique. Il équivaut au temps continu que l’on retrouve dans les constructions d’histoire sur des broderies du Moyen Âge dont la tapisserie de Bayeux constitue l’exemple le plus connu (Blanchard, p. 18-19) (McCloud, 1993, p. 12-13). (Figure 5)

Figure 5: Tapisserie de Bayeu (extrait)

Figure 5 : Extrait de la Tapisserie de Bayeux (extrait), circa 1070. Musée de Bayeux

L’astuce centrale de l’utilisation de la courbe paramétrée se cache dans la métaphore de la progression du temps représentée par une ligne. La perception de la ligne comme quantité de temps vient de la conception du point en tant qu’instant, comme c’est le cas chez Léonard de Vinci (Brusatin, p. 89). Bernard Teissier, en se basant sur des études cognitives de Berthoz, en arrive à la conclusion que des connexions neurologiques permettent cette correspondance conceptuelle entre le temps et une ligne : «It allows us to accept as obvious that time is described by geometric line» (Teissier, p. 239). Bien qu’omniprésente de nos jours, l’utilisation systématique de la ligne de temps s’avère relativement récente; elle date de quelques siècles à peine. Du quatrième siècle à la fin du Moyen Âge, la représentation temporelle de l’Histoire s’articulait principalement dans les tableaux tels que celui développé dans la Chronique d’Eusebius (Rosenberg et Grafton, p. 26). Au douzième siècle, Pierre de Poitiers utilisa une colonne descendante pour l’écoulement du temps dans sa représentation du Vieux Testament destiné à ses élèves. L’idée fut reprise par Werner Rolevinck dans son Fasciculus temporus, mais sous une forme où l’écoulement du temps s’effectue à l’horizontale. Hartman Schedel reprit quant à lui la version verticale pour la représentation de l’arbre généalogique dans sa Chronique de Nuremberg (Rosenberg et Grafton, p. 31-32). Verticalement ou horizontalement, l’avancement le long d’une charte historique représentait la progression du temps. Afin de faciliter l’usage pédagogique de ces chartes (16) dans l’enseignement de l’histoire, les historiens prirent l’habitude de présenter plusieurs éléments contemporains les uns aux autres sur différentes lignes, le long de la même progression temporelle. Un tel exemple se trouve dans le Chronicum de Paulus Constantinus Phrygio de 1534 (Rosenberg et Grafton, p. 44-48). Finalement, le graphique historique qui vint réellement changer l’utilisation de ces lignes de temps par les historiens fut celui de Joseph Priesley, A New Chart of History, en 1769 (Rosenberg et Grafton, p. 126). (Figure 6) Son travail, inspiré des Tables historiques, chronologiques et généalogiques de Jean Rou, A View of Universal History de Francis Tallent et A Chart of Universal History de Thomas Jeffrey (Rosenberg et Grafton, p. 97-101 et 115-116) est d’une grande importance puisque, comme le mentionne Priestley, l’expérience de compréhension se fait en dehors de la lecture et donc en grande partie par la représentation graphique (Rosenberg et Grafton, p. 122). À partir de ce moment, la cartographie du temps prit une multitude de formes dont plusieurs nous serviront d’exemple. Nous nous intéressons à l’une issue du domaine des mathématiques : la courbe paramétrée, de paramètre t.

Figure 6: Jospeh Priestley A new chart of History

Figure 6 : Joseph Priestley, A New Chart of History (extrait) (1769) Tirée de Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010.  Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York : Princeton Architectural Press.

L’apparition de la courbe paramétrée découle de la découverte du plan cartésien et de la géométrie analytique créée indépendamment par Descartes et Fermat. À l’inverse des Grecs de l’Antiquité qui utilisaient la géométrie pour étudier l’algèbre, l’apparition de la géométrie analytique a permis l’étude de la géométrie à partir de l’algèbre (Stillwell 2010b, p. 110). La décomposition de cette algèbre dans les coordonnées x et y est l’extension naturelle de cette perception. La courbe paramétrée apparaît lorsque nous voulons faire dépendre les coordonnées x et y sur un même paramètre, le paramètre t.

Le paramètre t représente habituellement le temps dans notre modèle. Nous pouvons lui conférer des valeurs sur l’ensemble des nombres réels. Les valeurs positives de t représentent les moments qui ont lieu après un moment référentiel défini à t=0, et les valeurs négatives représentent les moments du passé diégétique de ce moment référentiel. Puisque nous nous occupons principalement du temps de l’histoire et non du temps du récit, ce paramètre varie de manière continue. Son utilisation pour le temps du récit impliquerait son découpage et la permutation de sections du domaine sur lequel il serait défini. Il serait possible malgré tout d’en faire bon usage dans cette recherche, mais comme mentionné précédemment cela nous éloignerait de l’objectif d’explorer la narration en se limitant au temps de l’histoire. Le concept même de continuité de ce paramètre s’applique ensuite à la continuité d’une fonction telle qu’habituellement définie et utilisée en mathématique (définition dont les rouages sont également délaissés puisqu’elle demeure généralement assez lourde et encore une fois cela ne servirait pas la compréhension claire du texte (17)). La continuité d’une fonction sert ensuite à définir la continuité de la courbe paramétrée et pour la raison mentionnée nous utilisons une forme intuitive de la continuité de la courbe paramétrée. La continuité du paramètre t indique que ce paramètre évolue graduellement sans irrégularités comme des coupures ou des espaces vacants. La continuité de la courbe implique que nous pouvons la tracer sans lever le crayon.

Figure 7: projectio paradoxe

                                     Figure 7: Bijection entre le cercle et la droite des réels. Source :   http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/compactification/

La continuité de ce paramètre sur les réels entraîne d’inévitables paradoxes similaires à ceux rencontrés par les théoriciens de la théorie des ensembles comme George Cantor (Vidal-Rousset, p. 12), en particulier des paradoxes sur la notion de longueur (Peter, p. 281-282). Par exemple, deux segments de droite de différentes longueurs contiennent exactement le même nombre de points puisqu’il est possible de les mettre en bijection, paradoxe équivalent au paradoxe de la roue d’Aristote (Gardner 1983, p. 2-3). Il en va de même pour un segment fini et infini. (Figure 7) Mieux encore, étant tous les deux dénombrables, le nombre infini de points d’une droite égale celui d’un plan, et ce même s’ils n’ont pas la même dimension (Guillen, p. 62). Dans notre modèle, nous contournons ce problème en admettant la correspondance absolue entre temps et distance comme un outil éventuel d’analyse ou comme une contrainte de création intéressante; il n’y a pas d’obligation à s’en tenir à la définition absolue. Dans ce cas, nous nous situons davantage dans la perspective offerte par la théorie des graphes dans laquelle la longueur ou la forme des arêtes n’importe pas. Les auteurs d’hypercomics travaillant sur le canevas infini de McCloud contournent également cette contrainte de l’équivalence distance-temps (http://scottmccloud.com/4-inventions/canvas/index.html). Nous constatons par exemple que dans Popcom (http://e-merl.com/pocom.htm) de Daniel Merlin Goodrey, cette constante ne semble pas toujours prise en compte. Des courbes de différentes longueurs peuvent contenir la même temporalité et inversement, deux courbes de même longueur peuvent contenir des temporalités différentes. Nous verrons que dans certains cas, il peut tout de même rester utile de conserver cet axiome d’équivalence entre espace et temps : un modèle appliqué au film Inception de Christopher Nolan le démontrera.

Le réalisateur américain David Llewelyn Wark Griffith décrit le début de son film Intolerance par une métaphore fort intéressante. Il compare la multitude d’histoires indépendantes qui découlent d’un point initial dans son film à plusieurs ruisseaux qui descendent une montagne (Eisenstein, p. 397). Cette image évoque précisément un type de graphe fort simple que nous nommons «arbre».

Comme mentionné au premier chapitre, un graphe G := {V, E} est un ensemble d’éléments V de pair avec les relations E qui les unissent. Lorsque nous voulons faire une représentation graphique de cette structure, il est fort utile de considérer les éléments comme des points (ou des sommets) et les relations comme des lignes (ou des arêtes) qui relient un certain nombre de ces points. La disposition de ces points dans l’espace, la forme et la longueur des lignes n’ont aucune importance. Seule importe la présence de ces points et la présence d’arêtes entre certains de ces points. Le nombre de sommets d’un graphe est son ordre et son nombre d’arêtes est sa taille. L’ordre peut être nul, constitué d’aucun point, nous disons alors que le graphe est trivial. S’il existe une relation réflexive d’un élément vers lui-même, nous représentons cette relation par une boucle qui débute et termine en ce point. Deux arêtes sont dites parallèles s’ils débutent et se terminent aux mêmes deux points. Un graphe qui ne possède aucune boucle et aucune arête parallèle est dit simple (Bondy, p. 2-3).

Figure 8: Paul Klee

Figure 8: Paul Klee, exemple de ligne active. Tiré de Théorie de l’art moderne.

Un chemin est une suite de sommets et d’arêtes consécutifs sur un graphe. Le nombre d’arêtes d’un chemin est la longueur du chemin. L’artiste Paul Klee illustre bien le concept de chemin par ce qu’il nomme la « ligne active soumise à des délais » (Klee, p. 74). (Figure 8) S’il existe au moins un chemin entre toute paire de points d’un graphe, on dit que ce graphe est connecté. Un chemin qui débute et se termine au même sommet est un cycle (Bondy, p.4-5). Un graphe connecté qui ne possède aucun cycle est un arbre. Il découle de cette définition que les arbres les plus simples sont les chemins. Si plusieurs chemins sont raboutés les uns aux autres ou ont un même point de départ, nous obtenons encore un arbre. Un groupe d’arbres non connectés entre eux est une forêt (Bondy, p. 99-100).

Comme mentionné au chapitre précédent, nous pouvons représenter des histoires ou segments d’histoires par des courbes paramétrées et nous considérons que l’histoire se déroule le long de ces courbes. Nous pouvons comparer ce modèle à la «ligne active», c’est-à-dire à la simple promenade d’un point en mouvement (Klee, p. 73), ou dans notre modèle à la promenade d’un espace discret. Nous pouvons joindre les segments de courbes paramétrées, ou arêtes d’un graphe en chemin, afin de former un chemin plus long, ou une histoire plus longue.

Bien que les détails de la forme, de la longueur et du domaine du paramètre t peuvent s’avérer forts importants dans la composition d’une histoire, il est possible de les omettre temporairement afin d’en avoir une compréhension plus macroscopique. En ne prenant en compte que le temps de l’histoire, le début du film Intolerance peut ainsi être schématisé dans ce modèle comme étant quatre chemins incidents en leur point initial, donc, un graphe avec un point central et quatre arêtes, des courbes paramétrées partant dans des directions différentes.

Figure 9

Figure 9 : Arbre orienté. Source: http://stackoverflow.com/questions/2471412/how-to-spread-changes-in-oriented-graph

Les arbres possèdent plusieurs caractéristiques intéressantes. Nous pouvons aisément dénombrer les arêtes d’un arbre à partir de son nombre de sommets en utilisant la formule e=n-1e est le nombre d’arrêtes et n le nombre de sommets (Bondy, p. 100). Nous savons aussi que l’ajout d’une arête (sans l’ajout d’un sommet) à un arbre créé inévitablement un cycle et que par conséquent le résultat de cette opération n’est pas un arbre (West, p. 69). Nous pouvons construire des arbres à partir de chemins orientés, c’est-à-dire en donnant une direction à chacune des arêtes. Un chemin orienté est donc une suite de sommets et d’arêtes sur un graphe orienté qui respecte le sens d’orientation des arêtes. Dans ce cas particulier, l’ajout d’une arête sans l’ajout d’un sommet sur un arbre orienté n’implique pas systématiquement l’apparition d’un cycle. (Figure 9)

Figure 10: Bible Moralisée

Figure 10 : Auteur Inconnu, Bible Morlisée. Extrait de la Genèse.

Comme nous l’avons vu avec la représentation du temps dans le domaine de l’Histoire, l’utilisation de la ligne comme support du temps est relativement récente. Dans l’historiographie de la bande dessinée, plusieurs historiens dont David Kunzle (1972) (18) et Thierry Smolderen (2009, p. 21) (19) trouvent des racines du médium dans la suite d’estampes de William Hogarth. Dans ce cas, les différents tableaux sont reliés par une trame narrative, mais aucune représentation de cette lignée temporelle n’est accessible. Le type de lecture requise pour en comprendre les rouages diffère beaucoup de celle presque automatique de la bande dessinée : lente, de va-et-vient entre les différents tableaux puisque ce sont les petits détails qui indiquent le sens de l’histoire (Smolderen, p. 14). La première juxtaposition temporelle de peintures par Hogarth est en fait Before and After, deux tableaux représentant un couple avant et après l’acte sexuel. Cependant, c’est pour de plus longues séries telles que Harlot’s Progress que l’artiste est reconnu (Smolderen, p. 18). Les suites d’images visuellement reliées entre elles peuvent être retracées à l’Antiquité et un grand nombre ont circulé au Moyen Âge et à la Renaissance comme le démontrent les ouvrages de Gérard Blanchard (1969) et de David Kunzle (1972). Dans la majorité des cas, la courbe de l’histoire n’est pas explicitement présentée. Dans la Bible Moralisée, cette courbe se déroule verticalement avec les médaillons. (Figure 10) Nous retrouvons le même principe, mais cette fois horizontalement, dans l’œuvre de Rodolphe Töpffer. Dans ce cas, nous constatons bien que la trame narrative se déroule sur une courbe paramétrée sous-jacente, et donc en termes de graphe nous avons un simple chemin. C’est ce modèle qui prévaut en général dans la bande dessinée; elle apparaît sous forme concaténation de segments de courbes paramétrées. (Figure 11)

Figure 11: Scott McCloud Understanding comics

Figure 11 : La flèche du temps. McCloud, Scott. 2000. Reinventing Comics, p.219. New York: Paradox Press. © 2000 Scott McCloud

Nous retrouvons un exemple d’utilisation de courbe continue dans le roman Tristram Shandy de Lawrence Sterne où le narrateur tente d’exprimer le parcours de l’histoire de Tristram par une série de lignes loufoques (Sterne, p. 417-418). (Figure 12) Cette forme d’histoire en chemin apparaît distinctement dans certains roman-cinéma de Louis Feuillade dans laquelle l’histoire descend en zigzagant dans la page (Blanchard, p. 188). (Figure 13) Le peintre anglais construisit aussi des suites d’images dans lesquelles nous retrouvons une forme de montage : les tableaux 3,4 et 6 de la suite Mariage À-la Mode présentent les aventures du mari et de l’épouse indépendamment alors que les tableaux 1,2 et 5 présentent des scènes communes (Lacassin, p. 16), nous retrouvons une histoire en arbre dans laquelle les personnages se joignent et se séparent. Des histoires en chemin sont également présente dans des planches de McCloud (2000, p.223) et dans le travail de Bruno Schaub (Molotiv, p. 168-169).

Figure 12: Lawrence Sterne Tristram Shandy

Figure 12: Sterne, Lawrence. 1964. The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, p. 417. Toronto: Holt, Rinehart and Winston.

Figure 13

Figure 13 : Roman Cinéma, tiré de Blanchard, Gérard.1969. La Bande Dessinée : histoire des histoires en images de la préhistoire à nos jours, p. 189. Verviers : Marabout. © Ed. J. Rouff

La représentation de l’histoire sur une simple ligne de temps équivaut à un chemin et l’intersection des lignées dans un arbre généalogique est bien évidemment l’équivalent d’un graphe en arbre -un graphe en arbre dont les arêtes sont des segments de courbes paramétrées sur lesquelles se déroule l’histoire, ou les histoires. Nous nous intéressons aux exemples qui présentent l’histoire sur des graphes en arbre un peu plus complexes que la plupart des bandes dessinées étant des juxtapositions de courbes paramétrées qui forment un chemin qui s’étale le long des pages d’un album. Un exemple intéressant se trouve dans Uchronie (l’utopie dans l’histoire) : Esquisse historique apocryphe du développement de la civilisation européenne tel qu’il n’a pas été, tel qu’il aurait pu être de Charles Renouvier (1876). (Figure 14) L’auteur présente une histoire réelle et utopique sur un graphe en arbre en représentant les évènements réels en lettres minuscules et les évènements imaginés par des lettres majuscules (Rosenberg et Grafton, p.23). L’auteur explique en bas de page qu’une définition plus rigoureuse de son schéma pourrait être utile et il ajoute que la valeur des angles entre les trajectoires réelles et imaginées pourrait représenter la mesure de cet écart par rapport aux évènements réels (Renouvier, p. 467). On voit que ce modèle s’apparente au modèle de Ryan puisqu’il contient à la fois des moments réels et des moments imaginés dans la diégèse. Ce modèle donne également un bon exemple de l’ajout d’un aspect géométrique à la perspective de la théorie des graphes tant dans le processus de création que dans celui de lecture du graphe. Cet élément géométrique -le sens donné à l’angle d’inclinaison des arêtes- n’appartient pas à la théorie des graphes, mais permet d’enrichir les informations contenues dans le graphe.

Figure 14: Charles Renouvier Uchronie

Figure 14 : Renouvier, Charles. [1876] 1988. Uchronie (L’Utopie dans l’Histoire) : Esquisse historique apocryphe du développement de la civilisation Européenne tel qu’il n’a pas été, tel qu’il aurait pu être. Paris : Librairie Arthème Fayard

Pour simplifier la compréhension des récits, nous retrouvons souvent des représentations similaires à celles existantes dans le domaine de l’histoire qui comme celles de Ryan donnent une orientation générale de lecture de gauche à droite en concordance avec notre sens habituel de lecture. Un exemple similaire est explicitement utilisé par Randall Munroe dans la bande dessinée xzcd : The Movie Narrative Chart (http://xkcd.com/657/). (Figure 15) À l’exception du film Primer dont nous étudierons la structure narrative dans le chapitre quatre, tous les exemples suivent cette tendance. La présentation d’une histoire sur le support macroscopique du graphe en arbre révèle cependant des aspects importants de leur réception que sont le sens et la direction de lecture.

Figure 15: Xkcd Movie Chart

Figure 15: Randall Munroe, Movie Chart. Source : http://xkcd.com/657/

Le sens commun de lecture en occident se fait de gauche à droite et se confond généralement avec la direction de lecture. On peut définir le sens de lecture comme étant le fait de lire de gauche à droite à partir du bas des lettres. La direction de lecture est l’orientation du plan sur lequel se fait la lecture et se réfère dans notre cas à la direction prise par la courbe paramétrée. (Figure 16) L’utilisation de la courbe paramétrée permet de conserver clairement les principes d’uniformité, de directionalité et d’irréversibilité propre au temps (Rosenberg et Grafton, p. 19). Il se trouve que les deux derniers ne sont pas des principes immuables. La forme des chartes historiques se compare aisément à celle de la courbe paramétrée et l’évolution de ce support depuis le 18e siècle dans la culture occidentale a déjà offert des cas de lecture verticale, horizontale ou même circulaire comme dans celle de Girolmo Andrea Martignoni (Rosenberg et Grafton, p. 108-109). La direction de la lecture, comme nous l’avons également vu dans le cas des histoires présentées en arbres, peut être définie à 360 degrés. Nous verrons dans les prochains chapitres qu’il est encore possible de donner de l’expansion à ce principe de direction. Il reste encore le point litigieux de sens de la lecture, c’est-à-dire le sens de lecture prise sur la courbe paramétrée elle-même.

Figure 16

Figure 16: Direction de lecture. Source : http://mathwiki.ucdavis.edu/Calculus/Vector_Calculus/Vector-                                             Valued_Functions_and_Motion_in_Space/Curvature_and_Normal_Vectors_of_a_Curve

Dans l’ouvrage Possible Worlds, Artificial Intelligence, and Narrative Theory de Marie-Laure Ryan, la présentation des récits conserve en général le sens de lecture qui est aussi la direction de lecture, et ce, autant pour les points et vecteurs qui suivent l’histoire diégétique que ceux qui suivent l’histoire possible ou imaginée de la diégèse. Une étape importante dans la création d’un corpus qui utilise la présentation macroscopique de l’histoire est de se défaire de cette contrainte. Dans la construction de telles œuvres, la possibilité de lecture pluridirectionnelle devrait être prise en compte comme élément esthétique ou porteur d’une sémiotique particulière. Un premier corpus intéressant est celui de l’OuBaPo qui offre de nombreux exemples dans son deuxième et troisième Oupus.

Figure 17: Lewis Trondheim Le roi du Monde

Figure 17 : Lewis Trondheim, Le Roi du Monde. Tiré de Lapin nu. 27, Paris : L’Association, 2001.

Le premier double sens de lecture à reconnaître est le double sens de lisibilité notamment propre au palindrome. Un exemple flagrant est celui de Le Roi du Monde de Lewis Trondheim (OuBaPo 2003, p. 14). (Figure 17) Dans cette bande dessinée de 16 cases placées régulièrement en carré, chaque ligne peut être lue de gauche à droite ou de droite à gauche et chaque colonne de haut en bas ou vice versa. Il y a également des possibilités de lectures à double sens dans chaque diagonale. Ces différents sens de lecture se rattachent à la plurilecturabilité de chaque case (OuBaPo).

Figure 18: Jean-Christophe Menu Stip Croisé

Figure 18 : Jean-Christophe Menu, Strips croisés, 2000. Tiré de L’oupus 3 © Jean-Christophe Menu

Il est possible de lire chaque case en plusieurs sens et il en découle plusieurs directions de lecture dans le multicadre. En fait, chaque direction de lecture contient un double sens de lecture. L’interprétation du sens de lecture peut se confondre avec celui de la direction sur le support. Dans cette situation chaque case a un sens précis de lecture, mais la suite des cases qui forment l’histoire est pluridirectionnelle. C’est-à-dire que le lecteur construit un chemin en passant d’une case à l’autre en suivant les différentes directions de lecture possibles à partir de chaque case. Une fois de plus l’Oupus 3 offre de beaux exemples dans les «strips croisés» de Ayroles, Menu et Lécroart. Dans ceux de Lécroart et de Menu, nous pouvons lire chaque colonne vers le bas et chaque ligne vers la droite pour former un total de sept histoires possibles. (Figure 18) L’œuvre 26, Ayroles fait ses strips croisés, doit se lire dans le sens normal de gauche à droite et du haut vers le bas, mais à partir de chaque case plusieurs suites sont possibles comme le présente le schéma de la figure 19. L’ensemble des lectures possibles constitue 256 histoires différentes.

Figure 19: François Ayroles -Strips Croisés pour l'OuBaPo

Figure 19 : François Ayroles, Strips Croisés, 2000. Tiré de L’oupus 3 © François Ayroles

Un autre exemple de lecturabilité particulière vient des travaux de Gustav Verbeck qui produisit la série The Upside Downs of Little Lady Lovekins and Old Man Muffaroo (1903) (Figure 20). Après la lecture en son sens conventionnel le lecteur doit retourner la planche à 180° pour poursuivre la lecture (Couperie et al., p. 27). Plusieurs auteurs réutilisent cette technique dans L’Oupus 3 : Gerner, Lécroart, Killofer, Ayroles, Lécroart, Trondheim et J.C. Menu se soumettent tous à cette contrainte (OuBaPo 2000, p. 2, 22, 20, 24 et 26). Dans les deux cas, le sens de lecture de la courbe paramétrée sous-jacente est double et par ce fait même nous lisons des graphes non orientés qui possèdent deux sens de lecture puisque chaque case peut se lire de gauche à droite ou de droite à gauche.

Figure 20: Gustav Verbeek -Upside Downs

Figure 20: Gustav Verbeek, Upside Downs of Little Lady Lovekind and Old Man Muffaroo.

Pour un multicadre qui a un sens de la gauche vers la droite et du haut vers le bas, il devient facile de dénombrer le nombre de lectures possibles. En nommant chaque lecture vers la droite D et chaque lecture vers le bas B, on peut représenter par un mot. Une lecture du multicadre DBDBDBD représente alors une lecture sur la diagonale du multicadre. Le dénombrement du nombre d’histoires d’un multicadre de m par n cases revient alors à celui du dénombrement du nombre de mots de m+n lettres D et B. Le résultat donne (m+n)!/(m!xn!) (Grimaldi, p. 27) Nous pouvons encore ajouter la contrainte de ne pas dépasser la diagonale du multicadre. Le problème du dénombrement des lectures possibles se transforme alors en celui des nombres de Catalan qu’il est également assez simple de calculer (Grimaldi, p. 36-38). (Figure 21)

Figure 21: Nombre de Catalan -Catalan Numbers

Figure 21 : Les nombres de Catalan représentent le nombre de chemins qui ne traversent pas la diagonale. Source : Wikipedia

Les exemples que nous venons d’étudier présentent une forme intéressante lorsque nous les considérons du point de vue des courbes paramétrées. Sous le multicadre se retrouve une panoplie de courbes clairement définies qui doivent suivre un sens et une direction de lecture. La plurilecturabilité peut être comprise dans ces cas comme la possibilité de sauter d’une courbe à une autre ou comme la coprésence superposée de toutes les courbes paramétrées possibles qui équivalent à une lecture possible.

Figure 22: Chris Ware -Quimby the Mouse

Figure 22: Chris Ware, Quimby the Mouse, 2003. Seattle: Fantagraphics Books. © Chris Ware

Revenons aux cas où les courbes sont bien définies et disjointes les unes des autres. Cela permet de mettre en valeur une interprétation de la direction de lecture qui peut prendre une signification particulière en rapport avec le support de la courbe. Nous constatons que les exemples des chartes historiques et des différentes schématisations de l’histoire telle qu’elles se retrouvent chez Ryan restent encore très ancrés dans la tradition littéraire de la lecture de gauche à droite. Nous pouvons observer une tendance à mi-chemin entre sens de lecture traditionnelle et une exploration de la direction de lecture. Dans une planche de Quimby the Mouse de Chris Ware, nous retrouvons un bel exemple de structure en arbre, en chemin plus précisément, dans laquelle la direction de lecture n’est pas toujours équivalente au sens de lecture. Les cases suivent un parcours relativement conventionnel jusqu’au bas de la page, par la suite elles remontent du coin inférieur droit vers le coin supérieur gauche en quelques cases (Ware 2003, p. 28). (Figure 22) Les cases possèdent un sens de lecture de gauche à droite alors que la courbe paramétrée sous-jacente contenant le temps de l’histoire possède une direction qui va vers le haut. La direction globale du multicadre demeure quant à elle vers la droite puisque la courbe paramétrée nous ramène en haut à gauche de la page suivante disposée à droite de la première. L’auteur Fred propose une structure similaire dans un tome de Philémon où le protagoniste peut descendre la page en passant par plusieurs chemins (Fred, p.25). (Figure 23) Le schéma de cette page construit par Peeters indique que la structure de la page est un arbre orienté et qu’aucun cycle n’y apparaît (Peeters 1998, p. 71). (Figure 24) Comme le souligne Peeters, la planche apparaît tout d’abord comme un «espace homogène et simultané» (1998, p. 69). Une lecture plus approfondie révèle la présence d’un récit-carte : les évènements de l’histoire sont superposés à une carte de fond (le chien géant nommé Simbbabad) et ils sont disposés sur les lieux précis de la carte où ils ont lieu. Chaque évènement prend son sens avec son positionnement sur la carte puisque le lieu de l’action dans la case est le même que celui du multicadre.

Figure 23: Fred -Philémon

Figure 23: Fred. 1974. Philémon: Simbabbad de batbad. Montréal : Dargaud Éditeur. © Dargaud Éditeur 1974.

Figure 24

Figure 24 : Schéma de Peeters pour la page de Fred. Peeters, Benoît. 1998. Lire la Bande Dessinée. Paris : Casterman, 1998. © Casterman 1998.

Analysons un exemple qui s’écarte quelque peu de cette tradition. Dans son œuvre Dernier Rappel, Alex Robinson représente la tourmente dans laquelle se retrouve son personnage en offrant un dialogue structuré en arbre (Robinson, p. 216). Les différents phylactères s’étalent et se perdent sur la page. (Figure 25) Même si des croisements se font au niveau des dialogues, puisque ces dialogues ont un sens de lecture la suite de phylactères forme un graphe orienté sans cycle. Par conséquent, ce graphe est un arbre. L’instabilité de la direction de lecture de la suite de phylactère renforce l’idée de l’égarement des pensées du protagoniste. Par conséquent, cet arbre, sans être un récit carte, contient une information contenue dans sa forme. Cette relation spatio-topique issue des différentes directions de lectures relie ces phylactères entre eux procure un sens supplémentaire à l’image.

Figure 25: Alex Robinson Derniers Rappels

Figure 25Robinson, Alex. 2006. Derniers Rappels. Montreil : Éditions Rackham. © Alex Robinson

Examinons un cas simple qui se base sur ce principe : une histoire construite en étoile peut souligner l’éloignement définitif de personnages dans le temps et dans l’espace. Dans un graphe, nous définissons la distance entre deux arêtes par la longueur du plus court chemin qui les sépare (Bondy, p. 80). Un graphe en étoile est un graphe tel qu’il existe un sommet à une distance 1 de tous les autres sommets (West, p. 67). Dans la représentation d’un graphe en étoile à n sommets, nous pouvons construire le graphe avec le sens conventionnel de lecture en plaçant le centre de l’étoile à gauche et les n-1 sommets suivants à sa droite. Une seconde option est distribuer les n-1 points autour du centre en les plaçant à une distance euclidienne (20) égale des uns des autres. Par la grande symétrie de l’image obtenue, nous obtenons une histoire qui possède plusieurs directions de lecture, mais un seul sens. (Figure 26) C’est-à-dire qu’en fixant au bas de l’image d’une seule case le référentiel de lecture, la lecture de la prochaine case se fera vers la droite, mais lorsque nous observons le graphe en arbre de manière générale, il y a des branches qui partent vers différents angles du plan.

Figure 26

Figure 26-Graphes en étoiles. Source: Wolfram Mathworld.

Un exemple simple d’histoire basée sur cette structure est un graphe en étoile dans laquelle à partir d’un évènement dramatique, plusieurs amis partent dans des directions régulièrement distribuées sur 360 degrés. Cet éloignement égal des personnages des uns aux autres insinue un éclatement parfait du groupe social. Une telle histoire en étoile a été conçue par Henriette Valium pour l’affiche Créateur : tu est (sic) et tu seras ça toi!. Dans ce cas, les cinq cases disposées en périphérie pointent vers la case centrale où se déroule l’acte de création. Nous avons une histoire en «étoile» du point de vue iconique, mais le texte semble suivre un ordre plus habituel, c’est-à-dire que le texte des cases semble devoir être lu en passant par l’ordre conventionnel des cases de la bande dessinée. (Figure 27)

Figure 27: Henriette Valium

Figure 27: Henriette Valium, Créateur, tu es et tu seras ça toi. © Henriette Valium

Cette liberté prise en regard de la direction de lecture apparaît déjà dans plusieurs hypercomics qui utilisent à plein escient la pluridirectionnalité de l’espace du plan cartésien et offre au lecteur des symétries esthétiques de la présentation macroscopique de l’histoire. Comparons trois exemples d’hypercomics de Daniel Merlin Goodrey, soit Never Shoot the Chronopath (21) , Merlism: The Book of Merl, et Cells: War on Weird (22). Le premier offre une belle structure globale principalement constituée de trois branches, mais qui garde une lecture de gauche à droite. (Figure 28)

Figure 28: Daniel Merlin Godbrey : Never shoot the Chronopath

Figure 28: Daniel Merlin Goodbrey, Never Shoot the Chronopath 2005 © Daniel Merlin Goodbrey Tiré du site personnel de Goodbrey

Le deuxième possède principalement une structure similaire à celle de l’étoile ou des rivières de Griffith où plusieurs histoires découlent d’un point central. Il n’en reste pas moins que les deux principales directions sont le haut et le bas. (Figure 29)

Figure 29: Daniel Merlin Godbrey : Merlism

Figure 29: Daniel Merlin Godbrey Merlism: The Book of Merl , 2005 © Daniel Merlin Godbre

Finalement, plus éclectique, Cells : War on Weird travaille dans plusieurs directions à la fois. (Figure 30). Comme le remarque Martha B. Kuhlman en se basant sur l’analyse de Thomas Bredehoft, la multitude des directions de lecture caractérise également certaines pages de Chris Ware: «one can approach the multilinear pages in Jimmy Corrigan from several directions.» (Kuhlman, p. 83). Nous ajoutons que dans le cas de ces planches, certaines cases ont également des sens de lecture qui diffèrent du sens habituel.

Figure 30: Daniel Merlin Godbrey Cells: war on Weird

Figure 30: Daniel Merlin Godbrey Cells: War on Weird, 2010 © Daniel Merlin Godbrey

Nous pouvons donc considérer à la fois un sens et une direction de lecture dans la création d’une œuvre. De plus, comme le mentionne Groensteen dans son analyse spatio-topique, la forme de la suite de case peut être un élément important. De manière équivalente, la forme de la courbe paramétrée peut donner lieu à une esthétique et à des interprétations particulières, à un graphisme sémiotique comme le souligne Peeters (1998, p. 106). Nous verrons ce fait plus en détail à l’aide de remarques de Brusatin, Kandinsky et Klee. Or, inévitablement la direction prise par la courbe a une incidence sur la forme du graphe et par conséquent sur le sens de sa forme. Le schéma apocryphe de Renouvier en est un bon exemple avec la sémantique apportée aux angles entre les segments de droite. Nous allons étudier un exemple fort simple qui illustre à merveille l’utilisation conjointe de direction de lecture et de la spatio-topie, celui de la spirale. Un exemple saillant nous vient du milieu de la musique et il nous est possible de l’étudier sous le modèle de la courbe paramétrée. La partition musicale représente naturellement une progression du temps et une belle analogie entre cette trame de temps et une trame narrative est bien représentée par le travail de J. J. Granville paru dans la revue Magasin Pittoresque en 1840. (Figure 31)

Figure 31: J.J. Granville

Figure 31: J.J. Granville, parution originale dans le Magasin Pittoresque en 1840, tire du livre de Smolderen

L’auteur présente une histoire de bonshommes allumettes sur une partition musicale; le temps de la partition musicale est en fait le même que le temps de l’histoire (Smolderen, p. 37). Cette correspondance entre le temps de la partition et le temps de l’histoire apparaît également dans Histoire de la Sainte-Russie de Gustave Doré. Dans ce passage, le czar Nicolas I amène un de ses boyards devant son armée afin que ce dernier démontre ses capacités (Doré, p. 179). (Figure 32) Ces deux temporalités trouve une parfaite équivalence puisque le temps de cette partition en littéralement un sous segment du temps de l’histoire de la Russie.

Figure 32: Gustave Doré Histoire de la Sainte-Russie

Figure 32: Gustave Doré, Histoire de la Sainte-Russie (extrait)

L’analyse ou la construction d’histoire de par la spatio-topie peut s’avérer utile puisque la forme d’une courbe peut déjà être porteuse de sens. Par exemple, Brusatin écrit que « Le sublime est à la fois une ligne brisée et zigzagante…» (Brusatin, p. 132). Des artistes comme Paul Klee et Wassily Kandisky ajoutent des éléments à ce type d’analyse perceptuelle. Kandinsky, distingue les «lignes droites libres» en opposition aux diagonales et discute de la notion de température d’une droite (Kandinsky, p. 69). Dans sa Théorie de L’Art Moderne, Klee mentionne que deux lignes secondaires peuvent former une ligne imaginaire (Klee, p. 74). (Figure 33)

Figure 33: Paul Klee

Figure 33: Ligne imaginaire de Paul Klee, 1985. Théorie de l’Art Moderne. Édition et traduction par Pierre-Henri Gonthier. Genève : Éditions Gonthier

Nous analyserons le cas particulier des spirales puisqu’elles possèdent une spatio-topie complexe qui évoque souvent la folie. Avant de le faire, nous devons voir l’utilité de la construction en arc de cercle. Dans les deux cas, les courbes paramétrées que nous utilisons peuvent faire usage de fonctions trigonométriques dépendantes de t dans leurs coordonnées x et y. En ce sens, le temps devient un paramètre angulaire de la courbe. Par exemple, sur un quart d’arc de cercle dans le premier quadrant du plan cartésien, le paramètre angulaire du temps passe de 0 à 90 degrés. En prenant des cercles de rayons différents et en nous basant sur une équivalence stricte du temps et de la distance sur une courbe sur le canevas infini tel que le propose McCloud, nous remarquons qu’un même temps angulaire représente différents temps de l’histoire sur différents cercles. Sur de plus petits cercles, le temps sera court et sur de grands cercles le temps sera beaucoup plus étiré. Ce modèle représente parfaitement ce qui se déroule dans le film Inception de Christopher Nolan. L’arc de cercle le plus proche représente le déroulement originel de l’histoire et chaque cercle supplémentaire représente un niveau de rêve superposé. Conformément au récit de Nolan, un temps court du premier arc de cercle est étiré sur le second et encore plus étiré sur les cercles plus éloignés. (Figure 34)

Figure 34

Figure 34: Distances radiales

Nous devons apporter quelques précisions sur le paramètre t. Puisque ce dernier varie sur les nombres réels, il peut représenter plusieurs intervalles différents : un intervalle fini, un intervalle allant de l’infini dans le passé à un moment précis, un intervalle allant d’un moment précis à l’infini comme le veut le concept d’aevum représentant le temps de la vie des anges tel que défini par le théologien Kilwardby (Gauvard, Libera et Zink, p. 12), et finalement, un temps variant de l’infini passé à l’infini futur. Nous expliquerons plus loin en quoi ces considérations sont utiles.

Figure 35: George Crumb Markocosmos

Figure 35-George Crumb, Makrokosmos, 1972. © George Crumb

En 1972, le compositeur George Crumb composa une suite de pièces pour piano amplifié qu’il nomma Makrokosmos. La grande particularité de cette œuvre est la forme de ses partitions. Chaque section est associée à un signe du zodiaque et possède une partition de forme différente. La pièce Spiral Galaxy possède une partition en spirale. (Figure 35). Il est aisé de comparer la partition musicale avec une courbe paramétrée qui progresse au gré des mesures comme le fait Granville. On peut trouver un modèle similaire de représentation du temps dans le jeu Wallis’ New Game of Universal History and Chronology de 1840 dans lequel les joueurs déplaçaient leurs pions le long d’une série de moments historiques disposés chronologiquement en spirale avec le présent situé au centre (Rosenberg et Grafton, p. 194-195). (Figure 36)

Figure 36: John Wallis

Figure 36- John Wallis, Wallis’ New Game of Universal  History and Chronology ,Londres, 1840. http://alteagallery.com/stock_detail.php?ref=13893&search=

Une telle représentation du temps a également été utilisée dans le cadre du jeu The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden, in Germany (1631). (Figure 37) Kunzle remarque que la spirale suggère autant la continuité des victoires que la précision mathématique des déplacements du roi (Kunzle, p. 74-75). Les Yanktonais d’Amérique du Nord semblent avoir également utilisé une trame de temps en spirale dans la présentation de l’Histoire (Rosenberg et Grafton, p. 157). Le modèle le plus élaboré est sans doute celui du rabbi Jacob Bloch de l’Oregon qui proposait un modèle en spirale où le temps au centre représentait le passé et évoluait plus rapidement que celui plus à l’extérieur de la spirale qui représentait le temps plus proche du présent. Cette stratégie visait à éviter les nombreux trous laissés dans le lointain passé dans les chartes linéaires, espaces vacants qu’impliquait une moins grande connaissance des évènements de l’histoire antique (Rosenberg et Grafton, p. 200-202).

Figure 37: The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden

Figure 37: The Victories of Gustaus Adolphus, King of Sweden, in Germany (1631) Tiré de l’ouvrage de Kunzle

En bande dessinée, Scott McCloud envisagea la possibilité de construire des histoires en spirale puisqu’il présente une suite de cases prenant une telle forme sur son canevas infini en arrière-plan d’une de ses cases. Il ne fait que suggérer cette utilisation, il n’insère pas la spirale comme structure des cases dans son ouvrage (McCloud 2000, p. 223). L’auteur Joe Matt fait un usage narratif d’une spirale dans l’une des pages de son journal Peepshow : the Cartoon Diary of Joe Matt. De la case supérieure droite de la page, le lecteur doit suivre l’auteur dans un parcours en spirale qui se termine au centre de la page (Matt 1999, p. 9). (Figure 38)

Figure 38: Joe Matt Peepshow

Figure 38-Joe Matt, Peepshow: the cartoon diary of Joe Matt , 1999. © Joe Matt

Cet exemple démontre bien l’utilité de la spirale dans la présentation d’une histoire sur une durée finie. L’auteur utilise bien les notions de direction et de forme de la courbe paramétrée. Le changement constant de direction du personnage et de la courbe paramétrée souligne le manque de référents psychologiques du personnage et finalement l’auteur utilise la forme de la spirale pour piéger son personnage au centre de l’histoire. Les deux plus beaux exemples restent néanmoins ceux dessinés par Marc-Antoine Mathieu dans le second tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves : Le Processus. À la page 37, le protagoniste parcourt une spirale qui non seulement aboutit au centre de la page, mais également sur la page suivante. (Figure 39)

Figure 39: Julis Corentin Acquefawue par Marc-Antoine Mathieu

Figure 39: Mathieu, Marc-Antoine. 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus, Paris : Éditions Delcourt. © 1993 Delcourt Productions

L’effet de profondeur renforce l’idée du point de fuite. La fin de l’histoire prend une forme similaire; la dernière page du récit présente une spirale de cases dans laquelle, théoriquement, l’histoire continue indéfiniment (Mathieu 1993, p. 46). (Figure 40)

Figure 40: Julius Corentin Acquefaque par Marc-Antoine Mathieu

Figure 40- Mathieu, Marc-Antoine. 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves : Le processus, Paris : Éditions Delcourt. © 1993 Delcourt Productions

Dans le but de rendre plus palpable cette idée d’histoire sans fin, un utilisateur anonyme a proposé en 2003 une histoire en spirale dans laquelle le lecteur pourrait zoomer infiniment sur son écran d’ordinateur. L’utilisateur amenait l’idée de coder un programme pouvant donner cet effet d’optique. L’idée ne semble pas avoir trouvé preneur (23). (Figure 41)

Figure 41

Figure 41- Proposition d’un modèle pour une histoire en spirale infinie. Source : http://www.zwol.org/forum/viewtopic.php?t=1284&sid=29afe7eb537b284815d2d075b9389c13

 

Dans le domaine des jouets optiques, il existe un exemple de disque de zootrope sur lequel la progression du temps s’effectue en spirale (24) (Willoughby, p. 55). Les implications d’une courbe paramétrée qui possède cette forme de représentation en spirale sont multiples, principalement sur des histoires possédant au moins un infini temporal. Plusieurs types de spirales existent : il y a la spirale logarithmique, la spirale de Theodorus, d’Archimède, de Fibonnacci, le lituus, la spirale hyperbolique et d’autres. Nous pouvons classifier les spirales en trois grandes catégories : les développées, la spirale d’Archimède et les spirales de croissance (25) (Lauwerier, p. 55-64). La définition de la développée étant quelque peu complexe, nous l’omettrons dans cette analyse. La spirale d’Archimède se caractérise pas la distance constante entre ses branches (Lauwerier, p. 60) comme nous pouvons le voir dans Wallis’ New Game of Universal History and Chronology. Un second exemple de spirale d’Archimède est la spirale de Fermat. (Figure 42) Cette spirale diffère par le fait qu’il n’y a pas un point de convergence de la courbe au centre. En fait elle est constituée de deux segments se rejoignant au centre de sorte que si l’on suit un segment jusqu’au centre on se retrouve ensuite à suivre l’autre segment qui s’éloigne du centre.

Figure 42

Figure 42- Exemple de spirale de Fermat. http://wonderfl.net/c/zcm8. © Kayak Inc

Si nous voulons faire une modélisation formelle de la spirale à l’aide de la courbe paramétrée, plusieurs options sont possibles. Un exemple courant est une spirale de croissance, la spirale logarithmique f(t)=(etcos(t),etsin(t) (Pressley, p. 8). Cette courbe a la particularité d’avoir un point de départ, mais pas de point final si l’on définit t sur l’intervalle [0,∞ [ où le point initial se retrouve près du centre et d’où ensuite la spirale s’éloigne infiniment. Si nous définissons le temps sur l’ensemble des réels alors la spirale s’approche infiniment de l’origine lorsque le temps diverge vers l’infini négatif. Il est également possible de permuter ces deux points en inversant le signe du paramètre temporel.

Nous pouvons choisir de représenter une histoire infinie de plusieurs manières. Soit en lui donnant un début, mais pas de fin, et ce d’une manière difficilement représentable puisque cette fin peut diverger dans l’espace, soit en faisant l’inverse. En inversant le sens de la courbe paramétrée, nous obtenons une histoire sans début, mais avec une fin fixe et représentable au centre de la spirale. Nous pouvons donc de deux manières similaires représenter une histoire sans début ni fin : avec soit le début ou la fin comme représentable à l’infiniment petit centre et l’autre comme abstrait divergent vers l’infiniment grand. Un cas intéressant peut également être construit à partir de la spirale de Fermat. Dans ce cas, l’infini du passé et l’infini du futur divergent vers l’infiniment grand du plan. La forme particulière de la spirale de Fermat permettrait aussi de représenter un évènement important au centre et de mettre en corrélation les éléments du passé et du futur en les associant radialement le long de la spirale.

Nous devons alors faire face à une problématique déjà rencontrée par M. C. Escher lorsqu’il voulait représenter l’infini à l’aide de ses pavages du plan. En fait, lorsqu’il a terminé son estampe Étude d’un remplissage du plan avec reptiles, il a compris qu’il arrivait à représenter l’infini théoriquement par son pavage, mais qu’en pratique il lui faudrait poursuivre ses dessins indéfiniment dans toutes les directions (Escher, p. 44). Un problème similaire se produit avec De plus en plus petit (1956) (Locher, p. 219), le point de fuite au centre représente l’infini, mais l’infinité des reptiles qui divergent au-delà n’arrive pas à bien cerner l’infini. Notre situation est similaire dans le sens où nous pouvons nous poser la question à savoir comment représenter fidèlement le double infini du temps par une seule courbe. En gardant l’idée de spirale, nous arrivons à bien cerner le temps de l’infini qui disparaît de plus en plus petit au centre, mais celui de l’infini qui diverge en temps et en distance par rapport au centre du plan peut, comme pour Escher, nous sembler insatisfaisant. Dans le modèle de Bloch, cela détermine un futur réel non encore réalisé, mais dans le cas d’une diégèse où nous pouvons vouloir présenter un temps futur infini.

Figure 43: George Crumb Makrocosmos

Figure 43- Georges Crumb, Makrokosmos, 1972. © Georges Crumb

En fait, il nous est possible d’ajouter un deuxième point à l’infini afin d’y faire converger la seconde extrémité de la courbe paramétrée infinie. Encore une fois, George Crumb fit preuve de créativité et proposa une partition construite à partir d’une double spirale. Toujours dans l’œuvre Makrocosmos, cette partition pour Aquarius est construite sur une sorte de double spirale finie, finie car les lieux d’enroulement ne se font que pour une section finie. (Figure 43) Huang Yong Ping introduisit cette même idée dans l’œuvre Carte du Monde (Rosenberg et Graton, p. 216). (Figure 44)

Figure 44

Figure 44- Huang Yong Ping, Carte du Monde, © 2010 Princeton Architecturl Press

Dans un globe terrestre déroulé en double spirale, l’artiste présente la chronologie de désastres futurs. Ces deux exemples pointent vers la possibilité de représenter deux balises de l’infini dans un espace restreint. Une représentation formelle d’une double spirale peut-être vue dans la spirale de Cornu (26) (Pressley, p. 33). Cette double spirale possède la particularité de converger vers deux points précis (27) (Pressley, p. 32-33). (Figure 45).

Figure 45

Figure 45-Spirales de Cornu, Source: Wolfram Mathworld.

Figure 46: Escher Tourbillons

Figure 46: M.C. Escher, Tourbillons, 1957, xylographie, 1957. 45 x 23,5 cm

La gravure Tourbillons (1957) de Escher représente bien ce principe. Deux séries de poissons disparaissent en convergeant à l’infini en s’enroulant autour de deux points fixes. (Figure 46) Il existe également une version à trois spirales équivalente à la spirale de Fermat dans le sens où il n’y a pas de convergence infinie vers le centre (28). En fait, cette triskèle représentant une déesse celtique ne diverge pas non plus vers l’extérieur du plan. (Figure 47) Il existe une variante de cette triskèle dans laquelle un des segments de chacune des trois spirales diverge vers l’infini. La construction d’une telle triskèle revient à l’équivalent d’un graphe en étoile de longueur infinie puisque ces trois brins qui forment les spirales partent d’un point central et ne se recoupent jamais. (Figure 48) Nous pouvons trouver d’autres manières de construire des doubles spirales, nous verrons celles-ci dans un chapitre ultérieur.

Figure 47

Figure 47-Triskèle, 2014 © ClipArt Best. Source: http://www.clipartbest.com/clipart-jixeqx6iE

Figure 48

Figure 48- Triskèle, © Zazzle Inc. Source: http://www.zazzle.ca/triskele_spirals_sticker-217523299385155614

Les cas de la spirale finie de Joe Matt et de la spirale de Fermat démontrent bien l’importance de la spatio-topie. La série de cases, de par sa forme, peut permettre une interprétation plus précise de l’histoire. Joe Matt utilisa la forme de la spirale pour produire un effet claustrophobique et pour laisser sous-entendre que son personnage était pris dans un cul-de-sac. La géométrie de la spirale d’Archimède permet quant à elle d’assurer de ne laisser aucun espace vacant entre les branches de la spirale allant vers l’infini. Ces cas sont de beaux exemples d’utilisation de la spatio-topie et des caractéristiques géométriques de la courbe paramétrée. La définition et les propriétés de l’espace sur laquelle la spirale se développe peuvent de plus mener vers la construction de récit-cartes. Par exemple, si nous considérons le centre de la spirale comme un lieu de grande richesse, une spirale tourbillonnant vers ce centre peut servir à représenter une lente progression vers l’avarice.

Les spirales sont fort intéressantes puisqu’elles soulignent un point important du canevas infini. Le plan est par définition infini par sa grandeur, par son incommensurabilité. Or, si nous nous basons sur la notion de plan cartésien, nous obtenons le résultat suivant concernant l’infini de ses détails : le plan cartésien est défini par ses deux coordonnées sur les réels, et par la densité des réels, ses points sont denses (Labelle, p. 10). C’est-à-dire que nous pouvons zoomer à l’infini sur n’importe quel point du plan sans qu’il n’y ait de lieu vacant. C’est aussi ce qui nous permet de réaliser ces spirales qui convergent vers ces points qui représentent le lieu du temps à l’infini. Sur papier, la représentation de telles narrations devient rapidement problématique puisque physiquement il nous est impossible de dessiner l’infiniment petit, problème qui peut être pallié par l’utilisation de l’ordinateur.

Dans la lignée déjà mentionnée des différents paradoxes liés au contiuum infini, les recouvrements de l’espace par une courbe ont fait couler beaucoup d’encre. Si cette caractéristique semble naturelle pour Kandisky (1970, p. 69), elle requiert plusieurs précisions de la part des mathématiciens. En particulier, tel que démontré par Eugen Netto, même s’il est impossible de mettre la ligne des réels en bijection avec le carré à l’aide d’une fonction continue (c’est-à-dire qu’il est impossible d’associer à chaque point de la ligne un seul et unique point du carré et vice-versa à l’aide d’une courbe continue), il est tout de même possible de faire une surjection ; en d’autres mots nous pouvons associer à chaque point du carré un point de la ligne (Sagan, p. 2). En fait, certains points du plan sont associés à plusieurs points de la ligne. Cette restriction est précisément celle qui empêche d’avoir une bijection entre les deux espaces. Dans la suite des débats sur ces paradoxes sont apparues les courbes de recouvrement de l’espace, c’est-à-dire des courbes qui théoriquement recouvrent entièrement une section de plan. Nous devons la première courbe de recouvrement de l’espace à l’italien Giuseppe Peano en 1890 (Peano, p. 157-160), mais à David Hilbert la popularisation de sa géométrie (Sagan, p. 10). (Figure 49)

Figure 49: Peano Curve -courbe de Peano

Figure 49: António Miguel de Campos, Peano Curve, 2007, JAVA animation. Source: Wikipédia.

La construction de la courbe de Peano se base sur un processus itératif. À partir d’une courbe de longueur finie, nous introduisons des segments de courbe semblables à la courbe initiale, mais à une plus petite échelle. Avec un choix adéquat de cette courbe et une itération à l’infini de l’insertion des segments de courbes, on arrive à recouvrir entièrement une section de plan. Plusieurs courbes similaires ont ensuite été proposées par différents mathématiciens tels que Sierpínski, Moore (Moore, 1900), Osgood (Osgood, 1903), Hilbert, Lebesgue (Delahaye 2004a, p. 92-93).

Nous avons déjà mentionné que les pages autoréférentielles contenant la mise en abyme infinie d’une case fait partie du répertoire de certains artistes. À l’opposé, le défi de la mise en abyme d’un nombre infini de segments de droite à l’intérieur d’un même segment initial reste encore à relever. Si nous ajoutons le critère du recouvrement du carré par l’itération à l’infini de ces courbes nous devrons alors également considérer les inévitables points qui seront recouverts plus d’une fois dans cette narration, donc inclure comme élément de l’histoire l’intersection de ces segments de courbes par eux-mêmes.

Nous arrivons à représenter l’ensemble de l’histoire comme ligne temporelle en considérant la trame temporelle qui lie entre elles les différentes cases d’une histoire en cadrant cette trame à l’intérieure d’une courbe paramétrée. En évitant la formation de cycle, l’agrégation de différents segments de courbes permet la construction de graphes en arbre qui peuvent servir la représentation macroscopique des histoires. La forme de ces arbres peut guider la création et la lecture de ces histoires. En ajoutant des points à l’infini, les histoires représentées peuvent posséder un temps diégétique infini. Finalement, l’utilisation de courbes de longueur peut mener vers de nouveaux défis tels que le recouvrement théorique d’une portion de plan et le recouvrement du plan par une histoire.

Notes:

9-Du point de vue des mathématiques, une courbe est un objet à une dimension. Dans notre cas, nous admettons une certaine largeur, celle nécessaire à l’inclusion des cases.

10-http://www.mizar.org/

11-La Bible Moralisée est un manuscrit du Moyen Âge qui présente en image plusieurs passages de la Bible. Elle fut probablement commandée par Isabelle de France au 13e siècle (Haussherr, p. 7).

12-Le mot exact dans le cas de la Bible Moralisée est médaillon. (Haussherr, p. 3)

13-Anonyme. Bible Moralisée : Faksimile-Ausgabe im Originalformat des CODEX VINDOBONENSIS 255 der Österreicjischen Nationalbibliothek. Paris : Club du Livre : Graz Akademische Druck-u. Verlasanstalt, 1973, p. 104. Un autre exemple d’apparition hors cadre se trouve à la page 112. Le cas le plus particulier se retrouve à la page vingt alors que le cadre est déformé pour prendre place dans le médaillon.

14-Ibid, p. 2. Page 41 du Commentarium.

15-Traduction libre de l’auteur.

16-Nous utilisons le mot charte avec sa définition anglaise de ‘’document organisationnel’’ puisque cette définition fait état précis du type de document dont il est question et qu’un terme équivalent en français n’existe pas.

17-Pour la définition complète voir Labelle, Jacques et Armel Mercier. 1993. Introduction à l’analyse réelle. Montréal: Modulo, p. 99.

18-En fait, tout un chapitre est dédié à Hogarth et un autre est dédié à ses successeurs.

19-Il est à spécifier que Smolderen oppose tout de même les modes de lectures de l’art séquentiel et du travail de Hogarth.

20-Par distance euclidienne nous nous référons à la distance dans le plan au lieu de la distance définie dans le graphe.

21-http://e-merl.com/chrono.htm

22-http://e-merl.com/cells.htm

23-http://www.zwol.org/forum/viewtopic.php?t=1284&sid=29afe7eb537b284815d2d075b9389c13

24-Lorsque ce disque est utilisé dans sa fonction rotative initiale, cette visibilité de la continuité de temps en spirale disparait quelque peu au profit d’une progression radiale.

25- Elles portent ce nom car on les retrouve souvent dans la nature.

26-Cette spirale est construite par la variation linéaire de sa courbature.

27-Cette propriété découle de sa définition. En effet, plus sa courbature tend vers l’infini, plus elle s’enroule en sens antihoraire vers des arcs de cercle ayant une courbature grande, et donc des arcs de cercle ayant des rayons de plus en plus petits.

28-Notons que ces spirales apparaissent dans la bande dessinée Meanwhile (Shiga, 2010). Cette insertion ne présente qu’une forme en spirale de la courbe paramétrée, aucune case n’y apparaît et la spirale ne diverge pas indéfiniment vers l’extérieur.

Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et en bande dessinée (Chapitre 1)

Introduction

(La verion originale du mémoire peut être consultée ici: https://www.academia.edu/10516424/Narration_et_math%C3%A9matiques_l_utilisation_des_graphes_au_cin%C3%A9ma_et_dans_la_bande_dessin%C3%A9e)

Les approches interdisciplinaires, malgré les nombreuses difficultés qu’impose la double migration d’un vocabulaire spécialisé et qui résulte, inévitablement, de méthodologies qui diffèrent autant par leurs formes que par leurs objectifs, possèdent l’avantage de créer un lieu commun de discussion à partir duquel de nouvelles avenues peuvent être explorées. Les arts visuels et les mathématiques ont souvent profité de ces rapprochements qui ont su tisser des liens qui semblent désormais naturels tant leur mariage s’est avéré profitable. L’étude de la perspective vient couronner une telle approche. L’influence de ces rapprochements proposés à la Renaissance -entre le modèle mathématique de la perspective et le modèle issu de la théorie de l’art- sont à voir autant dans les peintures de l’époque que dans la création des environnements virtuels de nombreux films, jeux vidéo et autres dispositifs immersifs. Or, ces rapprochements ne se limitent pas simplement à la représentation de l’espace. Par exemple, la notion de symétrie, très riche dans l’art visuel non figuratif, est sujet d’étude dans plusieurs branches des mathématiques dont la géométrie et la théorie des groupes sont les chefs de file. Ces points de rencontre sont traités principalement du point de vue de la forme et de la nature de l’image, par conséquent la narratarologie s’en retrouve quelque peu exclue.

Dans ce mémoire, nous proposons une perspective commune entre les mathématiques et la narratologie, ce que nous pourrions nommée une narratologie mathématique. L’objet de cette recherche se restreint aux histoires en images, principalement à celles de la bande dessinée. Nous démontrons dans ce travail comment divers résultats issus des mathématiques permettent l’analyse de certaines structures narratives et, surtout, ouvrent la voie vers un grand nombre d’explorations. Par conséquent, le but de cette recherche est double. En premier lieu, il nous proposons un modèle d’analyse et, en second lieu, à partir de ce modèle nous proposons de nouvelles narrations. Nous divisons ce mémoire en quatre chapitres. Le premier présenter es principaux concepts qui seront utilisé dans les chapitres suivants. Nous y construisons également le modèle qui sera utilisé dans les trois autres chapitres. Nous conservons volontairement un point de vue abstrait dans ce premier chapitre car la présentation détaillée et appuyée d’exemples s’étale sur la suite du mémoire. Les chapitres deux et trois traitent principalement des histoires dont la structure reste relativement simple. Le chapitre trois, en introduisant les histoires cycliques, mène vers l’analyse de la complexité d’une histoire par l’analyse de certaines caractéristiques propres à ce support. L’analyse des histoires sur différents supports justifie l’analyse du point de vue des mathématiques. Le dernier chapitre présente le potentiel inexploré des narrations basées sur notre modèle en lien avec l’utilisation de différents supports.

Nous ne prétendons pas présenter la liste complète des différentes expérimentations reliées aux aspects traités dans chaque chapitre. La forme de base de l’argumentation de ce mémoire est constructiviste, par conséquent les exemples mentionnés servent en premier lieu à démontrer qu’il est possible d’appliquer le modèle d’analyse et en second lieu à démontrer qu’il est possible de construire de nouvelles narrations basées sur ces observations. Une liste exhaustive de ces différentes expérimentations s’avèrerait fort utile pour de futures recherches, mais tel n’est pas le cas pour le présent travail.

Chapitre 1 : Les fondements théoriques

Tel que mentionné dans l’introduction, cette recherche vise deux objectifs. Le premier est de développer un nouvel instrument d’analyse narratologique appliqué principalement aux domaines du cinéma et de la bande dessinée.

Le rapport particulier qu’entretient la bande dessinée avec la notion de surface place ce médium au centre de cette recherche. La surface du dessin, pour des raisons techniques, existe sous une multitude de formes qui motivent l’exploration faite dans ce mémoire. L’analyse peut évidemment s’élargir pour s’appliquer au domaine de l’étude littéraire, mais il n’en sera pas question directement ici puisque nous voulons principalement étudier le rapport entre l’image figurative et sa surface de représentation. Pour cette raison, nous puiserons principalement nos exemples dans les domaines du cinéma et de la bande dessinée. Dans le but de démontrer l’utilité de notre méthode d’analyse, nous analyserons la trame temporelle de trois films : Triangle (2009) de Christopher Smith, Primer  (2004) de Shane Carruth et Looper (2012) de Rian Johnson. Dans le cas de la bande dessinée, nous étudierons principalement des planches de Chris Ware ainsi que le travail de L’Ouvroir de Bande Dessinée Potentielle, l’OuBapo. Le collectif oubapien travaille principalement en Europe et une documentation plus complète sur son équivalent en Amérique du Nord se fait encore attendre, cela explique que les exemples seront essentiellement européens. Ces œuvres que nous analyserons ne couvrent malheureusement pas la totalité de ce qui peut être traité du point de vue de l’analyse, ce qui explique la deuxième intention de cette recherche, celle d’une exploration des potentialités narratives.

En plus de développer un nouvel outil d’analyse, nous proposerons des narrations basées sur les différentes observations qui seront faites dans l’élaboration de la théorie et de la présentation d’un modèle. Conformément à la définition du mot, le modèle sert autant à comprendre des narrations existantes qu’à prédire des narrations potentielles (1) (Herman, p. 452). Dans notre cas, la compréhension est celle des narrations que nous mentionnerons dans le texte et les prévisions sont les nouvelles narrations qui seront déterminées comme possibles selon ce modèle. Ces exemples pourraient être plus nombreux, mais nous nous limiterons à un petit nombre qui se démarquent par leur pertinence. Ils se veulent de nouvelles explorations dans le domaine des arts.

Dans le but de se procurer des exemples pertinents, nous avons fait des recherches dans un grand nombre d’ouvrages sur la bande dessinée, les comics, les comix et les romans graphiques. Nous avons élargi notre recherche dans le répertoire de la bande dessinée underground en espérant que son caractère plus expérimental amènerait à davantage d’explorations avec le médium. Nous y avons principalement décelé des expérimentations au niveau du style graphique et du contenu du récit. Des sujets tels que la sexualité ou la politique prennent généralement le premier plan narratif et des styles graphiques moins aisément lisibles ornementent souvent les pages. Or, nous ne nous intéressons qu’indirectement à ces composantes dans le cadre de ce mémoire.

Nous avons survolé une panoplie d’ouvrages théoriques et historiques sur la bande dessinée, en particulier les ouvrages de Thierry Groensteen et de Benoît Peeters. Nous avons également fréquemment  consulté des sites Internet ainsi que des ouvrages encyclopédiques tels que 1001 Bandes Dessinées qu’il faut avoir lu dans sa vie et The World Encyclopedia of Comics édité par Maurice Horn. Nous avons effectué un second volet de la recherche de bandes dessinées dans des collections privées et dans des magasins spécialisés à Montréal, Toronto, Portland et San Francisco.

La méthode d’analyse et de production narrative que nous explorerons dans ce texte se prête particulièrement bien au format de la bande dessinée. Le cinéma peut par bifurcation présenter des caractéristiques que cette méthode rend aisément compréhensibles. Cependant, il ne constitue pas la forme première du support dont il sera question. Ces résultats demeurent pertinents pour les études cinématographiques puisqu’ils présentent quelques limites du cinéma quant à la forme des différentes narrations qui s’adaptent bien à ce médium. Il en va de même avec la littérature. L’abstraction qu’il est possible d’atteindre en littérature permet bien de mener des explorations, mais seulement à l’intérieur de certaines limites. Nous aborderons brièvement ce sujet dans de ce texte.

Pour le cinéma, les films de science-fiction se rapprochent davantage des narrations rendues possibles par la méthode que nous proposons dans ce texte. Cela explique pourquoi le corpus étudié appartient principalement à la science-fiction et que nous délaissons quelque peu les autres genres. Un peu comme dans le cas de la bande dessinée underground, le film expérimental se distingue souvent de par le style graphique ou son contenu thématique, mais rarement sous une forme qui nous intéresse ici. Quelques exemples pertinents viendront de l’époque de la naissance du cinéma et des jouets d’optiques.

Finalement, afin de donner de l’expansion aux définitions et de trouver de nouvelles idées, autant pour la présente recherche que de possibles travaux ultérieurs, nous avons exploré différents domaines des mathématiques. La visite des domaines de la géométrie, de la théorie des graphes et de la topologie a été particulièrement enrichissante. Ces domaines ont servi autant comme exploration artistique que pour bien souder ensemble l’analyse qui sera faite dans ce texte.

La bande dessinée étant le format premier des expérimentations de cette recherche, il va de soi que le choix d’une définition est primordial. Or, il se trouve que dans notre cas la majorité des définitions s’appliquent difficilement. Cela découle directement du fait que ce mémoire a pour but d’apporter une exploration du médium afin d’en repousser les limites. Nous prendrons tout de même le soin de présenter brièvement quelques définitions présentes dans le milieu de pair avec le débat qui en découle et les différents problèmes de son application dans le cas présent.

La présence de plusieurs formes distinctes du médium a fait naître différentes appellations. Il est commun de trouver les formules art séquentiel, bande dessinée, roman graphique, comics et comix. La dénomination art séquentiel vient principalement du travail de Will Eisner Comics & Sequential Art et Scott McCloud la réutilise par la suite dans son ouvrage Understanding comics. La définition offerte par l’auteur se veut un concept global et c’est une particularité que nous voulons conserver. Eisner affirme que «Graphic Narrative may be defined as the employment of words and visual images in an intelligent and disciplined sequence to explain an idea or tell a story» (Eisner 2008, p. XI). Avec une définition un peu plus large qui permet d’inclure les suites d’images qui ne contiennent pas de mot, McCloud propose pour le mot comics la définition suivante : «Juxtaposed pictorial and other images in deliberate sequence,intended to convey information and/or to produce an aesthetic reponse in the viewer» (McCloud 1993,p. 9). L’avantage de restreindre la définition en ces composantes générale est de pouvoir inclure une série d’objets présents dans l’histoire de l’art qui partagent certaines caractéristiques communes avec la bande dessinée. Scott McCloud inclut par exemple les peintures rupestres, la tapisserie de Bayeux et les codex précolombiens dans ce qui est conçu généralement comme bande dessinée (1993, p. 10-13). L’utilisation d’un terme moins restrictif mène également à s’interroger sur les limites de cette définition.Nous pourrions par exemple définir le cinéma et les jouets optiques par l’art séquentiel. Dans notre cas, cela ne cause pas problème pour deux principales raisons : le modèle proposé dans ce travail peut s’appliquer aux histoires écrites pour les films et l’exploration des surfaces du dernier chapitre démontre bien que l’inclusion de ces explorations dans le cinéma ou le jeu vidéo peut s’avérer intéressante. Le but de cette recherche étant en partie d’explorer les différentes possibilités du médium, une définition plus large nous est utile et pour cette raison nous garderons les composantes essentielles de celle-ci. Nous rejoignons pleinement McCloud dans son affirmation « The best definition will be, I think, the mostexpansive » (1993, p. 199).

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L’utilisation du terme comics a pris racine dans les publications de journaux et elle s’est épanouie principalement aux États-Unis au 20ième siècle. Le terme témoigne de la nature souvent humoristique des bandes dessinées de l’époque. Comme le démontre Gubern, cette popularité grandissante et l’évolution des comics de l’époque découlent en partie de la guerre des journaux américains, notamment de The World appartenant à Joseph Pulitzer et The Journal propriété de William Randolph Hearst (1972, p. 13, 24et 36). Ils favorisent en leurs débuts le format simple de quelques cases et plusieurs grands personnages sont issus de cette tradition. Les Kaztenjammer Kids de Rudolphe Dirks et Harold Knerr inspirés de Maxund Moritz de Wilheim Busch, ainsi que The Yellow Kid  par Richard Outcault sont des exemples de personnages qui ont vu le jour à cette époque. Les comics aux thématiques moins humoristiques se sont ensuite développés et du fantastique à l’aventure une grande variété de thèmes y a pris de l’expansion. Nous retrouvons quelques exemples qui explorèrent un peu plus le médium tels que Krazy Kat de George Herriman de 1913 à 1944, les curieux Upside-downs de Vermeek qui devaient être lus en tournant la feuille de 180° ainsi que l’œuvre de Winsor McCay Little Nemo in Slumberland . La grande distribution des comics dans les journaux est une composante qui influence Kunzel dans sa définition du mot en insérant comme composante essentielle la présence sur un support imprimé destiné à une distribution de masse (Groensteen 1999, p. 16). De manière similaire cette période historique est déterminante pour la définition de Blackbeards qui inclut dans la définition la publication régulière d’un personnage stable par épisode (Groensteen 1999, p.16). Tout comme Groensteen qui démontre l’insuffisance de cette définition par une série de contre exemples (1999, p. 19-20), nous ne souscrirons pas à cette perspective. Effectivement, la définition de Kunzle empêche d’inclure une bonne part de la bande dessinée underground et celle produite sur support numérique. La définition de Blackbeards exclue une panoplie d’œuvres destinées à ne pas avoir de suite.

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Dans cette tradition se retrouvent habituellement les comics américains de suspense, horreur,aventure de guerre et science-fiction qui se multiplièrent dans les années 40-50. Les comics américain sont dû reformuler leur contenu avec la parution en 1954 de The Seduction of the Innocent du docteur Frederic Wertham qui joua un rôle majeur dans l’imposition de la censure via un comité qui portait le nom de The Comics Code Authority (Sabin 1996, p. 68). Le format des comics évolua au courant de la seconde moitié du 20ième siècle pour donner toute une palette d’œuvres qui couvre la majorité des nuances que nous pourrions faire entre comics et nouvelle graphique. En réponse à la censure et de concert avec la libération sexuelle, une forme particulière de bande dessinée underground a vu le jour. Certains auteurs tels qu’Estren ou Sabin s’y réfèrent en tant que comix(2). Ils contiennent souvent des styles graphiques assez variés, parfois « delibarately ugly » comme le souligne Douglas Wolk (2007, p. 40), et proposent desthèmes sur la politique, les drogues et la sexualité qui sont généralement exclus par la censure. La grande variété des formats des comix résulte quant à elle à la nature souvent indépendante des publications.

L’appellation bande dessinée est également largement utilisée dans les essais francophones. Une approche intéressante est celle de Thierry Groensteen et Benoît Peeters qui définissent la bande dessinée de pair avec son invention qu’ils attribuent à Rodolphe Töpffer au milieu du 19ième siècle (Peeters 1994,p.19). Ils attribuent cette invention à la coprésence de plusieurs éléments généralement présents dans le médium ainsi qu’à une réflexion propre à celui -ci par l’auteur. En effet, Töpffer publia un traité dephysiognomonie dans lequel il explore le style graphique des expressions faciales de personnages(3).

L’utilisation de la désignation de roman graphique est quant à elle assez récente et imputable à la popularité grandissante de bandes dessinées de plus grande envergure et abordant des thèmes tels que la politique, l’histoire, le cheminement personnel et des thèmes considérés comme plus matures (Sabin1996, p.8). Le premier livre à avoir porté l’appellation graphic novel sur sa couverture est le travail de Will Eisner A Contract With God paru en 1978 et traite de la crise d’un juif durant la Grande Dépression (VanLente et Dunlavey, p. 171). Comme le démontre Devid A. Beronä dans son ouvrage sur le roman graphique produit avant 1950, ce format n’est pas une nouveauté, notamment en Allemagne. La France a également produit de nombreux exemples d’œuvres parfois humoristiques qui abordent des thèmes complexes. Histoire pittoresque, dramatique et caricaturale de la Sainte Russie (1851) par Gustave Doré en est un bon exemple. Or, il reste que ce sont principalement des œuvres récentes qui ont popularisé la forme du roman graphique. Il y a dans cette liste le fameux Maus (1991) de Art Spiegelman et gagnant d’un prix Pulitzer, Persépolis de Marjane Satrapi, From Hell  d’Alan Moore et Jimmy Corrigan, the Smartest Kid on Earth de Chris Ware. Ces œuvres sont généralement plus longues que le classique format belge de 60  pages qui s’imposa en Europe, de plus elles possèdent généralement un style graphique propre à l’auteur et parfois même à l’œuvre en particulier.

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Comme nous pouvons le constater, la bande dessinée présente historiquement plusieurs formes et courants et pour cette raison il existe différentes terminologies. Ne voulant pas exclure de notre analyse les différentes acceptations présentes dans la littérature sur le sujet nous en reviendrons à une définition plus générale que nous offre le terme «art séquentiel» de Will Eisner et Scott McCloud. Nous adhéronsau point de vue de Douglas Wolk qui souligne que la précision absolue d’une définition peut souvent exclure inutilement des exemples pertinents (2007, p.17). Nous nous fions en partie à l’intuition

du lecteur pour avoir une certaine connaissance des éléments qui définissent la bande dessinée ainsi qu’une certaine capacité d’adaptation quant aux nouveaux exemples que nous apporterons.

Afin de bien construire le modèle théorique que nous utiliserons dans ce mémoire, il nous faut nous appuyer sur diverses disciplines. Nous faisons ici une généralisation de ce qu’est ce modèle dont nous préciserons les détails au courant de cette recherche en nous aidant de plusieurs exemples.

Notre premier concept vient des études littéraires. Nous faisons usage du temps de l’histoire tel que défini par Genette et Müller. Ce temps de l’histoire, ce que Müller appelle erzӓhlte Zeit, est la succession présupposée des évènements dans l’univers diégétique (Genette, p. 77). Il se distingue principalement du temps du récit qui lui constitue l’ordre dans lequel les évènements sont relatés, donc présentés au lecteur. La réorganisation temporelle des évènements constitue un outil important et fort utile à la narration, mais dans le cadre de cette recherche nous travaillons uniquement avec le temps de l’histoire. Nous pourrions fort bien modifier ce modèle afin d’inclure le temps du récit, mais cela nous entraînerait dans de nombreuses complications que nous choisissons d’éviter dans cette recherche. Afin  de comprendre la complexité des narrations qu’il est possible de construire en se restreignant uniquement au temps de l’histoire, nous avons décidé d’exclure le découpage et les permutations des segments d’histoire. Par conséquent, nous excluons le temps du récit. Donc, toute histoire considérée dans ce texte l’est du point de vue du temps de l’histoire dans la perspective de Genette.

Une ligne du temps peut aisément servir à représenter ce temps de l’histoire. Pour ce faire, nous utilisons ici un concept issu des mathématiques et souvent utilisé en physique, la courbe paramétrée.Nous débuterons par une utilisation de cette courbe en deux dimensions, soit dans le plan cartésien, et une généralisation pour un plus grand nombre de dimensions sera ensuite possible. Une courbe paramétrée est une courbe dont les coordonnées sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées dépendent tous deux d’un unique paramètre. Nous pouvons représenter la courbe paramétrée mathématiquement à l’aide d’équations de la forme C(t)=(f(t), g(t)) (Pressley, p. 2). C’est-à-dire que les fonctions f et g qui dépendent du paramètre t , le temps, peuvent définir ses coordonnées. Un exemple trivial de courbe paramétrée est C(t) =(t, 0). Cette courbe n’est en fait rien d’autre que l’axe des abscisses du plan cartésien dans lequel l’avancement en temps, ou de manière équivalente vers la droite, se fait proportionnellement au temps.

L’utilisation de la courbe paramétrée peut sembler arbitrairement abstraite, mais elle implique une multitude d’avantages non négligeables. Premièrement, elle permet de fixer à l’aide du paramètre t le temps de l’histoire que nous considérons. Évidemment, le temps diégétique de l’histoire commence habituellement avant le récit et continue également après le récit. Les récits démiurges ou apocalyptiques peuvent faire exception, mais en général il y a conception que le monde existait avant le début du récit et qu’il continuera d’exister après celui-ci. Nous pouvons à l’aide du paramètre t définir théoriquement le domaine temporel sur lequel l’histoire prend place. Deuxièmement, la courbe paramétrée se généralise en trois dimensions. D’autres avantages importants doivent être précisés, mais nous nous devons avant de présenter d’autres apports théoriques.

Dans notre modèle, la courbe paramétrée est le support de l’histoire, c’est-à-dire que nous insérons dans celle-ci les moments de l’histoire que nous voulons dévoiler. Autrement dit, les cases de l’histoire se présentent sur la courbe paramétrée. En considérant les différentes caractéristiques géométriques de cette courbe nous pouvons ajouter énormément à la valeur sémantique de l’histoire. La forme géométrique de l’histoire, ou de la courbe paramétrée sur laquelle elle se présente, peut devenir un outil pour l’artiste et conséquemment un outil d’analyse. Le paramètre peut être soit suivi avec précision ou servir simplement pour construire une courbe paramétrée ayant des caractéristiques voulues.

Dans Système de la Bande Dessinée, Thierry Groensteen apporte des nuances qu’il vaut la peine d’examiner. Un point que l’auteur considère comme particulier à la bande dessinée est la solidarité iconique, c’est-à-dire la double caractéristique des cases d’être à la fois graphiquement séparées mais sémantiquement reliées de par leur coprésence sur le support (Groensteen 1999, p. 21). Il mentionne également le terme spatio-topie, réunissant l’analyse de l’espace et du lieu. Il ajoute que ce néologisme aurait pu être évité avec la simple utilisation du mot géométrie (1999, p. 26). Puisque nous apporterons des nuances géométriques qui n’entrent pas directement avec les catégories de lieu ou d’espace, par exemple la topologie ou les pavages, nous utiliserons le terme spatio-topie avec parcimonie. Nous conservons aussi des idées reprises par Groensteen, celle de l’hypercradre apportée par Benoît Peeters (1999, p. 38) et celle de multicadre apportée par Henri Van Lier (1999, p. 31). Le multicadre, ou la forme de l’ensemble des vignettes, sera revu dans notre section sur le cadre et sera directement mis en relation avec l’hypercradre qui est la forme de la planche. Nous nous intéressons principalement à la forme de lacourbe paramétrée, non pas simplement à celles des vignettes. En partant de la vignette, Groensteen définit trois éléments importants pour la spatio-topie; la forme, la superficie et le lieu (1999, p. 36). Ces trois caractéristiques sont les éléments qui définissent les vignettes dans leur rapport au multicadre. Nos considérations seront principalement portées, comme vu précédemment, sur le lieu car nous analysons le positionnement des courbes paramétrées et des graphes sur différentes surfaces. Le positionnement peut créer un effet global, ou contenir des informations contenues dans les précisions sur le lieu de son positionnement, par exemple en se plaçant sur le plan cartésien. Nous ne discuterons pas beaucoup de la notion de superficie même si elle fait parfois partie des grands problèmes mathématiques comme l’est l’impossible quadrature du cercle. Pour résumer, l’étude porte principalement sur le multicadre en tant que coprésence d’images certes, mais d’images reliées entre elles par les courbes paramétrées. Groensteen précise la nature de la solidarité iconique par la notion d’arthrologie qu’il définit comme l’ensemble des relations qui relient les images qui coexistent dans l’espace de la solidarité iconique (1999,p. 25). Dans notre cas, puisque nous nous intéressons surtout à la coexistence des courbes paramétrées qui, elles, contiennent les cases, nous pouvons considérer cette recherche en partie comme une analyse arthrologique macroscopique, une étude des regroupements de cases en soi et en lien avec l’espace qui les soutient, donc en lien avec la spatio-topie. Cette analyse se fait de pair avec les espaces laissés vacants par les trames narratives et dont la juxtaposition aux courbes paramétrées permet les pavages de l’espace.

Puisque l’idée de surface demeure une considération primordiale tout au long du texte, nous discutons parallèlement les notions de recouvrements de l’espace au courant du texte. C’est la raison pour laquelle nous nous intéressons à l’espace des courbes ainsi qu’à l’espace laissé vacant par celles-ci. Les outils généralement utilisés pour les dénombrements des types de recouvrements des surfaces par des figures semblables découlent du domaine de la cristallographie, de l’article de George Pólya et Haag (Schattschneider 1992, p. 22-30) et de la théorie des groupes (Armstrong, p. 145-172) tout comme il en a été le cas avec certaines œuvres de l’artiste M.C. Escher. Les terminologies étant souvent multiples ou utilisées pour décrire des structures plus imposantes, comme les groupes de Coxeter ou les orbifold (Conway et Huson, p. 247-257), nous utiliserons la notation issue de la cristallographie sans en explique la mécanique.

Le prochain apport significatif est celui de la théorie du récit de Marie-Laure Ryan qui permet aisément de mettre en lien les principes de l’hypercadre, du multicadre des courbes paramétrées et l’arthrologie. Le but de l’insertion du modèle de Ryan est de comparer les différentes représentations graphiques des histoires et récits afin d’en comprendre les avantages et désavantages. Dans son ouvrage Possible Worlds, Artificial Intelligence, and Narrative Theory, l’auteure construit des schémas de récits qui incluent autant les évènements possibles ou imaginés que réels dans le contexte diégétique. Les premières constructions sont les Plot-maps (Ryan, p. 156-157) et les State-Transition Diagrams qui représentent par des réseaux en flèches la concordance ou divergence des histoires réelles ou imaginées dans la diégèse. Les flèches dans ce modèle sont en fait des vecteurs. Le sens de ces flèches est celui d’une implication logique ou de fait. Dans le cas des bouts de récits qui sont imaginés, ces vecteurs déterminent ce qui devrait découler logiquement de telle ou telle situation ou décision. Si Ryan base son modèle sur le concept de point narratif de William Labov et amélioré par Robert Wilensky, concept qui définit les points reliés par les vecteurs de son modèle et qui constituent les éléments importants de l’histoire racontée (Ryan, p. 150-154), nous délaissons cette précision dans notre modèle qui lui ne souligne que les points que le narrateur choisit de représenter sans préciser aucun autre détail quant à leur importance pour le récit.

Les modèles de Ryan ont plusieurs avantages et désavantages. Premièrement, ces modèles sont extrêmement utiles à la compréhension globale d’un récit. La vision macroscopique du récit permet de le saisir rapidement dans son ensemble et d’en percevoir aisément les différentes composantes importantes autant dans ce qui se passe réellement que dans ce qui est imaginé. Nous conserverons cette caractéristique qu’est le point de vue macroscopique de l’histoire. Cependant, comme mentionné préalablement, nous travaillons pour l’instant que sur le temps de l’histoire, donc tous les éléments imaginés disparaissent de ce modèle. Deuxième avantage en concordance avec notre modèle, les points narratifs présentés par Ryan sont des éléments de l’histoire tels qu’ils se déroulent dans l’ordre du temps de l’histoire. La courbe paramétrée ne représente que l’évolution temporelle d’un seul lieu et si possible d’un seul personnage, elle équivaut à une lignée de points et de vecteurs dans les schémas de Ryan.

Nous faisons usage de ce modèle dans une version qui se restreint à l’histoire racontée seule, donc une version qui exclue les segments simplement possibles ou imaginés du récit. De plus, l’usage des vecteurs comme liens entre les évènements est fort utile pour la compréhension de l’histoire, mais nous utilisons à la place la courbe paramétrée comme trame générale de l’histoire puisque ces courbes nous permettent de mieux nous servir de théorèmes issus de la théorie des graphes, de la géométrie différentielle et de la topologie. Autrement dit, au lieu d’avoir une suite de vecteurs qui passent d’un élément du récit à un autre, nous avons une courbe paramétrée qui passe par ces différents points.

Or, quelle est l’histoire précise qui suit continuellement cette courbe paramétrée? Dans le domaine de la physique, ces courbes servent parfois à représenter le déplacement d’une particule dans l’espace. De manière similaire, une courbe paramétrée peut suivre l’évolution dans le temps d’un espace discret. Dans notre modèle, cette courbe suit généralement l’espace discret autour d’un personnage et ainsi, de manière équivalente, son évolution temporelle. Nous pouvons généraliser ce principe à un univers diégétique au complet. Des exemples préciseront ces nuances. Sur cette courbe paramétrée peuvent ensuite apparaître des cases contenant les éléments précis que le narrateur décide de présenter. Contrairement aux points narratifs de Labov et Wilensky ces éléments ne sont pas obligatoirement importants, le narrateur ne fait que les présenter.

Le modèle proposé peut contenir simultanément plusieurs courbes paramétrées en associant à chacune d’elles l’histoire autour d’un personnage. Cela permet une présentation simultanée de toute l’histoire similairement au modèle de Ryan, mais construite à partir l’évolution temporelle de chaque personnage au lieu d’une suite logique de faits. De plus, cette représentation macroscopique de l’histoire peut jouer le rôle du récit. C’est-à-dire que l’œuvre d’art qui représente cette ou ces histoires est la schématisation macroscopique de celle-ci. Cette caractéristique est un aspect fondamental qui permet une exploration nouvelle du média. Il existe évidemment des exemples qui se rapprochent de ce que nous explorons dans ce mémoire et nous les considérons au courant du texte autant pour les explorations qui en découlent que pour les limitations qu’ils apportent. Comme le mentionne Groensteen, la totalité de l’espace couvert par l’ensemble des cases est essentiel à la bande dessinée: « En résumé, les codes se tissent à l’intérieur d’une image à une chaîne narrative dont les maillons sont étalés dans l’espace, en situation de coprésence » (Groensteen 1999, p. 8).

Un modèle tel que celui de Ryan peut facilement se porter à cette extension et faire de la présentation d’une histoire avec ses éléments réels ou imaginés une œuvre d’art en soi. On l’exclut de cette analyse pour l’instant pour deux raisons. En précisant notre analyse sur l’histoire, nous pourrons facilement analyser les différentes œuvres nommées précédemment. En second lieu, cela ne confère aucune caractéristique supplémentaire quant aux différentes observations apportées dans le texte se rapportant à la restriction au temps de l’histoire. Il est alors préférable d’entamer cette analyse dans une forme plus simple, n’utilisant que le temps de l’histoire.

Pour l’instant, nous constatons en quoi ce modèle permet de reprendre les notions de multicadre, d’hypercadre et d’arthrologie puisqu’une fois que nous considérons la représentation macroscopique de l’histoire ou de l’ensemble des histoires comme œuvre d’art en soi, les concepts ci-mentionnés s’emboîtent naturellement de manière hiérarchique. Nous avons la case, le multicadre qui regroupe les différentes cases et leur hypercadre; au lieu de disposer les multicadres sur différentes feuilles dans un album, nous les juxtaposons en une seule représentation globale de l’histoire qui elle-même devient récit. Certains trouveront un lien direct avec le canevas infini de McCloud. Nous discuterons ce concept, mais nous devons encore enrichir le bagage théorique afin de bien préparer le terrain pour le concept de McCloud.

Une fois que nous considérons ces histoires d’une perspective macroscopique, nous pouvons aller un pas plus loin dans leur représentation abstraite. Comme le mentionne Bernard Teissier, nous pouvons considérer ces histoires du point de vue de la théorie des graphes puisque la narration « provides vicariously the experience of a path (or a graph) of interactions among character » (Teissier, p. 232). Nous nous devons alors de définir ce qu’est un graphe, ce qu’est une représentation d’un graphe et finalement voir en quoi et sous quelle forme cela peut nous servir. Un graphe est un ensemble d’éléments qui peuvent être mis en liens. Ces liens sont nommés relations. Une représentation naturelle des graphes est de considérer les éléments comme étant des points et les relations comme étant des lignes reliant ces points deux à deux. Dans le jargon des mathématiques les points sont nommés sommets et les lignes arêtes (Bollobàs, p. 1). Dans notre cas, les arêtes sont des segments de courbes paramétrées, et donc segments temporels. Les sommets sont des points de rencontre auxquels nous voulons associer un évènement propre à plusieurs histoires, donc à plusieurs courbes paramétrées, possiblement le début ou la fin de certaines d’entre elles.

Il va de soi que les arêtes de ces graphes aient un sens de lecture, le sens d’avancement du paramètre t, le temps. Nous dirons dans ce cas que le graphe est orienté puisque les arêtes possèdent un sens (Bondy, p. 31). Nous pouvons alors faire une analyse des histoires sous ce modèle à partir de la théorie des graphes orientés. Il se trouve que certaines caractéristiques qui nous intéressent se conservent même lorsque nous oublions le sens de lecture des arrêtes. C’est pourquoi nous ferons l’analyse de l’histoire sous leur forme de graphe principalement dans l’optique des graphes non-orientés.

L’avantage de faire appel à la théorie des graphes est qu’un grand nombre de théorèmes peuvent nous aider à comprendre les caractéristiques propres à certaines structures d’histoires ainsi que certaines limitations de ces structures. Nous étudierons la cyclicité, c’est-à-dire la présence de chemins qui débutent et se terminent au même sommet (Bondy, p. 4). Nous pouvons également déterminer si le graphe est eulérien, c’est-à-dire s’il est possible de parcourir toutes les arêtes en ne passant par chaque arête qu’une seule fois (Bondy, p.86). Dans le cas d’un graphe orienté ces définitions sont conservées mais le sens des arêtes doit être respecté (Bondy, p. 33 et 91). La raison pour laquelle nous nous réapproprions ces concepts est que cela nous permet d’analyser des histoires qui possèdent des structures fort complexes et presqu’impossible à déchiffrer si l’on n’en fait pas une représentation graphique. Il en estainsi pour les films Primer  et Triangle. Une autre motivation vient du fait qu’en créant un cycle, on délimite également un espace qui peut ensuite servir à la sémantique de l’histoire, cette caractéristique provient directement d’un théorème dû à Camile Jordan(4) que nous présenterons dans la section sur le cadre (Jordan, p. 589-590).

Il est important d’ajouter une nuance concernant cet ajout de la théorie des graphes: la confusion possible entre les concepts de structure et de géométrie (et donc aussi entre le récit et le récit-carte(5)). Ce qui importe à la base dans la théorie des graphes ce sont les liens entre les différents sommets, non pas la forme géométrique de ces liens, ni leur disposition dans l’espace. Par exemple, qu’une arête soit rectiligne ou courbe n’importe aucunement. Qu’une ligne soit horizontale ou verticale revient au même et tout polygone à quatre cotés équivaut à un carré, peu importe la disposition des quatre sommets ou de la longueur des arêtes. Donc, à prime abord et à moins d’avis contraire, tout résultat qui sera présenté à propos d’un graphe sera fait dans cette optique. Évidemment, il est ensuite possible d’ajouter des considérations géométriques dans la recherche de résultats ou dans la construction d’une œuvre. Un théorème peut préciser qu’il concerne seulement des segments rectilignes ou la disposition des sommets d’une histoire peut avoir une incidence sémantique. Cette double facette de l’utilisation des graphes -et des surfaces comme nous le verrons- comme modèle découle du fait que le modèle est à la fois symbolique et iconique selon les termes de Frey (Herman, p.252). C’est-à-dire qu’ils sont idéogrammes par les concepts qu’ils évoquent par conventions et diagrammes par leurs ressemblances visuelles aux concepts qu’ils peuvent représenter (Herman, p. 455).

Le concept de canevas infini apporté par McCloud dans son ouvrage Reinventing comics se trouve en lien direct avec une autre caractéristique des graphes. Le canevas infini de McCloud est en fait une surface virtuelle sur laquelle peut se construire l’art séquentiel, ou la bande dessinée. Sur son site Internet il discute des avantages à travailler sur une seule surface, « putting all panels together on a single”canvas”» (http://scottmccloud.com/4-inventions/canvas/index.html). Il les met principalement en lienavec la publication de la bande dessinée sur Internet. Ce canevas est particulièrement approprié pour l’écriture et l’analyse des hypercomics, ou bandes dessinées partiellement interactives construites enpallier. Daniel Merlin Goodbrey en donne la définition suivante: «A hypercomic can be thought of as awebcomic with a multi-cursal narrative structure. In a hypercomic the choices made by the reader mayinfluence the sequence of events, the outcome of events or the point of view through which events areseen. »(http://e-merl.com/hypercomics). Libéré du format papier et du livre, le canevas virtuel surinternet peut en effet prendre une infinité de formes. Il en donne quelques aperçus dans certaines cases,mais il ne va pas davantage dans cette direction. Il fait également indirectement référence à un support autre que le Web. Il est possible de voir quelques exemples qu’il offre dans son ouvrage. Il mentionne l’écriture sur le cube (McCloud 2000, p. 223), et sur un cylindre comme dans le cas de la colonne de Trajan(2000, p.228). Soulignons de plus qu’une des particularités du canevas infini est le principe d’équivalence entre distance et temps (http://scottmccloud.com/4-inventions/canvas/index.html) comme pour la courbe paramétré C(t)=(t, 0), axiome d’équivalence qui ne semble pas toujours être respecté dans les hypercomics.

Ce que nous tentons de faire finalement dans cette recherche est d’offrir des pistes d’exploration de ce canevas en fonction de certaines théories mathématiques déjà existantes. Ces explorations ne sont pas restrictives ni à un seul plan infini comme le défini McCloud ni à un support numérique. Plusieurs recherches, plus précisément dans le domaine de la théorie topologique des graphes, explorent les possibilités de dessiner certains graphes sur diverses surfaces selon un critère dit de planarité. Dans cette perspective, nous présenterons premièrement le théorème de Kuratowski qui définit certains critères qui garantissent la planarité d’un graphe sur le plan ou la sphère (6). (Gross et Tucker, p. 42-49) Nous analyserons deux types de surfaces sous la lumière du critère de planarité, les surfaces orientables et non-orientables. Pour donner un exemple de surface orientable nous pouvons considérer la sphère ou le tore (Gross et Tucker, p. 119-120). L’exemple le plus populaire de surface non orientable est le ruban de Moebius (Pressley, p. 76-77), parfois appelé ruban de Lao Tseu en vertu de l’utilisation qu’en fît le philosophe chinois pour représenter le yin et le yan (Cazenave, p. 731). Il en existe en fait une infinité d’autres. Dans le dernier chapitre nous entamerons une exploration des différentes possibilités de représenter des histoires graphiques sur différentes surfaces qu’elles soient physiquement possible ou non, comme par exemple la bouteille de Klein (Barr, p. 62-63). Le canevas infini, dépendamment de ces considérations, peut prendre une forme réelle, sculpté, ou simplement être représentable via certaines stratégies dont le numérique offre plusieurs exemples.

Encore une fois, la topologie amène son lot de complications. Un peu comme pour la théorie des graphes, la topologie se penche sur des informations structurelles, les invariants topologiques, qui demeurent intactes si nous n’appliquons que des torsions et étirements sur l’objet étudié (Barr, p. 2-3).Par exemple, du point de vue de la topologie les polyèdres et la sphère ne sont pas différentiables puisqu’ils conservent la même caractéristique d’Euler (Barr, p. 10-11). C’est-à-dire que la soustraction des arêtes à la somme des sommets et des faces reliés à un graphe planaire donne le même résultat sur les deux surfaces. Tout comme précédemment, nous débutons par la perspective purement topologique avant de réintroduire des considérations plus géométriques. Nous explorons les surfaces progressivement afin de découvrir le plus grand potentiel intrinsèque à chaque surface. Le plan est naturellement la première surface considérée et en raison de sa grande simplicité nous éviterons presqu’entièrement les considérations topologiques. Nous retarderons l’utilisation de la topologie vers le dernier chapitre lorsque nous rencontrerons des surfaces plus complexes(7).

Mentionnons un dernier apport puisque qu’il dictera une certaine méthodologie utilisée dans cette recherche. Cet apport est double, il vient en fait de l’OuLiPo, principalement de Raymond Queneau, et de la combinatoire. Pour reprendre les termes de Marcel Bénabou sur l’OuLiPo, « Le recours à la méthode axiomatique, l’importation de concepts mathématiques, l’utilisation de la combinatoire sont les axes principaux de cette exploration » (OuBaPo 1996, p. 3). Comme il en a été avec Queneau, l’idée de dénombrement sera importante. Dans plusieurs cas, nous offrons les dénombrements des possibilités qu’engendrent les types de graphes considérés. Cela permet premièrement de nous plonger plus en  profondeur dans les différentes structures avec lesquelles nous travaillons ainsi que d’introduire le lecteur à une connaissance de base du type d’arguments qui soutiennent les résultats mathématiques qui seront pris en compte. Nous recyclons également l’idée de contrainte. L’ensemble du mémoire peut être perçu comme une longue série de constructions de contraintes. Les modèles d’histoires que nous proposons à chaque section sont des histoires qui exemplifient les concepts tout autant qu’elles fonctionnent dans les limites des contraintes explorées. Afin de donner suite au premier bouquet de contraintes de Thierry Groensteen (8) et pour permettre au lecteur et aux oubapiens assidus d’apprivoiser les concepts et possibilités, nous offrons une série d’exemples au courant de chaque section.

Résumons la démarche que nous avons entreprise dans ce mémoire. En considérant le temps de l’histoire d’un personnage comme étant une courbe paramétrée, il nous est possible de transformer la représentation macroscopique d’une histoire en œuvre d’art. Cette représentation, à sans être un art peut s’avérer être un outil d’analyse efficace dans certains films de fiction. Cette représentation peut avoir des caractéristiques géométriques ou structurelles qui dépendent du canevas, c’est-à-dire qui dépendent de la surface sur laquelle la représentation macroscopique de l’histoire est déposée. L’analyse porte principalement sur les différentes formes structurelles possibles, principalement pour les histoires cycliques. La dénomination de sculpture narrative sert à se référer à ces entités dans leur ensemble. Cette formule sert donc à définir la représentation du récit comme série d’images reliées entre elles par une ou  plusieurs histoires sur des surfaces qui peuvent être possibles dans le monde réel ou non. Le terme inclut également l’apport des principes mathématiques nécessaires à la compréhension de ces œuvres.

Notes:

1-Herman discute cette définition qu’il trouve dans l’Oxford English Dictionary.

2-Voir dans les ouvrages de Roger Sabin (Comix & Graphic Novels: A Histor of Comic Art. New York: Phaidon Press, 1996) et de Mark JamesEstren (A History of Underground Comics. Berkeley: Ronin Publishing, 1993).

3- Une publication de cet essai est disponible de dans le livre de Thierry Groensteen et Benoît Peeters (Töpffer: L’Invention de la Bande Dessinée. Paris: Hermann, Éditeurs des Sciences et des Arts, 1994).

4-Pour une version topologique de la preuve voir Munkres, James R. Topology . 2nd Ed. New Jersey: Prentice Hall, Inc., 2000, p. 385-389.Plusieurs preuves du théorème existent, entre autres, des preuves par Ronald Bron, J.W. Alexander et Helge Tverberg sont disponibles.

5-Récit dont le lieu précis des actions est important à la compréhension de l’histoire.

6- La prevue présentée dans cet ouvrage est une organisation due à Thomassen, la preuve originale de Kuratowski peut être trouvée dans Kuratowski (1930).

7- Le mot surface peut apporter des complications qui ne seront pas traitées dans ce texte. Le lecteur intéressé peut se référer à des ouvrages de topologie et de géométrie différentielle pour une définition mathématique des surfaces.

8- Voir l’article de Thierry Groensteen: « Un Premier Bouquet de Contraintes ». Dans Oubapo : oupus 1. Édité par L’Association. Paris: L’Association, 1996, p. 13-59.