Narrative sculptures: graph theory, topology and new perspectives in narratology

“If there is one thing in mathematics that fascinates me more than anything else (and doubtless always has), it is neither “number” nor “size”, but always form. And among the thousand-and-one faces whereby form chooses to reveal itself to us, the one that fascinates me more than any other and continues to fascinate me, is the structure hidden in mathematical things.”

A. Grothendieck. Récoltes et Semailles

There have been many attempts to model narratives from a structural point of view. From these numerous models we want to preserve a macroscopic vision that allows a quick and simultaneous understanding of various important elements of the story, which we call, following Labov’s and Wilensky’s definitions, narrative points (1). Models mapping the general structure of the story can be found, for instance, in the work of Marie Laure Ryan where both diegetic and possible events are represented and where narrative points are related by vectors. In order to preserve this telescopic view and superpose its logic with McCloud’s notion of infinite canvas (2), which will be defined in the body of this text, an option is to start with the notion of a parametric curve. Before doing so, an overview of the pragmatic motivation that led to this research is needed.

The motivation behind this exploration is taken from an interest in mathematics and an increasing amount of narratives using complex time structures and story representations. Movies like Primer (2005) by Shane Carruth lead to the construction of various charts in attempts to understand the hidden time structure (3). Source Code (Jones, 2011) and Looper (Johnson, 2012) are other examples that created the need for such macroscopic representation and many other films, like Cronocrimenes, Triangle (Smith, 2009) and the Terminator suite are cases that could have led to similar practices. In the case of the movie Looper, a three dimensional version of the chart has been produced, bringing to light wider possibilities (Figure 1).

NS Figure 1

Figure 1: Movie chart for the movie Looper by Rich Slusher.

Comic artists have explored this path in some isolated cases, either in the use of bigger expositional space (4), or as the juxtaposition of various three dimensional objects, like the booklets in Chris Ware’s Building Stories (2012). This work constitutes a box containing many booklets that can be read in different order. This creates multiple combinations for the reader exploring the diegetic world. Another interesting example, comparable to a mutoscope or other early cinematic devices, is the three dimensional cyclical structure of Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le décalage by Marc-Antoine Mathieu. In this case, when leaving the story at the end of the comic, they actually enter the story again to loop the cycle.

The model presented in this paper is a first exploration in the variety of different surfaces that might be used in further narrative experimentations as well an attempt to establish the basis of a formal narrative tool for academics and artists. Therefore, the author wishes to open discussions in defining narratives and hopes to inspire artists in exploring the challenges offer by this model.

One of the key elements of our model is the use of curves with the continuous stretch of time maintained across them. Even if it seems natural nowadays to represent time with a line, its extensive use in various models results from many different traditions. In our model, these influences are mainly the following: history charts, the construction of the real number line based on Dedekind and Cantor’s work, and the use of parametric curves with time as the general parameter. We will discuss these three influences briefly.

For most of the Middle Ages, time was mainly represented on timetables. Around the beginning of the 19th century, time flux started to be embedded within natural metaphors like lightning and rivers (5). These two examples are important since they allow the time frame to branch out simultaneously. Various time lines could be traced out of single elements. In mathematical terms, these structures are equivalent to oriented graphs, and more precisely to oriented trees, since cycles do not exist in these structures.

For its part, the concept of continuity led to multiple complications and was not well defined until the topology of the real line was properly described. We owe much to the work of Weirstrass, Dedekind and Cantor for this definition and understanding. This dense continuous line of values serves as well in defining parametric curves, curves based on a continuous parameter, usually the time. These curves can be used to represent various types of motion, for instance, the movement of particles in space.

The first trick to make use of mathematical models to represent time frames is to base diegetic time on parametric curves. As a building strategy, this enables various constructions of diegetic time structures. First of all, it allows the concatenation of many line segments as it happens in the time charts discussed above, therefore constructing structures like tree graphs. A simple example of a narrative based on that idea is Griffith’s movie Intolerance, in which different independent stories flow separately (6). Examples can also be found in the work of artists like Chris Ware or Jason Shiga, or in the hypercomics based on McCloud’s infinite canvas such as Daniel Merlin Goodrey’s work (7).

The concatenation of various time segments allows the construction of multi-cyclic time structures as well. This kind of structure is not in itself a novelty; in some mythologies, cyclic time is accepted as the general topology of time frames, and some even make use of many intricate cyclic times as in the Tzolkin and Vedic time constructions. In extending parametric curves into graph theoretical frameworks, we can obtain infinity of cyclic graphs where cycles may be intersecting or independent. This application naturally allows a wide variety of already proven theorems to apply to narratology. For instance, observing the underlying structure of a graph might allow us to determine the number of possible cycles, each of them being a possible reading path.

Because cycles are naturally embedded on a flat surface, some considerations about the implied spaces become important. The Jordan curve theorem states that any simple closed curve separates space in exactly two sections, the interior and exterior of the closed curve, or equivalently, of a cycle. As a result, constructing a cyclical story leads to the creation of these inside and outside spaces that might be used later for a semantic purpose.

In Reinventing Comics, Scott McCloud coined the term infinite canvas to represent the possibility of extending comics infinitely in all directions of a plane. His website specifies that it provides the perfect conditions for a type of comic he names hypercomics. Looking back at mathematical definitions of planes and surfaces, it seems clear that various types of infinities are involved in the notion of an extended version of the infinite canvas.

First, in terms of the continuum defined by Cantor, a plane is dense since it follows from the product of two continuous axes. This implies that infinite zooms are possible at any point on a plane, and as such, on any compact surface (8). To understand this implication, we have to look at a category of curves called space-filling curves, or Peano curves after Giuseppe Peano who first proposed such an example. Space-filling curves are iterated curves that, at their limits, fill a whole part of the plane. (Figure 2) Indeed, many other examples have been provided by other mathematicians in order to provide extra characteristics, as for instance Moore’s curve that is a closed space-filling curve. The density of the plane implies that the breakdown of iterated narrative into infinitely smaller scales is possible. This density leads to possible infinite zoom, fractal-like, construction as found in Marc-Antoine Mathieu’s first and third tomes of his Julius Corentin Acquefaques serie.

Figure 2: A Space-filling curve

The second way in which the canvas is infinite arises first when we allow the plane to be infinite in all directions. In mathematical term, it means the surface is not compact because it would be impossible to cover a plane with a finite amount of bounded sets. From a representative point of view it means it could never be entirely seen, in particular, not in a finite amount of images. In this case, this is why McCloud claims that the infinite canvas naturally supports digital comics. Although true, we suggest the infinite canvas presents even more value with the infinite amount of shapes we can allow the canvas to have.

Also, the canvas does not have to be contained simply in the plane. For instance, as suggested visually in McCloud (9) and in the diegetic world of French author Marc-Antoine Mathieu (10), comics could be presented on spheres (11). The use of different properties of the sphere can lead to a variety of narratological compositions in link with the intrinsic properties of the sphere: the presence of loxodromes, the covering groups different from the wallpaper groups and so on.

In addition, as proposed by many artists, from Alan Moore in Promethea to Jim Woodring in a side project (12), passing by members of the OuBaPo collective, the use of a Möbius strip as the canvas leads to interesting constructions. These can be used as objects existing within the diegetic world as in Moore, or directly as a support inducing a specific topology within the diegesis as in Woodring’s case.

Indeed, any sculptural surface may offer interesting options for narrations and a complete survey of such an approach should be done. In our case, we would like to focus on surfaces that have been studied from a mathematical point of view. The reason is that many theorems shed light on hidden properties that enable us to imagine interesting narratives and limiting ourselves to a sculptural point of view would have prevent us from finding and using these properties. The variety of surfaces is infinite and a list of inspiring surfaces can be found in the fields of differential geometry, differential topology, and knot theory. For instance, as a result of their definition, minimal surfaces seem pleasing to embed stories. It involves the possibility of working on some surfaces of infinite area spreading in different axes, as with Sherk’s surface and Costa’s surface (Figure 3), or even with self-intersecting sections, as in the case of Henneberg’s surface.

NS Figure 3

Figure 3: Costa’s surface. Source:

Compact surfaces also lead to interesting possibilities. In topology, the study of surfaces is bound to the analysis of characteristics which are preserved when surfaces are torn and stretched. Such invariants are coined topological invariants. An example is the number of holes present in the surface. For instance, the sphere contains no holes, but the torus has one; therefore the two surfaces are fundamentally different. On the other hand, the sphere and the cube are classified as the same surface since they both have no holes. This argument leads to a classification for compact surfaces depending on the number of holes involved. As it turns out, all compact orientable surfaces are torus of genus n, meaning a torus with n holes, for n a positive integer These will become useful in the next section.

Orientability is another characteristic that helps refining surface classification. Orientable roughly means they possess an inside and an outside and it is impossible to move smoothly from the inside to the outside. For instance, it is impossible to move on the sphere and end up being inside the sphere without piercing a hole. The Möbius trip is a simple example of non-orientable surface since by smoothly moving along the surface it is possible to end up on the other side of the departure point. In constructing sculptures, non-orientable surfaces lead to some difficulties. For instance, the Klein bottle invented by German mathematician Felix Klein in 1882 cannot be embedded in our three-dimensional world without self-intersecting (Video); it is only possible in four or more dimensions. This makes the visualisation of these surfaces more difficult, but a general classification is still possible.

The class of infinite compact non-orientable surfaces are all equivalent to spheres with a certain number of Möbius strips glued to holes in them (the edge of the Möbius strip is equivalent to a circle, therefore when cutting a circular hole on the sphere it becomes possible to glue the strip’s edge along the edge of the hole). The more complex the non-orientable surface, the more dimensions one needs to avoid self-intersections. Even if it seems very hard to work on these surfaces as a possible infinite canvas, shortcuts exist. There is a way to represent any compact surface, orientable or not, with their fundamental polygons which can easily be represented on the plane. These polygons are simplified maps for these surfaces; to obtain a surface, it suffices to fold its edges by respecting so pair connections or edge directions. Indeed, the writing on non-orientable compact surfaces that aren’t embeddable in three dimensions might be done in a virtual environment, or directly on the equivalent fundamental polygon. The figure below shows the construction of the Klein bottle from its fundamental polygon. (Figure 5)

NS Figure 5

Figure 5: Klein botte’sfundamental polygon.

As a result, the infinite canvas is infinite as well in the number of dimensions a non-orientable surface holding a story could ‘’naturally’’ exist without self-intersecting. Indeed, the use of computers can be a handy tool in constructing such narratives.

The next question we need to address is the following: why would we want to work with parametric curves on this collection of surfaces? The answer comes from the field of topological graph theory. The Polish mathematician Kasimierz Kuratowski and the Russian mathematician Lev Pontryagin proved independently the necessary and sufficient conditions to be able to embed a graph on the plane without crossing edges. It states a graph is planar if and only if it does not contain the subgraphs K₃,₃ or K₅. (Figure 6)

NS Figure 6

Figure 6: The obstruction set for the plane

In constructing comics on parametric curves based on graphs containing one of these would inevitably leads to edges crossovers. Indeed, such overlapping can always be dealt with, as in the case of Chris Ware diagram comics, but the point here is to explore the possibilities provided by restricting ourselves to planar embeddings. To give a pragmatic application, we know the two aforementioned graphs can be drawn on the torus or the Möbius strip without having edge overlapping, it means they have planar embedding for the torus. It follows that it is possible to draw planar stories on such graphs if we use the torus as the canvas. (Figure 7)

NS Figure 7

Figure 7:Toroidal embedding of K₅

The study of topological graph theory led to the discovery that different surfaces don’t share the same obstruction groups, i.e. the set of graph making the planar embedding impossible, such as K₃,₃, and the K₅, in the case of the plane. We know for instance that the Möbius plane has 35 such graphs (Archdeacon, 1980), and the Torus has more than 16 000! On the other hand every finite graph can find a planar embedding in some compact orientable surfaces with at least n holes for a certain n values, and same holds for non-orientable surfaces and a certain number of Möbius strip glued to the sphere.

Another result is that the presence of cycles leads to different amount of bounded spaces. In other words, if the Jordan curve theorem holds for the sphere, it is not true in general. Already in the case of the torus, construction of longitudinal and transversal cycles leads to a single bounded space; it does not hold for torus with n holes neither.

The construction of narrative on these extended infinite canvases, such as non-orientable surfaces, minimal surfaces and so on, is what we call narrative sculptures because their structures are deeply linked to the surfaceskno hosting them. The main goal in constructing narrative sculptures is the research for new narratological challenges. An optimised use of this involves considerations of the following distinctive properties of narrative sculptures: the possible use of complex multi-cyclic time curve constructions, the use of different spaces the cycles are bounding and the possible semantical implications in our world, or in a digital equivalent to it.

We present two examples, expressing challenges brought by simple constructions. The K₅ graph has a planar embedding on the torus. . It can as well be constructed by the union of two cycles by taking a cycle being the outside pentagon and the second one being the star shape in the middle. We could construct a highly ‘’twisted’’ story as following. Through the double cycles, we could describe the interactions of two individuals at desynchronised moments of their life cycles. The complications and self-containing elements of the story could then be reinforced by presenting it on a trefoil knot, which is simply a torus but embedded differently in three dimensions. (Figure 8) Of course, many other options since the torus can find multiple embedding in four dimensions that could lead to interesting narrative sculptures (13).

NS Figure 8

Figure 8: Trefoil knot by Jos Leys. Source:

The graph K₅ also possesses a planar embedding on the Klein bottle. It would then possible to construct a complex science-fiction comic. First the multiple desynchronised elements present on the two cycles would bring an intricate time structure. Then, different bounded area could hold their proper images and symbolism related to the story. Finally, the Klein bottle canvas leads to a hyper-fictional statement since the canvas itself could not be properly constructed in our world. The same holds for the infinite collection of surfaces that aren’t embeddable in three dimensions without self-intersecting. (14)

In conclusion, we have seen that by merging various paradigms and concepts from narrative theory, the infinite canvas and mathematical knowledge about surfaces and graphs, we can define highly complex narrative structures that we coined narrative sculptures. Such constructions not only leads to new narratological and artistic challenges, but it can bring new questioning about the way we first, understand stories, and secondly how we teach narratology. In the first case, experiments in cognition could help understanding the effect of dealing with highly complex but still visually clear narratives in our learning process. In the latter case, it evokes the possibility of including some mathematical notions in teaching narratology or even information design.

Félix Lambert


1- Ryan, p. 150-151

2- McCloud, 2000.

3-An example can be found at

4-Gravett, p. 136-137

5-Rosenberg and Grafton, p.143-149.

6-Eisenstein, p. 397


8-It should simply be understood in this case of surfaces of finite area.

9-McCloud, 1993

10-Mathieu, 2004

11-McCloud also suggest writing on the cube in Reinventing Comics.


13-Séquin, 2012



Ball, David M. et Martha B. Kuhlman Éditeurs. 2010. The Comics of Chris Ware: Drawing Is a Way of         Thinking. Mississippi: University Press of Mississippi.

Barr, Stephen. 1989. Experiments in Topology. New York: Dover Publications.

Bondy, J.A. et U.S.R. Murty. 2008. Graph theory. New York: Springer.

Cates, Isaac. 2010. ‘’Comics and the Grammar of Diagrams’’. In The Comics of Chris Ware: Drawing Is      a Way of Thinking. Edited by David M. Ball and Martha B. Kuhlman. Mississippi:    University Press               of Mississippi.

Delahaye, Jean-Paul. 2008. ‘’Une propriété cachée des graphes’’. Pour la Science, n˚366 (Avril), p. 92-97.

Di Liddo, Annalisa. 2009. Alan Moore: Comics as Performance, Fiction as Scalpel. Mississippi:      University Press of Mississippi/ Jackson.

Falcón, Maricela Ayala. 2012. ‘’Tiempos mesoamericanos, calendarios mayas’’. Artes de México, vol.       107, El Arte del Tiempo Maya, p. 18-25.

Gagarin, A., W. Myrvold et J. Chambers. 2005. ‘’Forbidden minors and subdivisions for toroidal graphs   witn no K₃,₃’s’’. Dans Electric Notes in Discrete Mathematics Vol. 22, p. 151-156.

Genette, Gérard. 1972. Figures III. Coll. Poétiques. Paris: Éditions du Seuil, 1972.

Glover, Henry H., John P. Huneke and Chin San Wang. 1979. ‘’103 Graphs That Are Irreducible for the     Projective Plane’’. Journal of Combinatorial Theory, Series B 27, p.332-370.

Gravett, Paul. 2013. Comics Art. New Heaven: York University Press.

Gross, J.L. and T.W. Tucker. [1987] 2012. Topological graph theory. New York: Dover Publications.

Groupe Acme. 2011. L’Association: Une utopie éditoriale et esthétique. Paris : Les Édtions Nouvelles.

Kuratowski, Casimir. 1930. ‘’Sur le problème des courbes gauches en topologie’’. Fundamenta Matematicae, Vol. 15, p. 272-283.

Lickorish, W.B. Raymond. 1997. An Introduction to Knot Theory. New-York: Springer.

Mathieu, Marc-Antoine. 1991a. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: L’origine. Paris: Éditions                 Delcourt.

———— 1991b. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: La qu…. Paris: Éditions             Delcourt.

———— 1993. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le processus. Paris: Éditions     Delcourt.

———— 1995. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le début de la fin. Paris: Éditions            Delcourt.

———— 2004. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: La 2,333e dimension. Paris: Éditions      Delcourt.

———— 2013. Julius Coretin Acquefaques, prisonnier des rêves: Le décalage. Paris: Éditions Delcourt.

McCloud, Scott. 1993. Understanding Comics. New York: HarperPerrenial.

———— 2000. Reinventing Comics. New York: Paradox Press.

McHale, Brian. 1987. Postmodernist Fiction. New York: Methuen.

Munkres, James R. 2000. Topology. 2nd Ed. New Jersey: Prentice Hall.

Pickover, Clifford. 2006. The Möbius Strip : Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games,                 Litterature, Art, Technology, and Cosmology. New York: Thunder’s Mouth.

Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New      York: Princeton Architectural Press.

Ryan, Marie-Laure. 1991. Possible Worlds, Artificial Intelligence, and Narrative Theory. Indianapolis:       University Bloomington & Indianapolis Press.

Séquin, Carlo. 2012. ‘’Topological Tori as Abstract Art’’. Journal of Mathematics and the Arts, Vol. 6, Nu. 4, December, p. 191-209.

Stillwell, John. 1992. Geometry of Surfaces. New York: Springer-Verlag.

Termes, Dick. 1994. ‘’The Geometries behind my Spherical Paintings’’. In The Visual Mind: Arts and                 Mathematics. Edited by Michele Emmer. Cambridge: MIT Press, p. 243-248.

Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth. New York: Pantheon Books.

——— 2003. Quimby the Mouse. Seattle: Fantagraphics Books.

——— 2012. Building Stories. New York: Pantheon Books.



Carruth, Shane (réal.). Primer. 2005. États-Unis: ERBP. DVD. 77 min.

Johnson, Ryan (réal.). Looper. 2012. États-Unis et Chine: Endgame Entertainment. DVD. 119 min.

Jones, Duncan (real.). Source Code. 2011. États-Unis: Vendome Pictures et The Mark Gordon Company.               DVD. 93 min.

Narration et mathématiques: l’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (Chapitre 4)

Chapitre 4 : Écrire sur différentes surfaces.

Dans ce chapitre, notre modèle sert principalement à l’exploration de nouvelles potentialités du médium de la bande dessinée ou des histoires en images lorsque nous les superposons sur différentes surfaces. La grande rareté des artistes travaillant sur les surfaces que nous étudions explique cette tendance. Nous avons jusqu’ici présenté nos histoires sur une seule et même surface ; le plan. Nous explorons à présent différentes surfaces sur lesquelles nous pouvons inscrire des graphes et par conséquent sur lesquelles nous pouvons écrire des histoires. Nous utiliserons une définition de surface équivalente à celle acceptée en topologie (43). (Munkres, p.225), c’est-à-dire que la surface ressemble localement au plan. Dans notre cas, cela permet simplement d’admettre que nous pouvons partout y dessiner comme nous pouvons dessiner sur un plan dans le but d’y présenter des histoires à l’aide d’images. En topologie, le terme 2-manifold est généralement utilise (44). Une surface peut-être bornée ou non, par exemple la sphère est bornée, mais le plan cartésien ne l’est pas puisqu’il existe au moins une direction vers laquelle elle se prolonge indéfiniment. Notre définition de surface permet entre autres d’avoir des surfaces qui ne peuvent pas s’insérer dans un monde tridimensionnel sans se croiser elle-même. La fameuse bouteille de Klein, proposée par le mathématicien allemand Félix Klein, est construite de la sorte (Barr, p.38). Heureusement, nous pouvons représenter ces surfaces en deux dimensions à l’aide des polygones fondamentaux de ces surfaces (45). Nous construisons ces polygones de sorte qu’en donnant à chaque arête une orientation et en joignant deux à deux ces arêtes nous pouvons théoriquement construire ces surfaces indépendamment du nombre de dimensions requises pour éviter sa propre intersection. Nous reviendrons sur ces détails.

Figure 1

La première extension en trois dimensions apparaît naturellement avec la juxtaposition de plans dans l’espace. En 2013, l’artiste Daniel Merlin Goodbrey exposa son histoire Black Hats in Hell sur plusieurs murs (Gravett, p.136-137) (Figure 1), œuvre qui s’apparente en ce sens au projet de la plus grande bande dessinée au monde créée en 2012 par 11 écrivains et 111 dessinateurs de l’école de dessin Émile Cohl à Lyon (46). Dans ces deux œuvres, le canevas reste localement planaire, mais l’ensemble du canevas est une composition de différents plans, en l’occurrence de murs ou de surfaces de lieux publics telles les clôtures. Il existe une panoplie d’autres surfaces tridimensionnelles qui peuvent servir de canevas autre que la juxtaposition de plan.

Figure 2

Figure 2: Termsphere par Dick Termes. Source: site personnel de Termes

Nous débutons avec la sphère puisqu’elle se visualise aisément. L’idée de présenter ces scènes sur une sphère a déjà été utilisée par l’artiste Dick Termes. L’artiste peint des scènes qui seraient perçues de l’intérieur d’une sphère imaginaire entourant un observateur dans un monde diégétique. L’illusion de regard est recréée par les points de fuites qu’il dispose sur cette sphère en imaginant les directions vers lesquelles porte le regard de l’observateur dans la diégèse. Ces scènes imaginées sont ensuite peintes sur l’extérieur d’une sphère. Le résultat, nommé termesphere par l’artiste, est donc une représentation inside-out de cette scène imaginée (Termes, p.243-244). En acceptant la possibilité d’avoir des bandes dessinées en une seule case, nous pouvons considérer les termespheres comme des bandes dessinées  sans cadre, ou dont le cadre est délimité directement par l’espace de la sphère. (Figure 2) Cela est une conséquence de l’aspect borné de la sphère. Nous pouvons imaginer une série de bandes dessinées à même une sphère. Scott McCloud a déjà entrevu cette idée, mais sans toutefois en offrir des exemples complets. Dans Understanding Comics, il présente des sphères sur lesquelles des cases de bande dessinée se trouvent; soit des portraits de personnages importants de l’histoire du médium y figurent, soit il y résume les concepts importants de son ouvrage (McCloud 1993, p. 4 et 214). (Figure 3)

Figure 3

Figure 3: McCloud, Scott. 1993. Understanding Comics. New York : Harper Perrenial. © 1993 Scott McCloud

McCloud se sert de cette image pour représenter le monde de la bande dessinée, nous constatons tout de même que l’idée d’y dessiner des histoires et réalisable. Marc-Anthoine Mathieu pousse un peu plus loin cette hypothèse en laissant comprendre qu’en fait, la bande dessinée qui se lit dans La 2,333e dimension de la série des Julius Corentin Acquefaques existe en fait sur une sphère et qu’il en est de même pour les autres ouvrages de bande dessinée comme celui de La Mouche de Lewis Trondheim (Mathieu 2004, p.33-35). Ceci consiste en une première exploration d’une histoire en plusieurs cases utilisant la sphère comme support. Mathieu n’insiste pas sur la justification de l’usage de ce support pas plus qu’il fait un usage propre de la géométrie et de la topologie de la sphère, ce à quoi nous remédions dans les prochains paragraphes. (Figure 4)

Figure 4

Figure 4: Marc-Antoine Mathieu, Julius Corentin Acquefaques, prisonnier des rèves : La 2,333e dimension. ©2004 Guy Delcourt productions

Nous pouvons représenter une sphère centrée à l’origine de l’espace euclidien à trois dimensions par l’équation à trois variables x²+y²+z²=r² pour r un rayon donné (Pressley, p.61). L’expression de la sphère en une équation a permis nombre d’explorations. Notamment, les mathématiciens et cartographes ont travaillé sur plusieurs relations bijectives entre le plan et la sphère, c’est-à-dire sur ces méthodes de projection de la sphère vers le plan et vice versa. La projection entre les deux surfaces peut conserver ou modifier certaines caractéristiques. Si deux projections sont équivalentes, c’est que les aires sont conservées alors qu’elle est dite isométrique si les distances sont conservées (Pressley, p.106-121). Euler a démontré qu’il n’existe pas de projection isométrique entre la sphère et le plan (Pressley, p.234). Finalement, si les angles d’intersection des courbes sont conservés, nous disons que la projection est conforme. Une projection très utilisée et probablement connue depuis l’antiquité se nomme la projection stéréographique (Snyder, p.154). La bijection s’obtient en situant le Pôle Sud d’une sphère sur un plan et en traçant des rayons à partir du Pôle Nord qui se dirigent vers le plan. Chaque rayon croise la sphère en un point et poursuit vers le la plan jusqu’au point où il est projeté (Gamelin, p.11-13). (Figure 5)

Figure 5

Figure 5: La Projection Stéréographique Source :

La projection stéréographique est une transformation conforme, c’est-à-dire qu’elle conserve l’angle d’intersection entre deux courbes d’une surface à l’autre. Cette propriété est d’ailleurs celle qui a permis à divers photographes d’obtenir des images représentant l’espace tridimensionnel de manières novatrices et cohérentes (Lambert, p.44).

Dans notre cas, étudions comment la projection d’une surface vers une autre permet de jouer avec la structure de l’histoire. Dans la projection stéréographique, le point à l’infini dans toutes les directions est projeté sur le Pôle Nord de la sphère. Nous pouvons à l’aide de cette propriété donner un deuxième sens à un graphe en étoile. Reprenons l’exemple de l’histoire en étoile dans laquelle les personnages s’éloignent d’un évènement dramatique. En projetant ce graphe vers la sphère, les branches vont à la fois s’éloigner de l’incident, au Pôle Sud, mais les arêtes vont également toutes se diriger vers le Pôle Nord. Alors que la version de cette histoire sur le plan indique que les personnages se quittent à tout jamais, la version sur la sphère laisse sous-entendre qu’ils vont se recroiser malgré tout. Cet exemple démontre l’importance du choix de la surface sur laquelle une histoire en images est présentée.

Figure 6

Figure 6:Spirales sphériques (1958) par Escher, xylogravure, diamètre 32 cm.

La particularité d’être conforme permet également de travailler avec les spirales telles que vues précédemment. Pour ce faire, nous devons définir un type de courbes sphériques nommées loxodromies. Celles-ci croisent les méridiens avec un angle constant (Pressley, p.83). Si cet angle diffère de 90 degrés, nous obtenons une double spirale sur la sphère. En effet, la courbe s’enroule indéfiniment autour de chaque Pôle sans jamais les atteindre. Maurelius Escher avait remarqué la beauté de ces courbes et les œuvres Surface sphérique avec poissons et Spirales sphériques toutes deux datant de 1958 en font l’usage (Locher, p.231-232). (Figure 6) Pour un usage en bande dessinée, plusieurs options s’offrent à nous. Soulignons premièrement que ces courbes deviennent également des spirales, lorsque projetées sur le plan. Si nous prenons une loxodromie partant du Pôle Sud au Pôle Nord, sa projection sur le plan résulte en une spirale qui s’enroule autour de l’origine et qui diverge vers l’infini. (Figure 7)

Figure 7

Figure 7: spirales et loxodromies. Source :

En appliquant une rotation à cette sphère avant d’appliquer la projection stéréographique nous pouvons construire des spirales à deux points de convergences sur le plan tel qu’étudié au deuxième chapitre. En tournant légèrement la sphère, nous déplaçons le Pôle Nord; or, la projection stéréographique s’effectue malgré tout à partir du point le plus élevé de la sphère. Il en résulte que le Pôle Nord autour duquel s’enroule la loxodromie n’est plus projeté vers le point à l’infini. Par conséquent, cette section de la spirale devient également visible sur le plan (Mumford, Series et Wright, p.62-67) comme nous pouvons l’observer dans la photographie de Paul Nylander. (Figure 8).

Figure 8

Figure 8: Double spiral by Paul Nylander. © Paul Nylander

L’artiste Huang Yong Ping, présenta une structure de la sorte pour son œuvre Carte du Monde. L’artiste utilise un dallage de la sphère par une loxodromie qu’il déroule ensuite pour en offrir une version strictement planaire. Sur cette loxodromie déroulée, il situe une panoplie de désastres futurs aux endroits où ils auront théoriquement lieu sur le globe (Rosenberg et Grafton, p.216). Par la relation des désastres avec leurs lieux d’occurrences, cette œuvre s’articule comme récit-carte sur une loxodromie lui-même dallage de la carte. (Figure 9)

Figure 10

Figure 9: Carte du Monde par Huang Yong Ping. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Nous constatons que plusieurs théorèmes valables pour le plan restent également valables pour la sphère. Le théorème de Jordan et le théorème de Kuratowski restent vrais lorsque leur énoncé concerne la sphère plutôt que le plan (Bondy, p.247). Dans le cas du théorème de Jordan, son application sur la sphère amène tout de même un élément nouveau. Sur le plan, une courbe simple fermée sépare le plan entre l’intérieur et l’extérieur de la sphère. L’extérieur de la courbe est alors un espace infini, non borné. À l’opposé, le principe d’intérieur et d’extérieur peut perdre son sens sur la sphère. Tout d’abord, les deux espaces disjoints obtenus en traçant une courbe fermée sur la sphère sont tous les deux bornés. De plus, les grands cercles de la sphère séparent la sphère en deux espaces équivalents, c’est-à-dire les cercles de grandeur maximale de la sphère, dont l’équateur est un bon exemple, séparent la sphère en deux espaces d’aires égales. D’un point de vue topologique, nous pouvons considérer que la projection stéréographique avec l’ajout du point à l’infini qu’est le Pôle Nord est un exemple de compactification d’une surface (Munkres, p.185). La compactification permet de passer à une surface d’aire infinie à celle d’une aire finie.

Ces courbes simples fermées peuvent alors servir à présenter des histoires au sens vaguement différent. Par exemple, prenons le cas d’une histoire cyclique sur le plan où un personnage est pris sur un cercle à l’intérieur du cercle se trouve le paradis et à l’extérieur duquel se trouve l’enfer. L’effet d’avoir un espace infini relié à l’enfer contrairement à un petit espace restreint pour le paradis dirige la lecture du lecteur. Il est difficile et contraignant de se garder une place au paradis alors que tout écart de conduite mène vers les flammes de l’enfer qui emprisonnent la vie du personnage. En représentant cette même histoire sur un grand cercle de la sphère, il est possible de balancer cette lecture puisque les deux aires associées au paradis et à l’enfer seront équivalents.

La construction d’histoires sur la sphère génère des structures difficilement représentables sur le plan. Par exemple, prenons un cube, doublons chacune de ses arêtes et déformons le tout pour obtenir une sphère. (Figure 10) Nous obtenons sur la sphère un graphe équivalent à six cercles opposés en paires comme le sont les faces du cube. Cette construction permet d’opposer les cycles antipodaux d’une manière qui serait impossible sur le plan. La construction d’histoire sur les sculptures narratives s’avère donc un outil qui peut apporter des informations supplémentaires à la narration.

Figure 11

Figure 10: La sphère et le cube sont topologiquement équivalents. Source :

Tout comme dans le cas du plan, nous pouvons envisager le recouvrement de la sphère par des cases, tout comme dans la présentation de McCloud, ou par des histoires cycliques. L’analyse des recouvrements de la sphère devient rapidement plus complexe que celle de l’analyse du plan, mais puisque ces recouvrements doivent se faire à l’aide d’un nombre fini de figures isométriques, cela en facilite l’étude (Gao, Shi et Yan, p.2). Sans résumer l’ensemble des résultats et des différentes classifications existantes, nous soulignons quelques particularités. En premier lieu, la géométrie sur la sphère est un exemple de géométrie non euclidienne. Cela implique que la somme des angles d’un triangle n’est pas obligatoirement de 180 degrés, en fait cette somme est supérieure à 180 degrés (Bonola, p.136). Cette caractéristique nous permet de construire des dallages réguliers de la sphère qui seraient impossibles sur le plan, soit parce que les figures ne peuvent pas y exister, soit par ce que ces figures ne permettent pas un dallage du plan. Imaginons un dallage de la sphère à l’aide de triangles isocèles possédant deux angles droits. Évidemment, de tels triangles s’avèrent impossibles sur le plan. Sur la sphère il est possible de retrouver ces triangles si nous prenons un sommet comme étant le Pôle Nord et les deux autres points sur l’équateur, cela résulte de la compactification du plan à l’aide du point à l’infini. Si nous appliquons le même principe à partir du Pôle sud, nous trouvons que le résultat sur le plan après la projection stéréographique est un triangle du point de vue topologique, mais pas du point de vue géométrique puisque l’un de ses côtés est un arc de cercle. Dans les deux cas, le triangle sur la sphère est isocèle puisque la distance sur la sphère de l’équateur aux Pôles est constante et il est rectangle puisque le croisement des méridiens et de l’équateur est perpendiculaire. Nous construisons le dallage en deux temps. Premièrement par juxtaposition de ce triangle dans un hémisphère jusqu’à ce que celui-ci soit couvert et ensuite nous procédons de même pour le second hemisphere (47). (Figure 11)

Figure 12

Figure 11 : Pavage de la sphère. Source :

La géométrie non euclidienne de la sphère permet donc des pavages réguliers impossibles sur le plan. Des pentagones réguliers peuvent daller la sphère, il suffit de regarder de dodécaèdre pour s’en convaincre. (Figure 12) La construction d’un tel dallage sur le plan demeure infaisable. Nous avons vu également qu’il est possible de recouvrir le plan à partir d’histoires en spirales. Si une seule spirale suffit pour le plan, il en est de même pour la sphère. À la différence du plan, nous pouvons recouvrir la sphère à l’aide d’un nombre arbitraire de spirales disjointes : nous pouvons tracer un nombre quelconque de loxodromies parallèles qui s’enroulent aux deux pôles sans jamais se croiser.

Figure 13

Figure 12: Pavage d ela sphère par des pentagones. Source :

Le théorème de Kuratowski tient aussi pour la sphère, c’est-à-dire qu’un graphe sera planaire sur la sphère si et seulement s’il ne contient pas les graphes complets bipartis sur trois sommets ou le graphe complet sur cinq sommets, K₃,₃ et K₅. Tout graphe planaire sur le plan l’est aussi sur la sphère et vice versa (Bondy, p.247). L’avantage de l’utilisation de la sphère peut encore être celui de l’utilisation de l’espace tridimensionnel.

Considérons la sphère dans une perspective topologique. Du point de vue de cette théorie, la forme exacte des objets n’importe pas et si une forme peut être obtenue à partir d’une autre par le biais d’étirements, écrasements et torsions, nous disons que ces figures sont homéomorphes. Les opérations proscrites sur ces objets sont les coupures, collages et perçages. Par conséquent, une sphère est homéomorphe à une infinité de figures tels le cube, l’ellipsoïde et même comme souligné à la blague par certains, à un lapin (48). En fait, toute surface bornée sans trou sera homéomorphe à la sphère. La topologie traite des invariants topologiques, c’est-à-dire des caractéristiques partagées par tous les objets homéomorphes entre eux (Barr, p.5). La caractéristique d’Euler est l’un de ces invariants topologiques qui relie entre eux le nombre de faces, de sommets et d’arêtes et d’un graphe planaire sur une surface. Initialement, cette relation entre les faces, les arêtes et les sommets d’un graphe fut décrite seulement pour décrire les polyèdres (Barr, p.10), mais il se trouve que cette formule s’applique à tout graphe planaire connecté (Bondy, p.259). Antoine-Jean Lhuilier en généralisa la forme pour en donner une version qui s’applique à toute surface bornée (Pickover, p.67). L’utilité d’une telle relation est de permettre de vérifier si un graphe est planaire puisqu’un graphe qui ne respecte pas cette caractéristique ne peut être planaire. Nous pouvons de cette manière démontrer que le graphe biparti complet sur deux ensembles de trois sommets ne peut être planaire (Bondy, p.260). Trivialement, nous constatons que tout graphe planaire sur la sphère l’est également sur toute surface homéomorphe à celle-ci.

Figure 14

Figure 13: Page couverture de The Portable Frank par Jim Woodring. © 2008 Jim Woodring

Les exemples de bande dessinée produite sur des surfaces homéomorphes à la sphère semblent pratiquement inexistants. Le seul exemple qui s’en rapproche apparaît, quelque peu comme la sphère de McCloud, en pavage d’un dragon par des cases de bandes dessinées par Jim Woodring sur la couverture de son ouvrage The Portable Frank (2008). (Figure 13) La créature en question n’apparaît pas dans l’ouvrage en soi. Elle n’est pas sans remémorer la gravure The Remonstrant Snake présentée par Kunzle qui présente sur un grand serpent les conspirateurs de la fraternité remonstrante (Kunzle, p.58-60). (Figure 14)

Figure 15

Figure 14: The Remonstrant Snake.  Tiré de l’ouvrage de KunzleFigure 14: The Remonstrant Snake.  Tiré de l’ouvrage de Kunzle

Une autre surface populaire qui commence à attirer l’attention des artistes est le ruban de Möbius. Le ruban existe depuis l’Antiquité ; le philosophe Lao Tseu l’avait déjà décrit pour en faire une représentation de l’infini (Cazenave, p.731). Le ruban est généralement nommé d’après le mathématicien allemand August Ferdinand Möbius qui l’étudia au 19e siècle. Un autre mathématicien du nom de Johann Benedict Listing en fit la découverte 1958, mais il approfondit moins ses recherches que Möbius ce qui explique son appellation (Pickover, p.28). Nous pouvons construire le ruban de Möbius à partir d’un simple rectangle. Il suffit de tourner l’une de ses extrémités de 180 degrés et de le coller à l’autre extrémité du rectangle (Barr, p.23-25). (Figure 15)

Figure 16

Figure 15 : Le ruban de Moebius. Source :

La surface résultante est bornée et ne possède qu’un seul côté. Effectivement, en traçant une ligne le long du rectangle nous passons sur le devant et l’arrière de la bande. Pour cette raison nous disons que cette surface est non-orientable (Pressley, p.76-77) et nous verrons plus loin qu’il existe en faire une infinité de surface de la sorte. En suivant la bordure du rectangle nous trouvons également que cette surface ne possède qu’une arrête, cette arrête consiste en le cadre de cette surface, cadre qui la rend bornée (Barr, p.24). Il possède une caractéristique d’Euler de zéro.

Figure 17

Figure 16: M.C. Escher, Ruban de Moebius II, 1963, xylogrphie, 45×20 cm

Le ruban de Möbius est probablement l’une des figures mathématiques les plus connues et son utilisation passe de la prestidigitation à la physique (Gardner 1956, p.70-71). Dans son livre The Möbius Strip, Clifford Pickover démontre l’ampleur de cette popularité autant en ingénierie, qu’en physique et dans les arts (2006, p.xvii-xix). Parmi les nombreux artistes qui se sont intéressés à cette surface, le nom d’Escher apparaît encore. Plusieurs de ses gravures représentent d’une manière ou d’une autre un ruban de Möbius ou un espace inspiré par celui-ci (Locher, p.212, 248 et 260) (Figure 16). Le ruban a aussi motivé la construction de nombreuses sculptures par Max Bill, Keizo Ushio, Bruce White, Enrique Carbajal G. Sebastián, et plusieurs autres (Friedman 2007) (Luecking 2007) (Carbajal 1975) (Figure 17). Si l’utilisation première de Lao Tseu en était pour représenter l’éternité, ce mandat s’est depuis élargi ; «It has become a metaphor for change, strangeness, looping, and rejunevation» (Pickover, p.xviii).

Figure 18

Figure 17: Ruban de Moebius par Max Bill

Son utilisation dans la construction d’histoires apparaît également en littérature et plusieurs structures d’histoires cycliques sont considérées comme étant des rubans de Möbius. Pickover présente une panoplie d’œuvres littéraires reliées au ruban de Möbius (Pickover, p.179-187). Certaines, comme No Sided Professor de Martin Gardner ou The Wall of Darkness d’Arthur C. Clark, font apparaître le ruban comme objets dans la diégèse (Pickover, p.174-175). D’autres, telles It’s a Wonderfull Life de Frank Capra ou À la recherche du temps perdu de Marcel Proust, présentent des boucles qui motivent l’auteur à les comparer au fameux ruban. Il en va de même pour le film Donnie Darko de Richard Kelly (Pickover, p.179-181). Nous devons préciser que rien n’indique que nous devons analyser ces histoires réellement comme des structures apparentées à des rubans de Möbius. Effectivement, ces histoires sont en fait strictement des histoires circulaires planaires, peu importe la surface sur laquelle nous les considérons. Ces histoires pourraient être également considérées comme étant inscrites sur des cylindres. Finalement, nous pouvons imaginer ces histoires comme étant écrites sur un ruban de Möbius, mais aucune des particularités qui distinguent le ruban de Möbius d’un simple segment de cylindre ne sont mises à profit. Pickckover discute également l’une de ses propres histoires dont il présente le schéma sur un ruban de Möbius (Pickover, p.183).

Figure 19

Figure 18: Killoffer, Morlaque. OuBaPo. Oupus 3. Paris : L’Association, 2000. © Killorffer

Les stratégies propres à la surface du ruban de Möbius apparaissent réellement avec leur utilisation de certains auteurs de bandes dessinées. Afin de bien comprendre ces différentes utilisations, nous allons distinguer deux cas particuliers. Premièrement, le ruban de Möbius peut apparaître comme objet tridimensionnel dans la diégèse. La construction de Killoffer dans le troisième ouvroir de l’OuBaPo s’apparente aux histoires décrites par Pickover puisqu’elle ne sert qu’à présenter les cogitations philosophiques cycliques d’un personnage (OuBaPo 2000, p.6). (Figure 18) Or, l’idée de Killoffer peut être légèrement agrémentée afin d’obtenir un usage propre au ruban de Möbius. Alan Moore en fait une telle utilisation dans le tome trois de sa série Promethea. (Figure 19) Comme le mentionne Di Liddo, Promethea est «a self-reflexive deliberation about the power of narration » (2009, p.87) et l’utilisation du ruban participe clairement dans cette optique. En discutant de l’infini, les personnages de Sophie et Barbara se retrouvent à marcher sur un ruban de Möbius (Di Liddo, p.93). Dans cette construction les différents moments de l’action sont à la fois synchrones et distincts, c’est-à-dire qu’ils ont lieu à la fois au même moment et à des moments séparés. Par exemple, en lisant la planche du point supérieur gauche et en suivant les personnages, le second moment souligne la synchronicité : Sophie mentionne qu’elle entend des bruits sous ses pieds, ce bruit vient en fait du même personnage marchant plus tard et plus loin sur le ruban. De même, à deux reprises les personnages s’aperçoivent au loin sur le ruban à un moment qui est donc à la fois postérieur et synchrone. La synchronicité des éléments de la scène n’est en rien une particularité du ruban, nous pourrions très bien imaginer des personnages qui marchent autour d’un cylindre dans plusieurs moments à la fois distincts et synchrones. Ce qui semble justifier l’utilisation du ruban est la présence d’un cycle de pair avec des moments synchronisés de part et d’autre du ruban, comme il en est le cas lorsque la protagoniste entend ses propres sons sous le ruban. La non-orientabilité du ruban est ici mise au service de la narration. Nous devons noter qu’encore une fois, cette construction pourrait être possible à l’aide d’une sphère ou d’un cylindre.

Figure 20

Figure 19: Alan Moore, J.H. Williams III et Mick Gray. Promethea. © America’s Best Comics

L’utilisation du ruban est alors principalement symbolique. Le tome Le début de la fin de la série des Julius Corentin présente aussi un ruban de Möbius dans sa diégèse (Mathieu 1995, p.11). Cette présence tente d’outrepasser la simple présence physique pour référer également à la structure globale du tome qui possède cette double orientation ; le milieu du livre est le lieu de rencontre de deux sens de lecture qui se lise à un demi-tour de différence. Cette mise en opposition, souligné de surcroît par la dichotomie du noir et blanc qui se complètent dans les deux segments d’histoire, est une référence à une autre utilisation du ruban de Möbius qui apparaît à mi-chemin entre les deux prochains types que nous discutons.

Figure 21

Figure 20: Möbius Comic Strip de Mark Heat. Source: ©Mark Heat

Figure 22

Figure 21: Tom Tomorrow, The Modern World : Moebius Strip Foreign Policy. © 2003 Tom Tomorrow

Le second type d’utilisation apparaît lorsque le ruban de Möbius est extra-diégétique, mais confiné à l’intérieur de la bande dessinée où il apparaît comme support de l’histoire. Comme dans le cas des différentes histoires analysées par Pickover, certaines ne font pas un usage spécifique de ruban de Möbius et auraient pu simplement être représentées sur le plan ou le cylindre. Le support en ruban de Möbius ne fait qu’ajouter un élément esthétique à l’histoire. C’est le cas pour les histoires Möbius Comic Strip de Mark Heat (49), The Modern World : Moebius Strip Foreign Policy de Tom Tomorrow (50) et celui de Brian MacLachlan (51). (Figures 20-21)Dans le premier cas, l’histoire n’est pas circulaire et se termine à la troisième case. Étrangement, cette troisième case apparaît du mauvais côté de la bande, comme si l’histoire sautait soudainement d’un côté à l’autre du ruban. De plus, la bande n’apparaît pas clairement comme celui de Möbius; le titre seulement indique cette propriété. L’histoire de Tom Tomorrow utilise clairement la visualisation d’un ruban de Möbius, mais encore une fois l’histoire semble sauter de côté et  de l’autre du ruban sans explication. Le ruban présente la logique circulaire du président George Bush à propos de sa politique d’invasion de l’Iraq. Cette fois l’histoire est cyclique, mais ne fait pas usage des caractéristiques propres au ruban de Möbius. Encore une fois, l’histoire saute de côté à l’autre du ruban sans explications et nous pouvons en déduire que certaines sections du ruban restent blanches. Finalement, MacLachlan fait également basculer l’histoire de part et d’autre du ruban. (Figure 22)

Figure 23

Figure 22: Ruban de Moebius par MacLachlan. Source : © Brian MacLachlan

Dans les deux derniers cas, les auteurs omettent également un élément en plus de ne pas utiliser la non-orientabilité. Lors de la construction du ruban, lorsque nous tournons une extrémité de 180 degrés nous obtenons que les scènes de chaque côté du ruban sont verticalement inversées. Cela rend la lecture confuse lorsque l’histoire bascule d’un côté à l’autre. Ces auteurs ne semblent pas considérer ce fait.

Figure 23a

Figure 23: Instructions pour le magazine Nick Mag. Source :

Le magazine Nick Mag a dédié un numéro seulement aux bandes dessinées construites sur des rubans de Mobius (52). (Figure 23)Cette fois les histoires sont réellement adaptées à la forme du ruban. Les histoires restent malgré tout de simples histoires cycliques dessinées sur un ruban de Möbius sans faire un usage particulier des caractéristiques propres au ruban Möbius. Il en est de même pour l’histoire de Lécroart offerte à en vœu en 2008 à L’Association (Groupe Acme, p.96-97). (Figure 24)

Figure 24

Figure 24: Lécroart, Ruban de Moebius , Dans Groupe Acme. 2011. L’Association: Une utopie éditoriale et esthétique. Paris : Les Édtions Nouvelles.

Certains auteurs ont fait un usage du ruban de Möbius réellement en lien avec sa non orientabilité. Analysons en premier lieu un exemple apparu dans xzcd nommée Möbius battle. Cette fois, afin d’éviter le retournement des scènes de haut en bas, l’auteur présente les cases dont la lecture se fait perpendiculairement à la bordure. Il utilise la non-orientabilité du ruban en présentant l’histoire sur une surface transparente de sorte que les mêmes scènes sont lues à deux reprises, mais inversées comme dans un miroir (53). (Figure 25)La bande dessinée proposée par Jim Woodring est tout aussi ingénieuse. Dans son histoire, un personnage traverse littéralement le ruban pour se retrouver de l’autre côté, mais par la propriété d’être non orienté il demeure tout de même dans la même histoire et il ne fait que rentrer une fois de plus dans la boucle (54). (Figure 26)

Figure 25

Figure 25: Möbius battle par Randall Munroe. Source:

Figure 26

Figure 26: Ruban de Moebius par Jim Woodring. Source:

En considérant les histoires sous leur forme de graphe planaire, le ruban de Möbius offre de nouvelles options. Par exemple, nous pouvons tracer le graphe complet biparti sur deux groupes de trois points K₃,₃ ou le graphe K₅ sur le ruban de Möbius de manière planaire (Pickover, p.94). (Figure 27 et 28) Il serait donc possible de construire des histoires planaire sur ce graphe si ce graphe est présenté sur le ruban de Möbius.

Figure 27


Figure 27 : Représentation planaire du graphe complet sur cinq sommets sur le ruban de Moebius. Source :

Figure 28

Figure 28: Représentations planaires de K3,3 et K5. Dans  Gross, J.L. and T.W. Tucker.  [1987] 2012. Topological graph theory, p.30. New York: Dover Publications, Inc. © 1987, 2001 par Jonathan Gross et Thomas W. Tucker

Une famille de graphes qu’il est possible de présenter de manière planaire sur le ruban de Möbius sont les échelles de Möbius. Ces graphes sont en fait formés d’un cycle possédant un nombre pair de sommets qui sont reliés par une arête aux sommets exactement opposés à eux. (Figure 29) Si le nombre de sommets est de huit, il porte le nom particulier de graphe de Wagner. Ces graphes sont facilement représentables sur un ruban de Möbius par une simple échelle qui suit le contour du ruban. (Figure 30)

Figure 29


Figure 29: Les échelles de Moebius, Source :

Figure 30

Figure 30: Représentation d’une échelle de Moebius en ruban de Moebius. Source : Wikipedia

En fait, nous pouvons les représenter sur le plan à l’aide d’une seule intersection non planaire (Guy et Harary, p.494-495). L’avantage d’une telle construction est de jumeler deux à deux des éléments d’un cycle. De ce fait nous pouvons construire l’histoire suivante : à chaque moment d’une histoire, un personnage s’imagine comment se rendre dans une situation idéale dans laquelle il se retrouve lui-même plus tard dans l’histoire. Il existe un équivalent au théorème de Kuratowski pour le ruban de Möbius. En 1980, Dan Archdecon identifia les 35 graphes d’obstruction pour le critère de planarité (Gagarin, Myrvold et Chambers, p.152), autrement dit les graphes qui, si présents en tant que mineurs, rendent la planarité impossible (Delahaye avril 2008, p.97).

figure 31

Figure 31: Coloriage et construction du tore. Source : Wikipedia

Une autre surface sur laquelle il est intéressant de présenter une histoire est le tore. Nous pouvons construire le tore en rejoignant les deux paires de côtés d’un rectangle (Figure 31). Encore une fois, certains graphes qui ne sont pas planaires sur le plan le sont sur le tore. (Figure 32-34)

Figure 32

Figure 32 : K3,3 sur le tore.  Dans Pickover, Clifford. 2006. The Möbius Strip : Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Litterature, Art, Technology, and Cosmology. New York: Thunder’s Mouth. © 2006 Clifford A. Pickover

Figure 33

Figure 33: K5 et K6  sur le tore. Dans Gross, J.L. and T.W. Tucker.  [1987] 2012. Topological graph theory. New York: Dover Publications, Inc. © 1987, 2001 par Jonathan Gross et Thomas W. Tucker

Figure 34

Figure 34: Le graphe K5 sur le tore Source :

Du point de vue topologique, le tore se distingue de la sphère par la présence d’un trou. Cela implique qu’une boucle ne peut pas obligatoirement être comprimée en un seul point. De plus, le théorème de Jordan ne tient plus pour cette surface. En effet, comme le démontre la figure 35, un cercle qui contient le trou du tore en son centre ne sépare pas la surface en deux espaces, il en de même pour un cercle perpendiculaire à l’axe de rotation du tore (Barr, p.17). D’autres assemblages de courbes sont également intéressant. (Figure 35) L’ensemble d’obstruction du tore lui contient au moins 16 629 mineurs (Gagarin, Myrvold et Chambers, p.152).

Figure 35

Figure 36

Figure 35: Le théorème de Jordan sur le tore. Source :

Par les principes d’étirements propres à la topologie, un tore est équivalent à une sphère avec une poignée. Or, il est possible d’ajouter un nombre arbitraire de poignées et nous obtenons des surfaces équivalentes à des tores avec le même nombre de trous. Cette méthode d’ajout de poignées à la sphère permet de construire l’infinité des surfaces compactes orientables et chacune de ces surfaces possède une caractéristique d’Euler différente. Il en résulte que chacune de ces surfaces permet un ensemble de graphes planaires différents. Inversement, il est possible à partir de n’importe quel graphe de trouver une surface sur lequel il est possible de le superposer de manière planaire en débutant par représenter ce graphe sur la sphère et en ajoutant une poignée à chaque fois qu’un croisement est inévitable (Gross et Tucker, p.25)(Figure 36). Évidemment, il est possible d’effectuer des dallages de chacune de ces surfaces puisqu’il est possible de faire une triangulation de toute surface (Francis et Weeks, p. 394).

Figure 36a


Figure 36: Technique pour éviter les croisements. Dans Gross, J.L. and T.W. Tucker.  [1987] 2012. Topological graph theory. New York: Dover Publications, Inc. © 1987, 2001 par Jonathan Gross et Thomas W. Tucker

Figure 37

Figure 37: Polygone fondamental de la bouteille de Klein. Source : Wikipedia

Il existe toutefois une seconde classe infinie de surfaces bornées, celle des surfaces non orientables comme la bouteille de Klein. Nous pouvons obtenir cette surface à partir du polygone fondamental de la figure 37 en rejoignant les paires de côtés opposés selon l’orientation donnée. Nous ne pouvons pas représenter cette surface en trois dimensions sans éviter un croisement qui n’est pas réellement une intersection de la surface avec elle-même. (Figure 38)

Figure 38

Figure 38: Bouteille de Klein en trois dimensions. Source :

Il existe une infinité de surfaces non orientables que nous pouvons obtenir à partir de la sphère et du ruban de Möbius. Nous avons préalablement mentionné que la bordure du ruban de Moebius est en fait un cercle, pour obtenir la bouteille de Klein nous pouvons y faire un trou circulaire et y coller la bordure circulaire du ruban de Möbius. Nous pouvons obtenir l’infinité des surfaces non orientables en collant un nombre arbitraire de rubans de Möbius sur la sphere (56). (Gross et Tucker, p.120). (Figure 39)

Figure 39

Figure 39: L’ajout d’un ruban de Moebius sur une surface. Dans: Pickover, Clifford. 2006. The Möbius Strip: Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Litterature, Art, Technology, and Cosmology. New York: Thunder’s Mouth. © 2006 Clifford A. Pickover

L’avantage des polygones fondamentaux est donc premièrement de pouvoir représenter de manière planaire n’importe quelle surface, aussi complexe soit-elle. Nous pouvons alors reconstruire n’importe quelle histoire à partir d’une sculpture narrative. L’avantage de travailler sur des surfaces non orientables est en fait d’étendre la notion de fiction non plus seulement au contenu de l’histoire, mais également à sa forme. Si de plus nous prenons en compte les espaces intérieurs et extérieurs aux cycles de sorte à la combiner de par la non-orientabilité -comme les deux ‘’côtés’’ du ruban de Möbius sont reliés par la même opposition- certaines histoires ne sont représentables que sur des surfaces qui ne peuvent exister en trois dimensions.

Figure 40

Figure 40: Noeud Trefoil  par Jos Leys (2004). Source :

Tout comme la forme d’une courbe peut influencer sa lecture, la forme de la surface sur laquelle un graphe et son histoire sont représentés peut être lourde de sens. Par exemple, le tore peut simplement prendre la forme d’un beigne ou bien il peut s’imbriquer en trois dimensions pour former le nœud gordien de la surface de la figure 40. Une vaste littérature sur l’effet des formes existe, principalement dans l’histoire et l’analyse de la sculpture. Une autre branche des mathématiques se dédie à la classification de ces surfaces : la théorie des nœuds.

Figure 41


Figure 41: Surface de Costa. Source : Wikipédia

Figure 42

Figure 42: Surface de Scherk. Source : Wikipedia

La liste des surfaces non compactes est également infinie. Nous pouvons également utiliser ces surfaces comme canevas infini dans la construction de sculptures narratives. Certaines permettent des espaces vacants, comme la surface de Costa (57) (Figure 41), d’autres offrent différentes portions de plans dans diverses directions comme la surface de Scherk (58) (Figure 42) et finalement des surfaces peuvent, à la manière de la bouteille de Klein, se croiser elles-mêmes lorsque représentée en trois dimensions. C’est le cas pour les surfaces de Henneberg et d’Enneper (Pressley, p.227 et 214). (Figure 43) Ces surfaces mènent vers de nouveaux défis narratologiques.

Figure 43

Figure 43 : Surface de Henneberg par Dizingof.  Source :

Comme le mentionne Paul Gravett dans Comics Art, en discutant le canevas infini dans sa forme initiale telle que proposée par McCloud; les dimensions de la bande dessinée « could mutate beyond them into stranger, unpredictable configurations, akin to networks, subway systems, flow-charts, maps, atomic structures puzzles or mazes, traversables along multiple trails » (Gravett, p.130) L’utilisation élargie du concept de canevas infini permet de travailler sur une infinité de surfaces ayant toutes des caractéristiques différentes. Encore une fois selon Gravett: « it will always be human imagination that is the inexhaustible, the infinite canvas » (Gravett, p.136). Nous avons vu comment l’utilisation de cycles diffère déjà beaucoup entre le plan, la sphère et le tore. La notion de sculpture narrative permet d’inclure autant les caractéristiques propres à l’histoire, l’arthrologie qu’implique naturellement le médium de la bande dessinée, les affects de la sculpture par l’utilisation de l’espace ainsi que les notions mathématiques principalement issues de la géométrie, de la théorie des graphes et de la topologie. Nous pouvons parfois représenter la surface sur laquelle s’écrit théoriquement l’histoire par une seconde surface ; par exemple, nous avons vu qu’il est possible de représenter de manière planaire la bouteille de Klein même si celle-ci ne prend sa forme réelle qu’en quatre dimensions. Le canevas infini peut par conséquent être infini de trois manières différentes : par la densité du plan qui permet des zooms infinis, par l’utilisation d’une surface non compacte qui permet une expansion infinie et par le nombre infini de dimensions dans laquelle nous pouvons l’imaginer. L’utilisation des sculptures narratives permet d’explorer différentes narrations sous la lumière de ces diverses composantes. Dans ce chapitre, nous avons exploré un petit nombre de surfaces ainsi que quelques propriétés des graphes qui sont en lien avec la surface sur laquelle ils se trouvent afin de démontrer la pertinence de cette approche.


Dans ce mémoire, nous avons étudié les structures temporelles des narrations en les considérant comme sculptures narratives. Pour ce faire, nous avons limité notre recherche à l’analyse du temps de l’histoire tel que défini par Genette et nous avons modélisé des histoires en les considérant comme agencements de courbes paramétrées en graphes. Nous avons ensuite étudié comment la complexité de certaines constructions mène vers l’étude de la surface sur laquelle cette histoire est représentée. Par le fait même, l’étude des surfaces devient naturellement un outil servant la construction de telles structures. Nous avons nommées sculptures narratives la représentation d’histoires en suites d’images sur une surface. Le cas trivial étant le plan, nous avons étudié comment d’autres surfaces permettent de régler le problème de la planarité ou servir à des fins esthétiques.

Nous devons alors nous questionner en quoi les résultats de ce mémoire pourront soit mener vers de nouvelles recherches sur l’objet même, soit mener vers une nouvelle approche narratologique. En ce qui concerne les différentes recherches qui pourraient complémenter ce mémoire, plusieurs avenues sont possibles. Nous pourrions approfondir cette étude en construisant un plus grand nombre d’histoires et en incluant un plus grand nombre de théorèmes et définitions issues de la géométrie, de la théorie des graphes, de l’algèbre, de la géométrie différentielle, de la topologie et de la théorie des noeuds. Cet ajout servirait principalement à l’ajout de contraintes éventuelles dans la construction de sculptures narratives. Des considérations sur la réception de ces formes préalablement à la réception de l’histoire pourraient servir cette étude et guider le choix des formes.

Une deuxième avenue importante serait l’inclusion dans ce modèle du temps du récit. Par exemple, un temps d’histoire cyclique peut être représenté cycliquement dans le désordre afin de complexifier la lecture de ces histoires et favoriser la création d’intrigues. Une telle approche compliquerait considérablement notre modèle, mais ouvrirait la voie vers de multiples expérimentations. En effet, déjà la simple permutation de segments du temps de l’histoire peut alors être perçue comme la permutation de segments de surfaces. Nous pourrions par exemple construire un récit sur un cube Rubik dont il faudrait retrouver la forme initiale du temps de l’histoire.

Finalement, des études en cognition pourraient tenter d’évaluer l’influence de la lecture d’histoires complexes sur l’apprentissage des réseaux de concepts. Comme mentionné au premier chapitre, les vecteurs des schémas de Ryan sont des vecteurs d’incidences qui s’apparentent à des structures d’incidences logiques, c’est-à-dire que des évènements A,B,C peuvent mener vers des ‘’conclusions’’ D,E,F. L’apprentissage de réseaux d’incidences de concepts et théorèmes pourrait donc être facilité par la mise en contact avec de telles structures dès un bas âge. Il resterait à mesurer la valeur réelle d’une telle hypothèse.

Une autre conséquence éventuelle est celle d’un appel à la collaboration entre diverses disciplines dans l’élaboration et la construction des sculptures narratives. La collaboration entre les mathématiques et les arts visuels existe déjà dans la pratique, surtout depuis l’arrivée de l’ordinateur, mais cette collaboration reste encore discrète dans l’étude théorique de l’art visuel. Quoique plusieurs ouvrages relativement récents existent sur les relations entre les mathématiques et les arts, principalement au niveau des formes, ces ouvrages prennent habituellement la forme de collections d’articles. Les nombreux livres publiés sous la direction de Michèle Emmer ou de Claude Bruter en sont de parfaits exemples. Le


43-Celle d’un espace de Hausdorff avec une base dénombrable de sorte que le voisinage de tout point soit homéomorphe à un sous ensemble du plan cartésien.

44-Pour plus d’informations, nous recommandons le site suivant:

45-Pour une lecture plus complète sur le sujet :


47-Une série de dallages de la sphère peut être consultée sur le site

48- et

49-Il est possible de trouver cette histoire à l’adresse suivante :






55-Il existe en fait plusieurs manières de définir les ensembles d’obstruction qui impliquent des nombres différents d’obstructions, par exemple les obstructions topologiques et les obstructions de graphes mineurs. Les résultats donnés ici concernent les obstructions de graphes mineurs. Le site de Dan Archdeacon présente ces ensembles d’obstructions. (

56-Pour plus de détails sur la preuve de cette classification voir aussi l’article : Francis, George K. and Jeffrey R. Weeks. «Conway’s ZIP Proof». American Mathematical Society, 106 (1999), p. 393-399.


58-Pour une description formelle de cette surface :

Narration et mathématiques: l’utilisation des graphes au cinéma et dans la bande dessinée (Chapitre 3)

Chapitre 3: Les cycles et la planarité

Il n’est pas possible de reconstituer toutes les structures narratives à partir des histoires construites en arbres. Il est vrai qu’un bon nombre d’histoires possèdent des structures assez complexes qu’il est possible de construire sous forme de graphes en arbres orientés, mais ces arbres, par définition, excluent un ensemble de narrations : les histoires cycliques.

Traditionnellement, la cyclicité du temps est une composante fort commune aux sociétés archaïques qui ont la nécessité de se « régénérer périodiquement par l’annulation du temps » pour reprendre les mots de Mircea Eliade (1969, p. 104). Nous trouvons par exemple le Neneh des Égyptiens (Assman, p. 136-137) ou des emboîtements de cycles dans la conception du temps chez les Mayas ou dans l’hindouisme. En discutant des mythes lunaires présents dans un grand nombre de cultures, Eliade précise cette cyclicité du temps en ces mots : «Tout recommence à son début à chaque instant. Le passé n’est que la préfiguration du futur» (1969, p. 108). De ce fait, les mythes de la régénération cosmogonique ne sont pas représentables par des graphes en arbre puisqu’il devrait y avoir présence d’un cycle.

Les jouets optiques ont favorisé la production d’un bon nombre d’histoires cycliques. Le mécanisme de ces jouets optiques impose souvent cette contrainte. Comme le mentionnent Nicolas Dulac et André Gaudreault, le phénakisticope est, pas son dispositif même, condamné à présenter des images en boucles (Gaudreaul et Dulac, p. 32). Le zootrope et le kinétoscope présentent également des boucles sans fin. Il reste à savoir si ces petites boucles narratives sont réellement des histoires. Comme dans le cas de la définition de la bande dessinée, nous prenons une définition assez large qui nous permet d’inclure en premier lieu des histoires cycliques et en second lieu des histoires cycliques dont le cycle peut être aussi court que possible. Si le récit d’une histoire doit connaître un début et une fin comme il est communément admis ceux qui ont écrit sur le sujet (Gaudreault, p. 35-42), tel n’est pas le cas pour le temps de l’histoire diégétique. Comme nous le constaterons dans ce chapitre, l’absence de début et de fin n’empêche en rien d’avoir une histoire. Les mythologies cycliques constituent déjà un bel exemple de ce type de construction. Genette, d’ailleurs, ne semble pas proscrire la possibilité au temps de la diégèse d’être cyclique. C’est ce que Brian McHale décrit en discutant une sous-catégorie de narrations qu’il nomme self-erasing: « one can also “bend‘‘ a sequence to form a loop, in which one and the same event figures as both antecedent and sequel of some other event. » (1987, p. 108). McHale mentionne que la reconstruction de l’histoire devient difficile puisqu’il n’est plus possible de savoir quels évènements précèdent les autres. En fait, cette difficulté disparaît lorsque nous acceptons la présence de temps diégétiques circulaires.

Revenons sur la définition du cycle dans un graphe avant d’étudier les histoires cycliques. Un cycle est une suite de sommets et d’arêtes consécutifs qui se termine en son sommet initial (Bondy, p. 4). Nous disons qu’un graphe est cyclique s’il est possible d’y parcourir un cycle. Dans un arbre, l’ajout d’une arête sans l’ajout d’un sommet rend le graphe cyclique (Bollobàs, p. 9-10). Nous disons d’un cycle qu’il est hamiltonien s’il passe une seule fois par tous les points du graphe (Bondy, p. 47). Nous nommons un tour un chemin qui passe par toutes les arêtes et nous précisons qu’il est un tour d’Euler s’il ne passe par ces arêtes qu’une seule fois (Bondy, p. 86). Nous pouvons dès lors analyser les types d’histoires cycliques en considérant les arêtes d’un cycle comme étant des segments de courbes paramétrées.

Nous distinguons deux catégories d’histoires cycliques. La première catégorie apparaît lorsqu’un personnage se retrouve à la fois dans le futur et le passé d’un moment diégétique. Ce modèle représente la trame de fond de plusieurs histoires dans lesquelles un protagoniste effectue un voyage dans le passé (29). Les films de science-fiction incluent souvent le voyage temporel pour justifier la boucle temporelle. La suite des deux premiers Terminator (Cameron, 1984 et 1991) utilise une tournure de la sorte; le commandant John Connor vivant dans un futur apocalyptique envoie Kyle Reese, un militant de la résistance de son armée, en mission dans le passé afin de protéger sa mère Sarah Connor et ainsi permettre sa propre naissance. Or, Reese se retrouve en relation avec Sarah et devient le père même de John Connor. Une construction similaire se retrouve dans les films La Jetée (1962) de Chris Marker et 12 Monkeys (1995) de Terry Gilliam dans lesquels les protagonistes ont vu leur propre mort dans leur enfance. C’est-à-dire qu’ils ont voyagé dans le passé et sont morts devant leurs propres yeux d’enfants. Afin d’obtenir une histoire cyclique, nous devons nous assurer de respecter un principe connu en physique sous le nom de principe d’auto-consistance de Novikov et qui stipule que les courbes cycliques temporelles sont possibles si et seulement si les évènements produits dans la boucle s’impliquent les uns les autres : « they influence each other around the closed curve in a self-ajusted, cyclical, self-consitent way. » (Friedman et al., p. 1916).

D’autres films présentent des histoires simples sans tenter de justifier cette cyclicité temporelle, ils se limitent comme figure de style soulignant une cyclicité d’implications logiques, souvent un cercle vicieux. Le film mexicain Chin Chin el Teporocho (1976) de Gabriel Retes, basé sur un roman du même nom par Armando Ramirez (1972), traite des mésaventures d’un jeune adolescent dans le quartier de Tepito du District fédéral. Une chaîne d’évènements l’impliquant dans la délinquance le ramène finalement à la scène initiale, situation de laquelle il tentait de se sortir. La scène présentée au début et à la fin du film est exactement la même scène cinématographique, il y a cyclicité du temps et non pas une simple similarité d’états. Le film macédonien Before the Rain (1994) de Milcho Manchevsky boucle une histoire qui dévoile le cycle de la violence en Europe de l’Est. Encore une fois, les images présentées au début et à la fin du cycle sont exactement les mêmes. Dans ces deux cas, le voyage temporel n’est pas présent, il n’y a pas à proprement parler un voyage temporel, le temps y est simplement cyclique par définition comme il l’est dans les mythologies préalablement mentionnées. Ces histoires respectent le principe d’auto-consistance de Novikov.

Il est également possible d’obtenir une boucle sans toutefois avoir une histoire éternellement cyclique, et ce tout en respectant le principe de Novikov. Un cas possible qui respecte ce principe se produit lorsque le personnage retourne dans le passé et y séjourne sans jamais influencer le cours des évènements et qu’à son second passage au moment initial de son retour dans le passé il poursuit naturellement son séjour dans le futur. Nous pouvons représenter cette situation comme une boucle à partir de laquelle deux segments superposés se poursuivent vers le futur. Le premier représentant la temporalité de la diégèse précédant le voyage temporel alors que la seconde superposition représente le présent du voyageur.

Figure 1

Figure 1: Auteur Inconnu, Source Code, par Duncan Jones. Source :

Figure 2

Figure 2: Auteur Inconnu, Source Code, pr Duncan Jones Source :


Nous pouvons envisager dans la diégèse des histoires qui ne respectent pas le principe de Novikov. Ces histoires apparaissent lorsque le retour dans le passé s’effectue et que les évènements sont bouleversés de sorte que ces évènements ne mènent plus vers le futur préalable au voyage dans le passé. Les évènements ne s’impliquent plus les uns les autres. Nous pouvons modéliser le tout en utilisant plusieurs courbes parallèles qui suivent la même suite d’évènements dans le passé. Le voyage dans le passé ainsi que le changement du futur de ce passé revient à faire bifurquer une courbe paramétrée vers un point antécédent qui se situe sur une autre courbe. Le futur bouleversé n’est donc plus le même que celui de la courbe initiale et nous évitons ainsi les paradoxes. Nous pouvons de cette manière représenter les évènements du film Source Code (2011) de Duncan Jones. (Figure 1 et 2) De telles représentations se retrouvent sur le blogue de Romain Vuillemot ( Dans le film, l’esprit du soldat Colter Stevens est transporté dans un temps parallèle à plusieurs reprises afin de prévenir une attaque terroriste. Les schémas, dont un initialement proposé sur le blogue Supermentera (, présentent différentes courbes temporelles sur lesquelles se présentent des segments de la même histoire.

Figure 3

Figure 3: Jérôme Bosch , Les septs péchés capitaux ett les Quatres dernières Étapes humaines, vers 1500, Peinture, Huile sur Panneau, Museo del Prado, Madrid.

En bande dessinée, il existe plusieurs œuvres qui contiennent des boucles visuelles. Certaines de ces boucles sont réellement des histoires cycliques alors que d’autres, comme il en est le cas avec la peinture Les Septs Péchés capitaux et les Quatre Dernières Étapes humaine de Jérôme Bosch (Figure 3), ne servent qu’à obtenir une esthétique visuelle particulière. Une des dernières pages de Derniers rappels (2006) d’Alex Robinson et Near the Forest de François de Jonge paru dans Lapin Nu. 37 présentent de telles structures. (Figures 4 et 5)

Figure 4

Figure 4- Robinson, Alex. 2006. Derniers Rappels, Montreil : Éditions Rackham. © Alex Robinson

Figure 5

Figure 5: François de Jonge, Near the Forest ,Lapin n˚37, février 2009. © François de Jonge

L’ordre de lecture des cases de cette dernière s’avère plus complexe que la simple lecture de plusieurs cercles concentriques (Groupe Acme, p. 188). Par exemple, certaines cases doivent se lire le long du rayon du cercle. Les constructions circulaires de la page de How to be Cheap de Joe Matt parue dans Peepshow : the Cartoon Diary of Joe Matt (1999, p. 50) et la mandala de Kevin Huizenga qui apparaît dans Glenn in Bed du premier Ganges (2006, p. 26) ne sont pas porteurs d’histoires cycliques. (Figures 6 et 7)

Figure 6

Figure 6: Matt, Joe. 1999. Peepshow: the cartoon diary of Joe Matt .Montréal: Drawn and Quaterly. © Joe Matt

Figure 7

Figure 14: Huizenga, Kevin. 2006. Ganges.Vol 1. Seattle: Fantagraphics Press and Coconino Press. © Huizinga

La présence de cycles visuels sert principalement l’esthétique de ces bandes dessinées et ils se retrouvent, comme le souligne Isaac Cates à propos des cycles dans Huizenga, à la fois inclus et exclus de la diégèse (2010, p. 100). Plusieurs bédéistes ont également représenté des extraits d’histoires sous forme cyclique sans que ces boucles soient l’histoire principale. Scott McCloud présente un tel cycle en arrière-plan dans Understanding Comics (1993, p. 109). (Figure 8) Ce cycle n’est clairement pas l’histoire, il sert simplement d’exemple pour démontrer certaines possibilités de la bande dessinée, notamment la possibilité d’avoir une histoire sans début ni fin. Finalement, nous retrouvons certaines histoires qui fonctionnent en boucle, comme circularité de temps et d’évènements.

Figure 8

Figure 15: McCloud, Scott. 1993. Understanding Comics. New York : Harper Perrenial. © 1993 Scott McCloud

Huizinga en fait un tel usage inséré dans son histoire Glenn Ganges in “Time Traveling“, en fait le cycle est sous-diégétique puisqu’imaginé par le protagoniste. Huizinga présente ce cycle afin de clarifier les pensées de son personnage; celui-ci s’aperçoit que, théoriquement, si l’Univers est fini, les atomes passeront par toutes les configurations possibles de l’Univers et qu’elles reviendront inévitablement à la configuration du moment présent (Huizenga, p. 3). Un exemple autosuffisant de construction d’histoire cyclique vient de la mythologie bouddhiste, en particulier dans la représentation de la Bhavachakra, ou roue de la vie, dans les peintures tibétaines, les peintures thangka (Meulenbeld, p. 64). Les moines représentent sur le bord extérieur de la roue les douze nidanas qui forment de par leurs liens le cycle de la renaissance (Meulenbeld, p. 66) (Figures 9) Les scènes représentées ont un sens dont la suite forme le cycle.

Figure 9

Figure 9: Roue de la vie . Anonyme : probablement un moine du Tibet, du Népal ou du Ladakh

Figure 10

Figure 10: Gerner, Morlaque, OuBaPo. Oupus 3. Paris :  L’Association, 2000.©Gerner

Les auteurs de l’Oubapo ont proposé plusieurs histoires cycliques pour le troisième ouvroir dans lequel elles prennent le nom de «morlaque», terme proposé par Jean-Christophe Menu (2011, p. 109). Ayroles, Gerner et Lécroart présentent des histoires simples dans des boucles à la fois visuelles et temporelles (OuBaPa 2000, p. 18, 30 et 36) (Figure 10). Menu de son côté propose une histoire cyclique dont le temps est cyclique, mais dont la majorité des cases se lisent de manière conventionnelle jusqu’à la dernière ligne qui doit être lue de droite à gauche avant de suivre une colonne qui remonte la page jusqu’à la première case (OuBaPo 2000, p. 24). (Figure 11) L’auteur Fred à également construit un cycle dans L’Île des brigadiers. Pour souligner ce fait, Hector, le père de Philémon, se fâche à l’idée qu’il faut encore tout recommencer (Peeters 1998, p. 93). (Figure 12) L’auteur a aussi offert un fou-rire cyclique et infini pour la revue Hara-Kiri (Cavanna, p. 109).

Figure 11

Figure 11: Jean-Christophe Menu,Morlaque,  OuBaPo. Oupus 3. Paris :L’Association, 2000. ©Menu

Figure 12

Figure 12: Fred, Philémon: L’île des Brigadiers.© Ed. Dargaud

Le second type de cyclicité que nous distinguons est celui de la récursivité, la cyclicité des histoires autoréférentielles. Douglas Hofstandter définit les objets autoréférentiels comme étant ceux qui ont la capacité de «represent or to refer to themselves somehow, to designate themselves (or elements of themsleves) within the system of their own symbolism » (1985, p.7). Ce type d’histoires cycliques apparait lorsqu’une histoire se retrouve emboitée dans cette même histoire et que cette construction implique également une cyclicité temporelle. Brian McHale, discute des histoires qui s’emboîtent indéfiniment en réutilisant le vocabulaire de Genette. Il explique qu’il y a la diégèse au premier niveau ontologique, ensuite l’hypodiégèse, l’hypo-hypodiégèse et ainsi de suite (1987, p. 113). Or, le simple fait d’emboîter des histoires les unes dans les autres ne constitue pas une condition suffisante pour la cyclicité. Les films EXistenZ (1999) de David Cronenberg et Avalon (2001) de Mamoru Oshii ne sont pas cycliques. Dans les deux cas, les protagonistes se retrouvent dans un double emboîtement, celui du jeu vidéo dans la réalité et de la réalité dans le jeu vidéo. Nous pouvons tout de même comparer ces structures d’histoire avec celle que McHale définit pour expliquer le roman Projet pour une révolution à New York de Robbe-Grillet : «the distinction between diegesis and hypodiegesis can no longer be safely maintained. » (1987, p. 117). Si dans l’emboîtement il y a retour à un étage de la diégèse, il y a alors une métalepse, ou strange loop dans le vocabulaire de Douglas Hofstadter (McHale 1987, p. 119). Ces histoires ne sont pas cycliques, car même si la hiérarchie des inclusions les ramène dans un même monde ou dans un palier non identifiable de cette inclusion, le temps ne repasse pas par un moment déjà présenté dans l’histoire. La cyclicité de l’inclusion des diégèses n’implique pas la cyclicité du temps de la diégèse.

Figure 13

Figure 13: Lenstra, Printing Gallery , 2003. © Lenstra

Une histoire cyclique autoréférentielle peut être tissée extrêmement serrée et n’être constituée que d’une seule image. Ce principe fractal fonctionne parfaitement dans plusieurs œuvres de Escher, dont la construction la plus complète se déploie dans La galerie d’estampes (Locher, p. 216). La construction de cette œuvre était si complexe qu’Escher lui-même n’a pu réussir à la terminer et il a fallu attendre H. Lenstra et son équipe pour réussir à la compléter. Lenstra et son équipe ont découvert les équations qui régissent la transformation imaginée par Escher et ils ont pu compléter l’œuvre à l’aide de celles-ci (Smit et Lenstra, p. 446-451). (Figure 13) Cette transformation, connue désormais sous l’appellation de l’effet Droste, est souvent réutilisée en photographie afin de produire des images autoréférentielles. Seb Pzbr et Josh Sommers sont parmi les photographes qui rendent le mieux cet effet (30). Ce type d’image n’a pas d’indicateur temporel qui peut laisser sous-entendre qu’un certain laps de temps s’écoule tels des phylactères qui laissent sous-entendre le temps de la conversation; elles posent une ambigüité quant à leur cyclicité. Le temps ne revient pas à un moment initial, il est la superposition simultanée infinie de ce même moment. La page d’Al Williamson avec les deux extra-terrestres discutée au chapitre précédant clarifie déjà un peu plus ce statut de cyclicité. Les extra-terrestres lisent la dernière page de la bande dessinée sur laquelle n’est représentée qu’une seule scène. La présence d’un phylactère assure l’écoulement d’un certain temps à chacun des paliers de l’inclusion, laissant voir qu’il s’agit d’une histoire cyclique. En effet, malgré l’artifice visuel qui pourrait laisser entendre que tous les paliers récursifs sont synchronisés, cette coordination temporelle n’est pas obligatoire puisque le temps diégétique du premier palier s’écoule alors que les autres paliers sont des images fixes dans la diégèse avant que d’être porteuses d’un temps hypodiégétique. La page de Marc-Anthoine Mathieu, quant à elle, ne laisse aucun doute sur la cyclicité de ce segment d’histoire. La page lue par le protagoniste contient plusieurs cases, il y donc une succession de plusieurs moments distincts, les moments contenus dans chaque case, qui se retrouve ensuite itérée par l’inclusion infini. Toujours en bande dessinée et sous la plume du même auteur, le dernier tome de la série Julius Corentin Acquefacque, prisonnier des rêves : Le Décalage brise de nouvelles barrières dans sa construction d’une histoire cyclique autoréférentielle. Dans ce cas, le dispositif même de la bande dessinée est mis en jeu. Le protagoniste traverse l’histoire pour revenir au moment initial de l’histoire et pour s’inclure dans celui-ci (Mathieu, 2013). Pour renforcer cet effet, l’auteur décale le temps de l’histoire et le temps du récit. L’auteur se débarrasse pratiquement de tout métadiscours dans son ouvrage et il n’y a plus à proprement parler de page-couverture. Il existe des pages qui miment les artefacts de la page-couverture et des pages contenant le méta-discours, même qu’elles contiennent réellement les informations du méta-discours, mais ces pages font en fait partie de l’histoire. La page couverture et l’endos de la bande dessinée sont des pages de l’histoire et la seule trace de méta discours se trouve dans la constitution cartonnée de ces deux pages. Les temps du récit et de l’histoire étant décalés, la page couverture présente une page quelconque à partir de laquelle on entre dans le cycle. Ce procédé laisse comprendre que l’on pourrait fort bien avoir tout simplement une construction en cylindre de cette bande dessinée, sans page de carton, une construction équivalente au mutoscope d’Herman Casler (Gaudreault et Dulac, p. 49 notes en bas de page). Dans le mutoscope de Casler, les images doivent défiler à une vitesse suffisamment élevée pour créer l’illusion de mouvement alors que dans le cas de Mathieu, le rythme lent de lecture de la bande dessinée est de mise. Puisque dans le cas de la bande dessinée Julius Corentin, le héros est éternellement réinséré dans la même histoire comme l’ouroboros se dévore lui-même, l’histoire est cyclique et autoréférentielle.

Les écrivains ont aussi fourni leur lot d’histoires autoréférentielles, mais bien peu sont réellement cycliques. En fait, il serait possible d’inclure la nouvelle Continuity of Parks de Julio Cortazar si nous acceptons le fait qu’au moment où l’assassin entre dans la pièce le lecteur est en train de lire le passage où l’assassin s’approche de sa demeure en passant par le parc (McHale 1987, p. 120).

Pour en revenir à notre modèle, commençons par mentionner les différentes distinctions à faire entre spatio-topie, courbe paramétrée et théorie des graphes. La structure d’une histoire cyclique n’implique que le fait suivant : la courbe paramétrée qui sert de cadre au temps de l’histoire revient, pour un certain temps t à un point du plan qu’elle a déjà traversé, cette courbe repasse par le parcours qu’elle a déjà tracé. Nous pouvons par exemple modéliser un modèle simple d’histoire cyclique à l’aide de la courbe (Cos(t),sin(t)). Cette courbe donne simplement un cercle centré à l’origine du plan cartésien. Conformément au vocabulaire de la théorie des graphes, nous disons alors qu’il y a une boucle s’il n’y a qu’un sommet et un cycle s’il y a plus d’un sommet (Bondy, p. 3). Or, il existe d’autres courbes dont la perspective macroscopique diffère du cercle, qui peuvent se modéliser à l’aide d’autres courbes paramétrées, mais demeure simplement une boucle ou un cycle du point de vue de la théorie des graphes puisque dans cette théorie la forme et la longueur des arêtes n’importent pas. L’ellipse par exemple, diffère du cercle géométriquement, mais demeure une courbe simple fermée. L’utilité de l’ellipse apparaît avec sa forme : par les sommets de ses deux axes nous pouvons mettre en relation deux paires de moments diégétiques.

Figure 14

Figure 14: Courbe paramétrée. Source :

Il existe une panoplie de courbes paramétrées qui possèdent la particularité de se croiser elles-mêmes en plusieurs points. Par conséquent, un cycle peut également se croiser lui-même dans le contexte d’une histoire. Prenons un cas simple, celui de la courbe (2Cos(2πt), Sin(4πt)) (31), qui forme ce qui est généralement utilisé comme symbole de l’infini, donc un huit couché. (Figure 14) Cette courbe, en plus de former un cycle, se recroise en son centre. À la différence de la double boucle que nous discuterons par la suite, le point d’intersection au centre ne constitue pas le point initial de l’histoire, l’histoire repasse par ce point sans toutefois recommencer symboliquement par ce point. Donnons un exemple simple d’une construction sur ce modèle. Un homme va à l’épicerie pour se procurer une bouteille de vin et accroche un homme en route. Sur le chemin du retour, il percute un homme et échappe sa bouteille de vin. Après avoir continué un peu son chemin, marabout, il décide de retourner à l’épicerie et sur le chemin du retour il se percute lui-même, la version de lui-même qui tient la bouteille de vin. Nous précisons que cette histoire n’est pas un récit-carte et donc une version non strictement linéaire graphiquement est acceptable.

Figure 15

Figure 15: Courbe Paramétrée

Le nombre de points d’intersection d’une simple histoire peut augmenter lorsque la courbe se complexifie. La courbe f(t)=(Sin(2t),Sin(3t)) est une boucle à sept points d’intersection. (Figure 15) L’avantage de construire des histoires sur de telles courbes est de pouvoir aller construire des histoires cycliques dans lesquelles les protagonistes repassent par des lieux et moments précis sans y avoir d’incidence ou de pouvoir construire des suites d’inférence dans un ordre non linéaire. Voici une histoire construite sur cette courbe. La structure des implications pourrait être plus complexe, mais nous gardons ce cas simple pour démontrer une caractéristique intéressante de ce graphe lorsque nous l’orientons. En colorant chaque arête noir ou blanche, il est possible de les colorer toutes en alternant les couleurs. Cela permet de construire une histoire sur une simple dualité d’état : riche et pauvre, heureux malheureux et ainsi de suite. Nous choisissons de construire la nôtre sur la dualité riche ou pauvre. Sur la figure 16, nous avons numéroté les évènements importants de l’histoire. Nous pouvons construire l’histoire ainsi :

Figure 16

  • Le personnage sort du casino avec de l’argent.
  • Il se fait tabasser et voler.
  • De mauvaise humeur, il appelle un revendeur de drogue et lui vole son argent.
  • Avec l’argent il va s’acheter de la cocaïne.
  • Il décide ensuite de cambrioler une banque.
  • Avec l’argent de la banque, il se paye une escorte (mâle).
  • Il va jouer à son tour son rôle de proxénète et ramasse l’argent de ses employés.
  • (1)Va déposer l’argent au casino qu’il possède, et le casino perd cet argent à un joueur chanceux.
  • (4)Il va alors vendre de la drogue pour renflouer les coffres.
  • (3) Il va voir un client et se fait voler.
  • (2)Il vole à son tour un étranger.
  • (7) Avec cet argent, il peut enfin payer son proxénète.
  • (6) Il se prostitue pour faire de l’argent.
  • (5)Il veut aller déposer son argent à la banque, mais se fait voler par le cambrioleur.
  • (1) Démoralisé, va jouer ses derniers dollars au casino et gagne.

Figure 17

Figure 17: Graphe équivalent à la courbe paramétrée de la figure 16

Dans notre histoire, les points 2-3, 6-7, 3-4, 6-5 sont associés pour construire l’histoire. En considérant cette courbe paramétrée avec ses points d’intersection, nous pouvons constater que nous travaillons en  fait sur un graphe équivalent à celui de la figure 17. Puisque chaque sommet a un nombre pair d’arêtes qui sont adjacents, le graphe contient des circuits eulériens. L’histoire construite ci-dessus n’est que l’un des circuits eulériens possibles sur ce graphe. Nous pouvons élargir la construction d’histoire sur les graphes en suivant une stratégie à celle du pairage des couleurs et des arêtes. Par exemple, autour d’un seul sommet, nous avons toujours quatre arêtes. Si nous voulons avoir quatre états différents autour de chaque point, nous devons utiliser au moins 4 couleurs. Si nous voulons que pour tous les sommets nous ayons que des arêtes de couleurs, ou états, différents, alors nous avons un problème de coloriage des arêtes à l’aide de n couleurs (Bondy, p. 451-452). Nous pouvons construire une histoire basée sur n états d’un personnage si nous savons qu’un graphe est n-coloriable sur ses arêtes. L’avantage de ne pas avoir des arêtes adjacentes permet de construire une histoire dont les incidences sont moins évidentes. Nous ajoutons qu’il a été plus facile de construire avec l’image de la courbe paramétrée plutôt que le graphe équivalent. Le choix de suivre la courbe à l’aide du paramètre t sur la figure initiale a aidé à prendre des décisions. La spatio-topie influence donc non seulement sur la lecture, mais également le processus de création. La courbe cyclique qui mènerait vers les plus grandes difficultés est probablement la courbe de Moore puisqu’en plus d’être cyclique elle est une courbe qui remplit le plan et qui par conséquent se croise elle-même une infinité de fois (Moore, p. 75).

Figure 18

Figure 18: Bouquet. Source : Wikipedia, article Rose (topology)

Le modèle le plus simple pour avoir un point d’intersection s’obtient en ajoutant une seconde boucle au point de départ de la première boucle tout en la disposant de sorte qu’elle ne soit concourante à la première en aucun autre point. Deux cercles tangents représentent bien un modèle de la sorte. Nous obtenons alors une histoire doublement cyclique avec deux cycles indépendants mise à part le point d’intersection. Nous pouvons utiliser ce modèle pour représenter des histoires de réincarnations. Un personnage naît, vit et meurt avant de se réincarner dans une seconde vie. Il répète ensuite le tout dans sa seconde vie avant de se réincarner au début de sa première vie. Nous pouvons ajouter un nombre arbitraire de boucles à ce point initial d’intersection en nous assurant de garder toutes les boucles disjointes. Nous obtenons en ce sens un wedge of circles (Munkres, p. 434), ou bouquet (Gross et Tucker, p. 15), tel que nommé en topologie. (Figure 18) Un point intéressant de la juxtaposition de boucles est que chaque boucle peut contenir sa propre temporalité. Nous pourrions avoir de la sorte une juxtaposition de cycles qui durent une journée, une vie, une multitude de vies et ainsi de suite. Nous pouvons exemplifier le tout par les différents cycles de temps de la mythologie védique. Mircea Eliade en donne une brève description issue de l’Atharva Veda. Le plus petit cycle est le yuga, quatre yugas forment un mahâyuga. Mille mahâyuga forment un cycle kalpa et finalement 14 kalpa forment un manvantâra (Eliade, p. 134-136). Nous pouvons donc représenter le présent, ou un présent diégétique, comme le point d’intersection de ces différents cercles. En restant un peu plus fidèle à l’axiome d’équivalence distance-temps de McCloud, nous pouvons obtenir une suite de cercles de plus en plus gros qui s’incluent les uns les autres à partir d’un point d’intersection initial à la manière donc fonctionnent certaines représentations du Tzolkin, le calendrier maya de 260 jours (Falcón, p. 22). (Figure 19)

Figure 20

Figure 26: Calendrier Tzolkin. Source :

Dès que nous travaillons avec plus d’une boucle, nous devons envisager un nombre arbitraire d’intersections entre ces courbes. Les courbes ayant la possibilité de prendre toutes les formes possibles, il en résulte que le nombre d’intersections peut être aussi grand que voulu. Dans l’Oupus 3, Lewis Trondheim propose une histoire multicyclique à partir d’agencement de deux ou trois cases. Le lecteur peut construire à sa guise la lecture du ou des cycles (OuBaPo 2000, p. 12). À partir de chaque case, le lecteur peut choisir entre les cases limitrophes suivantes. (Figure 20) Pour dénombrer le nombre de cycles possibles, nous devons séparer les lectures possibles en fonction de ce nous appelons le nombre d’enroulements, c’est-à-dire le nombre de rotations complètes autour du centre (32) (Munkres, p. 398). Si nous acceptons un seul tour à partir d’une colonne de 2 cases, nous obtenons 730 cycles différents possibles. Si nous acceptons de faire un second tour en passant par la deuxième case de la colonne initiale et en autorisant de repasser par des cases préalablement utilisées avant de revenir à la case initiale nous obtenons 531 442 cycles possibles. Si nous n’acceptons jamais de repasser deux fois par la même case, le nombre d’enroulements est évidemment de 2. Avant de tomber dans des cas plus complexes, travaillons sur le cas particulier où les courbes sont des cercles.

Figure 21

Figure 20: Lewis Trondheim, Morlaque, OuBaPo. Oupus 3. Paris : L’Association, 2000.©Trondheim

Le nombre maximal d’intersections de deux cercles est de deux (33). Nous pouvons donc construire deux histoires en cercles qui possèdent deux points communs. Construisons un premier cycle avec l’histoire d’un homme qui, selon la publicité du Public Service Announcement figurant John Michael Higgins, fait de la poudre pour travailler plus, pour faire plus de poudre. Ajoutons que lorsqu’il travaille trop, il bat sa femme, mais qui, pour apaiser sa culpabilité, lui donne de l’argent. Construisons ensuite un cycle son épouse se fait battre, est consolé par l’argent de son mari, dépense cet argent et finalement se fait battre à nouveau. Nous obtenons alors une double histoire cyclique à deux points d’intersection.

Avec l’ajout d’un troisième cercle à la construction, le modèle de l’histoire devient déjà beaucoup plus complexe. Si aucune paire de cercles n’est tangente, nous obtenons trois paires d’intersections de points pour un total de six sommets qui font partie de deux histoires à la fois. Reprenons à partir de l’histoire décrite précédemment, mais en ajoutant un personnage : l’enfant du couple. Déjà la forme linéaire d’un simple texte ne suffit plus à bien présenter les différentes scènes et leurs successions. La figure 21 avec son annotation exprime par elle-même l’histoire. Nous avons à l’aide d’un modèle simple une histoire qui confirme l’affirmation de Chris Ware : «Drawing is a way of thinking» (Cité par Raeburn dans Ball et Kulhman, p. XIX) La complexité de ce type d’histoire justifie l’analyse des histoires cycliques principalement dans le domaine de la bande dessinée puisqu’elles sont beaucoup plus compréhensibles dans ce médium. Nous obtenons une histoire très compliquée du point de vue littéraire, mais qui se comprend très bien en tant que graphe schématisé sur le plan (34).

Figure 22

Figure 21: Schéma de l’histoire

Nous pouvons encore complexifier les contraintes avec lesquelles nous travaillons par les dallages du plan. Débutons par le dallage de la courbe paramétrée à l’aide des cases et passons ensuite au dallage du plan par les courbes. Un dallage, ou pavage, en bande est une organisation de figures géométriques sur une bande de sorte qu’aucun espace ne soit laissé vacant et en évitant toute superposition (35).(Stein et Szambó, p. 19). En collant des carrés l’un à la suite de l’autre nous arrivons à construire un tel pavage. Du point de vue strictement mathématique, nous pouvons ajouter la nuance de n’avoir aucune superposition de points pour construire des pavages parfaits (Delahaye novembre 2007, p. 154). Cette distinction empêche notamment de superposer les arêtes des carrés dans notre dallage. Dans notre modèle, l’ajout de cette contrainte est facultatif. Il peut être utile pour l’auteur d’avoir des arêtes disjointes ou des arêtes superposées. Nous verrons plus loin en quoi ces distinctions peuvent avoir des implications au niveau de la structure de l’histoire. Nous avons vu des exemples de pavages du plan à l’aide de spirale au dernier chapitre : la spirale infinie de la figure 41 (chapitre 2) pourrait finir par paver le plan au complet, de même pour le support du jeu Wallis’ New Game of Universal History and Chronology si la spirale suivait son cours vers l’infini.

Nous nommons périodiques ou monohédraux les dallages qui sont effectués à partir de figures semblables (Gao, shi et Yan, p. 124). Il existe en fait une panoplie de dallages non périodiques et d’approches afin de les identifier (36). Nous nous limitons aux pavages qu’il est possible de construire par symétries, car ils forment les cas les plus simples et les plus facilement adaptables à la narratologie. De point de vue des symétries possibles sur la bande, il existe sept manières différentes de couvrir la bande à l’aide de symétries (Conway et Huson, p. 255). Cette classification ne dénombre pas toutes les cases possibles pour effectuer les dallages, mais simplement les types de symétries applicables. La figure 22 démontre les sept types de symétries possibles.

Figure 23

Figure 22 Les septs pavages périodiques d’une bande par des figures congrues. Sur la page de Carlo H. Sequin. Source :

Un principe similaire existe pour le dallage du plan. Polya et Haag ont dénombré les 17 pavages symétriques du plan dans une étude sur la cristallographie qui influença grandement Maurelus Escher qui avait quant à lui trouvé 16 de ces 17 pavages par lui-même avant de consulter l’article de Polya (Schattschneider 1992, p. 23-30). En se référant à la figure 23, nous identifions ces pavages par les noms inscrits sous leurs représentations. Les nombreuses notations qui existent pour classifier les dallages du plan sont fort utiles pour des généralisations qui pavent d’autres surfaces mathématiques que le plan, mais cette notation simple nous suffit (37).

Figure 24

Figure 23: Les dix-sept pavages périodiques du plan par des figures congrues. Tiré du livre de Schattschneider

Revenons sur un aspect important. Nous savons que le cadre de la case délimite l’espace intérieur et extérieur de la case. De manière similaire, en construisant une histoire cyclique simple, c’est-à-dire sans autre point d’intersection que son début et sa fin, nous délimitons un espace intérieur et extérieur à cette histoire cyclique. Nous déduisons deux conséquences directes de ce principe. Premièrement, il est possible d’utiliser ces deux espaces à des fins narratives. Dans le cas des récit-cartes, ces espaces peuvent facilement prendre un sens important. Par exemple, en prenant l’espace intérieur comme le paradis et l’espace extérieur comme l’enfer, nous pouvons construire l’histoire d’un personnage qui est pris dans ce cycle infini qui le fait balancer entre ces deux destinées. Ces espaces peuvent également servir à présenter d’autres cycles qui ne sont pas en intersection avec notre cycle initial.

Figure 25

Figure 24: Exemple de pavage à l’aide du morlaque de Gerner.


Nous déduisons également qu’il est possible d’effectuer des dallages du plan à l’aide de courbes paramétrées fermées et les espaces intérieurs à celles-ci. Dans ce cas, la superposition d’arêtes peut s’avérer un aspect important. Comparons deux exemples. En prenant une histoire cyclique simple proposée par Gerner dans l’Oupus 3 (OuBPo 2000, p. 30) (Figure 24) La forme parfaitement rectangulaire de la suite de cases permet d’en prendre des copies conformes et de les juxtaposer en ses quatre côtés. En répétant indéfiniment ce processus, nous obtenons un pavage du plan avec des translations horizontales et verticales de l’histoire originale (ce qui revient au pavage C1 de la figure 23). Or, l’extension de ce cycle à l’infinité du canevas est somme toute superflue puisqu’elle n’ajoute pas à la structure de l’histoire, elle ne devient qu’un outil esthétique. Cependant, si nous ajoutons les contraintes suivantes nous obtenons déjà une structure plus intéressante : les paires d’arêtes opposées doivent être exactement les mêmes et doivent être des palindromes. L’ajout de ces contraintes permet désormais de superposer les côtés des cycles que nous ajoutons pour paver le plan.

Nous avons analysé certaines propriétés des courbes en lien avec leur support, le plan. Nous avons vu par exemple qu’une courbe simple fermée sépare le plan en deux sections distinctes, l’intérieur et l’extérieur du plan. Nous avons également exploré les différentes méthodes pour recouvrir le plan, soit à l’aide des courbes de Peano, courbes pour lesquelles l’histoire doit être pensée comme la limite à l’infini d’une suite de courbes itératives, soit à l’aide de la disposition des cases comme dans le cas de la spirale de Joe Matt, soit par la disposition de cycles et de leurs espaces intérieurs comme dans l’exemple de notre pavage du plan à l’aide de concaténation de l’histoire cyclique de Gerner.

Nous étudions à présent une certaine relation qui existe entre les graphes et les surfaces sur lesquelles nous les représentons. Isaac Cates décrit la grammaire des comics et des diagrammes comme « their shared reliance on juxtapositions or continuities in two-dimentional space to indicate connections of meaning» (Cates, p. 95). C’est la limite de la relation à l’espace à deux dimensions que nous allons étudier. Nous précisons par le concept de planarité l’implication de cette présence sur une surface à deux dimensions lorsque les connexions sont celles d’une continuité temporelle. L’application au concept plus large de diagramme sera discutée par la suite en analysant des planches de Chris Ware.

Figure 26

Figure 25: Le graphe complet sur quatre sommets

Nous définissons l’homotopie de chemin comme la déformation continue d’une courbe paramétrée (Munkres, p. 323), et par conséquent de l’arête d’un graphe. Cette déformation continue implique qu’aucune coupure ou collage ne peut être fait à partir de la première courbe afin d’obtenir la deuxième. Un segment rectiligne est homotopique à un segment en zigzag qui débute et se termine aux mêmes points que le segment rectiligne. Une homotopie permet également de transformer un chemin en un seul point. Lorsque nous voulons souligner qu’une arête doit être conservée dans son intégrité, mais qu’elle peut tout de même être déformée de manière continue, nous utilisons le terme homéomorphique (Reinhardt et Soeder, p. 51). Nous disons d’un graphe qu’il est planaire s’il est possible de le présenter sur le plan de sorte que, visuellement, toutes les intersections d’arrêtes soient des sommets. Le graphe d’un carré et de ses deux diagonales, le graphe complet sur quatre sommets, est un graphe planaire puisque nous pouvons trouver une arête homéotopique (ou homéomorphe) à l’une des diagonales afin d’avoir une représentation qui exclue les croisements qui ne sont pas des sommets. (Figure 25) Un exemple de graphe non plantaire est le graphe complet sur cinq sommets, c’est-à-dire le graphe dont les cinq sommets sont connectés par une arête aux quatre autres. Autrement dit, la distance entre chaque point du graphe est de un. La caractéristique du graphe complet sur cinq points, K₅, d’être non planaire est indépendant de tout homéomorphisme : tout graphe dont la structure équivaut à celle de K₅ est non-planaire. Il n’existe donc aucune manière de dessiner ce graphe dans le plan sans avoir des intersections d’arêtes qui ne soient pas des sommets. Un graphe biparti est un graphe formé de deux groupes de points qui ne possèdent aucune arête entre eux. (Figure 26) Le graphe complet biparti sur deux groupes de trois sommets possède aussi la caractéristique d’être non-planaire. Nous verrons en quoi ce critère de planarité devient important lorsque nous construisons des histoires complexes. Étudions quelques propriétés de la planarité.

Figure 27

Figure 26:Graphe complet bibarti sur deux groupes de 3 points.

Tout d’abord, en omettant l’orientation possible des arêtes d’un graphe planaire, nous savons qu’un arbre est un graphe planaire. Si un arbre est planaire et orienté, il peut tout de même contenir des cycles lorsque nous oublions l’orientation. De plus, un graphe peut contenir des cycles qui eux, selon le théorème de Jordan, séparent le plan en régions. Or, le nombre de régions ne dépend pas de la représentation planaire choisie du graphe (Harris, Hirst et Mossinghoff, p. 76). Par exemple, le graphe complet sur quatre sommets possède toujours quatre régions peut-importe la représentation planaire que nous lui donnons. Un théorème d’Euler pour les graphes planaires assure cette constance (38). De plus, si un graphe est planaire, il contient un sommet dont le degré ne peut dépasser cinq (Harris, Hirst et Mossinghoff, p. 79). Une autre caractéristique est qu’un graphe est planaire si et seulement si tous ses sous-graphes sont planaires. La propriété d’être planaire dépend donc de sa structure, des différents liens qui existent entre ses sommets. Ces résultats sont alors consistants pour toutes les courbes homéotopiques ou homéomorphes formant ses arêtes. C’est-à-dire que nous pouvons transformer une représentation non-planaire d’un graphe en une représentation planaire si et seulement si ce graphe possède les propriétés structurelles d’un graphe planaire. En général, des spécifications géométriques sur les arêtes ne sont pas incluses. Elles peuvent toutefois servir à ajouter des éléments à la structure de l’histoire. Par exemple, on sait qu’un graphe est maximal si tous ses sommets sont de degré trois; le graphe est une triangulation (Ore, p. 6). Si le graphe contient un nombre infini de sommets et que l’on admet que les arêtes sont des segments de droites, alors nous obtenons un pavage du plan par des triangles quelconques. Si nous obligeons de plus ces segments à être tous de la même longueur, nous obtenons alors un pavage périodique du plan par des triangles équilatéraux.   L’ajout de critères géométriques tels que la rectitude des arêtes ou la distance euclidienne entre les sommets redéfinit les frontières qui séparent les graphes planaires et non-planaires. Notamment, l’emploi unique de segments rectilignes augmente le nombre de croisements qui ne sont pas des sommets (Bondy, p. 273). L’ajout de la contrainte d’avoir des arêtes isométriques est un exemple de contraintes géométriques qui sort le graphe complet sur quatre sommets de la catégorie des graphes planaires. Cependant, tout graphe planaire à une représentation rectiligne (39) (Bollobàs, p. 22).

L’étude des graphes planaires mena également au théorème des quatre couleurs, théorème qui peut s’avérer utile en narratologie. Ce théorème qui resta longtemps une conjecture stipule qu’il est possible de colorier l’intérieur des cycles de tout graphe planaire avec quatre couleurs de sorte que les couleurs de part et d’autre de chaque arête soient toujours différentes. Le problème est parfois nommé le problème de Guthrie, du nom d’un étudiant qui questionna Auguste de Morgan à ce sujet. De Morgan mentionna le problème à William Rowan Hamilton, mais le problème demeura inconsidéré. Il fallut attendre sa mention par Arthur Cayley en 1879 pour que les tentatives de résolution se multiplient (Ore, p. xi-xii). Finalement, après de nombreuses tentatives infructueuses, c’est Kenneth Appel et Wolfgang Haken qui prouvèrent la conjecture en 1976. Le théorème des quatre couleurs devient utile en narratologie lorsque nous associons les couleurs à des lieux ou à des états. Pour en revenir avec une représentation du paradis et de l’enfer autour d’un cycle, ce théorème implique que peu importe le graphe planaire sur lequel nous travaillons, si nous ajoutons deux espaces possibles entre les cycles, par exemple les limbes et le purgatoire, il nous sera possible d’avoir deux espaces différents de part et d’autre de chaque arête.

L’avantage d’analyser des histoires par leur planarité permet déjà une certaine classification. Par exemple, une fois que nous connaissons notre graphe planaire, nous pouvons définir le nombre maximal de cycles qui peuvent être construits dans ce graphe (Alfed et Thomasse, p. 255-263). Puisque dans le cadre de la bande dessinée, nous étudions des graphes dont les arêtes sont habituellement orientées, nous devons souligner que l’orientation des arêtes d’un graphe ne modifie en rien sa planarité.

Figure 28

Figure 27:Schéma de Queneau complété par Berge

Analysons un premier exemple qui sort de la plume de Raymond Queneau et dont Claude Berge souligna l’importance dans Raymond Queneau et la combinatoire, le numéro 89 de la bibliothèque oulipienne. Après avoir assisté à une conférence de Berge, Queneau décida de représenter la structure macroscopique de son Conte à votre façon. La fin de 19 des 21 paragraphes du texte contient des informations qui dirigent le lecteur vers un paragraphe de son choix. Queneau décida donc de «représenter par un graphe le déroulement des aventures de ces trois petits pois…» (Berge, p. 11). Queneau fit parvenir à Berge un graphe représentant la structure de l’histoire, mais omis d’étiqueter les sommets et d’orienté les arêtes conformément aux ordres de lectures possibles. Claude Berge termina cette besogne ce qui donna le graphe de la figure 27 (Berge, p. 26). Nous remarquons en premier lieu que le graphe est planaire puisqu’aucune des arêtes ne se croise sans former un sommet. Ce fait est pour le moins particulier pour une histoire aussi complexe puisque Queneau n’en a construit le graphe qu’a posteriori. Nous précisons également que ce graphe n’est pas un arbre orienté puisqu’il existe des boucles entre les paires de sommets 7-8 et 13-14. Malheureusement, malgré cette méthode simple et efficace, il ne semble pas que Queneau ait poursuivi cette approche par la suite. En s’adressant à Berge, il a cependant souligné l’importance de certaines caractéristiques des graphes qui pourraient servir à l’étude des histoires : «je serais curieux de connaître pour ce graphe les valeurs des coefficients ‘‘classiques‘‘ dont vous nous avez parlé, le nombre chromatique, le nombre de connexités, etc. » (Berge, p. 11). Le nombre chromatique représente le nombre minimal de couleurs pour colorer les sommets d’un graphe de sorte qu’aucun sommet adjacent ne possède la même couleur (Bondy, p. 357-358). Nous avons déjà vu dans ce chapitre comment le coloriage des arêtes peut s’avérer utile, ce qui semble confirmer l’intuition de Queneau sur le sujet ; nous pourrions construire une histoire en donnant une valeur sémantique à chaque couleur (par exemple rouge pour rencontre amoureuse) et l’utilisation du nombre chromatique pourrait alors servir à s’assurer qu’aucune rencontre de même type de se succèdent. Ajoutons qu’à partir du graphe offert par Queneau, nous pourrions facilement construire une version en bande dessinée de l’histoire de Queneau.

Nous avons déniché quelques exemples de bande dessinée, ou plutôt des planches de bande dessinée qui malgré leur grande complexité demeurent dans la catégorie des graphes planaires. Ces planches sortent d’un auteur dont Martha R. Kuhlman releva les liens avec des groupes comme l’Oulipo et l’Oubapo ainsi que la nature plus expérimentale de son approche : «Ware has been consistently interested in comics that violate the reader’s expectations…» (Kulhman, p. 83).

Figure 29

Figure 28:Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth New York: Pantheon Books. © Chris Ware

La figure 28 présente une page de la bande dessinée Jimmy Corrigan : The Smartest Kid on Earth de Chris Ware (2000, p. 359). Plusieurs des flèches de cette page en diagramme sont en fait des flèches d’inclusion, mais cela ne nous empêche pas de voir entre les différentes suites de cases des courbes paramétrées qui les sous-tendent. Certaines lignes sont disposées sur la page de sorte à croiser d’autres segments. Or, en déplaçant quelque peu les flèches, donc en représentant à leur place des courbes homotopiques, mais en gardant la structure même du récit, nous trouvons que le graphe qui se cache derrière l’histoire est un graphe planaire.

Figure 30

Figure 29:Ware, Chris. 2003. Quimby the Mouse. Seattle: Fantagraphics Books. © Chris Ware

Nous pouvons appliquer plusieurs autres opérations afin de simplifier la structure d’un graphe. Cela devient utile dans l’analyse de certaines structures. Premièrement, si un sommet est d’ordre deux, nous pouvons simplement l’omettre et tracer une arête directement entre ses sommets incidents, le résultat sera planaire puisque tous chemins sont homéomorphes entre eux (Gross et Tucker, p. 18). Dans le cas de l’analyse de planches comme celle de Ware, cela ne change en rien la structure du temps de l’histoire puisque l’opération revient à simplement inclure la case dans son segment de courbe paramétrée. Nous pouvons également supprimer les feuilles, les sommets incidents à une seule arête. Cela revient à dire que ces segments sont homotopiques à un point, celui du sommet précédant la branche de la feuille. Finalement, nous pouvons trouver des segments homéomorphes et les disposer autrement. L’application d’une série de ces opérations permet de classifier des histoires complexes de par leur planarité. Par exemple, nous pouvons modéliser la page 11 de Quimby The Mouse de Chris Ware (Figure 29) par le graphe de la figure 30. Une suite d’opérations permet ensuite de transformer ce graphe en celui de la figure 31.

Figure 30a

Figure 30: Schématisation de la figure 29

Figure 31

Figure 31: Graphe simplifié de la figure 30


Figure 32

Figure 32: Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth.New York: Pantheon Books. © Chris Ware

Par conséquent, la structure temporelle de cette page est planaire. La représentation graphique schématiser des plages de Ware n’est cependant pas toujours aussi simple. La structure de la planche de la figure 32 laisse une double interprétation en fonction de l’interprétation que nous donnons à la case centrale dans lequel Jimmy est détaché de la photo à la gauche de la case. Il est possible de décider de juxtaposer ces deux images en suivant l’indice visuel qui laisse comprendre qu’ils sont originalement dans une même case, ou nous pouvons choisir de nous en tenir qu’à la structure en diagramme proposée par les différentes flèches. Les planches les plus complexes de Quimby the Mouse comportent en général les mêmes relations problématiques. (Figure 33)

Figure 33

Figure 33: Ware, Chris. 2000. Jimmy Corrigan: The Smartest Kid on Earth.New York: Pantheon Books. © Chris Ware

Comme le démontre le dernier exemple, les planches sous forme de diagramme produites par Ware échappent à notre modèle. La raison principale est que les flèches de ses diagrammes suggèrent souvent des relations autres que celle de temporalité (Cates, p. 91). Aux relations associatives, analytiques et métonymiques mentionnées par Cates, nous ajoutons celle d’inclusions. Les schémas de Ware sont souvent superposés à des images de fond auxquelles les cases sont associées. Ces histoires sont alors des récits-cartes qui compliquent l’interprétation que nous pouvons faire de la structure de l’histoire. Par exemple, si nous travaillons sur le graphe complet sur quatre sommets, l’ajout de la carte comme support peut imposer une construction non planaire de l’histoire si les diagonales du carré doivent obligatoirement demeurer à l’intérieur du carré.

Un théorème important définit les critères absolus de planarité. Ce théorème découvert indépendamment par le polonais Kazimierz Kuratowski et par le russe Lev Pontryagin (Delahaye 2008, p. 92) stipule qu’un graphe est planaire si et seulement si il ne contient aucune copie homéomorphe du graphe complet sur cinq points, K₅, ou du graphe complet biparti sur deux ensembles de trois points K₃,₃, le graphe de Thomsen (Bollobàs, p. 23). Nous devons préciser ici ce que contenir veut dire. Nous disons qu’un graphe A’ est le sous-graphe d’un graphe A si nous pouvons l’obtenir à partir de A par le retrait de sommets et des arêtes incidentes à ces sommets et en appliquant les opérations préalablement mentionnées dans l’analyse de la page de Quimby the Mouse. Il existe un équivalent au théorème de Kuratowski qui démontre cette caractérisation de la planarité par les graphes mineurs (40) (Bondy, p. 268). Ce théorème est dû à Klaus Wagner. Nous devons préciser que la présence des graphes K₃,₃ ou K₅ n’implique pas obligatoirement la présence d’un cycle puisque l’orientation des arêtes peut proscrire les cycles. Une fois qu’un graphe est défini comme non-planaire, il est possible de définir le nombre minimal de croisements lorsque nous présentons ce graphe dans le plan (Bondy, p. 248).

Figure 34

Figure 34 Friedrich Strass: Storm der Zuiten (Stream of Time). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Chris Ware n’a pas inventé la représentation du temps sur des graphes non planaires. La complexité de la représentation de l’histoire à l’aide de chartes par les historiens mena à de telles difficultés. La publication de la charte Storm der Zuiten (Stream of Time) par Firedrich Strass en 1804 (Figure 34) influença toute une vague de chartes dans laquelle le temps s’écoule le long de cours d’eau, d’arbres ou d’éclairs comme dans le cas de la charte de Strass (Rosenberg et Grafton, p. 143-147). La complexité de l’histoire implique que ces flux se croisent à maintes reprises. Dans la majorité des cas, les intersections de flux sont des éléments qui représentent des moments de l’Histoire. Malgré tout, quelques sections de ces chartes représentent des passages de flux sur et sous un autre flux, ou en langage de la théorie des graphes, des arêtes se croisent, mais cette intersection ne forme pas un sommet. Nous trouvons de tels exemples dans les chartes Strom des Zuiten de Strass, A Chronological, Historical and Biographical Chart (1807) par Stepehn et Daniel Dod (Figure 35), Chronology Delianated to Ilustrate the History of Monarchial Revolutions (1812) par Isaac Eddy (Figure 36), dans Epitome of Ecclesiastical History (1806) par David Rowland et dans le travail de James Goerge Roche Forlong sur le développement des religions (Rosenberg et Grafton, p. 143-149).

Figure 35

Figure 35: Stepehn et Daniel Dod ,A Chronological, Historical and Biographical Chart (1807). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 36

Figure 36: Isaac Eddy, Chronology Delianated to Ilustrate the History of Monarchial Revolutions (1812). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Le livre de Rosenberg et Grafton offre une liste de schémas temporels dont plusieurs sont non-planaire, notamment Fluxus (Its Historical Development and Relationship to Avant Garde Movements) (1966) de George Macianus qui approchait la création de chartes en tant qu’art et permet l’extension et l’appréciation des principes de Priestley (Rosenberg et Grafton, p. 232-233).(Figure 37) Les mêmes remarques peuvent être appliquées aux chartes Cubism and Abstract Art d’Alfred H. Barr (Figure 38) et celle sur l’histoire de l’art d’Eric Newton (Rosenberg et Grafton, p. 222 et 225). (Figure 39)

Figure 37

Figure 37 : George Macianus, Fluxus (Its Historical Development and Relationship to Avant Garde Movements) (1966). Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 38

Figure 38: d’Alfred H. Barr, Cubism and Abstract Art. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

Figure 39

Figure 39: Schématisation de l’histoire de l’art par Eric Newton. Rosenberg, David and Anthony Grafton. 2010. Cartographies of Time: A History of the Timeline. New York: Princeton Architectural Press.

À ce jour, ce qui constitue peut-être la construction la plus élaborée d’une structure d’histoire non planaire est probablement Meanwhile (2010) de Jason Shiga. La structure de Shiga admet 3 856 histoires différentes qui s’étale dans un réseau complexe qui fait de nombreux va-et-vient entres les pages de la bande dessinée. L’ouvrage de Paul Gravett procure une charte globale de l’histoire de Shiga qui permet d’apprécier les nombreuses ramifications de l’histoire. (Figure 40)

Figure 40

Figure 40: Jason Shiga, Meanwhile. Tiré de l’ouvrge de Gravett © 2010 Jason Shiga

Nous analysons dans cette fin de chapitre les structures globales des histoires des films Primer (2004) de Shane Carruth, Triangle (2009) de Christopher Smith et de Looper (2012) de Rian Johnson. Nous nous intéressons à ces films pour plusieurs raisons. Ces trois films contiennent des histoires très complexes. Nous savons que ces histoires contiennent des boucles temporelles, ou des cycles dans notre modèle, mais le nombre exact de ces cycles demeure obscur. De plus, nous ne savons pas s’il est possible de représenter les trames temporelles à l’aide de graphes planaires. Nous allons voir comment la structure globale de ces histoires est pratiquement impossible à deviner de sorte que, malgré la grande qualité de ces films, le spectateur ne peut pas deviner ces structures.

Le film Primer relate l’histoire de deux amis ingénieurs, Aaron et Abe respectivement interprété par Shane Carruth et David Sullivan, qui mènent des expériences afin de breveter des inventions qui pourraient trouver application sur le marché. L’une de ces expériences proposées par Aaron permet la modification du continuum temporel et le voyage dans le passé. Le retour en arrière leur permet de modifier le cours des choses, mais le futur de ces évènements n’est pas spécifié. Les protagonistes réalisent que la connaissance des évènements à venir leur permet de faire beaucoup d’argent à la bourse. Plus le film avance, et plus les personnages font divers voyages qui rendent l’histoire extrêmement complexe. Pour ajouter à cette difficulté, les personnages s’aperçoivent qu’il est possible de mettre une boîte dans une autre boîte pour amplifier le voyage temporel et retourner encore plus en amont dans le temps. Depuis sa sortie en 2004, le film a fait couler beaucoup d’encre. Plusieurs internautes ont tenté de représenter la structure globale de cette histoire par des diagrammes. (Figures 41- 46)

Figure 41

Figure 41: Tom-B. Schéma du voyage temporel dans Primer. Source : Wikipedia, article sur Primer.

Figure 42

Figure 42: Schéma du voyage temporel dans Primer. Source :

Figure 43

Figure 43: Schéma de l’histoire de Primer. Source:

Figure 44

Figure 44: Schéma de l’histoire de Primer. Source:

Figure 45Figure 45: Schéa de l’histoire de Primer. Source :

Figure 46

Figure 46: Schéma de l’histoire de Primer. Sources : et

Les premiers diagrammes intéressants présentent le fonctionnement de la création d’une boucle temporelle (41). Comme dans le cas de Source Code, il y a création d’une nouvelle lignée temporelle, ou de manière équivalente la courbe temporelle embarque sur une ligne de temps différente parallèle à la première. Encore une fois, dans cette construction il y a présupposition que la ligne temporelle créée est équivalente à l’état des choses avant le voyage dans le temps. Notons également qu’à chaque boucle du film, l’auteur respecte le principe de Novikov. Même si diverses versions des personnages coexistent dans une diégèse pour un certain temps, ces personnages s’arrangent en général pour s’éviter. Les complications débutent lorsque nous représentons la structure globale de l’histoire. Les figures 43-46 montrent des tentatives de représenter l’histoire dans son ensemble. L’une des grandes difficultés est qu’il ne nous est pas possible de savoir exactement combien de voyages sont faits par chaque personnage. Même dans la charte la plus complète (Figure 46), cette difficulté est soulignée ( Cela nous empêche entre autres d’affirmer qu’il existe réellement neuf trames temporelles. Neuf semblent suffirent pour expliquer l’ensemble de l’œuvre, mais rien ne confirme l’exactitude de ce nombre. Le film Primer démontre bien la problématique du choix du médium dans la présentation d’une histoire. Le format du film permet de maintenir le suspense en construisant morceau par morceau la structure complexe de l’histoire alors que le choix d’une présentation sous forme similaire à la bande dessinée à l’aide de courbes paramétrées permet sa compréhension en profondeur.

La plupart des témoignages sur le film indiquent que malgré un visionnement assidu et une consultation des différentes constructions schématisées de l’histoire, la compréhension du film demeure incomplète. Le choix du recours à une cartographie de l’histoire semble la solution commune afin de pallier ce manque de clarté de l’histoire. Malgré quelques détails qui demeurent impossibles à confirmer, l’ensemble de l’histoire prend une plus grande valeur, lorsque transposée en bande dessinée.

Le film Triangle relate l’histoire de Jess et un groupe d’amis qui partent en voilier sur l’océan. Après une terrible tempête, ils sont rescapés par un navire étrange. Un meurtrier est présent sur ce navire et Jess doit réussir à survivre. Or, plus tard dans le film on voit que le même groupe d’individus, des doubles d’eux-mêmes, a subit le même sort et sera récupéré par le même navire. Après de nombreuses complications, Jess tombe à l’eau et se réveille sur une plage. Elle retourne alors à son domicile ou elle rencontre une autre version d’elle-même qu’elle assassine. Elle prend ensuite la voiture pour aller jeter le cadavre à la mer, mais a un accident sur le chemin. Désorientée, elle marche jusqu’au voilier où l’attendent ses amis et repart au large comme au début du film. Dans ce cas, il y a une boucle principale de l’histoire qui est celle de la version de Jess que l’on suit tout au long du film. Il existe également deux autres versions de Jess importante : celle du domicile qui meurt à chaque cycle, ainsi que celle que l’on voit venir au bateau durant le film. Le réalisateur laisse la trace que cette version de Jess est vouée à une destinée différente, celle de mourir sur le navire, en montrant le groupe d’individus arriver à la droite du navire plutôt qu’à la gauche comme initialement. De plus, il est à souligner que différents moments de la boucle principale se superposent sur le navire, c’est-à-dire que deux versions de Jess de la boucle principale sont présentes sur le navire pour un certain temps. Le film ne semble pas avoir suscité le même intérêt que Primer, mais sa complexité en boucle justifie une présentation de l’histoire en courbes paramétrées. Nous offrons des interprétations simplifiées en la figure 47.

Figure 47

Figure 47: Quelques représentations possibles de la courbe temporelle du personnage principal du film Triangle.

Finalement, le film Looper (2012) de Ryan Johnson utilise également de nombreuses boucles temporelles ainsi que plusieurs lignes que temps. Le diagramme de Rick Slusher (Figure 48) utilisée pour décrire la structure de l’histoire du film représente cette fois la notion de sculpture narrative. En effet pour minimaliser le nombre de croisements inutiles entre les courbes paramétrées, Slusher utilise une représentation tridimensionnelle des différentes courbes présentes dans l’histoire (42). Cette construction devient littéralement une sculpture narrative ; narration dont le choix de la surface de présentation devient important à sa compréhension.


Figure 48: Schéma de l’histoire de Looper par Rick Slusher. Source:

Nous avons exploré dans ce chapitre deux conséquences de la complexification de la structure du graphe sur lequel nous pouvons construire ou concevoir une histoire. Une première conséquence est l’apparition de cycles sur le graphe non orienté, ce qui n’implique pas obligatoirement que l’histoire, elle, contiendra un cycle. Par concaténation de segments rectilignes, nous avons vu que la création de cycles n’oblige pas l’utilisation d’un temps angulaire tel que présenté au premier chapitre. Une seconde conséquence est l’éventuelle déplanarisation de la structure de l’histoire. Cette double complexification de la structure macroscopique de l’histoire nous oblige dès lors à reconsidérer le concept de canevas infini : dans le cadre où nous voulons construire sur un tel échafaudage, le choix de considérer le canevas infini au delà d’une vision planaire. Nous avons vu aussi que, avec une complexification de l’histoire, le choix du médium devient crucial pour favoriser sa compréhension telle qu’il en a été avec les chartes du temps de l’histoire pour les films Primer, Source Code et Looper. L’analyse des structures planaires permet de piger dans un bagage de théorèmes qui peuvent enrichir l’arthrologie des cases. Nous avons brièvement vu comment les notions de coloriage des sommets et des arêtes peuvent servir cette idée. Notons qu’une panoplie d’autres notions pourraient agrémenter la recherche dans cette direction : dualité, double recouvrement par cycle, spanning tree et bien d’autres. À l’inverse, le choix de travailler sur un graphe non planaire mène également à de nouvelles possibilités, nous analysons ce cas dans le prochain chapitre.


29- Des listes d’œuvres littéraires et filmiques qui font usage du voyage temporel peuvent être consultées aux pages suivantes : et

30- Des images peuvent être observées sur leurs sites respectifs: et


32-Traduction libre de l’auteur de winding number.

33-Ce résultat découle des deux racines possibles de la formule quadratique.

34-Nous pourrions considérer ce graphe schématisé comme un cas planaire de sculpture narrative.

35-Traduction libre de l’auteur.

36-Voir par exemple l’article suivant : Delahaye, Jean-Paul. 2013. « La quête du pavé apériodique unique». Pour la Science, n˚433 (Novembre), p. 124-129.

37-Les notations de Conway, de Coxeter et de Schonflies sont les principales notations alternatives.

38-La notion de région est ici quelque peu élargie. Une région est simplement l’espace défini par un cycle.

39-Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Fary.

40-Un graphe mineur est obtenu à partir d’un graphe par suppression de sommets, d’arêtes et par contraction d’arêtes. Un sous-graphe ne permet pas l’utilisation de contraction d’arêtes.

41- et


Narration et mathématiques: L’utilisation des graphes au cinéma et en bande dessinée (Chapitre 1)


(La verion originale du mémoire peut être consultée ici:

Les approches interdisciplinaires, malgré les nombreuses difficultés qu’impose la double migration d’un vocabulaire spécialisé et qui résulte, inévitablement, de méthodologies qui diffèrent autant par leurs formes que par leurs objectifs, possèdent l’avantage de créer un lieu commun de discussion à partir duquel de nouvelles avenues peuvent être explorées. Les arts visuels et les mathématiques ont souvent profité de ces rapprochements qui ont su tisser des liens qui semblent désormais naturels tant leur mariage s’est avéré profitable. L’étude de la perspective vient couronner une telle approche. L’influence de ces rapprochements proposés à la Renaissance -entre le modèle mathématique de la perspective et le modèle issu de la théorie de l’art- sont à voir autant dans les peintures de l’époque que dans la création des environnements virtuels de nombreux films, jeux vidéo et autres dispositifs immersifs. Or, ces rapprochements ne se limitent pas simplement à la représentation de l’espace. Par exemple, la notion de symétrie, très riche dans l’art visuel non figuratif, est sujet d’étude dans plusieurs branches des mathématiques dont la géométrie et la théorie des groupes sont les chefs de file. Ces points de rencontre sont traités principalement du point de vue de la forme et de la nature de l’image, par conséquent la narratarologie s’en retrouve quelque peu exclue.

Dans ce mémoire, nous proposons une perspective commune entre les mathématiques et la narratologie, ce que nous pourrions nommée une narratologie mathématique. L’objet de cette recherche se restreint aux histoires en images, principalement à celles de la bande dessinée. Nous démontrons dans ce travail comment divers résultats issus des mathématiques permettent l’analyse de certaines structures narratives et, surtout, ouvrent la voie vers un grand nombre d’explorations. Par conséquent, le but de cette recherche est double. En premier lieu, il nous proposons un modèle d’analyse et, en second lieu, à partir de ce modèle nous proposons de nouvelles narrations. Nous divisons ce mémoire en quatre chapitres. Le premier présenter es principaux concepts qui seront utilisé dans les chapitres suivants. Nous y construisons également le modèle qui sera utilisé dans les trois autres chapitres. Nous conservons volontairement un point de vue abstrait dans ce premier chapitre car la présentation détaillée et appuyée d’exemples s’étale sur la suite du mémoire. Les chapitres deux et trois traitent principalement des histoires dont la structure reste relativement simple. Le chapitre trois, en introduisant les histoires cycliques, mène vers l’analyse de la complexité d’une histoire par l’analyse de certaines caractéristiques propres à ce support. L’analyse des histoires sur différents supports justifie l’analyse du point de vue des mathématiques. Le dernier chapitre présente le potentiel inexploré des narrations basées sur notre modèle en lien avec l’utilisation de différents supports.

Nous ne prétendons pas présenter la liste complète des différentes expérimentations reliées aux aspects traités dans chaque chapitre. La forme de base de l’argumentation de ce mémoire est constructiviste, par conséquent les exemples mentionnés servent en premier lieu à démontrer qu’il est possible d’appliquer le modèle d’analyse et en second lieu à démontrer qu’il est possible de construire de nouvelles narrations basées sur ces observations. Une liste exhaustive de ces différentes expérimentations s’avèrerait fort utile pour de futures recherches, mais tel n’est pas le cas pour le présent travail.

Chapitre 1 : Les fondements théoriques

Tel que mentionné dans l’introduction, cette recherche vise deux objectifs. Le premier est de développer un nouvel instrument d’analyse narratologique appliqué principalement aux domaines du cinéma et de la bande dessinée.

Le rapport particulier qu’entretient la bande dessinée avec la notion de surface place ce médium au centre de cette recherche. La surface du dessin, pour des raisons techniques, existe sous une multitude de formes qui motivent l’exploration faite dans ce mémoire. L’analyse peut évidemment s’élargir pour s’appliquer au domaine de l’étude littéraire, mais il n’en sera pas question directement ici puisque nous voulons principalement étudier le rapport entre l’image figurative et sa surface de représentation. Pour cette raison, nous puiserons principalement nos exemples dans les domaines du cinéma et de la bande dessinée. Dans le but de démontrer l’utilité de notre méthode d’analyse, nous analyserons la trame temporelle de trois films : Triangle (2009) de Christopher Smith, Primer  (2004) de Shane Carruth et Looper (2012) de Rian Johnson. Dans le cas de la bande dessinée, nous étudierons principalement des planches de Chris Ware ainsi que le travail de L’Ouvroir de Bande Dessinée Potentielle, l’OuBapo. Le collectif oubapien travaille principalement en Europe et une documentation plus complète sur son équivalent en Amérique du Nord se fait encore attendre, cela explique que les exemples seront essentiellement européens. Ces œuvres que nous analyserons ne couvrent malheureusement pas la totalité de ce qui peut être traité du point de vue de l’analyse, ce qui explique la deuxième intention de cette recherche, celle d’une exploration des potentialités narratives.

En plus de développer un nouvel outil d’analyse, nous proposerons des narrations basées sur les différentes observations qui seront faites dans l’élaboration de la théorie et de la présentation d’un modèle. Conformément à la définition du mot, le modèle sert autant à comprendre des narrations existantes qu’à prédire des narrations potentielles (1) (Herman, p. 452). Dans notre cas, la compréhension est celle des narrations que nous mentionnerons dans le texte et les prévisions sont les nouvelles narrations qui seront déterminées comme possibles selon ce modèle. Ces exemples pourraient être plus nombreux, mais nous nous limiterons à un petit nombre qui se démarquent par leur pertinence. Ils se veulent de nouvelles explorations dans le domaine des arts.

Dans le but de se procurer des exemples pertinents, nous avons fait des recherches dans un grand nombre d’ouvrages sur la bande dessinée, les comics, les comix et les romans graphiques. Nous avons élargi notre recherche dans le répertoire de la bande dessinée underground en espérant que son caractère plus expérimental amènerait à davantage d’explorations avec le médium. Nous y avons principalement décelé des expérimentations au niveau du style graphique et du contenu du récit. Des sujets tels que la sexualité ou la politique prennent généralement le premier plan narratif et des styles graphiques moins aisément lisibles ornementent souvent les pages. Or, nous ne nous intéressons qu’indirectement à ces composantes dans le cadre de ce mémoire.

Nous avons survolé une panoplie d’ouvrages théoriques et historiques sur la bande dessinée, en particulier les ouvrages de Thierry Groensteen et de Benoît Peeters. Nous avons également fréquemment  consulté des sites Internet ainsi que des ouvrages encyclopédiques tels que 1001 Bandes Dessinées qu’il faut avoir lu dans sa vie et The World Encyclopedia of Comics édité par Maurice Horn. Nous avons effectué un second volet de la recherche de bandes dessinées dans des collections privées et dans des magasins spécialisés à Montréal, Toronto, Portland et San Francisco.

La méthode d’analyse et de production narrative que nous explorerons dans ce texte se prête particulièrement bien au format de la bande dessinée. Le cinéma peut par bifurcation présenter des caractéristiques que cette méthode rend aisément compréhensibles. Cependant, il ne constitue pas la forme première du support dont il sera question. Ces résultats demeurent pertinents pour les études cinématographiques puisqu’ils présentent quelques limites du cinéma quant à la forme des différentes narrations qui s’adaptent bien à ce médium. Il en va de même avec la littérature. L’abstraction qu’il est possible d’atteindre en littérature permet bien de mener des explorations, mais seulement à l’intérieur de certaines limites. Nous aborderons brièvement ce sujet dans de ce texte.

Pour le cinéma, les films de science-fiction se rapprochent davantage des narrations rendues possibles par la méthode que nous proposons dans ce texte. Cela explique pourquoi le corpus étudié appartient principalement à la science-fiction et que nous délaissons quelque peu les autres genres. Un peu comme dans le cas de la bande dessinée underground, le film expérimental se distingue souvent de par le style graphique ou son contenu thématique, mais rarement sous une forme qui nous intéresse ici. Quelques exemples pertinents viendront de l’époque de la naissance du cinéma et des jouets d’optiques.

Finalement, afin de donner de l’expansion aux définitions et de trouver de nouvelles idées, autant pour la présente recherche que de possibles travaux ultérieurs, nous avons exploré différents domaines des mathématiques. La visite des domaines de la géométrie, de la théorie des graphes et de la topologie a été particulièrement enrichissante. Ces domaines ont servi autant comme exploration artistique que pour bien souder ensemble l’analyse qui sera faite dans ce texte.

La bande dessinée étant le format premier des expérimentations de cette recherche, il va de soi que le choix d’une définition est primordial. Or, il se trouve que dans notre cas la majorité des définitions s’appliquent difficilement. Cela découle directement du fait que ce mémoire a pour but d’apporter une exploration du médium afin d’en repousser les limites. Nous prendrons tout de même le soin de présenter brièvement quelques définitions présentes dans le milieu de pair avec le débat qui en découle et les différents problèmes de son application dans le cas présent.

La présence de plusieurs formes distinctes du médium a fait naître différentes appellations. Il est commun de trouver les formules art séquentiel, bande dessinée, roman graphique, comics et comix. La dénomination art séquentiel vient principalement du travail de Will Eisner Comics & Sequential Art et Scott McCloud la réutilise par la suite dans son ouvrage Understanding comics. La définition offerte par l’auteur se veut un concept global et c’est une particularité que nous voulons conserver. Eisner affirme que «Graphic Narrative may be defined as the employment of words and visual images in an intelligent and disciplined sequence to explain an idea or tell a story» (Eisner 2008, p. XI). Avec une définition un peu plus large qui permet d’inclure les suites d’images qui ne contiennent pas de mot, McCloud propose pour le mot comics la définition suivante : «Juxtaposed pictorial and other images in deliberate sequence,intended to convey information and/or to produce an aesthetic reponse in the viewer» (McCloud 1993,p. 9). L’avantage de restreindre la définition en ces composantes générale est de pouvoir inclure une série d’objets présents dans l’histoire de l’art qui partagent certaines caractéristiques communes avec la bande dessinée. Scott McCloud inclut par exemple les peintures rupestres, la tapisserie de Bayeux et les codex précolombiens dans ce qui est conçu généralement comme bande dessinée (1993, p. 10-13). L’utilisation d’un terme moins restrictif mène également à s’interroger sur les limites de cette définition.Nous pourrions par exemple définir le cinéma et les jouets optiques par l’art séquentiel. Dans notre cas, cela ne cause pas problème pour deux principales raisons : le modèle proposé dans ce travail peut s’appliquer aux histoires écrites pour les films et l’exploration des surfaces du dernier chapitre démontre bien que l’inclusion de ces explorations dans le cinéma ou le jeu vidéo peut s’avérer intéressante. Le but de cette recherche étant en partie d’explorer les différentes possibilités du médium, une définition plus large nous est utile et pour cette raison nous garderons les composantes essentielles de celle-ci. Nous rejoignons pleinement McCloud dans son affirmation « The best definition will be, I think, the mostexpansive » (1993, p. 199).


L’utilisation du terme comics a pris racine dans les publications de journaux et elle s’est épanouie principalement aux États-Unis au 20ième siècle. Le terme témoigne de la nature souvent humoristique des bandes dessinées de l’époque. Comme le démontre Gubern, cette popularité grandissante et l’évolution des comics de l’époque découlent en partie de la guerre des journaux américains, notamment de The World appartenant à Joseph Pulitzer et The Journal propriété de William Randolph Hearst (1972, p. 13, 24et 36). Ils favorisent en leurs débuts le format simple de quelques cases et plusieurs grands personnages sont issus de cette tradition. Les Kaztenjammer Kids de Rudolphe Dirks et Harold Knerr inspirés de Maxund Moritz de Wilheim Busch, ainsi que The Yellow Kid  par Richard Outcault sont des exemples de personnages qui ont vu le jour à cette époque. Les comics aux thématiques moins humoristiques se sont ensuite développés et du fantastique à l’aventure une grande variété de thèmes y a pris de l’expansion. Nous retrouvons quelques exemples qui explorèrent un peu plus le médium tels que Krazy Kat de George Herriman de 1913 à 1944, les curieux Upside-downs de Vermeek qui devaient être lus en tournant la feuille de 180° ainsi que l’œuvre de Winsor McCay Little Nemo in Slumberland . La grande distribution des comics dans les journaux est une composante qui influence Kunzel dans sa définition du mot en insérant comme composante essentielle la présence sur un support imprimé destiné à une distribution de masse (Groensteen 1999, p. 16). De manière similaire cette période historique est déterminante pour la définition de Blackbeards qui inclut dans la définition la publication régulière d’un personnage stable par épisode (Groensteen 1999, p.16). Tout comme Groensteen qui démontre l’insuffisance de cette définition par une série de contre exemples (1999, p. 19-20), nous ne souscrirons pas à cette perspective. Effectivement, la définition de Kunzle empêche d’inclure une bonne part de la bande dessinée underground et celle produite sur support numérique. La définition de Blackbeards exclue une panoplie d’œuvres destinées à ne pas avoir de suite.


Dans cette tradition se retrouvent habituellement les comics américains de suspense, horreur,aventure de guerre et science-fiction qui se multiplièrent dans les années 40-50. Les comics américain sont dû reformuler leur contenu avec la parution en 1954 de The Seduction of the Innocent du docteur Frederic Wertham qui joua un rôle majeur dans l’imposition de la censure via un comité qui portait le nom de The Comics Code Authority (Sabin 1996, p. 68). Le format des comics évolua au courant de la seconde moitié du 20ième siècle pour donner toute une palette d’œuvres qui couvre la majorité des nuances que nous pourrions faire entre comics et nouvelle graphique. En réponse à la censure et de concert avec la libération sexuelle, une forme particulière de bande dessinée underground a vu le jour. Certains auteurs tels qu’Estren ou Sabin s’y réfèrent en tant que comix(2). Ils contiennent souvent des styles graphiques assez variés, parfois « delibarately ugly » comme le souligne Douglas Wolk (2007, p. 40), et proposent desthèmes sur la politique, les drogues et la sexualité qui sont généralement exclus par la censure. La grande variété des formats des comix résulte quant à elle à la nature souvent indépendante des publications.

L’appellation bande dessinée est également largement utilisée dans les essais francophones. Une approche intéressante est celle de Thierry Groensteen et Benoît Peeters qui définissent la bande dessinée de pair avec son invention qu’ils attribuent à Rodolphe Töpffer au milieu du 19ième siècle (Peeters 1994,p.19). Ils attribuent cette invention à la coprésence de plusieurs éléments généralement présents dans le médium ainsi qu’à une réflexion propre à celui -ci par l’auteur. En effet, Töpffer publia un traité dephysiognomonie dans lequel il explore le style graphique des expressions faciales de personnages(3).

L’utilisation de la désignation de roman graphique est quant à elle assez récente et imputable à la popularité grandissante de bandes dessinées de plus grande envergure et abordant des thèmes tels que la politique, l’histoire, le cheminement personnel et des thèmes considérés comme plus matures (Sabin1996, p.8). Le premier livre à avoir porté l’appellation graphic novel sur sa couverture est le travail de Will Eisner A Contract With God paru en 1978 et traite de la crise d’un juif durant la Grande Dépression (VanLente et Dunlavey, p. 171). Comme le démontre Devid A. Beronä dans son ouvrage sur le roman graphique produit avant 1950, ce format n’est pas une nouveauté, notamment en Allemagne. La France a également produit de nombreux exemples d’œuvres parfois humoristiques qui abordent des thèmes complexes. Histoire pittoresque, dramatique et caricaturale de la Sainte Russie (1851) par Gustave Doré en est un bon exemple. Or, il reste que ce sont principalement des œuvres récentes qui ont popularisé la forme du roman graphique. Il y a dans cette liste le fameux Maus (1991) de Art Spiegelman et gagnant d’un prix Pulitzer, Persépolis de Marjane Satrapi, From Hell  d’Alan Moore et Jimmy Corrigan, the Smartest Kid on Earth de Chris Ware. Ces œuvres sont généralement plus longues que le classique format belge de 60  pages qui s’imposa en Europe, de plus elles possèdent généralement un style graphique propre à l’auteur et parfois même à l’œuvre en particulier.


Comme nous pouvons le constater, la bande dessinée présente historiquement plusieurs formes et courants et pour cette raison il existe différentes terminologies. Ne voulant pas exclure de notre analyse les différentes acceptations présentes dans la littérature sur le sujet nous en reviendrons à une définition plus générale que nous offre le terme «art séquentiel» de Will Eisner et Scott McCloud. Nous adhéronsau point de vue de Douglas Wolk qui souligne que la précision absolue d’une définition peut souvent exclure inutilement des exemples pertinents (2007, p.17). Nous nous fions en partie à l’intuition

du lecteur pour avoir une certaine connaissance des éléments qui définissent la bande dessinée ainsi qu’une certaine capacité d’adaptation quant aux nouveaux exemples que nous apporterons.

Afin de bien construire le modèle théorique que nous utiliserons dans ce mémoire, il nous faut nous appuyer sur diverses disciplines. Nous faisons ici une généralisation de ce qu’est ce modèle dont nous préciserons les détails au courant de cette recherche en nous aidant de plusieurs exemples.

Notre premier concept vient des études littéraires. Nous faisons usage du temps de l’histoire tel que défini par Genette et Müller. Ce temps de l’histoire, ce que Müller appelle erzӓhlte Zeit, est la succession présupposée des évènements dans l’univers diégétique (Genette, p. 77). Il se distingue principalement du temps du récit qui lui constitue l’ordre dans lequel les évènements sont relatés, donc présentés au lecteur. La réorganisation temporelle des évènements constitue un outil important et fort utile à la narration, mais dans le cadre de cette recherche nous travaillons uniquement avec le temps de l’histoire. Nous pourrions fort bien modifier ce modèle afin d’inclure le temps du récit, mais cela nous entraînerait dans de nombreuses complications que nous choisissons d’éviter dans cette recherche. Afin  de comprendre la complexité des narrations qu’il est possible de construire en se restreignant uniquement au temps de l’histoire, nous avons décidé d’exclure le découpage et les permutations des segments d’histoire. Par conséquent, nous excluons le temps du récit. Donc, toute histoire considérée dans ce texte l’est du point de vue du temps de l’histoire dans la perspective de Genette.

Une ligne du temps peut aisément servir à représenter ce temps de l’histoire. Pour ce faire, nous utilisons ici un concept issu des mathématiques et souvent utilisé en physique, la courbe paramétrée.Nous débuterons par une utilisation de cette courbe en deux dimensions, soit dans le plan cartésien, et une généralisation pour un plus grand nombre de dimensions sera ensuite possible. Une courbe paramétrée est une courbe dont les coordonnées sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées dépendent tous deux d’un unique paramètre. Nous pouvons représenter la courbe paramétrée mathématiquement à l’aide d’équations de la forme C(t)=(f(t), g(t)) (Pressley, p. 2). C’est-à-dire que les fonctions f et g qui dépendent du paramètre t , le temps, peuvent définir ses coordonnées. Un exemple trivial de courbe paramétrée est C(t) =(t, 0). Cette courbe n’est en fait rien d’autre que l’axe des abscisses du plan cartésien dans lequel l’avancement en temps, ou de manière équivalente vers la droite, se fait proportionnellement au temps.

L’utilisation de la courbe paramétrée peut sembler arbitrairement abstraite, mais elle implique une multitude d’avantages non négligeables. Premièrement, elle permet de fixer à l’aide du paramètre t le temps de l’histoire que nous considérons. Évidemment, le temps diégétique de l’histoire commence habituellement avant le récit et continue également après le récit. Les récits démiurges ou apocalyptiques peuvent faire exception, mais en général il y a conception que le monde existait avant le début du récit et qu’il continuera d’exister après celui-ci. Nous pouvons à l’aide du paramètre t définir théoriquement le domaine temporel sur lequel l’histoire prend place. Deuxièmement, la courbe paramétrée se généralise en trois dimensions. D’autres avantages importants doivent être précisés, mais nous nous devons avant de présenter d’autres apports théoriques.

Dans notre modèle, la courbe paramétrée est le support de l’histoire, c’est-à-dire que nous insérons dans celle-ci les moments de l’histoire que nous voulons dévoiler. Autrement dit, les cases de l’histoire se présentent sur la courbe paramétrée. En considérant les différentes caractéristiques géométriques de cette courbe nous pouvons ajouter énormément à la valeur sémantique de l’histoire. La forme géométrique de l’histoire, ou de la courbe paramétrée sur laquelle elle se présente, peut devenir un outil pour l’artiste et conséquemment un outil d’analyse. Le paramètre peut être soit suivi avec précision ou servir simplement pour construire une courbe paramétrée ayant des caractéristiques voulues.

Dans Système de la Bande Dessinée, Thierry Groensteen apporte des nuances qu’il vaut la peine d’examiner. Un point que l’auteur considère comme particulier à la bande dessinée est la solidarité iconique, c’est-à-dire la double caractéristique des cases d’être à la fois graphiquement séparées mais sémantiquement reliées de par leur coprésence sur le support (Groensteen 1999, p. 21). Il mentionne également le terme spatio-topie, réunissant l’analyse de l’espace et du lieu. Il ajoute que ce néologisme aurait pu être évité avec la simple utilisation du mot géométrie (1999, p. 26). Puisque nous apporterons des nuances géométriques qui n’entrent pas directement avec les catégories de lieu ou d’espace, par exemple la topologie ou les pavages, nous utiliserons le terme spatio-topie avec parcimonie. Nous conservons aussi des idées reprises par Groensteen, celle de l’hypercradre apportée par Benoît Peeters (1999, p. 38) et celle de multicadre apportée par Henri Van Lier (1999, p. 31). Le multicadre, ou la forme de l’ensemble des vignettes, sera revu dans notre section sur le cadre et sera directement mis en relation avec l’hypercradre qui est la forme de la planche. Nous nous intéressons principalement à la forme de lacourbe paramétrée, non pas simplement à celles des vignettes. En partant de la vignette, Groensteen définit trois éléments importants pour la spatio-topie; la forme, la superficie et le lieu (1999, p. 36). Ces trois caractéristiques sont les éléments qui définissent les vignettes dans leur rapport au multicadre. Nos considérations seront principalement portées, comme vu précédemment, sur le lieu car nous analysons le positionnement des courbes paramétrées et des graphes sur différentes surfaces. Le positionnement peut créer un effet global, ou contenir des informations contenues dans les précisions sur le lieu de son positionnement, par exemple en se plaçant sur le plan cartésien. Nous ne discuterons pas beaucoup de la notion de superficie même si elle fait parfois partie des grands problèmes mathématiques comme l’est l’impossible quadrature du cercle. Pour résumer, l’étude porte principalement sur le multicadre en tant que coprésence d’images certes, mais d’images reliées entre elles par les courbes paramétrées. Groensteen précise la nature de la solidarité iconique par la notion d’arthrologie qu’il définit comme l’ensemble des relations qui relient les images qui coexistent dans l’espace de la solidarité iconique (1999,p. 25). Dans notre cas, puisque nous nous intéressons surtout à la coexistence des courbes paramétrées qui, elles, contiennent les cases, nous pouvons considérer cette recherche en partie comme une analyse arthrologique macroscopique, une étude des regroupements de cases en soi et en lien avec l’espace qui les soutient, donc en lien avec la spatio-topie. Cette analyse se fait de pair avec les espaces laissés vacants par les trames narratives et dont la juxtaposition aux courbes paramétrées permet les pavages de l’espace.

Puisque l’idée de surface demeure une considération primordiale tout au long du texte, nous discutons parallèlement les notions de recouvrements de l’espace au courant du texte. C’est la raison pour laquelle nous nous intéressons à l’espace des courbes ainsi qu’à l’espace laissé vacant par celles-ci. Les outils généralement utilisés pour les dénombrements des types de recouvrements des surfaces par des figures semblables découlent du domaine de la cristallographie, de l’article de George Pólya et Haag (Schattschneider 1992, p. 22-30) et de la théorie des groupes (Armstrong, p. 145-172) tout comme il en a été le cas avec certaines œuvres de l’artiste M.C. Escher. Les terminologies étant souvent multiples ou utilisées pour décrire des structures plus imposantes, comme les groupes de Coxeter ou les orbifold (Conway et Huson, p. 247-257), nous utiliserons la notation issue de la cristallographie sans en explique la mécanique.

Le prochain apport significatif est celui de la théorie du récit de Marie-Laure Ryan qui permet aisément de mettre en lien les principes de l’hypercadre, du multicadre des courbes paramétrées et l’arthrologie. Le but de l’insertion du modèle de Ryan est de comparer les différentes représentations graphiques des histoires et récits afin d’en comprendre les avantages et désavantages. Dans son ouvrage Possible Worlds, Artificial Intelligence, and Narrative Theory, l’auteure construit des schémas de récits qui incluent autant les évènements possibles ou imaginés que réels dans le contexte diégétique. Les premières constructions sont les Plot-maps (Ryan, p. 156-157) et les State-Transition Diagrams qui représentent par des réseaux en flèches la concordance ou divergence des histoires réelles ou imaginées dans la diégèse. Les flèches dans ce modèle sont en fait des vecteurs. Le sens de ces flèches est celui d’une implication logique ou de fait. Dans le cas des bouts de récits qui sont imaginés, ces vecteurs déterminent ce qui devrait découler logiquement de telle ou telle situation ou décision. Si Ryan base son modèle sur le concept de point narratif de William Labov et amélioré par Robert Wilensky, concept qui définit les points reliés par les vecteurs de son modèle et qui constituent les éléments importants de l’histoire racontée (Ryan, p. 150-154), nous délaissons cette précision dans notre modèle qui lui ne souligne que les points que le narrateur choisit de représenter sans préciser aucun autre détail quant à leur importance pour le récit.

Les modèles de Ryan ont plusieurs avantages et désavantages. Premièrement, ces modèles sont extrêmement utiles à la compréhension globale d’un récit. La vision macroscopique du récit permet de le saisir rapidement dans son ensemble et d’en percevoir aisément les différentes composantes importantes autant dans ce qui se passe réellement que dans ce qui est imaginé. Nous conserverons cette caractéristique qu’est le point de vue macroscopique de l’histoire. Cependant, comme mentionné préalablement, nous travaillons pour l’instant que sur le temps de l’histoire, donc tous les éléments imaginés disparaissent de ce modèle. Deuxième avantage en concordance avec notre modèle, les points narratifs présentés par Ryan sont des éléments de l’histoire tels qu’ils se déroulent dans l’ordre du temps de l’histoire. La courbe paramétrée ne représente que l’évolution temporelle d’un seul lieu et si possible d’un seul personnage, elle équivaut à une lignée de points et de vecteurs dans les schémas de Ryan.

Nous faisons usage de ce modèle dans une version qui se restreint à l’histoire racontée seule, donc une version qui exclue les segments simplement possibles ou imaginés du récit. De plus, l’usage des vecteurs comme liens entre les évènements est fort utile pour la compréhension de l’histoire, mais nous utilisons à la place la courbe paramétrée comme trame générale de l’histoire puisque ces courbes nous permettent de mieux nous servir de théorèmes issus de la théorie des graphes, de la géométrie différentielle et de la topologie. Autrement dit, au lieu d’avoir une suite de vecteurs qui passent d’un élément du récit à un autre, nous avons une courbe paramétrée qui passe par ces différents points.

Or, quelle est l’histoire précise qui suit continuellement cette courbe paramétrée? Dans le domaine de la physique, ces courbes servent parfois à représenter le déplacement d’une particule dans l’espace. De manière similaire, une courbe paramétrée peut suivre l’évolution dans le temps d’un espace discret. Dans notre modèle, cette courbe suit généralement l’espace discret autour d’un personnage et ainsi, de manière équivalente, son évolution temporelle. Nous pouvons généraliser ce principe à un univers diégétique au complet. Des exemples préciseront ces nuances. Sur cette courbe paramétrée peuvent ensuite apparaître des cases contenant les éléments précis que le narrateur décide de présenter. Contrairement aux points narratifs de Labov et Wilensky ces éléments ne sont pas obligatoirement importants, le narrateur ne fait que les présenter.

Le modèle proposé peut contenir simultanément plusieurs courbes paramétrées en associant à chacune d’elles l’histoire autour d’un personnage. Cela permet une présentation simultanée de toute l’histoire similairement au modèle de Ryan, mais construite à partir l’évolution temporelle de chaque personnage au lieu d’une suite logique de faits. De plus, cette représentation macroscopique de l’histoire peut jouer le rôle du récit. C’est-à-dire que l’œuvre d’art qui représente cette ou ces histoires est la schématisation macroscopique de celle-ci. Cette caractéristique est un aspect fondamental qui permet une exploration nouvelle du média. Il existe évidemment des exemples qui se rapprochent de ce que nous explorons dans ce mémoire et nous les considérons au courant du texte autant pour les explorations qui en découlent que pour les limitations qu’ils apportent. Comme le mentionne Groensteen, la totalité de l’espace couvert par l’ensemble des cases est essentiel à la bande dessinée: « En résumé, les codes se tissent à l’intérieur d’une image à une chaîne narrative dont les maillons sont étalés dans l’espace, en situation de coprésence » (Groensteen 1999, p. 8).

Un modèle tel que celui de Ryan peut facilement se porter à cette extension et faire de la présentation d’une histoire avec ses éléments réels ou imaginés une œuvre d’art en soi. On l’exclut de cette analyse pour l’instant pour deux raisons. En précisant notre analyse sur l’histoire, nous pourrons facilement analyser les différentes œuvres nommées précédemment. En second lieu, cela ne confère aucune caractéristique supplémentaire quant aux différentes observations apportées dans le texte se rapportant à la restriction au temps de l’histoire. Il est alors préférable d’entamer cette analyse dans une forme plus simple, n’utilisant que le temps de l’histoire.

Pour l’instant, nous constatons en quoi ce modèle permet de reprendre les notions de multicadre, d’hypercadre et d’arthrologie puisqu’une fois que nous considérons la représentation macroscopique de l’histoire ou de l’ensemble des histoires comme œuvre d’art en soi, les concepts ci-mentionnés s’emboîtent naturellement de manière hiérarchique. Nous avons la case, le multicadre qui regroupe les différentes cases et leur hypercadre; au lieu de disposer les multicadres sur différentes feuilles dans un album, nous les juxtaposons en une seule représentation globale de l’histoire qui elle-même devient récit. Certains trouveront un lien direct avec le canevas infini de McCloud. Nous discuterons ce concept, mais nous devons encore enrichir le bagage théorique afin de bien préparer le terrain pour le concept de McCloud.

Une fois que nous considérons ces histoires d’une perspective macroscopique, nous pouvons aller un pas plus loin dans leur représentation abstraite. Comme le mentionne Bernard Teissier, nous pouvons considérer ces histoires du point de vue de la théorie des graphes puisque la narration « provides vicariously the experience of a path (or a graph) of interactions among character » (Teissier, p. 232). Nous nous devons alors de définir ce qu’est un graphe, ce qu’est une représentation d’un graphe et finalement voir en quoi et sous quelle forme cela peut nous servir. Un graphe est un ensemble d’éléments qui peuvent être mis en liens. Ces liens sont nommés relations. Une représentation naturelle des graphes est de considérer les éléments comme étant des points et les relations comme étant des lignes reliant ces points deux à deux. Dans le jargon des mathématiques les points sont nommés sommets et les lignes arêtes (Bollobàs, p. 1). Dans notre cas, les arêtes sont des segments de courbes paramétrées, et donc segments temporels. Les sommets sont des points de rencontre auxquels nous voulons associer un évènement propre à plusieurs histoires, donc à plusieurs courbes paramétrées, possiblement le début ou la fin de certaines d’entre elles.

Il va de soi que les arêtes de ces graphes aient un sens de lecture, le sens d’avancement du paramètre t, le temps. Nous dirons dans ce cas que le graphe est orienté puisque les arêtes possèdent un sens (Bondy, p. 31). Nous pouvons alors faire une analyse des histoires sous ce modèle à partir de la théorie des graphes orientés. Il se trouve que certaines caractéristiques qui nous intéressent se conservent même lorsque nous oublions le sens de lecture des arrêtes. C’est pourquoi nous ferons l’analyse de l’histoire sous leur forme de graphe principalement dans l’optique des graphes non-orientés.

L’avantage de faire appel à la théorie des graphes est qu’un grand nombre de théorèmes peuvent nous aider à comprendre les caractéristiques propres à certaines structures d’histoires ainsi que certaines limitations de ces structures. Nous étudierons la cyclicité, c’est-à-dire la présence de chemins qui débutent et se terminent au même sommet (Bondy, p. 4). Nous pouvons également déterminer si le graphe est eulérien, c’est-à-dire s’il est possible de parcourir toutes les arêtes en ne passant par chaque arête qu’une seule fois (Bondy, p.86). Dans le cas d’un graphe orienté ces définitions sont conservées mais le sens des arêtes doit être respecté (Bondy, p. 33 et 91). La raison pour laquelle nous nous réapproprions ces concepts est que cela nous permet d’analyser des histoires qui possèdent des structures fort complexes et presqu’impossible à déchiffrer si l’on n’en fait pas une représentation graphique. Il en estainsi pour les films Primer  et Triangle. Une autre motivation vient du fait qu’en créant un cycle, on délimite également un espace qui peut ensuite servir à la sémantique de l’histoire, cette caractéristique provient directement d’un théorème dû à Camile Jordan(4) que nous présenterons dans la section sur le cadre (Jordan, p. 589-590).

Il est important d’ajouter une nuance concernant cet ajout de la théorie des graphes: la confusion possible entre les concepts de structure et de géométrie (et donc aussi entre le récit et le récit-carte(5)). Ce qui importe à la base dans la théorie des graphes ce sont les liens entre les différents sommets, non pas la forme géométrique de ces liens, ni leur disposition dans l’espace. Par exemple, qu’une arête soit rectiligne ou courbe n’importe aucunement. Qu’une ligne soit horizontale ou verticale revient au même et tout polygone à quatre cotés équivaut à un carré, peu importe la disposition des quatre sommets ou de la longueur des arêtes. Donc, à prime abord et à moins d’avis contraire, tout résultat qui sera présenté à propos d’un graphe sera fait dans cette optique. Évidemment, il est ensuite possible d’ajouter des considérations géométriques dans la recherche de résultats ou dans la construction d’une œuvre. Un théorème peut préciser qu’il concerne seulement des segments rectilignes ou la disposition des sommets d’une histoire peut avoir une incidence sémantique. Cette double facette de l’utilisation des graphes -et des surfaces comme nous le verrons- comme modèle découle du fait que le modèle est à la fois symbolique et iconique selon les termes de Frey (Herman, p.252). C’est-à-dire qu’ils sont idéogrammes par les concepts qu’ils évoquent par conventions et diagrammes par leurs ressemblances visuelles aux concepts qu’ils peuvent représenter (Herman, p. 455).

Le concept de canevas infini apporté par McCloud dans son ouvrage Reinventing comics se trouve en lien direct avec une autre caractéristique des graphes. Le canevas infini de McCloud est en fait une surface virtuelle sur laquelle peut se construire l’art séquentiel, ou la bande dessinée. Sur son site Internet il discute des avantages à travailler sur une seule surface, « putting all panels together on a single”canvas”» ( Il les met principalement en lienavec la publication de la bande dessinée sur Internet. Ce canevas est particulièrement approprié pour l’écriture et l’analyse des hypercomics, ou bandes dessinées partiellement interactives construites enpallier. Daniel Merlin Goodbrey en donne la définition suivante: «A hypercomic can be thought of as awebcomic with a multi-cursal narrative structure. In a hypercomic the choices made by the reader mayinfluence the sequence of events, the outcome of events or the point of view through which events areseen. »( Libéré du format papier et du livre, le canevas virtuel surinternet peut en effet prendre une infinité de formes. Il en donne quelques aperçus dans certaines cases,mais il ne va pas davantage dans cette direction. Il fait également indirectement référence à un support autre que le Web. Il est possible de voir quelques exemples qu’il offre dans son ouvrage. Il mentionne l’écriture sur le cube (McCloud 2000, p. 223), et sur un cylindre comme dans le cas de la colonne de Trajan(2000, p.228). Soulignons de plus qu’une des particularités du canevas infini est le principe d’équivalence entre distance et temps ( comme pour la courbe paramétré C(t)=(t, 0), axiome d’équivalence qui ne semble pas toujours être respecté dans les hypercomics.

Ce que nous tentons de faire finalement dans cette recherche est d’offrir des pistes d’exploration de ce canevas en fonction de certaines théories mathématiques déjà existantes. Ces explorations ne sont pas restrictives ni à un seul plan infini comme le défini McCloud ni à un support numérique. Plusieurs recherches, plus précisément dans le domaine de la théorie topologique des graphes, explorent les possibilités de dessiner certains graphes sur diverses surfaces selon un critère dit de planarité. Dans cette perspective, nous présenterons premièrement le théorème de Kuratowski qui définit certains critères qui garantissent la planarité d’un graphe sur le plan ou la sphère (6). (Gross et Tucker, p. 42-49) Nous analyserons deux types de surfaces sous la lumière du critère de planarité, les surfaces orientables et non-orientables. Pour donner un exemple de surface orientable nous pouvons considérer la sphère ou le tore (Gross et Tucker, p. 119-120). L’exemple le plus populaire de surface non orientable est le ruban de Moebius (Pressley, p. 76-77), parfois appelé ruban de Lao Tseu en vertu de l’utilisation qu’en fît le philosophe chinois pour représenter le yin et le yan (Cazenave, p. 731). Il en existe en fait une infinité d’autres. Dans le dernier chapitre nous entamerons une exploration des différentes possibilités de représenter des histoires graphiques sur différentes surfaces qu’elles soient physiquement possible ou non, comme par exemple la bouteille de Klein (Barr, p. 62-63). Le canevas infini, dépendamment de ces considérations, peut prendre une forme réelle, sculpté, ou simplement être représentable via certaines stratégies dont le numérique offre plusieurs exemples.

Encore une fois, la topologie amène son lot de complications. Un peu comme pour la théorie des graphes, la topologie se penche sur des informations structurelles, les invariants topologiques, qui demeurent intactes si nous n’appliquons que des torsions et étirements sur l’objet étudié (Barr, p. 2-3).Par exemple, du point de vue de la topologie les polyèdres et la sphère ne sont pas différentiables puisqu’ils conservent la même caractéristique d’Euler (Barr, p. 10-11). C’est-à-dire que la soustraction des arêtes à la somme des sommets et des faces reliés à un graphe planaire donne le même résultat sur les deux surfaces. Tout comme précédemment, nous débutons par la perspective purement topologique avant de réintroduire des considérations plus géométriques. Nous explorons les surfaces progressivement afin de découvrir le plus grand potentiel intrinsèque à chaque surface. Le plan est naturellement la première surface considérée et en raison de sa grande simplicité nous éviterons presqu’entièrement les considérations topologiques. Nous retarderons l’utilisation de la topologie vers le dernier chapitre lorsque nous rencontrerons des surfaces plus complexes(7).

Mentionnons un dernier apport puisque qu’il dictera une certaine méthodologie utilisée dans cette recherche. Cet apport est double, il vient en fait de l’OuLiPo, principalement de Raymond Queneau, et de la combinatoire. Pour reprendre les termes de Marcel Bénabou sur l’OuLiPo, « Le recours à la méthode axiomatique, l’importation de concepts mathématiques, l’utilisation de la combinatoire sont les axes principaux de cette exploration » (OuBaPo 1996, p. 3). Comme il en a été avec Queneau, l’idée de dénombrement sera importante. Dans plusieurs cas, nous offrons les dénombrements des possibilités qu’engendrent les types de graphes considérés. Cela permet premièrement de nous plonger plus en  profondeur dans les différentes structures avec lesquelles nous travaillons ainsi que d’introduire le lecteur à une connaissance de base du type d’arguments qui soutiennent les résultats mathématiques qui seront pris en compte. Nous recyclons également l’idée de contrainte. L’ensemble du mémoire peut être perçu comme une longue série de constructions de contraintes. Les modèles d’histoires que nous proposons à chaque section sont des histoires qui exemplifient les concepts tout autant qu’elles fonctionnent dans les limites des contraintes explorées. Afin de donner suite au premier bouquet de contraintes de Thierry Groensteen (8) et pour permettre au lecteur et aux oubapiens assidus d’apprivoiser les concepts et possibilités, nous offrons une série d’exemples au courant de chaque section.

Résumons la démarche que nous avons entreprise dans ce mémoire. En considérant le temps de l’histoire d’un personnage comme étant une courbe paramétrée, il nous est possible de transformer la représentation macroscopique d’une histoire en œuvre d’art. Cette représentation, à sans être un art peut s’avérer être un outil d’analyse efficace dans certains films de fiction. Cette représentation peut avoir des caractéristiques géométriques ou structurelles qui dépendent du canevas, c’est-à-dire qui dépendent de la surface sur laquelle la représentation macroscopique de l’histoire est déposée. L’analyse porte principalement sur les différentes formes structurelles possibles, principalement pour les histoires cycliques. La dénomination de sculpture narrative sert à se référer à ces entités dans leur ensemble. Cette formule sert donc à définir la représentation du récit comme série d’images reliées entre elles par une ou  plusieurs histoires sur des surfaces qui peuvent être possibles dans le monde réel ou non. Le terme inclut également l’apport des principes mathématiques nécessaires à la compréhension de ces œuvres.


1-Herman discute cette définition qu’il trouve dans l’Oxford English Dictionary.

2-Voir dans les ouvrages de Roger Sabin (Comix & Graphic Novels: A Histor of Comic Art. New York: Phaidon Press, 1996) et de Mark JamesEstren (A History of Underground Comics. Berkeley: Ronin Publishing, 1993).

3- Une publication de cet essai est disponible de dans le livre de Thierry Groensteen et Benoît Peeters (Töpffer: L’Invention de la Bande Dessinée. Paris: Hermann, Éditeurs des Sciences et des Arts, 1994).

4-Pour une version topologique de la preuve voir Munkres, James R. Topology . 2nd Ed. New Jersey: Prentice Hall, Inc., 2000, p. 385-389.Plusieurs preuves du théorème existent, entre autres, des preuves par Ronald Bron, J.W. Alexander et Helge Tverberg sont disponibles.

5-Récit dont le lieu précis des actions est important à la compréhension de l’histoire.

6- La prevue présentée dans cet ouvrage est une organisation due à Thomassen, la preuve originale de Kuratowski peut être trouvée dans Kuratowski (1930).

7- Le mot surface peut apporter des complications qui ne seront pas traitées dans ce texte. Le lecteur intéressé peut se référer à des ouvrages de topologie et de géométrie différentielle pour une définition mathématique des surfaces.

8- Voir l’article de Thierry Groensteen: « Un Premier Bouquet de Contraintes ». Dans Oubapo : oupus 1. Édité par L’Association. Paris: L’Association, 1996, p. 13-59.